Equazioni di Maxwell. F i s i c a s p e r i m e n t a l e c d l C h i m i c a

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1 Equazioni di Maxwell F i s i c a s p e r i m e n t a l e c d l C h i m i c a I I

2 Riepilogo principali espressioni ρ E = ε 0 db E = B = 0 J c B = ε 0 in generale E Φ sono tra loro in contrasto conservazione della carica elettrica forza agente su di una carica legge di moto dρ J = F=q E+v B ( dp d v F= = m0 v c

3 J c B= ε0 J = 0 invece che: dρ J = Si nota che: Tutte le volte che dρ 0 la legge di Amper porta a risultati assurdi o contraddittori Un esempio per tutti: sfera di materiale radioattivo che emetta particelle α

4 per calcolare il campo magnetico a distanza R dal centro della sfera R Circonferenza di raggio r su di una sfera di raggio R Γ B dl = ε 0 c S J n ds i B π r = J(R π r = π r ε 0c ε 0 c 4π R i Da cui: B = r ε 0 c 8π R dipende dal raggio della circonferenza!!!

5 Per superare dette contraddizioni Maxwell propose di modificare la legge di Amper tramite l aggiunta di un termine al secondo membro J c B= + X ε0 Questo è sono uno degli infiniti modi in cui la legge di Amper può essere modificata Che condizione dobbiamo imporre a riguardo del termine aggiuntivo? J 0= + X ε0 Accordo con la legge di conservazione della carica elettrica J d X = = ρ ε0 ε 0 Conosciamo una possibile funzione candidata?

6 ρ Dalla: E = ε0 Una possibile soluzione: d d d E = E = ρ ε 0 d X= E solo una delle infinite possibili Maxwell propose quindi J d c B= + E ε 0 Come si può essere sicuri che la modifica proposta sia quella giusta?

7 Essa sana le contraddizioni, ma questo non può essere il motivo per cui si considera corretta la modifica de Γ B dl = ε 0 c S J n ds + c S n ds R B π r = de(r i dq J(R π r + π r = π r + πr ε0c c ε 0 c 4π R c 4πε 0 R i B π r = r + r ( i = 0 ε 0 c 4R c 4ε 0 R B=0 le contraddizioni sono sanate dall accordo con la conservazione della carica, ma vi sono infiniti modi di ottenere l accordo!

8 ρ E = ε 0 db E = B = 0 J de c B = ε + 0 prima equazione di Maxwell seconda equazione di Maxwell terza equazione di Maxwell quarta equazione di Maxwell Con la modifica apportata, il complesso delle quattro equazioni predice fenomeni nuovi Si tratta di verificare sperimentalmente se detti fenomeni realmente esistono Se la verifica è positiva, si deve concludere che la modifica apportata è corretta

9 Dove è la novità? ρ E = ε 0 db E = B = 0 J de c B = ε + 0 ρ = 0 J = 0 E = 0 E = db B = 0 de c B = Se non fossero presenti le derivate temporali La soluzione sarebbe: E = 0 B = 0

10 E = 0 db E= B = 0 de c B = Dato che per ρ = 0 J = 0 I secondi membri non sono identicamente nulli Si hanno soluzioni in assenza di cariche e correnti che dipendono dalla particolare forma dei secondi membri Da qui la possibilità di verifica sperimentale

11 Due lastre infinite uniformemente cariche Y S Se le due lastre sono ferme non avremo campi elettrici e magnetici nello spazio esterno S V X E = 0 B = 0 Se, all istante t=0, forniamo alla lastra positiva una velocità v diretta come in figura Z Avremo delle correnti dirette come y Campi magnetici nel piano zx

12 Se non ci fosse il termine correttivo di Maxwell: A " B X " Z c B dl =c b B x B x a σv = ε 0 c a σv b = ε0 indipendente dalla distanza Quindi, mettendo in moto la lamina, il campo passerebbe da 0 al valore finito trovato Il campo quindi dipenderebbe dal tempo e questo genererebbe campi elettrici, secondo la legge di Faraday db E =

13 Come sarà diretto il campo elettrico? Y S indica che è diretto in modo da opporsi alla causa che lo genera S " X V " db E = Ovviamente anche il campo elettrico generato sarà dipendente dal tempo % % Z Senza il termine aggiuntivo di Maxwell questo effetto non si ripercuoterebbe sul valore del campo magnetico Ma, se la correzione è giusta, il modo con cui abbiamo valutato il campo magnetico non è corretto, ed il valore trovato è errato

14 Di quanto avremo sbagliato? L errore sarà tanto maggiore quanto più grande è il lato a del rettangolo A " B X " omesso il flusso della derivata del campo elettrico Z Quindi: nelle immediate vicinanze il risultato trovato risulterà praticamente corretto a grande distanza il valore del campo magnetico potrà essere completamente diverso da quanto calcolato

15 Diamo una soluzione e verifichiamola Y "% S S " " A X V % % X T AT X La verifica andrà fatta a cavallo del fronte Z d c B b = Φ ( E = bα E A " B X " Relazione tra i moduli dei campi #AMPO ELETTRICO ENTRANTE Z &RONTE DEL CAMPO AL TEMPO htv E c = B α

16 Y Nel piano perpendicolare S Y #AMPO MAGNETICO ENTRANTE S A " " % X V B % % % Z X #AMPO MAGNETICO USCENTE &RONTE DEL CAMPO AL TEMPO htv d E b = Φ ( B = b ( B α da cui: E =α B E c si era trovato: = B α Le due relazioni concordano solo se α=c

17 Y Le altre due equazioni S ΦS E = 0 ( S " X V " % % ΦS B = 0 ( sono ovviamente sempre soddisfatte Z in quanto le linee di campo sono rette giacenti su piani paralleli a quello delle lastre ed il modulo del campo dipende solo dalla distanza

18 La soluzione: Y Campi perpendicolari alla direzione lungo la quale si muove il fronte "% S Fronte che si muove con velocità c S " V " C X % % X T CT X Modulo dei campi uniforme Campi tra loro perpendicolari di moduli Modulo dei campi nullo Z σv B ( x < ct = ε 0 c σv E ( x < ct = ε 0 c soddisfa le equazioni di Maxwell

19 Valgono in generale Y Campi perpendicolari alla direzione lungo la quale si muove il fronte "% S Fronte che si muove con velocità c S " V " C X % % X T CT X Modulo dei campi uniforme Campi tra loro perpendicolari Z σv B ( x < ct = ε 0 c Valgono nel caso particolare Modulo dei campi nullo σv E ( x < ct = ε 0 c

20 Le lamine sono due. Supponiamo, al tempo t=t, di muovere anche la seconda lamina con identica velocità della prima dato che è carica di segno opposto, produrrà campi opposti a quelli generati dalla prima Y Z S S X C T " X V " X C T 4 % % Z Campi magnetici generati dalle due lastre in moto X

21 Z Z X C T 4 X C T X C T 4 X X C T X I campi occupano solo uno straterello di spazio definito da c(t-t < x < c t Adesso le lastre possono essere anche poste a contatto in modo che le cariche si neutralizzino a vicenda Ciò non produrrà alcun effetto sullo straterello occupato dai campi, i cui fronti continueranno a muoversi entrambi con velocità c

22 Fino ad ora i campi non potevano essere separati dagli oggetti materiali. Venivano introdotti per superare la difficoltà concettuale delle interazioni a distanza, ma se ne poteva fare a meno Se si riconosce che possono sussistere anche indipendentemente dagli oggetti, allora essi divengono un soggetto fisico a tutti gli effetti: cambia l ottica con cui guarda a Giustifica il cambiamento tutto quanto di nome delle equazioni ricavato Z X C T 4 X C T X

23 Fenomeni simili accadono realmente? Nella risposta a questa domanda risiede la giustificazione del termine introdotto da Maxwell Occorre generare, nella stessa regione di spazio, sia campi elettrici che magnetici e vedere se siano o meno in grado di propagarsi nello spazio I Punto di partenza: ε = ε 0 cos (ω t E, Circuito RLC # Campo magnetico Campo elettrico di q ε ir L = 0 C

24 I di q ε ir L = 0 C E, derivando rispetto al tempo # d d d i ε = R i+l i+ C i ℑ0 e jω t ε ε e Passando alla notazione complessa: 0 jω ε 0 e ℑ0 = jω t = R jω ℑ0 e jω t R R + L ω ω C ε0 L ω ℑ0 e jω t j Lω = ω C + ℑ0 e jω t C ℑ0 = R ε0 R + L ω ω C j Lω ω C R + L ω ω C jω t ε0 R + j Lω ω C = ε0 R + L ω ω C e jϕ

25 ε0 ℑ0 = R + L ω ω C Impedenza e jϕ B ( x,t = B ( x cos (ω t + ϕ i = i0 cos (ω t + ϕ t i0 q = i0 cos (ω t + ϕ = sin (ω t + ϕ ω 0 I E, # Sfasamento E ( t = E0 sin (ω t + ϕ Il problema è che il campo elettrico è confinato tra le armature del condensatore mentre il campo magnetico è nello spazio esterno

26 I I E E,, # # Sia il campo elettrico che quello magnetico occupano la stessa regione di spazio I E, # Possono quindi intervenire le derivate temporali dei campi

27 Heinrich Hertz I campi si propagano come previsto dalle equazioni di Maxwell e valgono per loro le stesse leggi dell ottica geometrica Pure la velocità con cui si propagano è numericamente uguale a quella della luce

28 Questo porta a riconoscere la luce come campi elettromagnetici che si propagano nello spazio

29 Soluzioni delle Equazioni di Maxwell ρ E = ε 0 db E = B = 0 J de c B = ε + 0 Cerchiamo di riscrivere queste equazioni in modo che sia evidente il tipo di soluzione da loro ammessa Due delle quattro equazioni ci serviranno per introdurre delle funzioni potenziale esprimendo in termini di questi i campi Le altre due serviranno per ricavare materialmente i potenziali

30 Se Dalla: B = 0 allora: db E = da E + =0 Quindi: B= A E = d A ( da = da E+ = Φ potenziale scalare B= A da E = Φ

31 Dato che il potenziale vettore determina entrambi i campi se: A A + ϕ allora occorre cambiare pure il potenziale scalare secondo la: d Φ Φ ϕ Veniamo adesso alle altre due equazioni: quelle che servono per determinare i potenziali ρ E = ε0 da ρ Φ = ε 0

32 Φ+ d A ( = ρ ε0 La divergenza del potenziale vettore è arbitraria, quindi la possiamo scegliere in modo da semplificare l equazione Potremmo rendere l equazione identica a quella dell elettrostatica! Vediamo prima l ultima relazione J de c B= + ε 0 da d Φ J c A = + ε0 ( dφ d A J c A A + + = ε0 (

33 Φ+ d A ( = ρ ε0 dφ d A J c A A + + = ε0 ( La maggiore difficoltà risiede nel fatto che entrambi i potenziali sono legati sia alle cariche che alle correnti Non conviene quindi scegliere A = 0 Possiamo usare la scelta sulla divergenza in modo da separare le dipendenze dφ A = c Calibro di Lorentz

34 d Φ ρ Φ = c ε0 d A J A = c c ε0 Sono quattro equazioni strutturalmente identiche La prima connette il potenziale scalare alle densità di carica Le altre connettono il potenziale vettore alle tre componenti del vettore densità di corrente I primi membri sono simmetrici nelle quattro coordinate: x, y, z ed ict

35 ρ E = ε 0 db E = B = 0 J de c B = ε + 0 La novità viene dallo spazio vuoto! B = A E = Φ da d Φ ρ Φ c = ε 0 d A J A c = c ε 0 B = A E = Φ da d Φ Φ = 0 c d A A c = 0

36 Quali soluzioni ammette la: d Φ Φ = 0 c Oltre la ovvia Φ ( r,t =0 d d d d Φ Φ+ Φ+ Φ = 0 dx dy dz c Una soluzione di questa equazione è Costanti date Φ ( r,t = Φ 0 sin π k r υ t + ϕ ( ( Vettore dato Infatti: d Φ = Φ sin π k r υ t + ϕ π kx ( 0 dx ( ( ed analoghe

37 infine d Φ = Φ sin π k r υ t + ϕ π υ ( 0 ( ( per cui: d d d d Φ υ Φ + Φ + Φ = Φ 0 sin π k r υ t + ϕ ( π kx + ky + kz = 0 dx dy dz c c ( ( che implica la condizione: Quindi: υ kx + ky + kz = k = c Φ ( r,t = Φ 0 sin π k r υ t + ϕ con k qualunque ( ( e υ=ck è soluzione per lo spazio vuoto

38 Uguali soluzioni saranno valide per le singole componenti del potenziale vettore Quali saranno i punti dello spazio in cui, ad un dato istante la fase è la stessa? π ( k r υ t + ϕ = costante k r = costante N K Dato valore della proiezione di r lungo k R R Il luogo di tali punti è un piano avente normale parallela al vettore k Si parla quindi di : Onde piane

39 Possiamo quindi scegliere un asse coordinato nella direzione del vettore k Φ ( r,t = Φ 0 sin ( π ( k x υ t + ϕ Φ ( r,t = Φ 0 sin ( π k ( x ct + ϕ Come cambia nel tempo il luogo dei punti corrispondenti a fase assegnata? x ct = costante x = costante + ct Trasla nel tempo con velocità pari a c in direzione concorde al vettore k

40 Φ ( r,t = Φ 0 sin ( π k ( x ct + ϕ Alcune definizioni: Lunghezza d onda Di quanto debbo spostarmi nella direzione del vettore d onda per fare si che la fase vari di π? Periodo Quanto tempo devo attendere perché, in un dato punto, la fase vari di π? λ= k T= = kc υ Ampiezza Di quanto differiscono i valori massimo e medio? Φ0

41 In generale, i potenziali Vettore e Scalare potranno essere espressi come combinazione lineare di onde piane Φ ( r,t = Φ n sin π kn r υ n t + ϕ n n ( ( Ai ( r,t = Ai n sin π kn r υ n t + ϕ n n ( ( con Differiscono tra loro per modulo, direzione e verso υ n = c kn i = { x, y, z} È necessario il segno -? _ + Φ ( r,t = Φ n sin π kn r υ n t + ϕ n + Φ n sin π kn r + υ n t + ϕ n+ n ( ( n ( ( ed analoghe per il potenziale vettore

42 Possiamo domandarci: Prescindendo dalle sommatorie, le funzioni base debbono necessariamente essere seni o coseni? La risposta è negativa. Quello che è importante è la dipendenza della funzione dalle variabili spaziali e temporali Caso unidimensionale: Φ = f ( x ct + g ( x + ct Funzioni arbitrarie d d Φ Φ= dx c è soluzione

43 Questo non contraddice quanto detto a proposito delle onde piane in quanto esistono dei teoremi, dovuti a Fourier, che mostrano come f ( x ct = C ( k sin ( π k ( x ct dk ed insegnano come valutare i coefficienti C(k Questo per i potenziali, ma per i campi? Se i potenziali possono essere espressi come combinazione lineare di seni e coseni lo stesso varrà per i campi in quanto essi si deducono dai potenziali attraverso derivazioni

44 Vediamo la cosa esplicitamente, ricavando le equazioni differenziali a cui debbono obbedire i campi B= A ora B= A = A d A A= c d A d B= = A c c ( d B = B c ( ( per cui e quindi formalmente identica alla Allo stesso modo si ricava che d A A = c d E= E c

45 Orientazione spaziale di k, E e B E = 0 db E= E e B sono ortogonali alla direzione di propagazione k B = 0 de c B = E e B sono tra loro ortogonali E = E0 sin π k r ω t ( E = π E0 x kx + E0 y ky + E0 z kz cos π k r ω t = 0 ( ( ( E k = 0 E0 x k x + E0 y k y + E0 z k z = E0 k = 0 Allo stesso modo si trova che B k = 0

46 db E = E = E0 sin π k r ω t B = B0 sin π k r ω t ( ( prendiamo la componente z ( E (E z ( E z dbz = = π E0 x ky E0 y kx cos π k r ω t = Bzω cos π k r ω t ( ( k E0 y kx Bz 0x y E k B ( ed analoghe E B k

47 Soluzioni per onde sferiche _ + Φ ( r,t = Φ n sin π kn r υ n t + ϕ n + Φ n sin π kn r + υ n t + ϕ n+ n ( ( n ( ( è utile quando il numero di termini nella sommatoria è piccolo Non sarà adatta se si i vettori k differiscono anche in direzione Per descrivere ciò che accade in tutta la zona di spazio che attornia la distribuzione di cariche è opportuno ricercare soluzioni base che abbiano simmetria sferica Φ(r,t = Φ ( r,t

48 d Φ ( r,t Φ ( r,t = 0 c Data la simmetria sferica, conviene scrivere l operatore in coordinate sferiche, tenendo conto che la funzione dipende solo dal modulo della distanza ( d d d f (r = f (r x + y + z dx dr dx = d x f (r dr r d d d d x f r = f r + f r + x x + y + z ( ( ( r r dx dr dr dx ( d d d x x f (r = f (r + f (r dx dr r dr r r d d d d f (r = f (r + f ( r ( 3 = f ( r + f (r dr dr r dr r dr

49 ora: per cui d d d d d r f ( r = f ( r + r f ( r = f ( r + r f ( r ( dr dr dr dr dr d d d f ( r = f ( r + f (r = r f ( r ( dr r dr r dr d Φ ( r,t Φ ( r,t = 0 c d d r Φ ( r,t Φ ( r,t = 0 ( r dr c d d r Φ ( r,t ( r Φ ( r,t = 0 ( dr c Per il prodotto rφ vale la stessa equazione differenziale trovata per il caso unidimensionale

50 Potremo scrivere quindi: Φ ( r,t = ( f ( r ct + g ( r + ct r Per grandi distanze vi è una attenuazione Quale è il significato fisico dell attenuazione dell onda? Per quale motivo non vi era attenuazione nel caso dell onda piana? Notare che per piccole distanze gli andamenti tendono ad essere simili r cos(r r

51 Campi al tempo t=t Campi al tempo t=3t La densità di energia è proporzionale al quadrato del modulo del campo Man mano che l onda si espande il volume occupato dai campi aumenta come il quadrato della distanza E dv = costante

52 Un secondo aspetto: Φ ( r,t = ( f ( r ct + g ( r + ct r Per cui si una sempre: Significato fisico della eliminazione Φ ( r,t = f ( r ct r

53 Un problema apparente Φ ( r,t = f ( r ct r Divergenza nell origine Per quale motivo? L equazione differenziale usata non è corretta in prossimità dell origine Usando la: d Φ ( r,t Φ ( r,t = S ( r,t c La divergenza non vi sarebbe

54 Vediamo dal punto di vista fisico cosa dobbiamo attenderci Cambiamento di variabile Invece di: Φ ( r,t = f ( r ct r scriviamo: Zona occupata dalle sorgenti Φ ( r,t = r r f t c P DV Per valutare la situazione in p possiamo usare il principio di sovrapposizione

55 DV P R r, dφ ( r,t = df t r, c R Integrando: Φ ( r,t = Se il punto è molto lontano da tutte le sorgenti: r, V r, df t c r r Φ ( r,t df t = g t rv c r c come già visto

56 R DV Se il punto è interno al sistema di correnti P R Φ ( r,t = r, V r, df t c dovremmo in teoria escludere l elemento di volume che lo contiene tuttavia: df dl 3 per cui E quindi, sempre: Φ ( r,t = df dl r r, V r, df t c

57 Φ ( r,t = r, V r, df t c resta da trovare l espressione della funzione f in termini delle sorgenti Domandiamoci per questo a cosa essa si riduce in prossimità delle sorgenti r, df t df ( t c Se sono interessato a vedere ciò che accade al tempo t, debbo valutare una opportuna funzione al tempo t-r/c Ritardo temporale

58 r, df t df ( t c Quanto dovrò essere vicino per poter trascurare il termine di ritardo temporale? Non si tratta di una distanza fissata Occorre che in un tempuscolo pari ad r/c le condizioni fisiche della sorgente non siano variate in modo apprezzabile Avvicinandoci sufficientemente ci porteremo sempre in tale condizione Invece della: r, dφ ( r,t = df t r, c Avremo: dφ ( r,t = df ( t r,

59 dφ ( r,t = df ( t r cosa ci ricorda? potenziale Coulombiano dovuto ad una carica dq dq dφ ( r = 4πε 0 r connesso con l equazione differenziale: ρ Φ= ε0 Vi è la dipendenza dal tempo, ma esso non interviene nell operatore differenziale e quindi appare come un semplice parametro ρ (t Φ (t = ε0

60 Questa analogia era da attendersi? Mai nulla è statico, cosa significa quindi Elettrostatica o Magnetostatica? L evoluzione temporale dei parametri è talmente lenta che possiamo, in ogni momento, riferirci ai valori caratteristici di quell istante,come se perdurassero per un tempo infinito Questa è proprio l approssimazione insita nell omettere il ritardo temporale Questa considerazione ci permette di identificare la funzione f Tra df e le sorgenti dei campi vi sarà la stessa relazione che intercorre tra dq ρ dv = 4πε 0 4πε 0 e ρ ε0

61 Quindi: df ( t = s(r,tdv 4π ρ(r,t ε 0 s(r,t = J i (r,t ε 0 c Identificata la funzione, reintroduciamo il ritardo temporale Φ ( r,t = r, V r, df t c ρ (,t r, / c dv Φ (,t = 4πε 0 r, J (,t r, / c A (,t = dv 4πε 0 c r, E = Φ d A B = A

62 ρ (,t r, / c Espressioni praticamente dv Φ (,t = identiche a quelle dei casi 4πε 0 r, statici; vi è solo da tener J,t r / c ( dv conto del ritardo temporale., A (,t = 4πε 0 c r, d E = Φ A B = A Anche se le espressioni dei potenziali sono simili, il ritardo temporale ha grosse conseguenze sull andamento dei campi Infatti Φ ( r,t = f ( r ct r descrive sia l andamento dei potenziali che dei campi

63 Non è più vero che i potenziali vanno come r- mentre i campi come r- Entrambi vanno come r- Az = cos(t r / c r A+ = r Esempio: i = i0 cos(ω t A = r Potenziale in funzione della distanza a tempo fissato

64 L andamento del potenziale è simile all andamento asintotico, quindi il campo va come r- Az = cos(t r / c r A+ = Il potenziale dipende dalla distanza più fortemente degli andamenti asintotici, quindi i campi sono più intensi di quelli statici. Per questo dipenderanno dalla distanza meno di quanto non ne dipendano quelli statici r A = r Potenziale in funzione della distanza a tempo fissato

65 A grande distanza, successivi minimi e massimi del potenziale sono espressi da numeri opposti a a d a r+λ r A dr λ rλ r

66 Per questo possiamo vedere la luce delle stelle! Nebulosa M6