Offerta e Rendimenti di Scala in Concorrenza Perfetta

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1 Offerta e Rendimenti di Scala in Concorrenza Perfetta Maria-Augusta Miceli Diartimento di Economia e Diritto Università di Roma "La Saienza" Lezioni di Economia Industriale March 17, 216 Abstract L obiettivodiuestocaitoloèilraortotralafunzione di costo, che stilizza le iotesi sui rendimenti di scala, e la funzione d offerta dell imresa concorrenziale, singola e aggregata. Useremo la teoria microeconomica standard della roduzione allo scoo di verificare, er uali iotesi sui costi fissi e/o variabili, la soluzione uò non esistere. Per semlicità, la funzione di costo è considerata come già ottimizzata risetto alla domanda di inuts e usata come tale nella funzione di rofitto dell imresa. English Abstract: The aim of this chater is the relationshi between the cost function, stylizing returns to scale, and the suly function of the cometitive firm at disaggregate and aggregate level. We will use the standard microeconomic theory of otimal roduction and check under which assumtions on fixed and/or variable costs solutions may fail to exist.. For simlicity the cost function is considered as already otimized and used as such in the rofit function of the firm. KEYWORDS: costs, returns to scale, technology, suly, theory of the firm, rofit maximisation, cost functions, theory of roduction. JEL: A2, A22, A23, B21, D21. Deartment of Economics and Law, University of Rome "Saienza" - 9 via del Castro Laurenziano Roma - Italy. augusta.miceli@uniroma1.it. 1

2 1 Definizioni La funzione di costo deriva dalla imizzazione del costo degli inuts, vincolato a rodurre un ammontare dato di outut, dati z j = uantità degli inuts e w j = rezzi degli inuts (Per es. Varian, H. "Microeconomia"). C() = {z j } J j=1 JX w j z j j=1 = f (z 1,...,z J ) Il risultato di uesta ottimizzazione è una funzione di costo che ci indica la combinazione degli inuts di roduzione che ha costo imo er ogni livello di outut desiderato. Le considerazioni sulle combinazioni ottime degli inuts non saranno discusse in uesta sede e si farà riferimento alla teoria microeconomica standard, er es. Varian, H. "Microeconomia". La funzione di costo sarà dunue il risultato della somma di uantità di inut "ottime" secondo l ottimizzazione citata, moltilicate ciascuno er i rori rezzi dati. Definiamo costi "fissi" tutti uei costi che non variano al variare della uantità rodotta, come gli imianti, gli immobili, e in generale gli investimenti, costi variabili, uelli che variano al variare della uantità rodotta. Nel caso in cui alcuni costi variabili siano fissi nel breve eriodo (come i contratti di lavoro, che, sebbene commisurati alla uantità rodotta, hanno una durata definita) essi saranno assorbiti nei costi fissi. La funzione di costo ottimizzata uò essere scritta come la combinazione di due somme: la somma dei costi fissi e la somma dei costi variabili C(w,, _ z j )= mx w j zj (w, )+ j=1 MX j=m+1 Per brevità, in uesta trattazione raggruiamo il valore dei fattori fissi sotto un unico arametro, che chiamiamo Costo fisso : w j _ zj Definizione 1 Costo fisso F def = MX _ w j zj j=m+1 La seconda somma, a rezzi dati, è funzione della uantità che si desidera rodurre. Pertanto tale arte viene sessa chiamata Funzione dei costi variabili o diendenti dalla uantità rodotta e viene sintetizzata dalla funzione di costo variabile c v (): Definizione 2 Funzione di costo variabile c v () def = mx w j zj (w, ) j=1 La funzione di costo uò essere uindi sintetizzata da una Funzione di costo totale costituita da una comonente fissa F indiendente dalla uantità rodotta e da una comonente variabile c v () che diende dalla uantità rodotta 2

3 Definizione 3 Funzione di costo totale C TOT () def = F + c v () C TOT () =funzione di costo totale, F = costi fissi (imianti, uffici, macchinari, contratti di lungo eriodo, brevetti), ovvero tutto ciò che non varia al variare della uantità rodotta, c v () =costi variabili, roorzionali alla uantità rodotta. Costi medi o funzione di costo medio (CME TOT ) C TOT () = {z } Costo medio Totale F + {z} Costo medio Fisso c v () {z } Costo medio Variabile L incremento dei costi dovuto al rodurre un unità aggiuntiva di rodotto (ovvero la derivata della funzione di costo totale risetto alla uantità) viene definita: Funzione di costo marginale o funzione di costo marginale (CMA) C TOT () :+ c v() 2 Funzionidicostonellediverseiotesidirendimentidiscala Per semlicità assumeremo che la funzione di costo totale abbia la forma seguente C TOT () =F + k α, α T 1 dove k è una costante numerica e α T 1 è il arametro all esonente che definisce, in maniera semlice, irendimentidiscala. Definizione 4 Rendimenti di scala α T 1= RSD RSCo RSCr decrescenti costanti crescenti Perché? Consideriamo la seguente funzione di rofitto π = ricavi - costi variabili - costi fissi Suonendo che i ricavi siano costanti, al crescere della uantità rodotta, i rofitti saranno tanto maggiori uanto iù i costi cresceranno meno che roorzionalmente risetto all outut. 3

4 2.1 Costi crescenti in (RSD) La funzione di costo totale è Costi unitari C TOT () =F + c a, α > 1 F = tratteggiato c v () =5 2 sottile C TOT () =+5 2 neretto C() Costimediemarginali Costi fissi medi: F/ =/ sottile magenta Costi variabili medi:c v () =5 2 / =5 sottile Costi totali medi: C TOT() Costi marginali::cma = C() = +5 neretto = tratteggiato C()/; Cma Abbiamo la nota curva dei costi medi totali con andamento a U, che ha un unto di imo esattamente dove la curva (in uesto caso retta) del costo marginale interseca la curva del costo medio. 4

5 2.2 Costi lineari in (RSCo) Esemio Costi unitari C TOT () =F + c, α =1 F = tratteggiato c v () =5 sottile C TOT () =+5 neretto C() Costimediemarginali F/ =/ sottile magenta c v () =5/ =5 sottile C TOT () = + 5 CMA = C() neretto =5 tratteggiato C()/; Cma

6 La curva decrescente è CME F =/ ;larettacme V =5=CMA raresenta, nel caso di costi lineari, sia i costi medi variabili sia il costo marginale. La curva in neretto raresenta la curva di costo medio totale ari alla somma dei costi fissi medi + i costi marginali medi. NB. Se F>, la curva dei costi marginali non interseca MAI la curva di costo medio totale, erché uest ultima NON ha un unto di imo. 2.3 Costi decrescenti in (RSCr) Costi unitari C TOT () =F + c a, α < 1 F = tratteggiato c v () =5 sottile C TOT () =+5 neretto C() Costimediemarginali F/ =/ sottile magenta c v () =5 / =5/ sottile C TOT () = + 5 CMA = C() = 5 2 neretto tratteggiato 6

7 C()/; Cma In uesto caso, anche se F =, la curva dei costi marginali non interseca MAI la curva di costo medio totale, erché la curva del costo variabile medio ha valori maggiori della curva del costo marginale er ogni uantità rodotta 3 Curva d offerta dell imresa c v () >cma() 5 > 5 2, Consideriamo la funzione di rofitto come funzione della uantità rodotta. Consideriamo la funzione di costo già "ottimizzata" che utilizza la combinazione di inuts o fattori di roduzione che imizzano i costi er ciascun livello di outut desiderato. Il roblema dell imresa è adesso decidere la "uantità di outut ottima da rodurre" in modo che essa sia uella che massimizzi il rofitto, dato il rezzo di mercato del bene come arametro max π ( ) = c v () F dove raresenta il ricavo dalla vendita del rodotto e c v ()+F il costo di rodurre tale uantità. Questo metodo di ottimizzazione è una stilizzazione molto semlificata e che usa molte iotesi sesso non verificate nella realtà, ma raresenta un benchmark che in uesta trattazione verrà discusso nei dettagli. Per trovare il massimo di uesta funzione la deriviamo risetto alla uantità rodotta: condizioni del rimo ordine e condizioni del II ordine dπ d : c v() =,. (1) ovvero : = CMA() (2) d 2 π d 2 = : 2 c v ( ) 2 ovvero la curva del costo marginale deve essere crescente doo la soluzione. La condizione del rimo ordine esrime l offerta di outut dell imresa. Consideriamo la (2). Questa è una funzione nelle due variabili e. La ossiamo vedere come 7

8 Definizione 5 funzione d offerta diretta se risolviamo la (2) er in funzione di, ovvero Definizione 6 funzione d offerta inversa, se risolviamo la (2) Tutto sarà iù chiaro negli esemi numerici successivi. () =CMA 1 () (3) () =CMA() (4) Tuttavia, non tutta la curva di costo marginale esrime la curva d offerta effettiva dell imresa! Le condizioni marginali non tengono conto dei costi fissi e uò uindi succedere che la uantità ottima non sia caace di rendere i rofitti non negativi. Ovvero, data la funzione di rofitto "ottimizzata" π ( )= c v ( ) F uò succedere che c v ( ) <F = π ( ) < Per tener conto di uesto asetto,consideriamo che l imresa sia effettivamente disosta ad offrire un rodotto sul mercato, solo uando il rezzo di vendita le consenta di ottenere almeno rofitti nulli o ositivi. Tale condizione euivale a caire uale sia la uantità o il rezzo imo (a seconda che si usi la (3) ola (4)) che garantisca rofitti non negativi. Per calcolare il rezzo imo (o la uantità ima) è necessario calcolare uale sia il unto di intersezione fra la curva di costo medio totale e la curva di costo marginale che raresenta la curva d offerta. Vediamo erché. Proosizione 1 Il rezzo detto di "chiusura" o di "break-even" di lungo eriodo è il rezzo imo a cui l imresa è disosta a vendere il rodotto e deve essere non inferiore al costo medio totale Dim.. Per avere rofitti ositivi CME TOT π ( ): c v () F π ( ) : c v () F deve essere c v () + F Esiste uindi un unto di coordinate ( MIN, MIN ) a artire dal uale l imresa diventa rofittevole. o break-even oint. Esso è il unto di intersezione fra la curva dei costi medi totali e la curva del costo marginale, la uale raresenta la curva d offerta otenziale. Cerchiamo uindi il unto ( MIN, MIN ) tale che, MIN soddisfi la condizione di intersezione e MIN viene ricavato inserendo MIN nella funzione di costo marginale QVD. MIN : Cma( MIN )= c v () + F MIN : MIN = Cma( MIN ) Proosizione 2 Il rezzo di "chiusura" di breve eriodo è il rezzo imo a cui l imresa è disosta a vendere il rodotto nel breve eriodo e deve essere non inferiore al costo medio variabile c v () 8

9 Si uò assumere che nel breve eriodo, durante un ciclo avverso l imresa ossa ermettersi temoraneamente di non riagare i costi fissi, ma deve oter riagare i costi variabili della roduzione. Dim.. Vale uanto sora ma vengono considerati solo i costi medi variabili. Ovvero π BP ( ) π ( ): c v () π ( ) : c v () se e solo se BP MIN c v () Cerchiamo uindi BP MIN MIN,BP sono tali che a artire da uel unto il ricavo derivante dalla roduzione dell imresa riaghi almeno i costi variabili BP MIN : BP MIN : Cma(MIN)= BP c v () BP MIN = Cma MIN BP QVD. Seguono nel aragrafo le alicazioni con i diversi tii di funzioni di costo. 4 Derivazione della funzione d offerta nelle diverse iotesi di rendimenti di scala Presentiamo alcuni esemi esliciti, utilizzando le funzioni di costo resentate in recedenza. Inseriamo ciascuna funzione di costo nella funzione di rofitto e deriviamo la curva d offerta massimizzando la funzione del rofitto risetto ad. 4.1 Costi crescenti in (Rendimenti di scala decrescenti) Es. C() =+5 2. max π(; ) = Deriviamo la funzione e la oniamo ari a zero dπ(; ) d : 2 5 = = Analogamente, er saere ual è la curva di offerta effettiva devo disegnare anche il costo medio totale. Se nel grafico è chiaro vedere ual è il rezzo imo, ci chiediamo uale sia il metodo generale er calcolarlo. Il rezzo imo è individuato da uel livello di in cui la funzione di costo marginale interseca la curva di costo medio, ovvero. cerco LP MIN tale che CMA() =CMET () 2 5 = +5 9

10 C()/; Cma Costi fissi medi: F/ =/ sottile magenta Costi variabili medi:c v () =5 2 / =5 sottile Costi totali medi: C TOT() Costi marginali::cma = C() = +5 neretto = tratteggiato Se nel grafico è chiaro vedere ual è il rezzo imo, ci chiediamo uale sia il metodo generale er calcolarlo. n Soluzione MIN = o n 2, = o 2 Naturalmente si scarta la soluzione negativa (una uantità negativa non ha senso). Per trovare la coordinata sull asse del rezzo si sostituisce MIN = 2 nella funzione del costo marginale. Si ottiene MIN =2 5 2 =14.14 L imresa otra stare sul mercato e riagare i costi fissi se il rezzo esistente sarà ari ad almeno MIN = Tuttavia nel breve eriodo otrà decidere di non riagare i costi fissi e in uesto caso tutta la curva del costo marginale, sarà maggiore della curva di costo medio variabile 5 e uindi ualunue livello di roduzione sarà caace di riagare i costi variabili. 4.2 Costi lineari in (Rendimentidiscalacostanti) Es. C() =+5 max π(; ) = ( + 5) Deriviamo la funzione e la oniamo ari a zero dπ(; ) : 5= d se <5 = intera retta [, ) se =5 se >5

11 C()/; Cma Costi fissi medi: F/ =/ sottile magenta Costi variabili medi:c v () =5 2 / =5 sottile Costi totali medi: C TOT() = +5 neretto Costi marginali::cma = C() = tratteggiato La retta tratteggiata costante è la funzione di costo marginale, mentre la curva decrescente in grassetto è la curva di costo medio totale. Come vediamo, la curva di costo marginale, tratteggiata, costante e ari a 5, non interseca mai la curva del costo medio totale e uindi SE esistono costi fissi e i costi variabili sono costanti al crescere della uantità rodotta, non è ossibile utilizzare la regola = cma, erché in uesto modo i costi fissi non vengono riagati. Vedremo in seguito che in uesto caso bisogna usare la regola = Cme. La curva di costo marginale è costante, e la curva di costo medio è decrescente e tende alla curva di costo marginale solo all inifinito, ma la curva del costo marginale non intersecherà mai la curva del costo medio CMA() =CME T () 5= +5 lim CME TOT () = lim +5=5 Quindi NON ESISTE un break-even oint di lungo eriodo. Nel breve eriodo, ovvero non considerando i costi fissi, la curva di costo marginale e la curva del costo medio sono coincidenti. Quindi siccome se sarà = cma = cme, ci sarà un rofitto unitario ari a zero er unità venduta ari a zero, diventa uindi indifferente rodurre zero o infinito. La uestione cambia se all interno del costo medio viene inserita una frazione di guadagno er la remunerazione dell imrenditore. In tal caso il rofitto sarà raresentato da tale frazione moltilicata er il numero di unità vendute. Questo vuol dire che se l imresa risettasse la regola di vendere la roria merce ad un rezzo ari al suo costo marginale 5, guadagnerebbe zero su ogni uantità venduta e uindi non si riagherebbe MAI gli eventuali costi fissi. 11

12 4.3 Costi decrescenti in (Rendimenti di scala crescenti) Es. C() =+5 max π(; ) = ( + 5 ) Deriviamo la funzione e la oniamo ari a zero dπ() d : 5 2 = Ma uesto è un unto di imo, non di massimo. Le condizioni del secondo ordine non sono verificate. d 2 π() d 2 : L ulteriore derivata è crescente ovvero i rofitti crescono indefinitamente al crescere di. Quindi il desiderio è. = C()/; Cma F/ =/ sottile magenta c v () =5 / =5/ sottile C TOT () = + 5 CMA = C() = 5 2 neretto tratteggiato In uesto caso la curva del costo marginale non solo non intersecherà mai la curva del costo medio totale, ma neure uella di costo medio variabile. Ovvero Non esiste un unto ( MIN, MIN ) tale che 5 MIN : 2 = + 5 MIN : MIN =

13 CMA() =CME T () 5 2 = + 5 né un unto ( MIN, MIN ) tale che BP MIN : 5 2 = 5 BP MIN : MIN = 5 2 In uesto modo non solo l imresa non riagherà mai i costi fissi, ma nemmeno i costi marginali delle unità recedenti che erano iù "care". Questa è la ragione er la uale una merce venduta a rezzi bassi o bassissimi deve ottenere una uota di mercato raticamente infinita. Questa è la ragione er cui oggi doano le grandi multinazionali, i suermercati enormi, le librerie on-line. Es. Ikea, Amazon, Carrefour, etc. 5 Funzione di offerta aggregata Definizione 7 La curva d offerta aggregata è la somma delle curve d offerta in teri di uantità di uno stesso rodotto da arte delle imrese singole i =1,.., N S() = nx () 5.1 Costruzione delle singole funzioni d offerta in resenza dei costi fissi Date tre imrese con funzioni di costo C 1 () = e C 2 () = e C 3 () =1+5 2,calcoliamo le funzioni d offerta di lungo eriodo e di breve (ovvero da uale rezzo l imresa sta sul mercato, ovvero è in grado di rodurre una uantità ositiva). Prima imresa max π(; ) = µ Deriviamo la funzione e la oniamo ari a zero i=1 dπ(; ) d : = Ricaviamolacurvad offerta diretta risolvendo er in funzione di. S 1 () = Analogamente, er saere ual è la curva di offerta effettiva devo disegnare anche il costo medio totale. CME LP =

14 cma(),cme() ,1 : ½ CME T () =CMA() = CMA() 1,1 : ½ + 2 = = ½ 1 =2 5= =2 5=4.47 Dunue la funzioni d offerta er la rima imresa è ½ 1 S se non ci sono costi fissi, er ogni valore di <4.47 () = s se ci sono i costi fissi, se e solo se 4.47 = MIN Seconda imresa Stesso rocedimento max π(; ) = Deriviamo la funzione e la oniamo ari a zero dπ(; ) : 3 2 = d Ricaviamolacurvad offerta diretta risolvendo er in funzione di. 2 S () = 6 Analogamente, er saere ual è la curva di offerta effettiva devo calcolare 2,2 : ½ CME T () =CMA() = CMA() 2,2 : ½ =6 =6 ½ 2 =2 2 =12 Dunue la funzioni d offerta er la rima imresa è ½ 2 S se non ci sono costi fissi, er ogni valore di <12 () = /6 se ci sono i costi fissi, se e solo se 12 = MIN 14

15 Terza imresa Stesso rocedimento max π(; ) = Deriviamo la funzione e la oniamo ari a zero dπ(; ) : 5 2 = d Ricaviamolacurvad offerta diretta risolvendo er in funzione di. 3 S () = cma(),cme() Analogamente, er saere ual è la curva di offerta effettiva devo calcolare 3,3 : ½ CME T () =CMA() = CMA() ½ 3, = : = ½ 3 = 1 5 5=.44 3 =2 5=4.47 Dunue la funzioni d offerta er la rima imresa è ½ 3 S se non ci sono costi fissi, er ogni valore di <4.47 () = s / se ci sono i costi fissi, se e solo se 4.47 = MIN 5.2 Calcolare la funzione d offerta aggregata, er F i = Iotesi 1 Sia F i =er ogni imresa. Q() = 1 ()+ 2 ()+ 3 () = = 19 =1.26 (5) 15 Scriviamo le curve di offerta dirette e inverse er ogni imresa 1 = = = 2 = /6 = =6 3 = / = = Q S () =1.26 = P =.793 Q 15

16 () Calcolare la funzione d offerta aggregata, er F i. Se si tiene conto dell esistenza dei costi fissi, dobbiamo considerare tutti gli intervalli di rezzo. Abbiamo 1 =4.47, 2 =12, 3 =4.47. Segmentiamo uindi l asse in uesti intervalli e in ogni intervallo consideriamo la somma delle sole imrese che soravvivono a uei rezzi er <4.47 Q 11 S() = = + / = er 4.47 <12 (6) = = 1.26 er 12 La funzione aggregata di offerta è una sezzata. Per farla disegnare al comuter bisogna calcolare le intercette negative (si veda Aendice) Calcolo intercette negative della curva di offerta aggregata. Le euazioni di cui sora suorrebbero che le rette assassero semre er l origine. ma uesto non è vero. La seconda retta arte dal unto =4.47, uindi in tale unto l ordinata Q S ( =4.47) deve essere zero. Chiamando a 2 l intercetta della funzione d offerta che somma [ 1 ()+ 3 ()] Q S = a = a + 11 = a = = a 2 = = Q S = a = Chiamando a 3 l intercetta della funzione d offerta che somma [ 1 ()+ 2 ()+ 3 ()] Q S = a = a = = a 3 = Di uanto dobbiamo traslare verso il basso la retta Q S = 11? Vediamo che Q 11 S ( =4.47) = 4.47 = Affinche sia Q S ( =4.47) =, deve essere Q S () = = = Per la terza euazione: Q S ( = 12) = = = Affinche sia Q S ( = 12) = 8.283, deve essere Q S () = x = l intercetta x = Usando le intercette negative, risulta er <4.47 Q S() = = + / = er 4.47 <12 (7) = = er 12 16

17 Ed ecco il grafico sul iano (, Q ()). Qs() La curva d offerta è l inviluo inferiore delle curve. Per disegnarla sul iano(q, (Q)) bisogna invertire ogni riga della (7) e trovare uindi i unti sull asse Q, corrisondenti alle soglie sull asse. Si ha P (Q) = 4.47 er Q = Q er <Q< Q er Q Solo graficamente. Si veda Varian "Microeconomia" Ca. 23 "Offerta dell industria". Esercizio 1 Invertire la curva d offerta aggregata diretta er disegnarla sul iano (,), ovvero disegnare la curva d offerta aggregata inversa. 6 Euilibrio sul mercato in concorrenza erfetta Data una curva di domanda roveniente dalla massimizzazione della funzione di utilità Definizione 8 Curva di domanda diretta Q D () =α β Definizione 9 Curva di domanda inversa, risolvendo la funzione diretta er = α β = α β 1 β Per semlicità, chiamando a = α β ; b = 1 β scriveremo P D () =a b 17

18 elacurvad offerta aggregata Q S () definita nel aragrafo recedente in (5) Esemio : Q D ( )=Q S ( ) Q D () =8.5 Q S () =1.26 : Q D ( )=Q S ( ) 8.5 = = Facciamo valere le soglie sui costi fissi. Vediamo dalla (6) che la seconda imresa non riesce a stare sul mercato erché =4.54 < 2 =12. Quindi la imresa 2 esce dal mercato e restiamo con le sole imrese 1 e 3. L offerta aggregata coincide uindi con la seconda riga della funzione (6). Il rezzo d euilibrio uindi? : Q D ( )= 1 ( ) 8.5 = =8.73 A uesto rezzo, sebbene iù alto di rima, l imresa 2 non riesce comunue a rientrare, erché anche uesto rezzo è inferiore a 12 e uindi il mercato si stabilizza. Qd,Qs Esercizio. Costruzione Curva d offerta con Costi Fissi 1. C() =+ 2 b : CME() =CMA() + =2 b = = 3.1 b = CMA(b) =2 3.1 =6.2 18

19 2. C() =5+2 2 b : CME() =CMA() 5 +2 =4 b = 5/2 =1.581 b = CMA(b) = = C() =+3 2 b : CME() =CMA() 3 =6 b = b = CMA(b) = Curve d offerta senza costi fissi 1. C() =+ 2 inversa : = CMA() =2 diretta : = 2 2. C() =5+2 2 inversa : = CMA() =4 diretta : = 4 3. C() =+3 2 inversa : = CMA() =6 diretta : = 6 Curva d offerta aggregata diretta Q = 3X i=1 () = = =.92 Curva d offerta aggregata inversa P (Q) = Q ma uesto non è vero erché non tutte sono disoste ad offrire a tutti i rezzi! Devo segmentare l asse delle ascisse della curva d offerta aggregata diretta secondo i rezzi b =[, 6.2, 6.32, ) 19

20 Q() = 2 =.5, [, 6.2] =.75, (6.2, 6.32] =.92, (6.32, ) Per invertirla, devo trovare le soglie sulle uantità. Le trovo sostituendo le soglie dei rezzi nella risettiva funzione Q(), che diventa uina sezzata (non si uò disegnare al comuter, ma solo a mano). Q( =, 6.2) =.5 = Q =(, 3.1) [, 6.2] Q() = Q(6.2, 6.32) =.75 = Q =(4.65, 4.74) (6.2, 6.32] Q(6.32, ) =.916 = Q =(5.8, ) (6.32, ) Attenzione! Il calcolo sora è errato. Bisogna calcolare le intercette negative! 8 Bibliografia 1. Varian, H. (26) "Microeconomia", Cafoscarina.. Ca Bergstrom, T.C. and H. Varian (1993) "Esercizi di Macroeconomia", Cafoscarina, Ca: