Università Degli Studi Di Bari Facoltà di Scienze MM.FF.NN

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1 Università Degli Studi Di Bari Facoltà di Scienze MM.FF.NN Corso di Laurea Triennale in Informatica Materiale didattico. Esercizi Indirizzo corso di Laurea Informatica ICD ITPS Brindisi Taranto Questo elaborato non sostituisce in alcun modo uno studio approfondito delle materie spiegate in aula e non è suciente al superamento dell'esame di Matematica Discreta, ma è solo uno dei modi con cui si possono risolvere determinati esercizi proposti. Infatti non esiste un modo unico per la risoluzione di un esercizio. Per qualsiasi dubbio fate riferimento ai vostri docenti. Spero che non vi siano errori gravi, ma nel caso in cui qualcuno ne trovasse, può segnalarmelo al seguente indirizzo nicolotaggio@hotmail.it.

2 Indice 1 Calcolo combinatorio Autore: Nicolò Taggio 1 2 Gruppi Autore: Nicolò Taggio 7 3 Principio di induzione Autore: Nicolò Taggio 12 4 Permutazioni Autore: Nicolò Taggio 16 5 Matrici 20 6 Sistemi di Congruenze Autore: Nicolò Taggio 25 7 Teoria dei Gra 29 i

3 Elenco delle gure 1.1 Possibili scelte per creare una targa Tre possibili funzioni ii

4 Capitolo 1 Calcolo combinatorio Autore: Nicolò Taggio Diamo prima di tutto le seguenti denizioni utili allo svolgimento degli esercizi. Denizione 1. Dicesi permutazione di n oggetti a 1, a 2,..., a n una corrispondenza biunivoca di A = {a 1, a 2,..., a n } in se. In altre parole, una permutazione di n oggetti è un ordinamento di n oggetti. Le permutazioni di n oggetti distinti sono n! (1.1) Le permutazioni di n oggetti dove a 1 si ripete n 1 volte, a 2 si ripete n 2 volte,...,a n si ripete n m volte sono n! n 1!n 2! n m! con n 1 + n 2 + n m = n (1.2) Denizione 2. Dato un insieme di n elementi, vogliamo scegliere k elementi (k n) tutti distinti (semplici) tenendo conto dell'ordine (l'ordine è importante). Si parla allora di disposizioni semplici di n oggetti di classe k ed il suo numero è D(n, k) = n (n 1) (n 2) (n k + 1) (1.3) Denizione 3. Dato un insieme di n elementi, vogliamo scegliere k elementi (k n) tutti distinti (semplici) senza tener conto dell'ordine (l'ordine non è importante). Si parla allora 1

5 CAPITOLO 1. CALCOLO COMBINATORIO AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 2 di combinazioni semplici di n oggetti di classe k ed il suo numero è n (n 1) (n 2) (n k + 1) k! = D(n, k) k! = n! k! (n k)! = ( ) n k (1.4) Denizione 4. Dato un insieme di n elementi, vogliamo scegliere k elementi (k n) non tutti distinti (con ripetizione) tenendo conto dell'ordine (l'ordine è importante). Si parla allora di disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k ed il suo numero è n k (1.5) Denizione 5. Dato un insieme di n elementi, vogliamo scegliere k elementi (k n) non tutti distinti (con ripetizione) senza tener conto dell'ordine (l'ordine non è importante). Si parla allora di combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k ed il suo numero è ( ) n + k 1 k (1.6)

6 CAPITOLO 1. CALCOLO COMBINATORIO AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 3 Esercizio 2.1 Uno studente vuole usare, durante i cinque giorni di lezione settimanali cinque penne diverse, senza mai riutilizzare la stessa penna. Quanti sono i possibili modi con cui può utilizzare le sue penne? Il primo giorno lo studente può scegliere fra 5 penne diverse, il secondo giorno ha solo 4 scelte possibili, il terzo 3 scelte, il quarto 2 scelte ed inne l'ultimo giorno gli rimarrà solo una penna da utilizzare. Sono allora = 5! Abbiamo allora delle permutazioni di n oggetti. Esercizio 2.2 Quante targhe si possono formare utilizzando 4 cifre seguite da 3 lettere (scelte tra 26)? Figura 1.1: Possibili scelte per creare una targa Dunque si tratta per le prime 4 cifre di scelgiere su n oggetti un raggruppamento di 4 elementi, che possono anche ripetersi (AAAA313 è una possibile targa) in cui l'ordine è importante (ABCA213 è una targa diversa da CABA213), quindi stiamo parlando di disposizioni con ripetizione, e dunque sono In modo del tutto analogo si ha per le lettere Concludiamo allora che il numero totale è Esercizio 2.3

7 CAPITOLO 1. CALCOLO COMBINATORIO AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 4 Quante funzioni bigettive ci sono tra due insiemi A e B (anche non coincidenti) con n elementi ciascuno Basta applicare la denizione di permutazione ed ottenere n! Esercizio 2.4 Quanti sono i numeri naturali minori di 500, composti da tre cifre tutte pari e diverse fra loro? 1. Per prima cosa sappiamo che non possiamo superare 500, dunque 0 x 500; 2. la seconda informazione ci dice che il numero deve essere composto da 3 cifre, dunque 100 x 500; 3. terza informazione è che le cifre devono essere tutte pari, dunque il nostro insieme di cifre da assegnare al terzo posto è P 3 = {0, 2, 4, 6, 8} al secondo posto è P 2 = {0, 2, 4, 6, 8} e al primo è P 1 = {2, 4} 4. ultima informazione è che le cifre devono essere tutte diverse fra loro dunque, ssate le cifre del primo posto P 1, al secondo posto devo escludere il valore della prima posizione, dunque per la seconda posizione avrò 4 possibili scelte. Inne per la terza posizione devo escludere i due valori delle precedenti posizioni, dunque avrò altre 3 possibili sclete In denitiva la risposta corretta è = 24 Esercizio 2.5 Quanti anagrammi distinti si possono formare (considerando anche parole senza senso) con la parola MATEMATICA? Esercizio 2.6 Quanti sono i numeri minori di 300 composti da tre cifre tutte dispari e diverse fra loro?

8 CAPITOLO 1. CALCOLO COMBINATORIO AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 5 Quante con cifre dispari uguali fra loro? Quanti quelle con tutte cifre pari e diverse fra loro? Quanti con cifre pari uguali fra loro? Esercizio 2.7 Siano A = {x, y} e B = {1, 2, 4}. Calcolare tutte le possibili funzioni da A a B e da B ad A. Dire quali sono ingettive, suriettive e biettive. Vediamo dapprima le possibili funzioni da A a B. Figura 1.2: Tre possibili funzioni Ricordiamo che la denizione di funzione vuole che ad ogni elemento dell'insieme di partenza debba esistere un ed un solo elemento nell'insieme immagine, quindi tutte le possibili funzioni sono f 1 : x 1 y 1 f 2 : x 1 y 2 f 3 : x 1 y 4 f 4 : x 2 y 1 f 5 : x 2 y 2 f 6 : x 2 y 4 f 7 : x 4 y 1 f 8 : x 4 y 2 f 9 : x 4 y 4 Dunque abbiamo 9 = 3 2 funzioni possibili. In generale, considerando due insiemi A e B rispettivamente di cardinalità n ed m allora il numero di funzioni possibili è m n Dalla denizione di funzione iniettiva, è chiaro che le funzioni iniettive sono f 2, f 3, f 4, f 6, f 7, f 8

9 CAPITOLO 1. CALCOLO COMBINATORIO AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 6 Mentre non possono esestire funzioni surgettive in quanto per denizione ogni elemento dell'immagine deve essere colpito e questo non accade. In particolare dunque non possono esserci funzioni biettive. Fare lo stesso per le funzioni che vanno da B ad A.

10 Capitolo 2 Gruppi Autore: Nicolò Taggio Teorema 1 (Teorema di Lagrange). Ogni sottogruppo di un gruppo nito, ha ordine (ovvero numero di elementi) che divide l'ordine del gruppo. Corollario 1. L'ordine di un elemento di un gruppo nito divide l'ordine del gruppo, dove per ordine di un elemento a di un gruppo si intende il più piccolo intero positivo m tale che a m sia l'identità. Corollario 2. Un gruppo che ha un numero primo di elementi è ciclico, ovvero generato da un elemento diverso dall'identità. Teorema 2 (Inverso di Lagrange). In generale non vale l'inverso del teorema, ovvero se m è un intero positivo che divide l'ordine n = G del gruppo nito G, non è detto che G abbia un sottogruppo di ordine m. Ma se m è la potenza di un primo, allora vale il viceversa del teorema di Lagrange. Denizione 6. Sia g un generatore del gruppo G, n = G e h il periodo allora g h = n M.C.D(n, h) 7

11 CAPITOLO 2. GRUPPI AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 8 Esercizio 3.1 E' dato il gruppo abeliano (Z 5, ) 1. Determinare, se esiste, un generatore di (Z 5, ); 2. Stabilire se l'insieme {[6] 5, [3] 5, [4] 5 } è un sottogruppo di (Z 5, ) 1. Osserviamo che Z 5 = 4. Gli elementi di Z 5 sono Z 5 = {1, 2, 3, 4} Calcoliamo < [1] 5 >= {[1] 5 } < [2] 5 >= {[2] 0 5 = [1] 5, [2] 5, [2] 2 5 = [4] 5, [2] 3 5 = [8] 5 = [3] 5 } = Z 5 Dunque un generatore di Z 5 è [2] 5 2. Per il teorema di Lagrange i sottogruppi devono avere ordine che divide 4, dunque i possibili ordini dei sottogruppi sono m = {1, 2, 4} e dunque {[6] 5, [3] 5, [4] 5 } non è un sottogruppo di (Z 5, ). Esercizio 3.2 E' dato il gruppo abeliano (Z 11, ) 1. Determinare, se esiste, un generatore di (Z 11, ); 2. Determinare l'ordine di [4] 11 in Z 11 ; 3. Determinare i sottogruppi di (Z 11, ); 4. Calcolare [5] 1 11 ([4] 11 + [6] 11 ) nel campo (Z 11, +, ) 1. Osserviamo che Z 11 = 10. Gli elementi di Z 11 sono Z 11 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

12 CAPITOLO 2. GRUPPI AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 9 Calcoliamo < [2] 11 >= {[1] 11, [2] 11, [4] 11, [8] 11, [16] 11 = [5] 11, [10] 11, [20] 11 = [9] 11,, [18] 11 = [7] 11, [14] 11 = [3] 11, [6] 11 } = Z 11 Dunque un generatore di Z 11 è [2] Usando la formula della denizione 13 si ha [4] 11 = [2] 2 11 = 10 M.C.D.(10, 2) = 10 2 = 5 3. Calcoliamo l'ordine di Z 11 Z 11 = 10 Quindi i possibili sottogruppi hanno come possibile ordine 1, 2, 5, 10 (Teorema 1). Calcoliamo quel sottogruppo tale da avere ordine 1 (anche se la cosa è abbastanza banale, cerchiamo di farlo in modo generale). Dobbiamo allora trovare una x 1 tale che [2] x 1 11 = 1 Basta allora utilizzare la formula della denizione M.C.D.(10, x 1 ) = 1 10 = MCD(10, x 1) ossia x 1 = 10. Quindi il sottogruppo di ordine 1 (come era ovvio) è [2] x 1 11 = [2] = [12] 11 = [1] In modo del tutto analogo si trovano gli altri sottogruppi [2] 5 11 ha ordine 2 [2] 2 11 ha ordine 5 [2] 1 11 ha ordine Per calcolare [5] 1 11 ([4] 11 + [6] 11 ), dobbiamo prima di tutto calcolare l'inverso di 5 in Z Infatti [2] 11 [6] 11 = [12] 11 = [1] 11, [3] 11 [4] 11 = [12] 11 = [1] 11, [5] 11 [9] 11 = [45] 11 = [1] 11, etc...

13 CAPITOLO 2. GRUPPI AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 10 Dunque [5] 1 11 ([4] 11 + [6] 11 ) = [9] 11 [10] 11 = [90] 11 = [2] 11 Esercizio 3.3 E' assegnata la legge di composizione interna su Z 7 denita come segue: [x] 7, [y] 7 Z 7, [x] 7 [y] 7 = [x] 7 + [y] 7 + [2] 7 Vericare che 1. Vericare che la struttura algebrica (Z 7, ) è un gruppo abeliano 2. Indicato per ogni [x] 7 Z 7, con [x] 7 l'opposto di [x] 7 rispetto a, calcolare [2] 7 [4] 7 3. Calcolare 3 [4] 7 nel gruppo (Z 7, ) 4. Senza eettuare calcoli, stabilire se (Z 7, ) è ciclico e, in caso aermativo, determinare i generatori 5. Stabilire se la struttura algebrica (Z 7,, ) è un anello, dove [x] 7, [y] 7 Z 7, [x] 7 [y] 7 = [x t] 7 1. Basta utilizzare gli stessi procedimenti visti nel capitolo Strutture Algebriche 2. Dal punto (1) si ottiene che, l'elemento neutro è [e] 7 = [2] 7 = [5] 7, mentre l'opposto è [x ] 7 = [3] 7 [x] 7. A questo punto è facile calcolare [2] 7 = [3] 7 [2] 7 = [1] 7 Quindi [2] 7 [4] 7 = [1] 7 [4] 7 = [1] 7 + [4] 7 + [2] 7 = [0] [4] 7 = [4] 7 [4] 7 [4] 7 = ([4] 7 +[4] 7 +[2] 7 ) [4] 7 = [3] 7 [4] 7 = [3] 7 +[4] 7 +[2] 7 = [2] 7 4. Il gruppo (Z 7, ) è ciclico perhè 7 è un primo. Infatti per il Teorema di Lagrange se [a] 7 allora [a] 7 = 1 oppure 7

14 CAPITOLO 2. GRUPPI AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 11 Quindi escludendo l'elemento neutro, tutti gli altri elementi sono generatori 5. Poichè abbiamo dimostrato che (Z 7, ) è un gruppo abeliano, ci basta dimostrare la distributività, ma per esempio: ([1] 7 [3] 7 ) [2] 7 = ([1] 7 + [3] 7 + [2] 7 ) [2] 7 = [6] 7 [2] 7 = [5] 7 mentre Per cui (A,, ) non è un anello. [1] 7 [2] 7 [3] 7 [2] 7 = [2] 7 + [6] 7 + [2] 7 = [3] 7

15 Capitolo 3 Principio di induzione Autore: Nicolò Taggio Il principio di induzione permette di vericare una determinata uguaglianza per qualsiasi valore n N, senza doverlo provare per ogni singola n, ovvero senza dover eettuare innite operazioni. Il metodo si basa su due passi: Base induttiva Per n = 0 si deve provare la tesi; Vera per n, dimostrare per n+1 Si deve supporre vera la tesi per n (Ipotesi induttiva) e dimostrare l'asserto per n + 1. Esercizio 4.1 Provare che n (2i 1) = n 2 (3.1) i=1 Base induttiva Sia n = 1, allora 1 i=1 (2i 1) = 2 1 = 12 ovvero 2 1 = 1, che risulta essere vera. Notiamo che in questo caso siamo partiti da n = 1 semplicemente perchè non avrebbe avuto senso considerare la sommatoria no ad n = 0, in quanto i partiva da 1. Vera per n, dimostrare per n+1 Supponiamo che la (1.1) sia vera e proviamo che n+1 (2i 1) = (n + 1) 2 (3.2) i=1 12

16 CAPITOLO 3. PRINCIPIO DI INDUZIONE AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 13 Si parte da n+1 i=1 e tramite una serie di uguaglianze si arriva alla tesi. n+1 (2i 1) = i=1 n (2i 1) + 2(n + 1) 1 = i=1 Usiamo l'ipotesi induttiva (1.1) e quindi sostituiamo n i=1 (2i 1) con n2 = n 2 + 2n = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2 che dimostra l'asserto. Esercizio 4.2 Provare che n k=0 1 2 k = n (3.3) Base induttiva Sia n = 0, allora 0 1 k=0 2 k = 1 = ovvero 1 = 1, che risulta essere vera. Vera per n, dimostrare per n+1 Supponiamo che la (1.3) sia vera e proviamo che Si parte da n+1 k=0 n+1 k=0 n+1 k=0 1 2 k = n+1 (3.4) 1 2 k e tramite una serie di uguaglianze si arriva alla tesi. 1 2 k = (togliamo l n + 1 esimo elemento) = n k= k 2 = n+1 Usiamo l'ipotesi induttiva (1.3) e quindi sostituiamo n 1 k=0 con 2 1, 2 k 2 n = n n+1 = (m.c.m) = 2n n+1 = 2n n+1 = (scindendo i temrini) = che prova l'asserto. = n+1 Esercizio 4.3 Provare che n+1 k=1 1 (2 + k)(3 + k) = n + 1 3(n + 4) (3.5)

17 CAPITOLO 3. PRINCIPIO DI INDUZIONE AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 14 Base induttiva 1 Sia n = 0, allora = 1, che risulta essere vera. (2+1)(3+1) 3 4 Vera per n, dimostrare per n+1 Supponiamo che la (1.5) sia vera e proviamo che n+2 k=1 1 (2 + k)(3 + k) = n + 2 3(n ) (3.6) Si parte da n+2 k=1 tesi. 1 = n+2 (2+k)(3+k) 3(n+5) e tramite una serie di uguaglianze si arriva alla PROVA TU A RISOLVERLA, ALLA FINE DEVI TENER PRESENTE CHE TI VERRA UN POLINOMIO DI SECONDO GRADO IN n CHE SI POTRA' SCRIVERE COME (n + 4)(n + 2) Dimostrare che Esercizio 4.4 n 0 : 2n 3 + 3n 2 5n è multiplo di 6. Base induttiva Sia n = 0 allora P (0) = 0, che ovviamente è un multiplo di 6. Vera per n, dimostrare per n+1 Supponiamo vero che 2n 3 + 3n 2 5n sia multiplo di 6 e proviamo che 2(n + 1) 3 + 3(n + 1) 2 5(n + 1) è multiplo di 6. Dire che 2n 3 + 3n 2 5n è multiplo di 6 vuol dire che k Z tale che 2n 3 + 3n 2 5n = 6k Quindi 2(n + 1) 3 + 3(n + 1) 2 5(n + 1) = 2n 3 + 3n 2 5n + 6n 2 + 6n n = Usiamo il fatto che 2n 3 + 3n 2 5n = 6k = 6k + 6n n = 6(k + n 2 + 2n) Ponendo t = k + n 2 + 2n Z, si ha la tesi.

18 CAPITOLO 3. PRINCIPIO DI INDUZIONE AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 15 Provare che Provare che Dimostrare che Esercizio 4.5 n+1 (2i + 1) = n 2 + 4n + 4 (3.7) n i=1 i=0 Esercizio i 2 1 = n 2n + 1, n N (3.8) Esercizio 4.7 n 0 : 3 2n 1 è multiplo di 8.

19 Capitolo 4 Permutazioni Autore: Nicolò Taggio Esercizio 5.1 Sia assegnata la permutazione di S 9 : ( ) f = Scomporre f nel prodotto di cicli disgiunti e determunare la classe di parmutazione 2. determinare la permutazione inversa della permutazione f 3. determinare l'ordine di f nel gruppo (S 9, ) 4. scrivere gli elementi del sottogruppo H di (S 9, ) generato da f 5. determinare l'ordine di tutti gli elementi di H 1. f = ( ) (3 9), dunque f è di classe pari, infatti σ 1 = ( ) e σ 2 = (3 9) sono due cicli di lunghezza pari e quindi di classe dispari, pertanto (f) = (σ 1 ) (σ 2 ) = ( 1) ( 1) = 1 2. Calcoliamo la permutazione inversa di f ( ) ( ) f = =

20 CAPITOLO 4. PERMUTAZIONI AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 17 ( ) f 1 = L'ordine di f in (S 9, ) è f = m.c.m.( σ 1, σ 2 ) = m.c.m.(4, 2) = 4 4. H =< f >= {f n n Z} = {f, f 2, f 3, f 4 = id}. Quindi f = ( ) (3 9) f 2 = (2 4) (5 7) f 3 = ( ) (3 9) f 4 = id Naturalmente tutte le altre potenze di f coincidono con una tra le permutazioni f, f 2, f 3, f E' ovvio che f = 4, f 2 = 2, f 3 = 4, f 4 = 1 Esercizio 5.2 Siano assegnate le seguenti permutazioni di S 8 : ( ) f = ( ) g = Determinare 1. f 1, g 1 ; 2. g f, f g; 3. (g f) 1, (f g) 1 1. f = ( ) (6 7 8), g = ( ) (3 5 7), dunque f 1 = ( ) (6 8 7)

21 CAPITOLO 4. PERMUTAZIONI AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 18 g 1 = ( ) (3 7 5) 2. Dobbiamo calcolare f g = ( )(6 7 8) ( )(3 5 7) Procediamo allora nel modo seguente si chiude così il primo ciclo. g f {}}{{}}{ g f {}}{{}}{ g f {}}{{}}{ g f {}}{{}}{ g f {}}{{}}{ g f {}}{{}}{ g f {}}{{}}{ g f {}}{{}}{ Abbiamo così costruito la seguente permutazione f g = ( )(3 2 4) Analogamente si trova g f = (1 5 4)( ) 3. (f g) 1 = ( )(3 4 2) (g f) 1 = (1 4 5)( ) Esercizio 5.3 Sia assegnata la permutazione di S 9 : ( ) f =

22 CAPITOLO 4. PERMUTAZIONI AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 19 (a) Scomporre f nel prodotto di cicli disgiunti e determinare la classe di parmutazione (b) determinare la permutazione inversa della permutazione f (c) determinare l'ordine di f nel gruppo (S 9, ) (d) scrivere gli elementi del sottogruppo ciclico H di (S 9, ) generato da f (e) determinare l'ordine di tutti gli elementi di H (f) vericare che l'insieme K = {id, (35), (26), (35) (26)} è un sottogruppo di (S 9, ). Esercizio 5.4 Sia assegnata la permutazione di S 9 : ( ) f = (a) Scomporre f nel prodotto di cicli disgiunti e determinare la classe di parmutazione (b) determinare la permutazione inversa della permutazione f (c) determinare l'ordine di f nel gruppo (S 9, ) (d) scrivere gli elementi del sottogruppo ciclico H di (S 9, ) generato da f (e) determinare l'ordine di tutti gli elementi di H (f) assegnato un gruppo (G, ), un suo elemento g ed un suo sottoinsieme H, enunciare una condizione necessaria e suciente anchè H sia un sottogruppo di G e denire il sottogruppo ciclico generato da g

23 Capitolo 5 Matrici Esercizio 6.1 Sia A Mat 4 3 (R) e B Mat 3 3 (R), A = , B = Determinare (a) A B, B A; (b) A, B ; (c) (AB) (a) A B = C dove C Mat 4 3 (R), A B = Infatti c 11 = = 18, c 21 = = 12, c 31 = = 11 e c 41 = = 17 c 12 = = 29, c 22 = = 20, c 32 = = 26 e c 42 = = 30 20

24 CAPITOLO 5. MATRICI 21 c 13 = = 34, c 23 = = 28, c 33 = = 26 e c 43 = = 28. Notiamo che il prodotto tra B e A non può essere eettuato in quanto le colonne di B non hanno le stesse dimensioni delle righe di A. (b) (c) A = , B = (A B) = Esercizio 6.2 Sia A Mat 4 3 (C) e B Mat 3 3 (C), Determinare (a) A B, B A; (b) A, B ; (c) (AB) 2 i 4 1 5i 2 A = 0 5i 3 3i 0 i 1, B = i 4 + i 5i (a) A B = C dove C Mat 4 3 (C), i 30i i A B = i 15i i i 2 4i i 20i 8 Dove si è utilizzata l'identità i 2 = 1. Notiamo che il prodotto tra B e A non può essere eettuato in quanto le colonne di B non hanno le stesse dimensioni delle righe di A.

25 CAPITOLO 5. MATRICI 22 (b) (c) 2 0 3i i A = i 5i 0 0, B = 5i 0 5i (A B) = 4 3 i i i i i 30i 15i 10 5i 20i i i 2 4i 8 Esercizio 6.3 Sia A Mat 2 2 (R) e B Mat 2 2 (R), Determinare (a) det A; (b) det B; (c) det(ab) [ ] 2 3 A =, B = 5 6 [ ] 1 (a) det(a)=2 6 3 ( 5) = 27 (b) det(b)= 1 4 ( 1) 4 = 1 (c) [ ] 7 10 A B = Dunque det(ab)= = 27 Esercizio 6.4 Sia A Mat 3 3 (C), A = Determinare (a) Complementi algebrici,

26 CAPITOLO 5. MATRICI 23 (b) Determinante di A, (c) Inversa di A, (d) A (a) ( ) ( ) ( ) c 1,1 = det, c 1,2 = det, c 1,3 = det ( ) ( ) ( ) c 2,1 = det, c 2,2 = det, c 2,3 = det ( ) ( ) ( ) c 3,1 = det, c 3,2 = det, c 3,3 = det Dunque c 1,1 = 3, c 1,2 = 20, c 1,3 = 15 c 2,1 = 1, c 2,2 = 4, c 2,3 = 3 c 3,1 = 2, c 3,2 = 14, c 3,3 = 10 (b) (c) (d) ( ) ( ) det(a) = 5 det 1 det = A 1 = (c 3/2 1/2 1 ij) deta = /2 3/ A = Esercizio 6.5 Sia A Mat 3 3 (C) e B Mat 3 3 (C), Determinare i 2i 3i A = 0 0 0, B =

27 CAPITOLO 5. MATRICI 24 (a) A B, B A; (b) A, B ; (c) (AB) Esercizio 6.6 Sia A Mat 3 3 (C), A = Determinare (a) Complementi algebrici, (b) Determinante di A, (c) Inversa di A, (d) A

28 Capitolo 6 Sistemi di Congruenze Autore: Nicolò Taggio Esercizio 7.1 Risolvere il seguente sistema di congruenze x 1 mod 7 x 3 mod 5 x 1 mod 2 Osserviamo che MCD(7, 5) = MCD(5, 2) = MCD(2, 7) = 1, quindi possiamo utilizzare il Teorema cinese dei resti: N = = 70, N 1 = 5 2 = 10, N 2 = 7 2 = 14, N 3 = 7 5 = 35 Detto questo iniziamo con il risolvere b 1 = 1 b 2 = 3 b 3 = 1 N 1 x 1 mod 7 10x 1 mod 7 10 è congruo a 3 modulo 7, qundi 10x 1 mod 7 3x 1 mod mod7 x 5 mod7 dove abbiamo usato il fatto che 5 è l'inverso di 3. Più in dettaglio, dato che 7 25

29 CAPITOLO 6. SISTEMI DI CONGRUENZE AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 26 è primo, ogni elemento di Z 7 è invertibile, quindi elementi di Z inversi Dunque x 1 = 5. Consideriamo ora N 2 x 1 mod 5 14x 3 mod 5 14 è congruo a 4 modulo 5, qundi 14x 1 mod 5 4x 1 mod mod5 x 4 mod5 dove abbiamo usato il fatto che 4 è l'inverso di 4. Dunque x 2 = 4. Inne N 3 x 1 mod 2 35x 1 mod 2 35 è congruo a 1 modulo 2, qundi 35x 1 mod 2 x 1 mod 2Dunque x 3 = 1. Possiamo usare la formula di risoluzione x 0 = b 1 N 1 x 1 + b 2 N 2 x 2 + b 3 N 3 x 3 mod N = mod70 Dunque la soluzione del sistema è x 0 = k, k Z Avremmo anche potuto utilizzare la sostituzione, sicuramente utile quando il Teorema Cinese dei Resti non può essere utilizzato. Consideriamo la prima congruenza x 1 mod 7 k Z t.c. x = 1 + 7k

30 CAPITOLO 6. SISTEMI DI CONGRUENZE AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 27 sostituiamolo nella seconda congruenza x 3 mod k 3 mod 5 7k 2 mod 5 2k 2 mod 5 k 1 mod 5 h Z t.c. k = 1 + 5h x = h sostituiamolo nella terza congruenza x 1 mod h 1 mod 2 35h 1 mod 2 h 1 mod 2 h 1 mod 2 t Z t.c. h = 1 + 2t x = t Esercizio 7.2 Risolvere il seguente sistema di congruenze { 2x 6 mod 4 x 3 mod 5 Ricordiamo che, dato una congruenza lineare ax b mod n 1 allora essa ha soluzione se e solo se MCD(a, n 1 ) b e inoltre è equivalente a (a/mcd(a, n 1 ) x b/mcd(a, n 1 ) mod n 1 (a, n 1 ). Dunque dato che MCD(2, 4) = 2 6, la prima congruenza equivale alla risoluzione della seguente x 3 mod 2 A questo punto basta utilizzare il Teorema cinese dei resti al seguente sistema di congruenze { x 3 mod 2 x 3 mod 5 N = 2 5 = 10, N 1 = 5, N 2 = 2 b 1 = 3 b 2 = 3 Si trova che x 1 = 1 x 2 = 3 Mentre la soluzione è x 0 = k k Z. Esercizio 7.3

31 CAPITOLO 6. SISTEMI DI CONGRUENZE AUTORE: NICOLÒ TAGGIO 28 Risolvere il seguente sistema di congruenze 2x 3 mod 11 50x 5 mod 7 3x 12 mod 45 Riduciamo prima di tutto il sistema in forma normale, 2x 3 mod mod 11 x 7 mod 11, 50x 5 mod 7 x 5 mod 7, 3x 12 mod 45 x 4 mod 15. A questo punto basta utilizzare il Teorema cinese dei resti al seguente sistema di congruenze x 7 mod 11 x 5 mod 7 x 1 mod 15 Esercizio 7.4 Risolvere il seguente sistema di congruenze 2x 1 mod 3 3x 5 mod 4 22x 33 mod 121 Esercizio 7.5 Risolvere il seguente sistema di congruenze { x 0 mod 7 x 3 mod 5

32 Capitolo 7 Teoria dei Gra Esercizio 8.1 Si consideri il seguente Grafo (a) Provare che G è planare e vericare la formula di Eulero (b) Stabilire se G ammette un cammino o un circuito Euleriano e in caso aermativo evidenziarlo (c) Vericare che G è bipartito e individuare i due partiti (d) Tracciare due alberi di supporto di G non isomor (a) Una rappresentazione planare di G è 29

33 CAPITOLO 7. TEORIA DEI GRAFI 30 Dunque G è planare. Inoltre si verica che V L + F = = 2 dove, ovviamente, V sono il numero di vertici, L sono il numero di lati e F sono il numero di facce. (b) Non esiste ne un cammino ne un circuito euleriano. Infatti, un circuito euleriano esiste se e solo se non esistono vertici di grado dispari (in G i vertici b, c, d, e hanno grado dispari), mentre esiste un cammino euleriano se e solo se esistono 2 vertici di grado dispari. (c) Si osserva facilmente che non vi sono circuiti di lunghezza dispari, quindi G è bipartito. Ricordiamo che per denizione, un grafo è bipartito se l'insieme V dei suoi vertici si può scrivere come l'unione di due insiemi disgiunti V = V 1 V 2 in modo che ogni vertice di V 1 sia unito con un lato ad ogni vertice di V 2, mentre due vertici di V 1 non sono collegati da un lato. Dunque ssato un vertice a, e posto che a V 1, sicuramente gli elementi adiacenti ad a, b, h, l, d V 2, mentre gli elementi che distano 2 da a c, g, e V 1. Rimane da capire dove inserire i ed f. Si osserva che i è adiacente a g quindi i V 2 e f è adiacente a e quindi f V 2. Dunque V 1 = {a, c, e, g} V 1 = {b, h, f, i, l, d} (d) I due alberi di supporto non isomor sono i seguenti Dove il primo ha cammino di lunghezza massima pari a 8, mentre il secondo ha un cammino di lunghezza massima pari a 6. Esercizio 8.2

34 CAPITOLO 7. TEORIA DEI GRAFI 31 Sia G un albero avente 1 vertice di grado 6, 2 di grado 5, 2 di grado 4, 1 di grado 3, 4 di grado 2 e nessuno di grado maggiore. (a) Determinare il numero di vertici e il numero di lati (b) Disegnare due alberi non isomor aventi entrambi le caratterisctiche del punto precedente (a) Essendo G un albero il numero di lati è pari al numero di vertici meno 1, dunque L = V 1 L = x 1 = 9 + x dove con x abbiamo indicato il numero di vertici di grado 1 (che è ovviamente una incognita). Per il lemma delle strette di mano L = 1 2 v V d(v) = x ( x 1) = 2 2 Uguagliando le due equazioni, si ha 9 + x = 35 + x x = 35 + x x = 17 Quindi L = = 26 V = 27 (b) I due alberi non isomor sono i seguenti

35 CAPITOLO 7. TEORIA DEI GRAFI 32 Esercizio 8.3 Sia G un albero avente 2 vertice di grado 6, 1 di grado 5, 1 di grado 4, 3 di grado 3, 4 di grado 2 e nessuno di grado maggiore. (a) Determinare il numero di vertici e il numero di lati (b) Disegnare un grafo avente le caratterisctiche del punto precedente (c) Vericare che G è bipartito e individuare i due partiti (a) Essendo G un albero il numero di lati è pari al numero di vertici meno 1, dunque L = V 1 L = x 1 = 10 + x dove con x abbiamo indicato il numero di vertici di grado 1 (che è ovviamente una incognita). Per il lemma delle strette di mano L = 1 2 v V d(v) = x ( x 1) = 2 2 Uguagliando le due equazioni, si ha 10 + x = 38 + x x = 38 + x x = 18 Quindi L = = 28 V = 29 (b) Il grafo avente le caratteristiche richieste è (c) Come è noto dalla teoria, ogni albero è un grafo bipartito. Si ssa v 0 V 1 e si ha V 1 = {v V d(v, v 0 )dispari} dove per d(v, v 0 ) si intende la lunghezza del cammino da v a v 0. Esercizio 8.4

36 CAPITOLO 7. TEORIA DEI GRAFI 33 Si consideri il seguente Grafo (a) Provare che G è planare e vericare la formula di Eulero (b) Stabilire se G ammette un cammino o un circuito Euleriano e in caso aermativo evidenziarlo (c) Vericare che G non è bipartito e motivarne la risposta (d) Tracciare due alberi di supporto di G non isomor Esercizio 8.5 Si consideri il seguente Grafo (a) Provare che G è planare e vericare la formula di Eulero (b) Stabilire se G ammette un cammino o un circuito Euleriano e in caso aermativo evidenziarlo (c) Vericare che G è bipartito e individuare i due partiti (d) Tracciare due alberi di supporto di G non isomor