Appunti di Teoria dei gruppi a.a

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1 Prof.ssa Carla Fiori Appunti di Teoria dei gruppi a.a Laurea in Matematica Univertisà di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Matematica Pura e Applicata

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3 Prefazione Questi appunti raccolgono parte delle lezioni del corso di Teoria dei Gruppi tenute dalla Professoressa Carla Fiori presso l'università di Modena e Reggio Emilia. L'algebra non é che la geometria scritta; la geometria non é che l'algebra gurata. Sophie Germain i

4 Prefazione Indice Capitolo 1. Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 1 1. Denizioni ed Esempi 1 2. Insiemi di permutazioni e strutture di incidenza 4 Capitolo 2. Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 7 1. Denizioni e teoremi 7 2. Considerazioni nali e problemi aperti 15 Capitolo 3. Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi Denizioni e teoremi Esempi di Quasicorpi associativi non planari 20 Capitolo 4. Gruppi e insiemi di permutazioni 3-transitivi Introduzione Il gruppo proiettivo lineare P GL(2, K) Il gruppo proiettivo semilineare P ΓL(2, K) Il gruppo proiettivo lineare speciale P SL(2, K) Esempi di insiemi (non gruppi) strettamente 3-transitivi Problemi aperti 30 Capitolo 5. Nuovi Insiemi strettamente 3-transitivi Caratterizzazione degli insiemi Esistenza e Costruzione di nuovi insiemi strettamente 3-transitivi niti 35 Bibliograa 39 Capitolo 6. Estensione di gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi Denizioni e Teorema di Witt Estensione di insiemi di permutazioni k-transitivi Estensione di gruppi di permutazioni k-transitivi Esempi di estensioni di gruppi k-transitivi. Gruppi di Mathieu Esempi di estensioni di insiemi k-transitivi 55 i ii

5 CAPITOLO 1 Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 1. Denizioni ed Esempi Denizione Siano P e B due insiemi non vuoti tali che P B =. Sia I P B. La terna (P, B, I) prende il nome di struttura di incidenza. Gli elementi di P sono detti punti, gli elementi di B sono detti blocchi, I è detta relazione di incidenza o semplicemente incidenza. Un punto p P è incidente ad un blocco B B se (p, B) I. Denizione Due strutture di incidenza (P, B, I) e ( P, B, I ) si dicono isomorfe se esiste una applicazione ϕ tale che: (1) ϕ(p) = P, ϕ(b) = B ; (2) ϕ è biunivoca; (3) pib se e solo se ϕ(p ) I ϕ(b) per ogni p P e B B. Considerata una struttura di incidenza (P, B, I), essa é sempre isomorfa ad una struttura in cui la relazione di incidenza é l'appartenenza. Infatti per ogni B B sia B = {p P pib} e sia B = {B B B}; la struttura (P, B, ) é banalmente isomorfa alla struttura (P, B, I) nell'isomorsmo ϕ denito da ϕ (p) = p per ogni p P e ϕ(b) = B per ogni B B. Di norma una struttura di incidenza è indicata con la coppia (P, B) sottointendendo che la relazione di incidenza è l'appartenenza. Una struttura di incidenza si dice nita se tali sono P e B. Ad ogni struttura di incidenza nita resta associata una matrice detta matrice di incidenza nel seguente modo. In P e in B si ssi un ordinamento; sia P = {p 1,..., p m } e B = {B 1,..., B n }, ciò è sempre possibile perchè P e B sono insiemi niti. La matrice è così denita: (1) = [I h,k ], I h,k = { 1 ph I B k 0 p h I B k con 1 h = 1,..., m k = 1,..., n.

6 CAPITOLO 1 - Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 2 Viceversa se si ssano due insiemi P e B rispettivamente di m ed n oggetti ed un ordinamento in ciascuno di essi, data comunque una matrice ad m righe ed n colonne ad elmenti 0 e 1, per (1) rimane denita una incidenza I P B e quindi una struttura di incidenza (P, B, I). Lo studio delle strutture di incidenza nite equivale a quello delle matrici m n con elementi 0 e 1. Esempio P = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 }, B = {y 1, y 2, y 3 } I = {(x 1, y 2 ), (x 1, y 3 ), (x 2, y 3 ), (x 4, y 2 ), (x 4, y 3 ), (x 6, y 1 ), (x 6, y 2 ), (x 6, y 3 )} y 1 y 2 y 3 x x x x x x Esempio P, B, I = P B. Nel caso P e B siano niti, ssati in essi un ordinamento, la matrice di incidenza è costituita tutta da elementi 1. Esempio P, B, I =. Nel caso P e B siano niti, ssato in essi un ordinamento, la matrice di incidenza associata è costituita tutta da elementi 0. Esempio Sia Q un quadrato del piano euclideo, P l'insieme dei vertici del quadrato e B l'insieme dei lati e delle diagonali di Q. Diremo che un punto x P è incidente a un blocco y B, se il punto x appartiene alla retta y. (P, B, I) è una struttura di incidenza. E' immediato vericare che in tale struttura ogni punto è incidente a tre blocchi distinti, ssato comunque un blocco esistono esattamente due punti incidenti ad esso.

7 CAPITOLO 1 - Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 3 x 1 x 2 x 4 x 3 (P, B, I) è un esempio di struttura di piano ane nito. Ci possiamo proporre di costruire la matrice di incidenza di questa struttura. Ordinati i punti e i blocchi in modo che x 1, x 2, x 3, x 4 siano i vertici consecutivi di Q, y i sia il lato di Q di vertici x i, x i+1 (i = 1, 2, 3), y 4 quello di vertici x 4, x 1 ed inoltre y 5 e y 6 le diagonali di vertici rispettivamente x 1, x 3 e x 2, x 4, la matrice di incidenza risulta essere la seguente: y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 x x x x Osserviamo che in tale matrice ogni riga possiede esattamente tre elementi uguali ad 1, il che equivale a dire che ogni punto è incidente esattamente a tre rette. Inoltre ogni colonna ha esattamente due elementi 1, il che equivale a dire che ogni retta è incidente a due punti. Ancora, ssate comunque due righe distinte, esiste una sola colonna che le interseca ambedue nell'elemento 1 e ciò equivale a dire che due punti sono incidenti a una sola retta. Esempio Sia K un campo qualsiasi. Sia P = K 2, B = {r r : ax + by + c = 0, a, b, c K ; a, b non entrambi nulli} l'insieme delle equazioni di 1 grado a due incognite a coecienti in K. Deniamo I P B: (x, y) K 2 è incidente ad un blocco r B se la coppia (x, y) soddisfa l'equazione espressa da r. (P, B, I) è una struttura di incidenza. Questa è una struttura di piano ane. Se K è il campo delle classi resto modulo 2, si ottiene l'esempio

8 CAPITOLO 1 - Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 4 2. Insiemi di permutazioni e strutture di incidenza Denizione Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. La coppia (E, G) individua una struttura di incidenza. Deniamo punti gli elementi dell'insieme P = E E. Per ogni α G deniamo blocco l'insieme B α = {(x, α(x)) x E} e deniamo blocchi della struttura l'insieme B = {B α α G}. La struttura (P, B) così determinata è detta struttura di incidenza associata all'insieme di permutazioni G, essa viene solitamente indicata con (E 2, G). Oltre ai blocchi, nella struttura (E 2, G) rimangono determinati particolari insiemi di punti fra cui i seguenti. Per ogni a E siano [a] 1 = {(a, y) y E}, [a] 2 = {(x, a) x E}, G 1 = {[a] 1 a E}, G 2 = {[a] 2 a E}. Gli elementi di G = G 1 G 2 sono detti generatori. Denizione Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. Nella struttura di incidenza (E 2, G) due punti p, q E 2 si dicono dipendenti se appartengono allo stesso generatore, in caso contrario si dicono indipendenti. Più punti p 1, p 2..., p h E 2 si dicono indipendenti se sono a due a due indipendenti. La struttura (E 2, G) e le famiglie G 1 e G 2 di generatori, godono di alcune proprietà di immediata verica: (1) Due elementi distinti di G 1 (rispettivamente G 2 ) sono disgiunti ed hanno la stessa cardinalità, che è la cardianlità di E. (2) Gli elementi di G 1 (rispettivamente G 2 ) formano una partizione di P, le cui classi sono i generatori di G 1 (rispettivamente G 2 ). Per la proprietà (1) le classi della partizione hanno la stessa cardinalità, che è la cardinalità di E. (3) Ogni punto appartiene esattamente ad un generatore di G 1 ed ad un generatore di G 2. (4) Ogni blocco ha la stessa cardinalità di ogni generatore, che è la cardinalità di E. (5) Ogni blocco ha in comune con ogni generatore esattamente un punto. Queste sono proprietà che caratterizzano l'insieme G, ossia se valgono queste proprietà allora rimane determinato un insieme G di permutazioni. Infatti vale il seguente teorema.

9 CAPITOLO 1 - Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 5 Teorema Sia (P, B) una struttura di incidenza tale che esistono due partizioni G 1 e G 2 dei punti e si abbia: (1) g = h per ogni g, h G 1 G 2 ; (2) g h = 1 per ogni g G 1, per ogni h G 2 ; (3) B g = 1 per ogni B B, per ogni g G 1 G 2. Allora esistono un insieme E e un insieme G di permutazioni su E tali che (P, B) è la struttura (E 2, G) associata a G. Dimostrazione. Per la (2) ogni elemento di G 1 interseca un elemento di G 2 in esattamente un punto e pertanto per ogni g G 1 si ha g = G 2. Analogamente per ogni h G 2 si ha h = G 1. Per la (1) segue pertanto G 1 = g = h = G 2. Sia E un insieme di indici tale che E = G 1 ; indichiamo gli elementi di G 1 con A 1, A 2,..., A i,... con i E e indichiamo con B 1, B 2,..., B j,... con j E gli elementi di G 2. Gli elementi di P risultano in corrispondenza biunivoca con gli elementi di E E, infatti per ogni p P basta porre p = (i, j) se p A i B j. A partire da ogni blocco B B deniamo l'applicazione α B : E E, α B (x) = y se (x, y) B. Per come denita, α B è una applicazione biunivoca (permutazione) di E in sè. Sia G = {α B B B} ; la struttura (P, B) è isomorfa alla struttura (E 2, G). Esempio Sia E = {1, 2, 3}. Consideriamo l'insieme G di permutazioni su E: G = {α = id., β = (123), γ = (12), δ = (13)}. Per determinare la struttura di incidenza,deniamo P = E E insieme dei punti. Inoltre a partire dalle permutazioni che sono elementi di G deniamo i blocchi: B α = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, B β = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}, B γ = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}, B δ = {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}. Deniamo B = {B α, B β, B γ, B δ } insieme dei blocchi. (P, B) è la struttura di incidenza associata all'insieme di permutazioni G. Solitamente è indicata con (E 2, G). Generatori: 1 E [1] 1 = {(1, y) y E} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} 2 E [2] 1 = {(2, y) y E} = {(2, 1), (2, 2), (2, 3)} 3 E [3] 1 = {(3, y) y E} = {(3, 1), (3, 2), (3, 3)}. G 1 = {[1] 1, [2] 1, [3] 1 }, è un insieme di generatori che è una partizione di P ossia due generatori distinti di G 1 sono disgiunti e inoltre l'unione dei generatori di G 1 ricopre l'insieme P. Analogamente si denisce l'insieme di generatori G 2 = {[1] 2, [2] 2, [3] 2 }, dove

10 CAPITOLO 1 - Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 6 [1] 2 = {(x, 1) x E} = {(1, 1), (2, 1), (3, 1)} [2] 2 = {(x, 2) x E} = {(1, 2), (2, 2), (3, 2)} [3] 2 = {(x, 3) x E} = {(1, 3), (2, 3), (3, 3)}. Preso un blocco e un generatore, qual'è la loro intersezione? Esempio: B γ [1] 2 = {(2, 1)}. Più in generale possiamo scrivere B ϕ [a] 1 = {(a, ϕ(a))} B ϕ [b] 2 = { (ϕ 1 (b), b) }. A partire da un qualunque blocco della struttura (E 2, B) si costruisce una permutazione. Esempio: consideriamo il blocco B δ = {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}, deniamo φ Bδ : E E φ Bδ risulta un'applicazione biettiva perchè per ogni x E esiste ed è unico l'elemento di B δ appartenente a [x] 1 (e pertanto φ Bδ è applicazione); inoltre per ogni (x, y) B δ esiste ed è unico [y] 2 con B δ [y] 2 = {(x, y)} (e pertanto φ Bδ suriettiva, anzi φ Bδ biettiva). Esempio Siano P = R R, B = {r r : y = mx + n, m R, n R}. A partire dal blocco y = mx + n rimane denita la permutazione α : R R, α(x) = mx + n. (P, B) è una struttura di incidenza. Quali sono i generatori? [a] 1 = {(a, y) y R} [b] 2 = {(x, b) x R}.

11 CAPITOLO 2 Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 1. Denizioni e teoremi Denizione Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E e sia k N. G si dice k-transitivo su E se per ogni (x 1,..., x k ), (y 1,..., y k ) con x i, y i E tali che x i x j, y i y j se i j esiste α G tale che α(x i ) = y i con i = 1,..., k. Se α è unica, G si dice strettamente k-transitivo. Gli insiemi strettamente 1-transitivi sono anche detti regolari. L'insieme G si dice transitivo su E se è almeno 1-transitivo su E. Esempio Sia R il campo dei numeri reali, per ogni a R sia α a : R R, α a (x) = 2x + a e sia G = {α a R}. G é un insieme strettamente 1-transitivo su R. Infatti comunque presi r, s R esiste (ed é unica) la permutazione α s 2r G tale che α s 2r (r) = s. Gli insiemi di permutazioni strettamente k-transitivi su un insieme E, nito o no, hanno una particolare importanza perchè rappresentano strutture geometriche fondamentali. Nota Sia G un insieme di permutazioni strettamente k-transitivo su un insieme E nito, E = n. Si possono contare gli elementi di G, infatti ssata una k-upla (a 1, a 2,..a k ) di elementi distinti di E, per la stretta k-transitività, gli elementi di G sono tanti quante sono le possibili immagini di (a 1, a 2,..a k ), basta quindi contare le k-uple di elementi distinti di E. Risulta pertanto In particolare se G è regolare su E si ha G = D n,k = n(n 1)... (n k + 1). G = E = n. 7

12 CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 8 Teorema Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. Fissata α G, l'insieme α 1 G è ancora un insieme di permutazioni su E e pertanto rimangono determinate le strutture (E 2, G) e (E 2, α 1 G). Si ha che (E 2, G) è isomorfo a (E 2, α 1 G) ed inoltre id G oppure id α 1 G. Dimostrazione. Sia ϕ : (E 2, G) (E 2, α 1 G) così denita: { ϕ(x, y) = (x, α 1 (y)) per ogni (x, y) E 2 ϕ(β) = α 1 β per ogni β G. E' di immediata verica che ϕ è un isomorsmo di (E 2, G) in (E 2, α 1 G) perché ϕ é una applicazione biettiva che conserva l'appartenenza, inoltre se G non contiene l'identità si ha che α 1 α α 1 G e pertanto l'identità appartiene ad α 1 G. Il teorema assicura che, senza ledere in generalità, nello studio di una struttura di incidenza (E 2, G) si può sempre supporre id G. Teorema Sia G un insieme di permutazioni strettamente k-transitvo su un insieme E e sia (E 2, G) la struttura ad esso associata. Se p 1, p 2,..., p k E 2 sono punti indipendenti allora esiste ed è unico il blocco che li contiene. Dimostrazione. Siano p i = (x i, y i ), i = 1,..., k, punti indipendenti di E 2. Siccome i punti sono indipendenti, per i j risulta x i x j, y i y j. Per la stretta k-transitività di G esiste ed è unica la permutazione α G tale che α(x i ) = y i, i = 1,..., k, e pertanto in (E 2, G) α é il blocco cercato. Nota La relazione fra gli insiemi di permutazioni strettamente k-transitivi e le strutture di incidenza associate è un legame fra l'algebra e la geometria che permette di arontare lo studio di strutture geometriche con l'algebra e viceversa permette di dare una lettura geometrica di problemi algebrici. Un notevole esempio è la relazione tra insiemi di permutazioni e piani ani. Richiamiamo la denizione di piano ane. Denizione La struttura di incidenza (P, R) è detta piano ane se: (1) comunque presi p, q P, p q, esiste ed è unico R R tale che p, q R; (2) per ogni p P, per ogni R R con p / R, esiste ed è unico S R tale che p S e S R = ; (3) esistono almeno 3 punti non appartenenti ad uno stesso elemento di R. Un piano ane con un numero nito di punti é detto di ordine n se R = n per ogni R R.

13 CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 9 Teorema Sia G un insieme di permutazioni strettamente 2-transitivo su un insieme E nito con E = n, n 2. La struttura (E 2, G) associata a G determina un piano ane di ordine n. Dimostrazione. Si deniscono punti gli elementi dell' insieme P = E 2, rette gli elementi dell' insieme R dati dai blocchi e dai generatori di (E 2, G). (1) Siano (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) P. Se x 1 = x 2 l'unica retta che li contiene è il generatore [x 1 ] 1. Se y 1 = y 2 l'unica retta che li contiene è il generatore [y 1 ] 2. Se x 1 x 2, y 1 y 2 allora per la stretta 2-transitività c'è un unico blocco (non generatore) che li contiene. (2) Per le proprietà delle strutture di incidenza associate agli insiemi di permutazioni, per il teorema ed essendo G strettamente 2-transitivo, si ha che: se p = ( x, ȳ) P, [a] 1 R, a x, allora l'unica retta di R passante per p e disgiunta da [a] 1 è la retta [ x] 1 ; se p = ( x, ȳ) P, [b] 2 R, ȳ b, allora l'unica retta di R passante per p e disgiunta da [b] 2 è la retta [ȳ] 2 ; se p = ( x, ȳ) P, B α R, α( x) ȳ, allora esiste ed è unico B γ R tale che ȳ = γ( x) (ossia p B γ ) e B α B γ =. Per dimostrare questo iniziamo con il contare le rette passanti per p: sono n + 1. Infatti considerato [z] 1 con z x, su [z] 1 ci sono esattamente n 1 punti indipendenti da p che individuano altrettante rette-permutazioni per p ( l'unico punto di [z] 1 dipendente da p è (z, ȳ)); oltre a queste rette ci sono esattamente altre due rette per p, sono le rette-generatori [ x] 1 e [ȳ] 2 che sono sicuramente diverse dalle precedenti n 1 perchè [ x] 1 [z] 1. Si conclude che per p passano esattamente (n 1) + 2 = n + 1 rette. Contiamo ora le rette per p intersecanti B α : sono esattamente n. Infatti per p passano le due rette-generatori [ x] 1 e [ȳ] 2 che intersecano B α rispettivamente nei punti ( x, α( x)) e (α 1 (ȳ), ȳ), inoltre le rettepermutazioni passanti per p e intersecanti B α sono esattamente n 2 perchè è questo il numero di punti di B α indipendenti da p. Si conclude pertanto che le rette per p non aventi punti in comune con B α sono (n + 1) n = 1 ossia esiste ed è unica la retta passante per p non avente punti in comune con B α. (3) Poiché E 2 esistono almeno 3 punti non appartenenti ad una stessa retta. Del teorema ora dimostrato vale anche il viceversa.

14 CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 10 Teorema Sia π un piano ane di ordine n. Esso individua un insieme di permutazioni strettamente 2-transitivo su n elementi. Dimostrazione. Posto E = {1,..., n} ssiamo due fasci distinti di rette parallele G 1, G 2. Ciascuno di essi contiene n rette, sia G 1 = {A 1,..., A n } e G 2 = {B 1,...B n }. Per ogni p π esistono e sono unici A i, B j, tali che A i B j = {p} ; poniamo allora p = (i, j). Fissata una retta R con R / G 1 e R / G 2 deniamo α R : E E, α R (x) = y se (x, y) R. Le applicazioni α R sono applicazioni biunivoche di E in sè, sono dunque permutazioni su E, perciò G = {α R R π} è un insieme di permutazioni sull'insieme E. G è strettamente 2-transitivo su E: infatti siano (x 1, x 2 ) e (y 1, y 2 ) due coppie di elementi di E con x 1 y 1 e x 2 y 2. Le coppie (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) individuano due punti distinti del piano π e pertanto esiste ed è unica la retta R π tale che (x 1, x 2 ) R e (y 1, y 2 ) R con R G 1 G 2 e quindi esiste ed è unica α R G tale che α R (x i ) = y i con i = 1, 2. Nota I teoremi e valgono per E insieme nito. Se E non è nito la stretta 2-transitività non basta più per ottenere un piano ane. Questo sarà approfondito nel capitolo 3. Nota Nel piano ane π di ordine n individuato da un insieme G strettamente 2-transitvo sull'insieme E, E = n, ogni fascio di rette parallele distinto dai fasci dei generatori è un insieme strettamente 1-transitivo su E. Di tali fasci ne esistono esattamente n 1 e pertanto esistono n 1 insiemi di permutazioni regolari e distinti che agiscono su n elementi. Approfondiamo lo studio dei gruppi e degli insiemi di permutazioni k-transitivi. Teorema Sia G un gruppo di permutazioni su un insieme E. G è strettamente k-transitivo su E se e solo se G è k-transitivo su E e solo l'identità ssa k elementi comunque scelti in E. Dimostrazione. Sia G strettamente k-transitivo su E. E' ovvio che G è k-transitivo su E; inoltre l'identità appartiene a G essendo questo un gruppo e l'identità ssa sempre k elementi comunque scelti in E. Inne l'identità è l'unico elemento di G che ssa k elementi di E perchè per ipotesi G è strettamente k- transitivo.

15 CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 11 Viceversa sia G k-transitivo su E e tale che solo l'identità ssa k elementi comunque scelti in E. Consideriamo due k-uple di elementi distinti di E, siano (x 1,..., x k ) e (y 1,..., y k ) con x i x j, y i y j per i j. Poichè G è k-transitivo esiste α G tale che α(x i ) = y i, i = 1,..., k. Se esistesse anche β G tale che β(x i ) = y i, i = 1,..., k, allora risulterebbe β 1 α G con β 1 α(x i ) = x i, i = 1,..., k e pertanto dall' ipotesi seguirebbe β 1 α = identità da cui α = β. Nota Il teorema non vale se G non é un gruppo. Denizione Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E e sia a E. Si chiama stabilizzatore di a l'insieme G a = {α G α(a) = a}. Se a 1, a 2,..., a h E si chiama stabilizzatore di a 1, a 2,..., a h l'insieme G a1,...,a h = {α G α(a i ) = a i con i = 1,..., h}. Nota Lo stabilizzatore di un elemento dipende dall'insieme di permutazioni G ssato ed ha un ruolo importante nello studio di G. Nota Se G è un gruppo lo stabilizzatore di un elemento è un sottogruppo di G e quindi di Sym E. Teorema Sia G un insieme di permutazioni k-transitivo su un insieme E e sia a E. Lo stabilizzatore G a è un insieme (k-1)-transitivo su E {a}. Dimostrazione. Fissiamo due (k-1)-uple in E {a}, (x 1, x 2,..., x k 1 ), (y 1,..., y k 1 ) con x i x j e y i y j se i j. Poichè G è k-transitivo su E esiste α G tale che ( ) a x1 x α : 2... x k 1 a y 1 y 2... y k 1 e siccome α(a) = a si ha α G a e pertanto G a è (k-1)-transitivo su E {a}. Nota Se G è un gruppo k-transitivo su E e a E allora G a è un gruppo (k-1)-transitivo su E {a}.

16 CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 12 Teorema Sia G un gruppo di permutazioni su un insieme E, G transitivo su E e sia a E. Se G a è (k-1)-transitivo su E {a} (risp. strettamente (k-1)-transitivo su E {a}), allora G è un gruppo di permutazioni k-transitivo su E (risp. strettamente k-transitivo su E). Dimostrazione. Siano (x 1,..., x k ) e (y 1,..., y k ) due k-uple di elementi di E con x i x j, y i y j se i j. Poichè G è transitivo su E, esiste α G tale che α(x 1 ) = a ed esiste β G tale che β(y 1 ) = a. Sia γ G a tale che γ(α(x i )) = β(y i ) con i = 2,.., k. La permutazione γ esiste certamente in G a perchè G a è (k-1)- transitivo su E {a} ed è α(x i ) a e β(y i ) a per ogni i = 2,..., k. Essendo G un gruppo si ha β 1 γα G e β 1 γα(x i ) = y i per ogni i = 1,..., k, quindi G è k-transitivo su E. Inoltre se G a è strettamente (k-1)-transitivo su E {a}, l'unico elemento di G che ssa a, x 2,.., x k è l'identità; infatti poiché G é k-transitivo su E, esiste δ G tale che δ(a) = a, δ(x i ) = x i con i = 2,..., k. La permutazione δ ssa k-1 elementi di E {a} e δ G a, allora per la stretta (k-1)-transitività di G a, δ è l'identità in G a ossia ssa tutti gli elementi di E {a} e poiché é anche δ(a) = a si ha che δ ssa tutti gli elementi di E, cioé é l'identità anche in G, allora per il teorema G è strettamente k-transitivo su E. Corollario Sia G un gruppo di permutazioni su E e a E. G é strettamente k-transitivo su E se e solo se G a é strettamente (k-1)-transitivo su E {a}. Dimostrazione. Segue dai teoremi e Teorema Sia G un gruppo di permutazioni su un insieme E, sia G transitivo su E. Se a, b E allora G a è coniugato con G b. Dimostrazione. Si deve dimostrare che esiste α G tale che α 1 G b α = G a. Il gruppo G è per ipotesi transitivo e pertanto esiste α G tale che α(a) = b. Le permutazioni αg a α 1 ssano b, infatti per ogni γ G a si ha αγα 1 (b) = αγ(a) = α(a) = b. Risulta pertanto αg a α 1 G b da cui G a α 1 G b α. Analogamente le permutazioni di α 1 G b α ssano a e perciò risulta anche α 1 G b α G a. Resta così provato α 1 G b α = G a. Corollario Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E, sia G transitivo su E. Se a, b E allora G a è isomorfo a G b. Dimostrazione. La relazione di coniugio che lega gli stabilizzatori determina l'isomorsmo.

17 CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 13 Teorema Sia G un gruppo di permutazioni k-transitivo su un insieme E nito, E = n. Siano x 1,..., x k elementi distinti di E. Si ha G = G x1,...,x k n(n 1)... (n k + 1) Dimostrazione. Poichè lo stabilizzatore G x1,...,x k è un sottogruppo di G, basta dimostrare che n(n 1)... (n k + 1) è il suo indice in G. G è nito e perciò l'indice di G x1,...,x k coincide con il numero dei laterali distinti. Fissati α, β G, i due laterali αg x1,...,x k e βg x1,...,x k coincidono se e solo se α(x i ) = β(x i ) con i = 1,..., k, pertanto i laterali distinti sono tanti quante le possibili k-uple distinte di elementi distinti di E, ossia sono n(n 1)... (n k + 1) da cui segue la tesi. Teorema Sia G un insieme di permutazioni strettamente k-transitivo su un insieme E tale che 1 E G e αβ G per ogni α, β G. Allora G è un gruppo. Dimostrazione. Poichè G S E, basta dimostrare che G è un sottogruppo di S E. Per ipotesi αβ G per ogni α, β G. Rimane da dimostrare che se α G allora anche α 1 G. Sia α G e sia α(x i ) = y i, i = 1,..., k; siccome G è strettamente k-transitivo, esiste ed è unica β G tale che β(y i ) = x i, i = 1,..., k. Per ipotesi βα G e risulta βα(x i ) = x i, i = 1,..., k e pertanto βα = 1 E da cui β = α 1 e perciò α 1 G. Teorema Sia G un insieme di permutazioni k-transitivo su un insieme E tale che 1 E G. Se α β G per ogni α, β G e solo l'identità ssa k elementi distinti di E, allora G è un gruppo strettamente k-transitivo su E. Dimostrazione. Poichè G per ipotesi è chiuso rispetto al prodotto, per dimostrare che è un gruppo basta dimostrare che ogni elemento di G ha l'inverso che sta in G. Sia α G, α(x 1 ) = y 1,..., α(x k ) = y k. Poichè G è k-transitivo esiste β G tale che β(y 1 ) = x 1,..., β(y k ) = x k, inoltre per ipotesi βα G e βα ssa gli elementi x 1, x 2,..., x k ; poichè per ipotesi solo l'identità ssa k elementi risulta βα = 1 E da cui α 1 = β G e pertanto G è un gruppo. Dimostriamo ora che G è strettamente k-transitivo. Per ipotesi G è k-transitivo, supponiamo per assurdo che esistano α, β G tali che α(x 1 ) = β(x 1 ) = y 1,..., α(x k ) = β(x k ) = y k, allora β 1 α G e β 1 α ssa gli elementi x 1,..., x k perciò per l'ipotesi fatta risulta β 1 α = 1 E da cui α = β. Teorema Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. Se G è transitivo su E e se αβ = βα per ogni α, β G allora G è un gruppo abeliano e regolare su E.

18 CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 14 Esempio S n è strettamente n-transitivo su E. Segue dalla denizione di S n. Esempio S n è strettamente (n-1)-transitivo su E. Infatti ssate due (n-1)-uple (x 1,..., x n 1 ), (y 1,..., y n 1 ) di elementi distinti di E, la permutazione che trasforma gli x i negli y i muta anche l'unico elemento di E diverso dagli x i nell'unico elemento di E diverso dagli y i e pertanto questa permutazione è unica. Esempio A n è strettamente (n-2)-transitivo su E. Infatti siano x 1,..., x n 2 e y 1,..., y n 2 due (n-2)-uple di elementi distinti di E. Rimangono determinate le due n-uple (x 1,..., x n 2, a, b) e (y 1, y 2,..., y n 2, c, d). In S n esistono α e β tali che α : ( x1... x n 2 a b y 1... y n 2 c d ) β : ( x1... x n 2 a b y 1... y n 2 d c e queste sono le uniche permutazioni di S n che trasformano x 1,..., x n 2 in y 1,..., y n 2. Inoltre una sola tra le permutazioni α e β è di classe pari perchè α 1 β è una trasposizione (e quindi di classe dispari). Dunque in A n esiste un'unica permutazione che trasforma gli x i negli y i perciò A n è strettamente (n-2)-transitivo su E. Per i gruppi di permutazioni k-transitivi su n elementi, i casi k = n, k = n 1, k = n 2 sono considerati banali. Nel caso più generale in cui G sia un insieme non gruppo, si ha il seguente teorema. Teorema Sia G un insieme di permutazioni su un insieme nito E, E = n 3. Se G è strettamente (n-2)-transitivo su E, allora G = A n oppure G = S n A n. Dimostrazione. La dimostrazione si suddivide in due casi a seconda che la permutazione identitá 1 E appartenga oppure no all'insieme G. Ricordiamo che A n è un sottogruppo di indice due in S n e i due laterali sono A n e S n A n. (1) Sia 1 E G. Si dimostra per induzione che G = A n. Sia n = 3, allora per ipotesi G è strettamente 1-transitivo e perciò G = 3 e gli elementi di G diversi dall'identità non ssano nessun elemento pertanto risulta G = { ( E, ) ( 1 2 3, )} )

19 CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 15 ossia G = A n. Sia n > 3; l'ipotesi induttiva è che ogni insieme di permutazioni strettamente ((n-1)-2)=(n-3)-transitivo su n-1 elementi contenente l'identità è il gruppo A n 1. Osserviamo che se G è strettamente (n-2)-transitivo su n elementi si ha G = n(n 1)... (n (n 2) + 1) = n!, ossia G = A 2 n. Per dimostrare che G coincide con A n basta quindi provare che G non contiene permutazioni di classe dispari. Per assurdo supponiamo che esista σ G di classe dispari; scriviamo σ come prodotto di cicli disgiunti σ = σ 1... σ h. Poichè σ è di classe dispari almeno uno dei cicli σ i (o comunque un numero dispari di essi) è di classe dispari. I cicli sono disgiunti e quindi permutabili e pertanto non è restrittivo supporre che sia σ 1 di classe dispari. Sia σ 1 = (x 1 x 2...x 2k ). Consideriamo il ciclo τ 1 = (x 1 x 2...x 2k 1 ) e la permutazione τ = τ 1 σ 2...σ h. La permutazione τ è di classe pari e ssa almeno l'elemento x 2k (perchè non compare in τ 1 nè in σ i, i = 2,..., h) e pertanto τ A n 1. Lo stabilizzatore G x2k è strettamente (n-3)-transitivo su E {x 2k } e contiene l'identità; perciò, per l'ipotesi induttiva, si ha G x2k = A n 1. Allora τ A n 1 = G x2k G da cui τ G e quindi τ G, σ G. Ciò è assurdo in quanto τ e σ agiscono allo stesso modo sugli elementi di E {x 2k 1, x 2k } perchè dieriscono solo nei cicli τ 1 e σ 1 i quali hanno azioni diverse solo sugli elementi x 2k 1 e x 2k. Le permutazioni τ e σ sono distinte e agiscono allo stesso modo su (n 2) elementi di E, ma ciò è assurdo per la stretta (n-2)-transitività di G. (2) Sia 1 E / G. Si dimostra che G = S n A n. Sia α G; si ha α 1 G insieme di permutazioni su E con 1 E = α 1 α α 1 G e perciò per il caso (1) si ha α 1 G = A n, G = αa n. Non può essere αa n = A n perchè si avrebbe G = A n da cui 1 E G contro l'ipotesi. Dunque αa n A n e pertanto αa n = S n A n ossia G = S n A n. 2. Considerazioni nali e problemi aperti (1) Tutti i gruppi niti strettamente k-transitivi, k 2, sono noti. Per k 4 sono noti anche tutti i gruppi strettamente k-transitivi non niti. (2) Per k = 2 e per k = 3 esistono esempi di insiemi di permutazioni G, niti e non niti, contenenti la permutazione identitá i quali sono strettamente k-transitivi e non sono gruppi. (3) Per k 4 non vi è alcun esempio di insieme strettamente k-transitivo, contenente la permutazione identitá che non sia un gruppo.

20 CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 16 (4) A.Bonisoli, P.Quattrocchi hanno dimostrato che per qualunque k 4, se G è un insieme strettamente k-transitivo nito contenente la permutazione identitá e tale che α 1 G per ogni α G allora G è un gruppo. Esso è il gruppo simmetrico oppure il gruppo alterno oppure il gruppo M 4,11 oppure il gruppo M 5,12. (Each Invertible Sharply d-transitive Finite Permutation set with d 4 is a group. Journal of Algebraic Combination, 12, (2000 Olanda), p.p ) (5) Nel lavoro di Bonisoli-Quattrocchi sopra citato si dimostra anche che: un insieme di permutazioni su 11 elementi strettamente 4-transitivo contenente la permutazione identità è necessariamente il gruppo di Mathieu M 4,11. Un insieme di permutazioni su 12 elementi strettamente 5-transitivo contenente la permutazione identitá è necessariamente il gruppo di Mathieu M 5,12. Per k 6 non esistono insieme strettamente k-transitivi su un insieme nito con almeno k + 3 elementi. (6) Nel 2016 C.Fiori ha dimostrato che per il caso k = 3 esistono insiemi (non gruppi) G strettamente 3-transitivi niti contenenti la permutazione identitá e tali che α 1 G per ogni α G. (Lavoro in via di pubblicazione)

21 CAPITOLO 3 Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 1. Denizioni e teoremi I gruppi strettamente 2-transitivi niti sono tutti noti. Oltre ai gruppi banali S 2, S 3, A 4 esistono innite famiglie di gruppi strettamente 2-transitivi che sono state classicate da Zassenhaus nel I gruppi strettamente 2-transitivi non banali sono dati dalle trasformazioni ani su un quasicorpo associativo planare oppure su uno pseudocorpo; i primi (quelli su un quasicorpo associativo planare) determinano un piano ane ed inoltre non occorre l'ipotesi di planarità se il quasicorpo associativo è nito. Iniziamo con il dare un esempio di gruppo strettamente 2-transitivo. Esempio Sia K un campo, nito o no; per ogni a, b K, a 0, l'applicazione denita da α a,b : K K, α a,b (x) = ax+b è una permutazione. Sia G = {α a,b a K, b K}. L'insieme G così denito è un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivo su K, sottogruppo di Sym K. (1) G è un gruppo se α a,b, α c,d G allora si ha α a,b α c,d = α h,k con h = ac 0, k = ad+b e pertanto α a,b α c,d G; α 1,0 : x x è elemento neutro per G; se α a,b G allora α a 1, a 1 b G è la sua inversa. (2) G è transitivo Per ogni x K esiste in G una permutazione che trasforma 0 in x, infatti basta considerare un'applicazione del tipo α a,x con a 0. Comunque presi x, y K, si considerino le permutazioni α, β G tali che α(0) = x, β(0) = y, allora risulta βα 1 (x) = y con βα 1 G e pertanto G è transitivo su K. (3) G 0 è strettamente 1-transitivo su K {0} Gli elementi di G 0 sono tutte e sole le permutazioni del tipo α a,0. Per ogni x, y K esiste ed è unica la permutazione α G 0 tale che α(x) = y, essa è la permutazione α yx 1,0; pertanto lo stabilizzatore G 0 è strettamente 1-transitivo su K. 17

22 CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 18 Per il teorema rimane dimostrato che G è strettamente 2-transitivo essendo vericate(2) e (3). Il gruppo G dell'esempio è indicato con AG(1, K) ed è detto gruppo delle anità sulla retta ane. Denizione Sia G un insieme di permutazioni strettamente 2-transitivo su E. L'insieme G è detto planare se comunque presi a, b E e comunque preso β G con β(a) b, esiste una ed una sola permutazione α G tale che α(a) = b e α(x) β(x) per ogni x E. Il gruppo G = AG(1, K) é un esempio di gruppo strettamente 2-transitivo planare. La proprietá di planaritá non vale per tutti gli insiemi strettamente 2- transitivi ma vale sempre nel caso in cui l'insieme sia nito. Teorema Se G è un insieme strettamente 2-transitivo su un insieme E nito allora G è planare. Dimostrazione. Sia E = n, siano a, b E, a b, e sia β G tale che β(a) = c b. Per la stretta 2-transitività si ha : In G esistono esattamente n 1 permutazioni passanti per (a, b), infatti considerato [z] 1 con z a, su [z] 1 vi sono esattamente n 1 punti indipendenti da (a, b) poichè solo (z, b) è dipendente da (a, b). In G esistono esattamente n 2 permutazioni passanti per (a, b) e intersecanti β, infatti (a, b) è indipendente da tutti i punti di β tranne (a, c) e (d, b) con d = β 1 (b), inoltre d a perchè β(a) b. Pertanto le permutazioni "passanti" per (a, b) non intersecanti β sono esattamente (n 1) (n 2) = 1. Rimane così dimostrato che G è planare ossia in G vi è esattamente una permutazione che trasforma a in b e non ha la stessa azione di β su alcun elemento di E. Quali sono le strutture algebriche che caratterizzano i gruppi strettamente 2-transitivi? Si dimostra che: (1) i gruppi strettamente 2-transitivi sono caratterizzati dalla struttura algebrica di pseudocorpo; (2) i gruppi strettamente 2-transitivi planari sono caratterizzati dalla struttura algebrica di quasicorpo associativo planare.

23 CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 19 Come risulta dalla denizione di pseudocorpo e di quasicorpo associativo di seguito riportate, la struttura di pseudocorpo è più debole di quella di quasicorpo associativo. Non si conoscono esempi di pseudocorpi che non siano quasicorpi associativi mentre sono noti quasicorpi associativi non planari. Probema aperto: esistono pseudocorpi che non siano quasicorpi associativi? Richiamiamo le denizioni delle strutture algebriche sopra citate. Denizione Sia E un insieme non vuoto e + una operazione binaria interna ad E. La struttura (E, +) si dice cappio se: (1) Esistono e sono unici x, y E tali che a + x = b, y + a = b per ogni a, b E. (2) Esiste 0 E tale che 0 + a = a + 0 = a per ogni a E. Denizione Sia E un insieme non vuoto e siano + e due operazioni binarie interne ad E. La struttura (E, +, ) si dice pseudocorpo se: (1) (E, +) è un cappio, sia 0 l'elemento neutro; (2) per ogni a, b, c E si ha (a + b) + c = h b,c a + (b + c) con h b,c E e dipendente solo da b e da c (questa proprietà è detta pseudoassociativa); (3) (E, ) è un gruppo, E = E {0}; (4) 0 a = 0 per ogni a E; (5) a (b + c) = a b + a c per ogni a, b, c E. Denizione Sia E un insieme non vuoto e siano + e due operazioni binarie interne ad E. La struttura (E, +, ) si dice quasicorpo associativo se: (1) (E, +) è un gruppo abeliano, sia 0 l'elemento neutro; (2) (E, ) è un gruppo, E = E {0}; (3) 0 a = 0 per ogni a E; (4) a (b + c) = a b + a c per ogni a, b, c E. Denizione Sia E un insieme non vuoto e siano + e due operazioni binarie interne ad E. La struttura (E, +, ) si dice quasicorpo associativo planare se: (1) (E, +, ) è un quasicorpo associativo. (2) Per ogni a, b, c E, a b, esiste x E tale che a x = b x + c.

24 CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 20 Valgono i seguenti teoremi di cui non riportiamo la dimostrazione. Teorema Ogni quasicorpo associativo nito è planare. Teorema Sia G un gruppo di permutazione strettamente 2-transitivo su un insieme E. Si possono denire in E due operazioni + e tali che (E, +, ) risulti uno pseudocorpo e gli elementi di G si possono rappresentare nella forma x a x + b, a E, b E. Viceversa sia (E, +, ) uno pseudocorpo, sia E = E {0} e sia G = {α α(x) = a x + b, a E, b E}. G è un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivo su E. Teorema Sia G un gruppo di permutazioni su E, G strettamente 2-transitivo e planare. Si possono denire in E due operazioni + e tali che (E, +, ) risulti un quasicorpo associativo planare e gli elementi di G si possono rappresentare nella forma x a x + b, a E, b E. 2. Esempi di Quasicorpi associativi non planari Concludiamo il capitolo riportando tre esempi di quasicorpi associativi non planari. Esempio L'esempio è dovuto a Helmut Karzel. Consideriamo il campo dei numeri reali (R, +, ) e ssiamo un suo ampliamento trascendente { } a0 + a 1 t a n t n R(t) = b 0 + b 1 t b m t n, m N, b m i non tutti nulli. A partire dal campo (R(t), +, ) costruiamo una famiglia di quasicorpi associativi non planari deformando l'operazione di moltiplicazione. Notiamo che se x R(t) allora x può essere rappresentato nella forma x = p(t) q(t) = a 0 + a 1 t a n t n b 0 + b 1 t b m t m con a n, b m 0

25 CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 21 e con p(t), q(t) 0 e primi fra loro. Deniamo allora x = a n b m. Se consideriamo l'applicazione ϕ : (R(t), ) (R, ) tale che ϕ(x) = x essa è un omomorsmo di gruppi perchè banalmente ϕ(x 1 x 2 ) = ϕ(x 1 )ϕ(x 2 ), inoltre ϕ è un isomorsmo se e solo se restringiamo l'immagine a (R +, ). Fissiamo a R +, a 1; per ogni x R(t) deniamo 0 x = 0 e per ogni x R(t), per ogni y R(t) deniamo x y = f 1(t) f 2 (t) g 1(t) g 2 (t) = f 1(t) f 2 (t) g1(t + lg a x) g 2 (t + lg a x). Proviamo che la struttura (R(t), +, ) è un quasicorpo associativo non planare. (R(t), +, ) è un quasicorpo associativo. Infatti: (1) (R(t), +) è un gruppo perché l'operazione di addizione non è stata modi- cata. (2) Per le proprietà dei logaritmi si ha che (R(t), ) è un gruppo: è una operazione binaria interna; esiste l'elemento neutro ed è il polinomio costante 1; esiste l'elemento inverso: per ogni x R(t) se x = f 1(t) f 2 (t) allora x 1 = f 2(t lg a x) f 1 (t lg a x) ; vale la proprietà associativa. (3) Dalla denizione posta si ha che per ogni x R(t) risulta 0 x = 0. (4) Vale la proprietà distributiva a sinistra, come si può facilmente vericare. Il quasicorpo (R(t), +, ) non è planare. Per dimostrarlo basta determinare un'equazione del tipo b x = c x + d con b, c, d R(t) e b c che non ammette soluzioni in R(t). Una tale equazione è ad esempio 2t x = x + 1. Essa è a coecienti in R(t), inoltre 2t 1 perchè t è un elemento trascendente su R quindi t 1 Q. 2 Per assurdo supponiamo che l'equazione 2t x = x + 1 ammetta soluzione in R(t), sia 2t p(t) q(t) = p(t) q(t) + 1 allora è cioè 2t p(t + lg a2) q(t + lg a 2) = p(t) q(t) + 1 (2t)p(t + lg a 2)q(t) q(t)q(t + lg a 2) = p(t)q(t + lg a 2)

26 da cui CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 22 q(t)((2t)p(t + lg a 2) q(t + lg a 2)) = p(t)q(t + lg a 2). Ne segue che q(t) divide p(t)q(t+lg a 2), ma q(t) non divide p(t) perciò q(t) divide q(t + lg a 2) e poiché q(t) e q(t + lg a 2) hanno lo stesso grado si ha q(t) = λq(t + lg a 2) con λ costante. Inoltre q(t) e q(t + lg a 2) hanno il medesimo coeciente per il termine di grado massimo, quindi λ = 1. Perciò q(t) = q(t + lg a 2) = costante. Allora se confrontiamo i gradi dei due membri dell'uguaglianza (2t)p(t + lg a 2)q(t) q(t)q(t + lg a 2) = p(t)q(t + lg a 2) ottenuta in precedenza abbiamo 1 + deg(p) = deg(p) e ciò è assurdo. (R(t), +, ) individua una famiglia di quasicorpi associativi non planari; al variare di a in R +, a 1, otteniamo inniti esempi. Osservazione La non planarità è determinata dalla deformazione della moltiplicazione, ma come vedremo nei prossimi esempi è indipendente dalla scelta dell'uso del logaritmo. Esempio Sia K un campo di caratteristica zero e sia K(t) un suo ampliamento trascendente { } a0 + a 1 t a n t n K(t) = b 0 + b 1 t b m t n, m N, b m i non tutti nulli. Per ogni x K(t) con x = f 1(t) f 2 (t) sia i x = (deg(f 1 ) deg(f 2 )) Z. Deniamo in K(t) una operazione nel seguente modo. Per ogni x K(t) deniamo 0 x = 0. Fissato h K ; per ogni x K(t), e per ogni y K(t) deniamo x y = f 1(t) f 2 (t) g 1(t) g 2 (t) = f 1(t) f 2 (t) g1(t + hi x ) g 2 (t + hi x ). La struttura (K(t), +, ) è un quasicorpo associativo non planare; un'equazione che non trova soluzione in K(t) è ad esempio t x = x + 1. La dimostrazione è analoga a quella dell'esempio Osservazione Se scegliamo h = 1 ritroviamo l'esempio

27 CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 23 Esempio Sia K un campo di caratteristica zero e sia K(t) un suo ampliamento trascendente { } a0 + a 1 t a n t n K(t) = b 0 + b 1 t b m t n, m N, b m i non tutti nulli. Per ogni x K(t) con x = f 1(t) f 2 (t) sia i x = (deg(f 1 ) deg(f 2 )) Z. Deniamo in K(t) una operazione nel seguente modo. Per ogni x K(t) deniamo 0 x = 0. Sia ssato k K tale che k n 1 per ogni n Z ; per ogni x K(t) e per ogni y K(t) deniamo f 1 (t) f 2 (t) g 1(t) g 2 (t) = f 1(t) f 2 (t) g1(tk ix ) g 2 (tk ix ). La struttura (K(t), +, ) è un quasicorpo associativo non planare; un'equazione che non trova soluzione in K(t) è ancora t x = x + 1. La dimostrazione è analoga a quella dell'esempio

28 CAPITOLO 4 Gruppi e insiemi di permutazioni 3-transitivi 1. Introduzione Sono esempi di gruppi strettamente 3-transitivi i gruppi S 3, S 4, A 5. Tutti gli altri esempi di gruppi e insiemi strettamente 3-transitivi noti che agiscono su un insieme E sono tali che E = p n + 1, p primo, n N {0}. Sono tutti esempi ottenuti a partire da un campo K con K = p n e pertanto richiamiamo alcune proprietà dei campi niti. (1) Se K è un campo nito allora K = p n con p primo, n N {0}. (2) Per ogni p primo e n N {0} esiste uno ed uno solo campo con p n elementi indicato con GF (p n ). (3) GF (p n ) è il campo di spezzamento del polinomio x pn x Z p [x]. (4) Il gruppo moltiplicativo (K, ) di un campo nito K è ciclico: K =< k >= { 1, k,..., k pn 1 }. (5) Se K = GF (p n ) allora il gruppo Aut K degli automorsmi di K è ciclico di ordine n, un generatore è l'automorsmo σ : K K, σ(x) = x p detto automorsmo di Frobenius; AutK =< σ > Denizione Sia (K, +, ) un campo; un elemento x K = K {0} è detto quadrato se esiste y K tale che x = y 2. Si osservi che anche lo zero di K può essere considerato un quadrato, ma quelli che interessano sono i quadrati non nulli perchè questi formano un sottogruppo di (K, ). Per i campi niti vale il seguente teorema. Teorema Sia K = GF (p n ) un campo nito. Se K ha caratteristica p = 2 allora tutti gli elementi sono quadrati. Se K ha caratteristica p 2 allora il sottogruppo moltiplicativo dei quadrati ha indice 2 in K. Dimostrazione. Sia p = 2, gli elementi del campo soddisfano l'equazione x 2n = x da cui x = (x 2 n 1 ) 2 e pertanto x è un quadrato per ogni x K. Sia p 2 e sia k il generatore del gruppo ciclico (K, ). I quadrati del campo sono tutte e sole le potenze di k ad esponente pari. Infatti k 2h è il quadrato di k h, 24

29 CAPITOLO 4 - Gruppi e insiemi di permutazioni 3-transitivi 25 inoltre supponiamo per assurdo che esista k 2h+1 = a 2 con a K ; ricordando che il gruppo (K, ) è ciclico, si ha a = k t da cui k 2h+1 = (k t ) 2 = k 2t e pertanto deve essere (2h + 1) 2t 0 mod (p n 1) ossia 2(h t) mod (p n 1) e ciò è assurdo perchè 2(h t) + 1 è dispari mentre p n 1 è pari. Dunque il sottogruppo H dei quadrati di K è costituito da tutte e sole le potenze di k ad esponente pari perciò gli unici laterali di H rispetto al gruppo (K, ) sono H e kh ossia H ha indice 2 in K e H = pn 1 2. Prima di passare alla costruzione di insiemi e gruppi strettamente 3-transitivi, osserviamo che per noti teoremi non esistono insiemi di permutazioni abeliani e transitivi che non siano gruppi strettamente 1-transitivi e pertanto la ricerca di gruppi e insiemi strettamente 3-transitivi va condotta in ambiti non commutativi. 2. Il gruppo proiettivo lineare P GL(2, K) Sia K un campo qualsiasi e sia K. Posto E = K { } sia { G = α α(x) = ax + b }, a, b, c, d K, ad bc 0 cx + d l'insieme delle applicazioni di E in E ottenute estendendo le operazioni del campo K all'elemento in modo tale che a c se c 0, se c = 0, ( d ). c L'insieme G risulta essere un sottogruppo di Sym E strettamente 3-transitivo su E; viene indicato con P GL(2, K) ed è detto gruppo proiettivo lineare di grado 2 sul campo K. L'elemento ad bc K si dice il determinante della permutazione; se α P GL(2, K) il suo determinante è indicato con det(α). Per il teorema , dividiamo nelle seguenti tre parti la dimostrazione che G = P GL(2, K) è un gruppo strettamente 3-transitivo su E = K { }. (1) P GL(2, K) è un gruppo; (2) P GL(2, K) è transitivo su E; (3) G, stabilizzatore di E, è strettamente 2-transitivo su K = E { }. Dimostrazione.

30 CAPITOLO 4 - Gruppi e insiemi di permutazioni 3-transitivi 26 (1) G = P GL(2, K) è un sottogruppo di Sym E. Siano α, β G, per le proprietà dei determinanti risulta det(αβ) = det(α)det(β) e poichè det(α) 0, det(β) 0 e K è privo di divisori dello zero, risulta det(αβ) 0 e pertanto αβ G. Inoltre per ogni α G poichè det(α 1 ) = 1 si ha che det(α) α 1 G. Rimane così provato che G = P GL(2, K) è un gruppo. (2) G = P GL(2, K) è transitivo su E. Iniziamo con il dimostrare che per ogni y E esiste α G tale che α( ) = y. Se y = ogni α G, α(x) = ax + b, a K, è tale che α( ) =. Se y ogni α G, α(x) = yx+b, b x K, è tale che α( ) = y. Comunque presi x, y E siano α, β G tali che α( ) = x, β( ) = y; risulta βα 1 (x) = y con βα 1 G perchè G è un gruppo e pertanto G = P GL(2, K) è transitivo su E. (3) G è strettamente 2-transitivo su K. Dalla denizione di G, segue che G = {α α(x) = ax + b, a K } è il gruppo ane AG(1, K) che è strettamente 2-transitivo su K come dimostrato nel capitolo 3. Rimane pertanto dimostrato che G = P GL(2, K) è un gruppo strettamente 3-transitivo su E = K { }. 3. Il gruppo proiettivo semilineare P ΓL(2, K) Sia K un campo qualsiasi, / K, E = K { }. Per ogni automorsmo σ Aut K prolunghiamo l'azione di σ a tutto E ponendo σ( ) =. Sia { Γ = α α(x) = aσ(x) + b }, a, b, c, d K, ad bc 0, per ogni σ Aut K = cσ(x) + d = {ασ α P GL(2, K), per ogni σ Aut K} l'insieme delle applicazioni di E in E ottenute estendendo le operazioni del campo K all'elemento in modo tale che a c se c 0, se c = 0, ( d ). c L'insieme Γ risulta essere un sottogruppo di SymE 3-transitivo su E (non strettamente); viene indicato con P ΓL(2, K) ed è detto gruppo proiettivo semilineare.

31 CAPITOLO 4 - Gruppi e insiemi di permutazioni 3-transitivi 27 L'elemento ad bc K si dice determinante della permutazione; se γ P ΓL(2, K) il suo determinante è indicato con det(γ). Dimostriamo che: (1) Γ è un gruppo; (2) Γ è 3-transitivo su E. Dimostrazione. (1) Dimostriamo che Γ è un sottogruppo di SymE. Siano α = ασ, β = βτ Γ con α, β P GL(2, K) e σ, τ Aut K. Si osservi che poichè gli automorsmi di un campo formano un gruppo, se σ, τ Aut(K) allora στ Aut K. Inoltre per ogni α P GL(2, K), indicato det(α) =, risulta det(σα) = σ(det(α)) = σ( ) e pertanto per le proprietà degli automorsmi, se 0 anche σ( ) 0 da cui σα Γ e quindi, oltre a ασ Γ, si ha anche σα Γ. Se dunque ασ = θ, α(x) = a 1x+b 1 c 1 x+d 1, β(x) = a 2x+b 2 c 2 x+d 2, risulta ασ βτ : x a 3θ(x) + b 3 c 3 θ(x) + d 3 con a 3, b 3, c 3, d 3 K, a 3 d 3 b 3 c 3 K e pertanto ασ βτ Γ. Sia ora ασ Γ, si ha α 1 P GL(2, K) e perciò per le osservazioni precedenti si ha (ασ) 1 = σ 1 α 1 Γ. Rimane così provato che Γ = P ΓL(2, K) è un gruppo. (2) Poichè Aut K è un gruppo, sia 1 K l'automorsmo identità su K la cui azione è stata estesa a tutto E. In P ΓL(2, K) esistono le applicazioni α1 K con α P GL(2, K) e pertanto P GL(2, K) P ΓL(2, K). Poichè P GL(2, K) è strettamente 3-transitivo P GL(2, K) P ΓL(2, K), P GL(2, K) P ΓL(2, K) si conclude che Γ = P ΓL(2, K) è 3-transitivo su E ma non strettamente 3-transitivo. Teorema Sia K un campo qualsiasi e sia / K. Posto E = K { } si ha P GL(2, K) sottogruppo normale di P ΓL(2, K). Dimostrazione. P GL(2, K) è un gruppo e poichè per ogni α P GL(2, K) si ha α1 K P ΓL(2, K) con 1 K automorsmo identità, risulta P GL(2, K) sottogruppo di P ΓL(2, K). Siano α P GL(2, K) e βσ P ΓL(2, K), si ha (βσ)α(βσ) 1 = βσασ 1 β 1. Ma σ e σ 1, essendo automorsmi di K, modicano solo i coecienti di α, mentre gli eetti degli automorsmi sull'incognita si annullano e pertanto (βσ)α(βσ) 1 P GL(2, K) ossia P GL(2, K) è normale in P ΓL(2, K).