Offerta e Rendimenti di Scala in Concorrenza Perfetta

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1 Offerta e Rendimenti di Scala in Concorrenza Perfetta Maria-Augusta Miceli Dipartimento di Economia e Diritto Università di Roma "La Sapienza" Lezioni di Economia Industriale March, 18 Abstract L obiettivo di uesto capitolo è il rapporto tra la funzione di costo, che stilizza le ipotesi sui rendimenti di scala, e la funzione d offerta dell impresa concorrenziale, singola e aggregata. Useremo la teoria microeconomica standard della produzione allo scopo di verificare, per uali ipotesi sui costi fissi e/o variabili, la soluzione può non esistere. Per semplicità, la funzione di costo è considerata come già ottimizzata rispetto alla domanda di inputs e usata come tale nella funzione di profitto dell impresa. English Abstract: The aim of this chapter is the relationship between the cost function, stylizing returns to scale, and the supply function of the competitive firm at disaggregate and aggregate level. We will use the standard microeconomic theory of optimal production and check under which assumptions on fixed and/or variable costs solutions may fail to exist.. For simplicity the cost function is considered as already optimized and used as such in the profit function of the firm. KEYWORDS: costs, returns to scale, technology, supply, theory of the firm, profit maximisation, cost functions, theory of production. JEL: A, A22, A23, B21, D21. Department of Economics and Law, University of Rome "Sapienza" - 9 via del Castro Laurenziano Roma - Italy. augusta.miceli@uniroma1.it. 1

2 1 Introduzione In uesto capitolo intendiamo mostrare la relazione fra i rendimenti di scala conseguenti al tipo di industria nella uale opera l impresa e i suoi profitti. La relazione fra rendimenti di scala e profitti influisce in maniera deterante sulle scelte di uantità e/o prezzo dell impresa al fine di evitare perdite. Per uesta ragione è importante che gli studenti siano consapevoli di tali relazioni prima di intraprendere l analisi delle nozioni che regolano i "ricavi" delle imprese. Nella prima parte del capitolo mi occupo della relazione fra la forma della funzione di costo e i rendimenti di scala, mentre, nella seconda parte, della relazione fra i rendimenti di scala e la funzione dei profitti e dunue sulle scelte di uantità dell impresa. Per semplicità l analisi è ristretta al caso di concorrenza perfetta, in cui vi sia un solo output, il cui prezzo di vendita sia fisso, come da ipotesi convenzionali. 2 Definizioni La funzione di costo deriva dalla imizzazione del costo degli inputs, vincolato a produrre un ammontare dato di output dati = uantità degli inputs e = prezzi degli inputs (Per es. Varian, H. "Microeconomia"). X () = { } =1 =1 = ( 1 ) Il risultato di uesta ottimizzazione è una funzione di costo che ci indica la combinazione degli inputs di produzione che ha costo imo per ogni livello di output desiderato. Le considerazioni sulle combinazioni ottime degli inputs non saranno discusse in uesta sede e si farà riferimento alla teoria microeconomica standard, per es. Varian, H. "Microeconomia". La funzione di costo sarà dunue il risultato della somma di uantità di input "ottime" secondo l ottimizzazione citata, moltiplicate ciascuno per i propri prezzi dati. Definiamo costi "fissi" tutti uei costi che non variano al variare della uantità prodotta, come gli impianti, gli immobili, e in generale gli investimenti, costi variabili, uelli che variano al variare della uantità prodotta. Nel caso in cui alcuni costi variabili siano fissi nel breve periodo (come i contratti di lavoro, che, sebbene commisurati alla uantità prodotta, hanno una durata definita) essi saranno assorbiti nei costi fissi. La funzione di costo ottimizzata può essere scritta come la combinazione di due somme: la somma dei costi fissi e la somma dei costi variabili ( _ )= X ( )+ =1 X _ =+1 Per brevità, in uesta trattazione raggruppiamo il valore dei fattori fissi sotto un unico parametro, che chiamiamo Costo fisso : Definizione 1 Costo fisso = X _ =+1 2

3 La seconda somma, a prezzi dati, è funzione della uantità che si desidera produrre Pertanto tale parte viene spessa chiamata Funzione dei costi variabili o dipendenti dalla uantità prodotta e viene sintetizzata dalla funzione di costo variabile (): Definizione 2 Funzione di costo variabile () = X ( ) =1 La funzione di costo può essere uindi sintetizzata da una Funzione di costo totale costituita da una componente fissa indipendente dalla uantità prodotta e da una componente variabile () che dipende dalla uantità prodotta Definizione 3 Funzione di costo totale () = + () () =funzione di costo totale, = costi fissi (impianti, uffici, macchinari, contratti di lungo periodo, brevetti), ovvero tutto ciò che non varia al variare della uantità prodotta, () =costi variabili, proporzionali alla uantità prodotta. Costi medi o funzione di costo medio ( ) () = {z } Costo medio Totale + {z} Costo medio Fisso () {z } Costo medio Variabile L incremento dei costi dovuto al produrre un unità aggiuntiva di prodotto (ovvero la derivata della funzione di costo totale rispetto alla uantità) viene definita: Funzione di costo marginale o funzione di costo marginale () () :+ () 3 Funzioni di costo nelle diverse ipotesi di rendimenti di scala Per semplicità assumeremo che la funzione di costo totale abbia la forma seguente () = + T 1 dove è una costante numerica e T 1 è il parametro all esponente che definisce, in maniera semplice, irendimentidiscala. Definizione 4 Rendimenti di scala T 1= Perché? Consideriamo la seguente funzione di profitto crescenti costanti = ricavi - costi variabili - costi fissi Supponendo che i ricavi siano costanti, al crescere della uantità prodotta, i profitti saranno tanto maggiori uanto più i costi cresceranno meno che proporzionalmente rispetto all output. 3

4 3.1 Costi crescenti in (RSD) La funzione di costo totale è Costi totali () = + 1 = tratteggiato () =5 2 sottile () =+5 2 neretto C() Costimediemarginali Costi fissi medi: = Costi variabili medi: () =5 2 =5 Costi totali medi: () Costi marginali:: = () = +5 sottile magenta sottile neretto = tratteggiato C()/; Cma Abbiamo la nota curva dei costi medi totali con andamento a U, che ha un punto di imo esattamente dove la curva (in uesto caso retta) del costo marginale interseca la curva del costo medio. 4

5 3.2 Costi lineari in (RSCo) Esempio Costi totali () = + =1 = tratteggiato () =5 sottile () =+5 neretto p C() Costi medi e marginali = sottile magenta () =5 =5 sottile () = + 5 = () neretto =5 tratteggiato C()/; Cma

6 La curva decrescente è = ; la retta =5= rappresenta, nel caso di costi lineari, sia i costi medi variabili sia il costo marginale. La curva in neretto rappresenta la curva di costo medio totale pari alla somma dei costi fissimedi+icostimarginalimedi. NB. Se la curva dei costi marginali non interseca MAI la curva di costo medio totale, perché uest ultima NON ha un punto di imo. 3.3 Costi decrescenti in (RSCr) Costi totali () = + 1 = tratteggiato () =5 sottile () =+5 neretto C() Costi medi e marginali = sottile magenta () =5 =5 sottile () = + 5 = () = 5 2 neretto tratteggiato 6

7 C()/; Cma In uesto caso, anche se = la curva dei costi marginali non interseca MAI la curva di costo medio totale, perché la curva del costo variabile medio ha valori maggiori della curva del costo marginale per ogni uantità prodotta 4 Curva d offerta dell impresa () () Passiamo adesso ad analizzare la relazione fra i rendimenti di scala e i profitti dell impresa. Di conseguenza, ci occupiamo di come i rendimenti di scala influenzino le disioni "ottime" dell impresa, ovvero la sua curva di offerta di output. Consideriamo la funzione di profitto come funzione della uantità prodotta. Consideriamo la funzione di costo già "ottimizzata" che utilizza la combinazione di inputs o fattori di produzione che imizzino i costi per ciascun livello di output desiderato. Il problema dell impresa è adesso decidere la "uantità di output ottima da produrre" in modo che essa sia uella che massimizzi il profitto, dato il prezzo di mercato del bene come parametro max ( ) = () dove rappresenta il ricavo dalla vendita del prodotto e ()+ il costo di produrre tale uantità. Questo metodo di ottimizzazione è una stilizzazione molto semplificata e che usa molte ipotesi spesso non verificate nella realtà, ma rappresenta un benchmark che in uesta trattazione verrà discusso nei dettagli. Per trovare il massimo di uesta funzione la deriviamo rispetto alla uantità prodotta: condizioni del primo ordine e condizioni del II ordine : () = (1) ovvero : = () (2) 2 2 = : 2 ( ) 2 ovvero la curva del costo marginale deve essere crescente dopo la soluzione. 7

8 La condizione del primo ordine esprime l offerta di output dell impresa. Consideriamo la (2) Questa è una funzione nelle due variabili e La possiamo vedere come Definizione 5 Funzione d offerta diretta se risolviamo la (2) per in funzione di ovvero Definizione 6 Funzione d offerta inversa, se risolviamo la (2) Tutto sarà più chiaro negli esempi numerici successivi. () = 1 () (3) () =() (4) Tuttavia,non tutta la curva di costo marginale esprime la curva d offerta effettiva dell impresa! Le condizioni marginali non tengono conto dei costi fissi e può uindi succedere che la uantità ottima non sia capace di rendere i profitti non negativi. Ovvero, data la funzione di profitto "ottimizzata" ( )= ( ) può succedere che ( ) = ( ) Per tener conto di uesto aspetto, consideriamo che l impresa sia effettivamente disposta ad offrire un prodotto sul mercato, solo uando il prezzo di vendita le consenta di ottenere almeno profitti nulli o positivi. Tale condizione euivale a capire uale sia la uantità o il prezzo imo (a seconda che si usi la (3) ola (4)) che garantisca profitti non negativi. Per calcolare il prezzo imo (o la uantità ima) è necessario calcolare uale sia il punto di intersezione fra la curva di costo medio totale e la curva di costo marginale che rappresenta la curva d offerta. Vediamo perché. Proposizione 1 Il prezzo detto di "chiusura" o di "break-even" di lungo periodo è il prezzo imo a cui l impresa è disposta a vendere il prodotto, perché è il prezzo imo al uale l impresa ha profitti non negativi. Tale prezzo deve essere non inferiore al costo medio totale Dim.. Per avere profitti positivi deve essere ( ): () ( ) : () () Esiste uindi un punto di coordinate ( ) a partire dal uale l impresa diventa profittevole. o break-even point. Esso è il punto di intersezione fra la curva dei costi medi totali e la curva del costo marginale, la uale rappresenta la curva d offerta potenziale. Cerchiamo uindi il punto ( ) tale che, soddisfi la condizione di intersezione e viene ricavato inserendo nella funzione di costo marginale. Si tratta della soluzione del seguente sistema di due euazioni nelle due incognite { } QVD. + : ( )= () + : = ( ) 8

9 Proposizione 2 Il prezzo di "chiusura" di breve periodo è il prezzo imo a cui l impresa è disposta a vendere il prodotto nel breve periodo e deve essere non inferiore al costo medio variabile () Si può assumere che nel breve periodo, durante un ciclo avverso l impresa possa permettersi temporaneamente di non ripagare i costi fissi, ma deve poter ripagare i costi variabili della produzione. Dim.. Vale uanto sopra ma vengono considerati solo i costi medi variabili. Ovvero ( ) ( ): () ( ) : () seesolose () Cerchiamo uindi sono tali che a partire da uel punto il ricavo derivante dalla produzione dell impresa ripaghi almeno i costi variabili : : ()= () = QVD. Seguono nel paragrafo le applicazioni con i diversi tipi di funzioni di costo. 5 Derivazione della funzione d offerta nelle diverse ipotesi di rendimenti di scala Presentiamo alcuni esempi espliciti, utilizzando le funzioni di costo presentate in precedenza. Inseriamo ciascuna funzione di costo nella funzione di profitto e deriviamo la curva d offerta massimizzando la funzione del profitto rispetto ad 5.1 Costi crescenti in (Rendimentidiscaladecrescenti) Es. () =+5 2 Deriviamolafunzioneelaponiamopariazero max (; ) = ( ) : 2 5 = (5) 2 (; ) 2 : 2 5 La condizione del secondo ordine per una massimo è rispettata. Risolvendo la (5) per la uantità incognita in funzione del parametro dato si ha: = 9

10 ovvero (5) ci permette di calcolare il punto di massimo profitto dati i parametri =5 =2 Analogamente, per sapere ual è la curva di offerta effettiva devo disegnare anche il costo medio totale. Se nel grafico è chiaro vedere ual è il prezzo imo, ci chiediamo uale sia il metodo generale per calcolarlo. Il prezzo imo è individuato da uel livello di in cui la funzione di costo marginale interseca la curva di costo medio, ovvero. cerco tale che () = () 2 5 = +5 C()/; Cma Costi fissi medi: = Costi variabili medi: () =5 2 =5 Costi totali medi: () Costi marginali:: = () = +5 sottile magenta sottile neretto = tratteggiato Se nel grafico è chiaro vedere ual è il prezzo imo, ci chiediamo uale sia il metodo generale per calcolarlo. n Soluzione = o n 2 = o 2 Naturalmente si scarta la soluzione negativa (una uantità negativa non ha senso). Per trovare la coordinata sull asse del prezzo si sostituisce = 2 nella funzione del costo marginale. Si ottiene =2 5 2 =1414 L impresa potra stare sul mercato e ripagare i costi fissi se il prezzo esistente sarà pari ad almeno =1414 Tuttavia nel breve periodo potrà decidere di non ripagare i costi fissieinuestocasotutta la curva del costo marginale, sarà maggiore della curva di costo medio variabile 5 e uindi ualunue livello di produzione sarà capace di ripagare i costi variabili. 5.2 Costi lineari in (Rendimentidiscalacostanti) Es. () =+5

11 Deriviamolafunzioneelaponiamopariazero max (; ) = ( + 5) (; ) : 5= 2 (; ) 2 = Il fatto che la condizione del secondo ordine sia pari a zero, implica che la funzione di profittononsiaconcava ma una retta orizzontale. Se =5 la soluzione è un massimo per ualunue [ ) poiché se = il profitto variabile (senza considerare i costi fissi) sarà nullo per ogni Caso = Vediamo cosa succede per R nei grafici di profitto totale, imponendo = Disegnamo le curve di ricavo e costo totale, ualora sia = , p=7, k=5 == profitti crescenti in Ricavi: =7 Costi variabili () = =5 sottile nero tratteggiato rosso 11

12 5, p=5, k=5 == profittinulliperogni Ricavi: =5 Costi variabili () = =5 sottile nero tratteggiato rosso 3, p=3, k=5 == profitti decrescenti in Ricavi: =3 Costi variabili () = =5 sottile nero tratteggiato rosso Pertanto risolviamo in uesto modo, ovvero poiché la funzione d offerta non è differenziabile, il valore di varia a seconda che sia maggiore, uguale o ore di se 5 = intera retta [ ) se =5 se Caso Considerando 12

13 C()/; Cma Costi fissi medi: = Costi variabili medi: () =5 2 =5 Costi totali medi: () Costi marginali:: = () = +5 sottile magenta sottile neretto = tratteggiato La retta tratteggiata costante è la funzione di costo marginale, mentre la curva decrescente in grassetto è la curva di costo medio totale. Come vediamo, la curva di costo marginale, tratteggiata, costante e pari a 5 non interseca mai la curva del costo medio totale e uindi SE esistono costi fissi e i costi variabili sono costanti al crescere della uantità prodotta, non è possibile utilizzare la regola = perché in uesto modo i costi fissi non vengono ripagati. Vedremo in seguito che in uesto caso bisogna usare la regola = La curva di costo marginale è costante, e la curva di costo medio è decrescente e tende alla curva di costo marginale solo all inifinito, ma la curva del costo marginale non intersecherà mai la curva del costo medio () = () 5= +5 lim () = lim +5=5 Quindi NON ESISTE un break-even point di lungo periodo. Nel breve periodo, ovvero non considerando i costi fissi ( =), se vale la regola = = ci sarà un profitto unitario pari a zero per unità venduta, diventerà uindi indifferente produrre zero o infinito. La uestione cambia se all interno del costo medio viene inserita una frazione di guadagno per la remunerazione dell imprenditore. In tal caso il profitto sarà rappresentato da tale frazione moltiplicata per il numero di unità vendute. Questo vuol dire che se l impresa rispettasse la regola di vendere la propria merce ad un prezzo pari al suo costo marginale 5, guadagnerebbe zero su ogni uantità venduta e uindi non si ripagherebbe MAI gli eventuali costi fissi. Se fosse la regola = = non accumulando alcun profitto, non permette di finanziare icostifissi. Vedremo in seguito che per poter finanziare i costi fissi è necessario imporre 13

14 5.3 Costi decrescenti in (Rendimentidiscalacrescenti) Es. () =+5 Deriviamolafunzioneelaponiamopariazero max (; ) = ( + 5 ) () : 5 2 = Ma uesto è un punto di imo, non di massimo. Le condizioni del secondo ordine non sono verificate. 2 () 2 : La derivata seconda è positiva ovvero i profitti crescono indefinitamente al crescere di La soluzione della condizione del primo ordine è un punto di imo = Quindi per avere un massimo, la soluzione è Disegnamo le curve di ricavo e costo totale, ualora sia ==7 =7 = 7 _ = 5 7, 5()^ Se la retta tratteggiata dei costi, sale parallelamente. Vediamo la stessa soluzione in teri di costi medi e marginali. 14

15 C()/; Cma = () =5 =5 () = + 5 = () sottile magenta = 5 2 neretto sottile tratteggiato In uesto caso la curva del costo marginale non solo non intersecherà mai la curva del costo medio totale, ma neppure uella di costo medio variabile. Ovvero Non esiste un punto ( ) tale che 5 : 2 = + 5 : = 5 2 né un punto ( ) tale che () = () 5 2 = + 5 : 5 2 = 5 : = 5 2 In uesto modo non solo l impresa non ripagherà mai i costi fissi, ma nemmeno i costi marginali delle unità precedenti che erano più "care". Questa è la ragione per la uale una merce venduta a prezzi bassi o bassissimi deve ottenere una uota di mercato praticamente infinita. Questa è la ragione per cui oggi doano le grandi multinazionali, i supermercati enormi, le librerie on-line. Es. Ikea, Amazon, Carrefour, etc. 15

16 6 Funzione di offerta aggregata Definizione 7 La curva d offerta aggregata è la somma delle curve d offerta in teri di uantità di uno stesso prodotto da parte delle imprese singole =1 () = X () =1 6.1 Costruzione delle singole funzioni d offerta in presenza dei costi fissi Date tre imprese con funzioni di costo 1 () = e 2 () = e 3 () =1+5 2 calcoliamo le funzioni d offerta di lungo periodo e di breve (ovvero da uale prezzo l impresa sta sul mercato, ovvero è in grado di produrre una uantità positiva). Prima impresa max (; ) = µ Deriviamolafunzioneelaponiamopariazero (; ) : = Ricaviamolacurvad offerta diretta risolvendo per in funzione di 1 () = Analogamente, per sapere ual è la curva di offerta effettiva devo disegnare anche il costo medio totale. = + 2 cma(),cme() ½ () =() : = () 1 1 : ½ + 2 = = ½ 1 =2 5=447 1 =2 5=447 16

17 Dunue la funzioni d offerta per la prima impresa è ½ 1 se non ci sono costi fissi, per ogni valore di 447 () = se ci sono i costi fissi, se e solo se 447 = Seconda impresa Stesso procedimento max (; ) = Deriviamolafunzioneelaponiamopariazero (; ) : 3 2 = Ricaviamolacurvad offerta diretta risolvendo per in funzione di 2 () = 6 Analogamente, per sapere ual è la curva di offerta effettiva devo calcolare ½ 2 2 () =() : = () 2 2 ½ 12 : +3 =6 =6 ½ 2 =2 2 =12 Dunue la funzioni d offerta per la prima impresa è ½ 2 se non ci sono costi fissi, per ogni valore di 12 () = 6 se ci sono i costi fissi, se e solo se 12 = Terza impresa Stesso procedimento max (; ) = Deriviamolafunzioneelaponiamopariazero (; ) : 5 2 = Ricaviamolacurvad offerta diretta risolvendo per in funzione di 3 () = cma(),cme()

18 Analogamente, per sapere ual è la curva di offerta effettiva devo calcolare 3 3 ½ () =() : = () ½ = : = ½ 3 = 1 5 5=44 3 =2 5=447 Dunue la funzioni d offerta per la prima impresa è ½ 3 se non ci sono costi fissi, per ogni valore di 447 () = se ci sono i costi fissi, se e solo se 447 = 6.2 Calcolare la funzione d offerta aggregata, per = Ipotesi 1 Sia =perogniimpresa. () = 1 ()+ 2 ()+ 3 () = = 19 =126 (6) 15 Scriviamo le curve di offerta dirette e inverse per ogni impresa 1 = = = 2 = 6 = =6 3 = = = () =126 = =793 p() Calcolare la funzione d offerta aggregata, per Se si tiene conto dell esistenza dei costi fissi, dobbiamo considerare tutti gli intervalli di prezzo. Abbiamo 1 =447 2 =12 3 =447 Segmentiamo uindi l asse in uesti intervalli e in ogni intervallo consideriamo la somma delle sole imprese che sopravvivono a uei prezzi per () = 1 ()+ 3 () = + = per (7) 1 ()+ 2 ()+ 3 () = = 126 per 12 La funzione aggregata di offerta è una spezzata. Per farla disegnare al computer bisogna calcolare le intercette negative (si veda Appendice). 18

19 6.3.1 Calcolo intercette negative della curva di offerta aggregata Le euazioni di cui sopra supporrebbero che le rette passassero sempre per l origine. ma uesto non è vero. La seconda retta parte dal punto =447 uindi in tale punto l ordinata ( =447) deve essere zero. Chiamando 2 l intercetta della funzione d offerta che somma [ 1 ()+ 3 ()] = = + 11 = = = 2 = 4917 = = = Chiamando 3 l intercetta della funzione d offerta che somma [ 1 ()+ 2 ()+ 3 ()] = = = = 3 = Di uanto dobbiamo traslare verso il basso la retta = 11? Vediamo che 11 ( =447) = 447 = 4917 Affinche sia ( =447) = deve essere () = = = Per la terza euazione: ( =12)= = = 8283 Affinche sia ( = 12) = 8283 deve essere () 8283 = = l intercetta = 6837 Usando le intercette negative, risulta per 447 () = = + = per (8) = = per 12 Ed ecco il grafico sul piano ( ()) Qs(p) p -4-6 La curva d offerta è l inviluppo inferiore delle curve. Per disegnarla sul piano( ()) bisogna invertire ogni riga della (8) e trovare uindi i punti sull asse Q, corrispondenti alle soglie sull asse p. Si ha 447 per = () = per per 8283 Solo graficamente. Si veda Varian "Microeconomia" Cap. 23 "Offerta dell industria". 19

20 Esercizio 1 Invertire la curva d offerta aggregata diretta per disegnarla sul piano ( ) ovvero disegnare la curva d offerta aggregata inversa. 7 Euilibrio sul mercato in concorrenza perfetta Data una curva di domanda proveniente dalla massimizzazione della funzione di utilità Definizione 8 Curva di domanda diretta () = Definizione 9 Curva di domanda inversa, risolvendo la funzione diretta per = = 1 Per semplicità, chiamando = ; = 1 scriveremo () = e la curva d offerta aggregata () definita nel paragrafo precedente in (6) : ( )= ( ) Esempio () =8 5 () =126 : ( )= ( ) 8 5 = =843 1 Facciamo valere le soglie sui costi fissi. Vediamo dalla (7) che la seconda impresa non riesce a stare sul mercato perché =454 2 =12 Quindil impresa2escedalmercatoerestiamoconlesoleimprese1e3. L offerta aggregata coincide uindi con la seconda riga della funzione (7). Il prezzo d euilibrio uindi? : ( )= 1 ( ) 8 5 = =873 A uesto prezzo, sebbene più alto di prima, l impresa 2 non riesce comunue a rientrare, perché anche uesto prezzo è inferiore a 12 e uindi il mercato si stabilizza.

21 Qd,Qs p 8 Esercizio. Costruzione Curva d offerta con Costi Fissi NO!!! 1. () =+ 2 b : () =() + =2 b = = 31 b = (b) =2 31 =62 2. () =5+2 2 b : () =() 5 +2 =4 b = p 52 =1581 b = (b) = = () =+3 2 b : () =() 3 =6 b = b = (b) = Curve d offerta senza costi fissi 1. () =+ 2 : = () =2 : = 2 21

22 2. () =5+2 2 : = () =4 : = 4 3. () =+3 2 : = () =6 : = 6 Curva d offerta aggregata diretta = 3X =1 () = = =92 Curva d offerta aggregata inversa () = ma uesto non è vero perché non tutte sono disposte ad offrire a tutti i prezzi! Devo segmentare l asse delle ascisse della curva d offerta aggregata diretta secondo i prezzi () = b =[ ) 2 =5 [ 62] =75 (62 632] =92 (632 ) Per invertirla, devo trovare le soglie sulle uantità. Le trovo sostituendo le soglie dei prezzi nella rispettiva funzione () che diventa uina spezzata (non si può disegnare al computer, ma solo a mano). ( = 62) = 5 = =( 31) [ 62] () = (62 632) = 75 = =( ) (62 632] (632 ) = 916 = =(58 ) (632 ) Attenzione! Il calcolo sopra è errato. Bisogna calcolare le intercette negative! 9 Bibliografia 1. Varian, H. (6) "Microeconomia", Cafoscarina.. Capp Bergstrom, T.C. and H. Varian (1993) "Esercizi di Macroeconomia", Cafoscarina, Capp: