Le Galassie: proprietà dinamiche

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1 Le Galassie: proprietà dinamiche

2 Sistemi non collisionali Consideriamo un sistema stellare: questo è costituto da un numero molto grande di stelle (es ) le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alle dimensioni tipiche dei sistemi stellari stessi (R ~ cm - Rgal~kpc = cm). Le stelle possono quindi essere considerate come un gas di particelle puntiformi. Tuttavia, c è una differenza fondamentale tra i gas di stelle (galassie) ed i gas reali (atomi o molecole in una scatola): la natura delle forze di interazione tra le particelle in esame. L interazione tra due atomi o molecole è a corto raggio; le forze si manifestano solo quando le molecole sono molto vicine tra loro (collisione) per cui le particelle tra una collisione e la successiva si muovono di moto rettilineo uniforme. L interazione tra due stelle invece è di tipo gravitazionale e pertanto è a lungo raggio e spesso il contributo maggiore all attrazione viene da stelle a più grande distanza r se la loro massa è tale da vincere la caduta come r - rispetto alle stelle più vicine.

3 Sistemi non collisionali Di conseguenza, se le collisioni tra singole stelle sono poco importanti, possiamo considerare il moto di ogni stella come se accelerasse in modo regolare (e non in modo impulsivo come durante le collisioni) nel campo gravitazionale generato da una distribuzione continua di massa (e non una somma di delta di Dirac, cosa che dovrei fare se le collisioni con le singole stelle fossero importanti). Dimostriamo questa affermazione. Cerchiamo di ottenere una stima dell ordine di grandezza della differenza di velocità tra il moto di una stella dopo la collisione con una stella di campo e la velocità che avrebbe se la massa delle stelle fosse distribuita in modo uniforme. Una stella passa entro una distanza b da una stella di campo e la sua velocità viene variata di δv; assumiamo che la stella di campo resti fissa durante la collisione e che δv/v << 1; in questo caso possiamo considerare la traiettoria rettilinea e δv deve essere perpendicolare a v perchè lungo la traiettoria rettilinea le componenti parallele della forza mediamente sono nulle.

4 Sistemi non collisionali Ponendo l origine del tempo nell istante di massimo avvicinamento tra le due stelle e l origine della coordinata x nel punto in cui questo avviene otteniamo (m massa delle stelle) F? = Gm b + x cos = Per le leggi di Newton v = Gm b Z +1 1 b ' b? = Gm v Gm b Gm = (b + x ) 3/ b m d~v dt = ~ F con la sostituzione s = vt/b dt Gm = [1 + (vt/b) ] 3/ bv v = 1 m Z +1 " Z # 3/ vt b F? dt ds Gm = (1 + s ) 3/ bv In pratica la variazione di velocità è pari all accelerazione alla distanza minima (G m /b ) moltiplicata la durata dell accelerazione (b/v ). Notare che la nostra approssimazione di traiettoria rettilinea cade quando v v ' 1

5 Sistemi non collisionali Consideriamo la galassia sferica ed una stella S che si trova al bordo esterno in procinto di attraversarla. La densità superficiale delle stelle nella galassia come vista dalla stella S è dell ordine di N/πR con N numero di stelle e R raggio della galassia; pertanto in un attraversamento della galassia la stella in esame subisce un numero di incontri con parametro di impatto tra b e b+db pari a n = N N b db = R R bdb Ognuno di questi incontri produce una perturbazione della δv velocità, ma poiché queste perturbazioni sono distribuite casualmente nel piano perpendicolare alla velocità la loro media è nulla. Tuttavia non è nulla la variazione quadratica media della velocità che, dopo un attraversamento della galassia, considerando incontri con parametro di impatto b, b+db è v = i v i ' v n = Gm bv N R bdb R b db Galassia vista dalla stella S

6 Sistemi non collisionali Infine integrando tra il minimo ed il massimo parametro di impatto otteniamo la variazione totale di velocità ad ogni singolo attraversamento della galassia v = Z bmax b min v ' 8N Gm Rv ln con il logaritmo di Coulomb dato da ln =ln bmax b min =ln R b star Il logaritmo diverge per bmin=0 e bmax= ; ma possiamo considerare bmin pari a b valore trovato in cui δv/v = 1 e bmax = R, dimensione della galassia. Questi incontri a due corpi causano un tipo di processo diffusivo per la stella in esame che è distinta dall accelerazione regolare dovuta alla distribuzione complessiva della massa del sistema stellare (considerata continua). Questo processo diffusivo è chiamato two-body relaxation dal momento che è il risultato di collisioni multiple a due corpi.

7 Sistemi non collisionali La velocità tipica di una stella in una galassia la possiamo stimare come quella di una particella in orbita circolare ai bordi della galassia v GNm R Da cui ricaviamo che v v 8ln N = 8ln(R/b?) N n relax ' = 8lnN N Se la stella subirà molte collisioni con molti passaggi nella galassia, la velocità cambierà approssimativamente di Δv ad ogni attraversamento per cui il numero di collisioni necessarie a cambiare v di una valore pari a se stesso è dato da v v TOT = n relax v v =1 N 8lnN Definiamo quindi il tempo di rilassamento (relaxation time) t relax = n relax t cross ' 0.1N ln N t cross

8 Sistemi non collisionali dove abbiamo definito il tempo di attraversamento ed abbiamo ricavato Λ utilizzando le espressioni per b e v t cross = R v = R b? Rv Gm N t relax ' 0.1N ln N t cross Dopo un tempo pari a trelax l effetto cumulativo delle piccole perturbazioni dovute alle collisioni con le singole stelle avrà cambiato significativamente la velocità rispetto alla v che si avrebbe per il potenziale dovuto ad una distribuzione continua di massa. Dopo trelax la stella avrà perso memoria delle sue condizioni iniziali! Le galassie hanno tipicamente N~10 11 stelle e età pari ad alcuni centinaia di tempi di attraversamento, per cui le collisioni sono del tutto trascurabili eccetto che nelle regioni centrali più dense (trelax ~ tcross). Al contrario negli ammassi globulari N~10 5 e tcross~1myr per cui il tempo di rilassamento può influenzare significativamente la struttura dell ammasso la cui età è ~10 Gyr (trelax ~900 tcross ~0.9 Gyr).

9 Sistemi non collisionali Fino ad ora abbiamo considerato gli urti deboli. E possibile che le collisioni forti riescano a far raggiungere l equilibrio? Per avere un urto forte sappiamo che b < b ed in tal caso possiamo anche assumere che basti un solo urto per avere Δv/v = 1. Quindi, per capire l importanza degli urti forti dobbiamo calcolare la probabilità di avere almeno un urto durante un attraversamento. Questa è semplicemente P = b? R = Gm v 1 R = 4 N ovvero occorrono almeno N attraversamenti prima di avere un urto forte, quindi il loro effetto è ancora minore di quello degli urti deboli. In tutti questi sistemi la dinamica su tempi <trelax è quella di un sistema senza collisioni in cui le particelle si muovono semplicemente sotto l azione di un campo gravitazionale generato da una distribuzione continua di massa piuttosto che da una raccolta di masse puntiformi. Però le galassie sono dinamicamente rilassate (es. seguono il teorema del viriale), pertanto devono esistere processi che permettono di raggiungere l equilibrio. Questi sono, ad esempio, processi di interazione a più corpi.

10 Densità dalla Fotometria La brillanza superficiale osservata di una galassia può essere convertita in densità di luminosità facendo delle assunzioni sulla struttura tridimensionale della galassia stessa. Supponiamo che la galassia abbia simmetria sferica. N N E P r s R P r Z piano del cielo A. Marconi Introduzione all Astrofisica 015/016 vista di lato La brillanza superficiale osservata in P [ Σ(r) ] sul piano del cielo alla distanza proiettata r dal centro, è pari all integrale della densità di luminosità (luminosità/volume) lungo la linea di vista, ovvero lungo la direzione perpendicolare al piano del cielo (r) = Z +1 1 J(s)ds = Z +1 r J(R)R p R r dr s = p R r 10

11 Densità dalla Fotometria (r) = Z +1 r J(R)R p dr Σ(r) è osservata, J(R) è ingognita R r Questa è una equazione integrale di Abel con soluzione: J(r) = 1 Z +1 R d (r) dr dr p r R Questo approccio può essere generalizzato agli sferoidi assissimmetrici oblati o prolati che sono una migliore approssimazione di una vera galassia. x z a c b=a y Oblato: a = b > c Prolato: a = b < c La struttura ellissoidale più generale è triassiale: a = b < c Se la galassia ha una struttura a disco sottile allora (r) ' J(R) R r = R A. Marconi Introduzione all Astrofisica 015/016 11

12 Orbite delle stelle Dalla fotometria otteniamo quindi la densità di luminosità che possiamo convertire in densità di massa assumendo (o tenendo come parametro libero) un certo rapporto massa/luminosità Γ; ρ(r) = Γ J(r) ρ(r) è la densità di massa della galassia, composta da stelle, gas, materia oscura; l ho ricavata come una distribuzione continua ma, per quanto detto sulle galassie come sistemi non collisionali, questo è corretto. Allora posso ricavare il potenziale gravitazionale dall equazione di Poisson r (~r) =4 G (~r) E quindi l orbita di una stella sarà data da con opportune condizioni iniziali. Per esempio si possono assegnare alla stella valori definiti di energia e momento angolare all istante iniziale. Il moto non è quello di una massa test attorno ad una massa puntiforme ma è quello di una massa test in una distribuzione continua di massa, per cui le orbite non sono più semplici come nel caso del problema di Keplero. m d ~r dt = m~ r Esempio di orbita in potenziale assisimmetrico (riferimento cilindrico con R, z, ϕ)

13 La funzione di distribuzione Per quanto sia possibile calcolare le orbite delle stelle (problema di calcolo numerico), non è pensabile di seguire le orbite di ~10 11 stelle. Allora è necessario un approccio statistico che si avvantaggia del fatto che la distribuzione di massa la possiamo considerare continua. Consideriamo lo spazio delle fasi ovvero localizziamo ogni stella nello spazio con coordinate (r,v) Consideriamo la funzione di distribuzione f(r,v,t) che fornisce la probabilità di trovare una stella in un determinato volumetto dello spazio delle fasi Z dp = f(~x, ~v ; t)d 3 ~x d 3 ~v f(~x, ~v ; t)d 3 ~x d 3 ~v =1 Z La densità di probabilità di trovare una stella in x è (~x) = f(~x, ~v; t)d 3 ~v La densità di probabilità di trovare una stella con velocità v per una data posizione x è, ricordando il teorema di Bayes f(~x, ~v) P ~x (~v) =P (~v ~x) = (~x) Integrando f possiamo trovare quindi tutte le grandezze che misuriamo sperimentalmente come brillanza superficiale e dispersione di velocità

14 La funzione di distribuzione Tutte le altre grandezza da confrontare con i valori osservati si ottengono integrando la funzione di distribuzione. I momenti di qualsiasi grandezza Q sono Z hq(~x, t)i = d 3 ~vq(~x, ~v)p (~v ~x) = 1 Z d 3 ~vq(~x, ~v)f(~x, ~v, t) Z Z (~x) hq(t)i = d 3 ~x d 3 ~vq(~x, ~v)f(~x, ~v, t) Supponiamo di avere un riferimento con x,y piano del cielo e z direzione della linea di vista. Densità di massa (N stelle di Z massa m) (~x) =Nm (~x) =Nm f(~x, ~v; t)d 3 ~v Dispersione di velocità totale nell direzione i-esima Z Z hvi i = d 3 ~x d 3 ~vvi f(~x, ~v, t) Brillanza superficiale (l luminosità stella; z coordinate lungo la linea di Z Z Z vista vedi anche relazione ρ-σ ) h (x, y)i = Nl? d 3 ~vdz f(~x, ~v, t)

15 La funzione di distribuzione Troviamo adesso l equazione che soddisfa la funzione di distribuzione. Consideriamo w = (q,p) generico insieme coordinate canoniche che definisca lo spazio delle fasi nel tempo, se non ci sono processi che aumentano o distruggono le stelle, f (densità di probabilità) varia solo per il flusso attraverso le superfici del volumetto dw dello spazio delle fasi una cosa analoga l avevamo trovata per la densità di massa dell @~x ( ~x) =0 ~ ~v = ~x pertanto l equazione per @~w (f (f ~w =(~q, ~p) (f ~p)

16 La funzione di distribuzione sviluppando la derivata ed utilizzando le equazioni di moto si (f ~w) e quindi l equazione per @t =0 abbiamo cioè trovato che il flusso di probabilità nello spazio delle fasi è incompressibile d f(~x, ~v, t) =0 dt d ricordiamo che per i fluidi era dt = ~ r ~v

17 L equazione di Boltzmann Abbiamo trovato l equazione di Boltzmann d f(~x, ~v, t) =0 dt dove la derivata è quella Lagrangiana estesa allo spazio delle fasi, f( ~w, t )+ ~w, f( ~w, t f(~x, ~v, t )+ @ f(~x, ~v, t ovvero, utilizzando il II principio della dinamica per insieme di stelle autogravitante possiamo + ~v ~rf =0 ~a = r ~ (~x) inoltre il potenziale gravitazionale è dato dall equazione di Poisson r (~r) =4 G (~r) =4 GNm Z d 3 ~vf(~x, ~v, t) con N numero totale di stelle e m massa della singola stella.

18 Le equazioni di Jeans Prendendo i momenti dell equazione di Boltzmann si trovano le equazioni di Jeans, analoghe alle equazioni fluide (una trattazione analoga si può fare per i fluidi dimostrando le equazioni v i =0 v i ) v j iv j ) j n(~x) =N (~x) =N v i v j (~x) = 1 (~x) Z Z è un insieme incompleto, conoscendo potenziale e densità ci sono 9 funzioni incognite (3 vi, 6 componenti del tensore simmetrico vij) e 4 equazioni indipendenti. Occorrono delle assunzioni per chiudere il sistema (es. simmetria sferica) ma le assunzioni sbagliate possono portare risultati sbagliati! v j v i v j f(~x, ~v; t)d 3 ~v v i (~x) = 1 (~x) (v i v i )(v j v j )f(~x, ~v; t)d 3 ~v velocità media direzione j tensore dispersione velocità v i v i = i dispersione Z velocità lungo i v i f(~x, ~v; t)d 3 ~v

19 La sfera isoterma Consideriamo un sistema stellare a simmetria sferica e stazionario, ovvero f = f(r, v, t), cioè f dipende solo da r e dal modulo della velocità ( ϕ=ϕ(r) ) L equazione di Boltzmann @r + ~v ~rf ~ =0 =0 l equazione di Poisson è apple r cerchiamo di vedere se esiste una soluzione tipo sfera isoterma. La distribuzione di Maxwell Boltzmann per un gas a temperatura T è f(~v)d 3 ~v = m k B T 3/ exp apple mv k B T 4 v dv dal modello cinetico del gas perfetto, per UN grado di libertà 1 m = 1 k BT

20 La sfera isoterma ovvero f(v)dv = 1 3/ exp apple v 4 v dv torniamo al gas di stelle e definiamo l energia per unità di massa E m = E m = 1 v + e consideriamo, in analogia alla distribuzione di Maxwell Boltzmann f(r, v) =n 0 1 3/ exp apple Em = n 0 1 3/ exp apple 1/v + verifichiamo che soddisfa l equazione = f 1 = f 1 =0 da cui l equazione è chiaramente soddisfatta!

21 La sfera isoterma Dobbiamo ancora soddisfare l equazione di Poisson per trovare il potenziale. Ricaviamo Z la densità Z 1 (r) =mn f(r, v)d 3 ~v = mn f(r, v)4 v dv = n 0Nm exp ( ) 3/ = 4 0 exp ( ) 3/ Z exp p 8 v = 0 exp 4 v dv (r) ricordando che Z 1 0 x e ax dx = 1 4 r a 3 Si ottiene poi il potenziale per l equazione di Poisson da cui d r 1 d = 4 G dr dr r (r) = che è l equazione già vista per la sfera isoterma con soluzione singolare, che però è relativa al gas di stelle con dispersione di velocità lungo una direzione dello spazio (1 grado libertà) ln (r) 0 (r) = Gr

22 Orbite delle stelle Esempio di orbita in potenziale assisimmetrico (riferimento cilindrico con R, z, ϕ)