Esercizi sulle funzioni

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1 Esercizi sulle funzioni Esercizio 1 1 Nel 1989 circa diplomati delle scuole superiori statunitensi erano intenzionati a laurearsi in ingegneria. Questa cifra è scesa a circa nel 1995 ed è risalita a nel Modellate questo numero I come funzione definita a tratti del tempo t in anni trascorso dal Utilizzate il modello per stimare il numero dei diplomati intenzionati a laurearsi in ingegneria nel Soluzione. La funzione I(t), che descrive il numero approssimato di studenti intenzionati ad iscriversi alla facoltà di ingegneria, è una funzione del tempo t (espresso in anni). Consideriamo questa funzione negli anni compresi dal 1989 al 1999, dove t = 0 rappresenta l anno 1989 (più precisamente l 1 gennaio 1989). I dati dell esercizio sono riportati nella seguente tabella: t I(t) Il dominio di I è l insieme [0, 10]. Si assume che la situazione descritta possa essere ben approssimata dalla seguente funzione definita a tratti: { 2 500t t 6 I(t) = 750t < t 10. Tale funzione è stata determinata nel modo seguente: 1. il primo tratto si ottiene dall equazione della retta passante per i punti di coordinate 2 (0, ) (6, ); 2. il secondo tratto si ottiene dall equazione della retta passante per i punti di coordinate (6, ) (10, ). Si osservi che la pendenza è negativa nel primo tratto (e quindi la funzione è decrescente), mentre è positiva nella seconda parte (funzione crescente). Il grafico della funzione è riportato nella figura 1. 1 Il testo è tratto dall esercizio 46, p. 54, in [WC1]. 2 In alternativa possiamo determinare l equazione della retta y = mx + b, nota la pendenza m e le coordinate di un punto. Ad esempio, dato il punto (0, ), conosciamo l ordinata all origine, mentre m = y x =

2 I(t) t Figura 1: Scelte di carriera. Cosa si può dire di I(8), ovvero del numero di studenti che saranno intenzionati ad iscriversi ad ingegneria nel 1997? Possiamo stimare tale numero sulla base del modello appena descritto. Si trova I(8) = = Esercizio 2 Siete il direttore dell ufficio vendite della società Alpha che produce software e dovete decidere a quale prezzo vendere un nuovo programma. Sia q la variabile che descrive la quantità di programmi venduti dalla società e si ipotizzi che q dipenda dal prezzo unitario p in base alla relazione q = 1 2 p Si rappresenti graficamente e si risolva analiticamente (illustrando tutti i passaggi) il problema della determinazione del prezzo che massimizza i ricavi. Soluzione. Il ricavo totale, che indicheremo con R, è dato dal prodotto tra la quantità venduta q per il prezzo unitario p. Nel caso in esame, R è una funzione del prezzo p. R(p) = q(p) p. La funzione di domanda q = 1 2 p + 250, descrive la quantità domandata in funzione del prezzo (il suo grafico è riportato nella figura 2 (a)). Risulta R = q p = ( 12 ) p p = 1 2 p p. Dobbiamo stabilire qual è il prezzo che massimizza i ricavi. 2

3 q R V p p (a) (b) Figura 2: Rappresentazione grafica della funzione di domanda e della funzione ricavo. Si osservi che il ricavo è una funzione quadratica del prezzo unitario (il suo grafico è riportato nella figura 2 (b)). Chiaramente siamo interessati solo a valori non negativi del prezzo e del ricavo; ci limitiamo, quindi, allo studio della funzione per valori di p 0 e R 0. Come appare chiaro dal grafico della funzione, il massimo è raggiunto in corrispondenza del vertice 3 della parabola di equazione Il prezzo che massimizza i ricavi è e il ricavo massimo R = 1 2 p p. p = = 250 R = 1 2 (250) = Sebbene non richiesto dall esercizio, potremmo anche essere interessati a determinare il livello di vendite ottimale, che risulta q = = Esercizio 3 Alla fine della prima settimana dopo il lancio di un nuovo prodotto della società Alpha i profitti ammontavano a euro, mentre dopo un mese tali profitti ammontavano a euro. Assumendo che i profitti siano descritti da una funzione esponenziale del tempo, 3 Può essere utile ricordare che le coordinate del vertice della parabola y = ax 2 + bx + c sono date da V = ( b 2a, 4a ), dove = b2 4ac. 3

4 trovare un modello che permetta di prevedere il livello dei profitti dopo t settimane, utilizzare il modello per stimare l ammontare dei profitti dopo 6 settimane dal lancio del prodotto, commentare l attendibilità delle stime ottenute. Soluzione. Indichiamo con π il profitto. Il profitto, nel caso in esame, è una quantità che si evolve nel tempo. Quindi π (variabile dipendente) sarà una funzione del tempo t, π = π(t) t 0. Consideriamo come istante iniziale t = 0 l epoca corrispondente alla fine della prima settimana. Assumiamo che t sia il tempo espresso in settimane (con 1 mese = 4 settimane). Si assume che il profitto sia una funzione esponenziale del tempo, ovvero una funzione del tipo y = A b x, dove A e b > 0 sono due parametri. Con la notazione introdotta, scriveremo π(t) = A b t, e cercheremo di determinare i valori dei parametri a partire dai dati del problema. È immediato osservare che A = π(0) = A b 0 = A 1. All epoca iniziale la funzione assume il valore A. Utilizzando una notazione maggiormente informativa, scriveremo π(t) = π 0 b t π 0 = π(0). Riassumiamo i dati del problema: t = 0 π(0) = t = 4 π(4) = Si tratta di risolvere il seguente sistema di due equazioni in due incognite (π 0 e b > 0): { π0 b 0 = da cui si ricava immediatamente π 0 b 4 = π 0 =

5 E+15 9E+14 8E+14 7E+14 6E+14 5E+14 4E+14 3E+14 2E+14 1E+14 t t (a) (b) Figura 3: Grafico della funzione del profitto π(t) nei primi 3 mesi (a) e nel primo anno (b). e per sostituzione 150 b 4 = 850 b = Possiamo quindi scrivere il seguente modello esponenziale e utilizzare tale modello per calcolare π(6), π(t) = ( ) t t 0 π(6) = ( ) 6 = Il modello trovato è attendibile (può essere tranquillamente utilizzato) per stimare il profitto in corrispondenza di qualsiasi epoca t? Cosa succede per t grande? Si osservino i due grafici riportati in figura 3 e si traggano le opportune conclusioni. Esercizio 4 Un noto ristorante del centro incrementa ogni anno del 5 % il numero dei clienti. Dopo quanto tempo il numero di clienti sarà aumentato del 50 %? Soluzione. Indichiamo con N(t) la funzione che descrive il numero di clienti al variare del tempo (espresso in anni). Assumiamo 4 N : R + R +. Cerchiamo di costruire un modello matematico idoneo a descrivere il problema in esame. In t = 0, il numero dei clienti sarà N(0). Supponiamo che questo valore sia noto (sia cioè un parametro del nostro problema) e adottiamo la notazione N(0) = N 0. 4 Il numero dei clienti dovrebbe essere intero..., ma qui assumiamo sia un numero reale non negativo. 5

6 15000 N(t) 200 N(t) t t 0 t t 10 Figura 4: N(t) = N 0 (1.05) t, N 0 = 100. Procediamo come segue: t = 0 N(0) = N 0 t = 1 N(1) = N 0 + 5% N 0 = N 0 ( ) = N 0 (1.05) t = 2 N(2) = N(1)(1.05) = N 0 (1.05) 2 t = 3 N(3) = N(2)(1.05) = N 0 (1.05) t = n N(n) = N(n 1)(1.05) = N 0 (1.05) n Abbiamo così costruito una successione di valori per N(t), dove (t = 0, 1, 2,...). In generale, poiché il tempo t (espresso in anni) può assumere valori t 0, possiamo scrivere N(t) = N 0 (1.05) t. Il modello così determinato è esponenziale del tipo y = A b x, con b = 1.05, e quindi crescente, essendo la base b > 1 (si veda la figura 4). Ci si chiede dopo quanto tempo il numero di clienti sarà aumentato del 50 %. Osservato che N(t) = N % N 0 = 1.5 N 0, si tratta di risolvere, rispetto alla variabile t, la seguente equazione: 1.5 N 0 = N 0 (1.05) t 1.5 = (1.05) t. Si ha t = log = ln1.5 = , ln1.05 che corrisponde circa a 8 anni, 3 mesi, 22 giorni. 6

7 Esercizio 5 5 Le due confraternite SigmaAlphaMu ed EpSig decidono di raccogliere assieme denaro da destinare alle persona senza casa di Long Island. Venderanno magliette nello Student Center, ma non hanno ancora stabilito il prezzo. Il cassiere di SigmaAlphaMu ricorda che una volta sono riusciti a vendere 400 magliette in una settimana a $ 8 l una, mentre il cassiere di EpSig afferma che in base alle epserienze passate, si possono vendere 600 magliette alla settimana a un prezzo di $ 4 l una. Basandovi su queste poche informazioni, costruite un equazione di domanda lineare per le magliette; esprimete poi il ricavo settimanale R come funzione del prezzo unitario p. L amministrazione dell università chiede alle confraternite $ 500 alla settimana per l utilizzo dello Student Center. Scrivete il profitto mensile π come funzione del prezzo unitario p; determinate il prezzo che le confraternite dovrebbero fissare per ottenre il maggior profitto settimanale possibile. Qual è il maggior profitto settimanale possibile? Soluzione. Sia q la quantità di magliette venduta. La funzione di domanda lineare che si ottiene a partire dai dati del problema è la seguente Si ha Il ricavo settimanale è dato da q = 50p R(p) = q(p) p = 50p p. La funzione di costo settimanale è indipendente dalla quantità venduta (e dal prezzo). C = 500. Il profitto mensile Π è dato dalla differenza tra il ricavo mensile e i costi mensili (ovvero è quattro volte il profitto settimanale): Π = 4R 4C = 200p p Si deve determinare qual è il prezzo che massimizza il profitto settimanale π, dove π = 50p p 500. Il profitto è una funzione quadratica del prezzo e raggiunge il suo massimo in corrispondenza di p = 800 2( 50) = 8. Il massimo profitto è allora π = Il testo è tratto dall esercizio 24, p. 236, in [WC1]. 7

8 Esercizio 6 6 Una lettura dei profitti e ricavi annui dell azienda Ypsilon sulla base dei dati relativi al periodo fornisce la funzione seguente come espressione dei profitti in termini dei ricavi: P(R) = 0.175R 18.9 dove P ed R sono espressi in milioni di euro. 1. Quali informazioni sull azienda vi dà la pendenza? 2. Utilizzate il modello per trovare un equazione che esprima i costi annui C come funzione affine dei ricavi annui. 3. Quali informazioni sull azienda vi dà la funzione del punto precedente? Soluzione. 1. La pendenza in questo modello è ed esprime di quanto aumenta il profitto dell azienda per ogni unità di ricavo, cioè per ogni milione di euro di ricavi il profitto cresce di euro. Affinché l azienda sia in attivo il ricavo annuo deve quindi attestarsi sul valore di R che annulla l equazione R 18.9 = 0, e cioè 2. Ricordiamo che da cui si ha e quindi si ha R = 18.9 = 108 milioni di euro Profitto = Ricavo Costo, Costo = Ricavo Profitto, C(R) = R P(R) = R 0.175R = 0.825R , che è effettivamente una funzione affine. 3. Dalla relazione precedente otteniamo che l azienda Ypsilon ha dei costi fissi di produzione di 18.9 milioni di euro, e che per ogni milione di euro di ricavi euro di essi vengono assorbiti dai costi di produzione. 6 Il testo è ispirato all esercizio 30, p. 52, in [WC1]. 8

9 Esercizio 7 7 L immobiliare Alicetti costruisce un complesso abitativo. Maggiore sarà il numero di case costruite, minore sarà il prezzo che gli inquilini saranno disposti a pagare per via dell affollamento: per 50 case il prezzo offerto è AC, mentre per 80 case solo AC. Assumendo che vi sia una relazione affine fra il prezzo offerto e la quantità di case costruite calcolare quante case vanno costruite per massimizzare il ricavo. A quanto ammonta il ricavo massimo? Soluzione. La relazione fra prezzo e quantità è dunque: p = mq + k dove m e k sono i due parametri da determinare. Imponendo le condizioni fornite dai dati a disposizione si ottiene il seguente sistema di equazioni: { = 50m + k = 80m + k Risolvendolo otteniamo m = 2000 e k = , per cui la forma esplicita della relazione fra il prezzo e la quantità è p = 2000q A questo punto il ricavo diventa: R(q) = pq = ( 2 000q )q = 2 000q q. (1) La relazione è dunque quadratica e il suo grafico è quello di una parabola con la concavità rivolta verso il basso; dunque per trovare la quantità che da il ricavo massimo dovremo calcolare l ascissa del vertice della parabola, la cui espressione è b 2a ; essendo b = e a = nel nostro caso si ha che q max = 75AC. Il ricavo massimo è quindi R max = R(q max ) = = AC. Esercizio 8 8 I ricavi di C&C ammontavano a 5 miliardi di euro nel 1999, mentre sono di 7.2 miliardi di euro nel Trovare un modello affine ed uno esponenziale dei ricavi di C&C in funzione del tempo t trascorso dal Quale dei due modelli rappresenta meglio quello della tabella seguente? 0 (1999) (2004) Il testo è ispirato all esercizio 22, p. 236, in [WC1]. 8 Il testo è ispirato all esercizio 66, p. 251, in [WC1]. 9

10 Soluzione. Ricordiamo che un modello affine dei ricavi in funzione di t è della forma mentre uno esponenziale è della forma R(t) = mt + k R(t) = ab t dove m, k, a, b sono dei parametri da determinare. Imponendo le condizioni fornite dai dati sui ricavi nel 1999 e 2004 al modello affine si ottiene il sistema { 5 = 0 m + k 7.2 = 5 m + k da cui si ricava m = 0.44 e k = 5, per cui il modello affine è R(t) = 0.44 k + 5. Analogamente per il modello esponenziale si ottiene il sistema { a b 0 = 5 da cui si ricava che il modello esponenziale è a b 5 = 7.2 R(t) = 5 (1.44) t 5. Per vedere quale dei due modelli rappresenta meglio i dati della tabella tracciamone il grafico e confrontiamolo con i punti corrispondenti ai dati della tabella: ,7 5, , , , Si nota come il modello che rappresenta meglio i dati sia dunque quello affine. 10

11 Esercizio 9 9 Il numero di furti di televisori raddoppia ogni 4 mesi. Calcolare in quanto tempo triplica. Soluzione. Indichiamo con N(t) il numero di furti di televisori in funzione del tempo, dove come unità di tempo prendiamo 4 mesi, cioè t = 0 significa oggi, t = 1 significa 4 mesi, t = 2 significa 8 mesi, ecc...allora dai dati in nostro possesso abbiamo che, se N(0) = a, si ha N(1) = a 2, N(2) = N(1) 2 = a 2 2, e in generale N(k) = a 2 k per ogni k 0 come si prova facilmente per induzione 10. Il modello quindi che esprime il numero di furti di televisori in funzione del tempo espresso in unità di 4 mesi è un modello esponenziale. Per conoscere ogni quanto tempo il numero di televisori triplica dobbiamo risolvere l equazione N(k + x) = 3N(k) nell incognita x, ossia dobbiamo trovare il periodo di tempo incognito x tale che dopo che esso è trascorso a partire dal momento k il numero dei furti è triplicato rispetto a quelli al momento k. Si ottiene quindi a2 k+x = 3a2 k da cui semplificando 2 x = 3 che ha come soluzione x = log , e dunque il numero di furti triplica ogni mesi. Esercizio Analisi del punto di pareggio. Oliver Company sta pianificando la commercializzazione di un prodotto. In base a ricerche di mercato, stima di riuscire a vendere fino a unità nel Il prezzo di vendita sarà di 2 euro per unità. I costi variabili sono stimati nella misura del 40 % del ricavo totale. I costi fissi per il 2005 sono stimati in euro. Quante unità deve vendere l azienda per andare in pareggio? Soluzione. Per definizione il punto di pareggio è la quantità q tale per cui il profitto Π(q) è nullo, ossia R(q) = C(q). Dal problema sappiamo che i ricavi totali sono lineari, R(q) = 2q, mentre i costi di produzione, dati dalla somma dei costi fissi e di quelli variabili, sono una funzione affine della quantità q, ossia C(q) = R(q) = q 9 Il testo è tratto dall esercizio 26, p. 259, in [WC1]. 10 Per k = 0 la tesi è ovviamente vera; supponiamola vera per k e proviamola per k + 1: è N(k + 1) = N(k) 2 = (ip. induttiva) a 2 k 2 = a 2 k+1 come si voleva. 11 Il testo è tratto dall esercizio 35, p. 52, in [WC1]. 11

12 Eguagliando i ricavi totali ai costi di produzione, otteniamo la seguente equazione: da cui si ricava il punto di pareggio q 2q = q, q = = Notiamo che per valori di q (5000, 5500], Oliver Company realizzerà dei profitti, ossia Π(q) > 0. Esercizio Tiratura dei quotidiani. La tabella seguente riassume le tirature giornaliere medie di tutti i quotidiani di Alpha e Beta, due importanti società editrici di quotidiani: Alpha Beta Numero di giornali Tiratura giornaliera (milioni) a. Utilizzare questi dati per esprimere la tiratura giornaliera c di una società editrice, come funzione lineare n dei quotidiani pubblicati? b. Gamma pubblica 10 quotidiani e ha una tiratura giornaliera di 2.1 milioni. In che misura ciò è coerente con il modello? c. Individuare un dominio all interno del quale il vostro modello sia coerente con una tiratura compresa tra 0 e 5.2 milioni. Soluzione. a. Dalla tabella ricaviamo le coordinate di due punti del grafico della tiratura giornaliera c come funzione del numero n dei quotidiani: (25, 3.7) e (18, 2.3). La pendenza è: m = c 2 c = n 2 n = = 0.2. Utilizzando il punto (25, 3.7) otteniamo il modello lineare: 12 Il testo è tratto dall esercizio 28, p. 51, in [WC1]. c = c 0 + m(n n 0 ) = (n 25) = 0.2n

13 b. In base al modello lineare, la tiratura giornaliera di 2.1 milioni è quella di una società editrice con un numero n di quotidiani, arrotondato al più vicino intero positivo, pari a: 2.1 = 0.2n 1.3 n = 17. Pertanto, la società editrice Gamma, con una tiratura giornaliera media di 2.1 milioni, pubblica un numero di quotidiani minore rispetto a quello indicato dal modello lineare. c. Per individuare un dominio coerente con il modello lineare definito dall equazione c = 0.2n 1.3, calcoliamo i valori della variabile indipendente n per i quali l equazione assume i valori (espressi in milioni) c = 0 e c = 5.2: e 0 = 0.2n 1.3 n = 6.5; 5.2 = 0.2n 1.3 n = Pertanto, gli interi positivi 7, 8,..., 32 definiscono un dominio coerente con 0 c(n) 5.2. Esercizio Ricavi. Better Baby Buggy Co. ha appena proposto un nuovo modello, il Turbo. Il dipartimento delle ricerche di mercato stima che l azienda riesca a vendere 200 Turbo al mese a $60, ma solo 120 a $100. Se assumiamo che la domanda sia lineare, a quale prezzo l azienda deve vendere i passeggini per ottenere il massimo ricavo? Qual è il ricavo mensile massimo? Soluzione. pendenza m: Dalle coordinate dei due punti (60, 200) e (100, 120) è possibile ricavare la m = q 2 q = p 2 p = = 2; Utilizzando il valore trovato di m e uno dei due punti, diciamo il primo (60, 200), ricaviamo l equazione della retta: L equazione del ricavo mensile R è data da: q = q 0 + m(p p 0 ) = 200 2(p 60) = 2p R = p q = p ( 2p ) = 2p p. 13 Il testo è tratto dall esercizio 20, p. 236, in [WC1]. 13

14 Trattandosi dell equazione di una parabola, sappiamo che il massimo ricavo si ottiene in corrispondenza dell ascissa del vertice, ossia per un livello del prezzo p uguale a: Pertanto, il ricavo mensile massimo è pari a: p = b 2a = 320 2( 2) = 80. R(80) = 2(80) (80) = Esercizio Riscaldamento globale. Il gas maggiormente responsabile per effetto serra è l anidride carbonica. In base alla previsione più pessimistica delle Nazioni Unite, la quantità di anidride carbonica nell atmosfera (in parte di volume per milione) è approssimabile con C(t) 277e t, 0 t 350 dove t è il tempo in anni trascorsi dal a. Utilizzate il modello per stimare la quantità di anidride carbonica presente nell atmosfera nel 1950, 2000, 2050 e b. Quando, approssimando alla decina di anni, il livello supererà 700 parti per milione? Soluzione. a. La quantità di anidride carbonica presente nell atmosfera negli anni 1950, 2000, 2050, 2100 è pari rispettivamente a: per t = = 200 C(200) 277e , per t = = 250 C(250) 277e , per t = = 300 C(300) 277e , per t = = 350 C(350) 277e b. Per trovare il valore di t, arrotondato alla decina di anni, per cui C(t) > 700 parti per milione, scriviamo la seguente equazione esponenziale: che in forma logaritmica diventa: 14 Il testo è tratto dall esercizio 74, p. 251, in [WC1]. 700 = 277e t, t = log e

15 Possiamo ora esplicitare t t = log e 700 log e Occorreranno quindi approssimativamente 270 anni (ossia, intorno all anno 2020) perchè la quantità di anidride carbonica presente nell atmosfera superi il livello di 700 parti per milione. Esercizio La tabella seguente riporta i dati relativi alle vendite mondiali trimestrali di microprocessori e il prezzo medio di vendita all ingrosso per ogni trimestre II trim III trim I trim. prezzo ingrosso $235 $215 $210 vendite (milioni) Ricavare dai dati del secondo trimestre 1997 e del primo trimestre 1998 una funzione lineare di domanda di microprocessori. Utilizzate il modello per stimare le vendite mondiali trimestrali nel caso in cui il prezzo passi a $ 215. È possibile rappresentare tutti e tre i punti dati tramite la stessa funzione lineare di domanda? Soluzione. Si assume che la funzione di domanda sia di tipo lineare affine, q(p) = mp + b, dove q rappresenta la quantità (il numero di microprocessori venduti) e p il prezzo unitario. Imponiamo alla retta di passare per i due punti di coordinate (235, 21) e (210, 23). Si tratta di calcolare i valori di m e b che soddisfano al sistema di due equazioni in due incognite: { 21 = 235m + b da cui si ricava La funzione di domanda risulta quindi m = Il testo è tratto dall esercizio 10, p.49, in [WC1]. 23 = 210m + b b = q = 2 25 p

16 Se p = 215, sostituendo tale valore nella funzione di domanda appena determinata si ha q(215) = = 113 = È evidentemente impossibile che tutti i tre punti riportati nella tabella si dispongano linearmente; si osservi che il prezzo relativo al terzo trimestre del 1997 è intermedio tra i prezzi relativi agli altri due periodi considerati (235 > 215 > 210), ma le vendite corrispondenti risultano superiori. Esercizio Se la stima della popolazione mondiale nel 1900 era di 1.6 miliardi e nel 1990 di 5.3 miliardi 17, assumendo una crescita esponenziale, cerchiamo una funzione adatta a rappresentare il fenomeno. In quale momento del mondo esistevano solo due persone? Commentare la vostra risposta. Soluzione. Esprimiamo la funzione nella forma: y = A b t, dove t è il tempo espresso in anni, con 0 t 90 (t = 0 corrisponde all anno 1900). Il problema consiste nel trovare la curva esponenziale passante per i punti di coordinate (0, 1.6) (90, 5.3), il sistema da risolvere è il seguente { 1.6 = A b = A b 90. Dividendo la seconda equazione per la prima, si ottiene b 90 = b = ( ) La soluzione è quindi A = 1.6 b = Per sapere quando sono esistiti Adamo ed Eva (da soli), bisogna risolvere l equazione = 1.6 ( ) t t = ln( ) ln Si osservi che il risultato è negativo (stiamo tornando indietro nel tempo, a partire dal 1900) e si ha t Secondo il modello adottato, Adamo ed Eva dovrebbero essere vissuti circa 400 anni d.c.! 16 Il testo tratto dall esercizio 70, p. 251, in [WC1]. 17 Assumiamo che entrambe le stime si riferiscano all inizio (o entrambe alla fine) dell anno di riferimento. Quindi dal 1900 al 1990 contiamo esattamente 90 anni. 16

17 Esercizio La quantità di carbonio-14 che rimane in un campione di peso A grammi è data da C(t) = A ( ) t, indicando con t il tempo in anni 19. Qual è l età di un fossile in cui solo il 30 % del carbonio- 14 è decaduto. Soluzione. Se un fossile di peso A ha visto decadere il 30 % del proprio carbonio (quindi conservandone il 70 % = 0.7), si ricava l età del fossile risolvendo la seguente equazione: 0.7A = A ( ) t 0.7 = ( ) t t = ovvero 2950 anni circa. ln0.7 ln , 18 Il testo tratto dall esercizio 12, p. 259, in [WC1]. 19 Quindi ogni anno se ne conserva più del 99, 9 %. 17

18 Bibliografia [BC] Barozzi, G.C., C. Corradi (1999). Matematica Generale per le Scienze Economiche. Il Mulino, Bologna. [WC1] Waner S., S.R. Costenoble (2002). Strumenti Quantitativi per la Gestione Aziendale. Funzioni. Algebra Lineare e Matematica Finanziaria. Apogeo, Milano. 18