DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA

Transcript

1 DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA 1. Introduzione La teoria della Relatività è una teoria affascinante per tutti e il suo fondatore, Albert Einstein, è probabilmente il personaggio più noto in tutta la storia del pensiero scientifico. Tuttavia ben pochi la conoscono effettivamente ed in generale si ritiene che si tratti di una teoria molto difficile ed astratta, rivolta soltanto agli specialisti. In realtà la sua prima parte, detta Relatività Speciale o Ristretta, è comprensibile anche da parte di coloro che non hanno una preparazione matematica e fisica a livello universitario. Può dunque essere molto interessante esporre le basi della teoria della Relatività Speciale a studenti delle classi IV e V di un Liceo, mostrando loro a quali conclusioni strabilianti portano le idee di Einstein con lo stravolgimento di concetti fondamentali come quello di spazio e tempo e conseguenze molto lontane dalle nostre comuni percezioni. Nel 1905 la prestigiosa rivista Annalen der Physik pubblica tre articoli su un tema completamente nuovo: la relatività. Nel post-scriptum compare una equazione sibillina : E = Mc 2. L autore è un giovane e sconosciuto impiegato dell Ufficio Brevetti di Berna: Albert Einstein. Quindici anni dopo, le ricerche astronomiche confermano con l esperienza la sua teoria. Nasce così uno dei grandi miti del Novecento. 2. Introduzione storica alla relatività speciale La teoria della relatività fu formulata all inizio del XX secolo ad opera di Albert Einstein. Essa è diventata ormai un luogo comune in fisica: è data per scontata e viene usata

2 2 ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA quotidianamente dagli scienziati nello studio dei fenomeni atomici molto raffinati, nella fisica nucleare e soprattutto nella fisica delle alte energie Chi era Albert Einstein? Gli antefatti Siamo all inizio del Sul treno Monaco - Milano un ragazzo di 16 anni medita sul proprio futuro. Ha appena lasciato il Gymnasium, dove lo avevano iscritto i genitori, per raggiungerli in Italia. Non è stata una decisione facile perché ha così rinunciato all università, ma non ne poteva più di quel sistema educativo rigido e severo. I genitori, in seguito a difficoltà finanziarie avevano deciso di lasciare Monaco con la figlia piccola Maja e avevano lasciato Albert a terminare l anno scolastico presso una famiglia di conoscenti. Albert nasce nel 1879 nel decennio che vede l unificazione tedesca sotto l egida della Prussia. Nel volgere di una sola generazione, quella di Bismark e dei genitori di Albert, la Germania diventa una nazione ricca, nel pieno di un galoppante processo di industrializzazione. Non mancano però i contrasti dovuti alle differenze religiose, sociali e regionali che solo lo sviluppo del nazionalismo e del militarismo riescono in parte a mascherare. L infanzia di Albert si svolge in un clima di esaltazione della forza e glorificazione della tradizione culturale tedesca: Kant, Goethe, Schiller, Beethoven. I Gymnasien sono gli istituti dove si forma l elite del paese, riflettono quel modo di pensare e vi si impartisce un insegnamento autoritario che esige dagli studenti un nozionismo quasi enciclopedico assieme ad una disciplina quasi militare. Sono proprio queste le cose che Albert non riesce a sopportare e dunque, disgustato dalla disciplina militare e incitato dall ostilità di alcuni professori che non tollerano la sua indipendenza di giudizio e la sua libertà di pensiero, Albert decide di partire per l Italia. Un altro movente lo spinge a lasciare la Germania: sottrarsi al servizio militare. Spera di ottenere in tempo la nazionalità svizzera (che ebbe nel 1901) in modo da non essere considerato un disertore. Vedendolo giungere in Italia, i suoi genitori sono certamente preoccupati. Il figlio ha volontariamente rinunciato ad accedere all Università e quindi alle professioni che garantiscono sicurezza finanziaria. Il padre Hermann infatti, pur dotato di spiccate disposizioni per la matematica, aveva dovuto rinunciare all università in quanto ebreo non benestante e aveva dovuto occuparsi degli affari di famiglia. Ora, la Germania di Bismark è più aperta nei confronti degli ebrei, anzi si è di fronte a un incredibile ascesa sociale di questi ultimi. L uscita dal

3 DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA 3 ghetto era stato un processo lento ed irreversibile iniziato dopo gli ideali della rivoluzione francese: vari decreti avevano sancito la totale e definitiva emancipazione degli ebrei nel Albert, nato 10 anni dopo, appartiene alla prima generazione di ebrei tedeschi i cui diritti sono riconosciuti per legge sin dalla nascita! In quegli anni di crescita economica, gli ebrei, da poco emancipati, partecipano attivamente allo sviluppo e vengono ad occupare in poco tempo importanti posizioni economiche. I genitori di Albert, ebrei non praticanti, probabilmente sono convinti che l antisemitismo presto sarà un ricordo, che l integrazione culturale sarà piena, che gli ebrei tedeschi saranno presto tedeschi come gli altri e quindi nutrono per il figlio speranze di una carriera borghese Perché in Italia. Il Politecnico di Zurigo Verso il 1880 il boom economico favorisce la Baviera dove risiede la famiglia Einstein. Hermann, spinto dal fratello Jakob che ha inventato una dinamo, avvia un industria per la sua commercializzazione. Ma non ha fortuna negli affari! Decide così di tentare la sorte in Italia dove la diffusione dell elettricità sta muoventdo i primi passi. Tutta la famiglia emigra così a Milano lasciando Albert al Gymnasium. Dopo il raggiungimento della famiglia in Italia, Albert decide di tentare l ammissione in una grande scuola di ingegneria: il Politecnico di Zurigo. Questo (il Polytechnikum) prepara alla carriera di docente universitario: sembra il posto adatto per accontentare i genitori e per soddisfare la sua passione per la fisica; inoltre non c è bisogno del diploma tedesco di studi secondari per potervi accedere: si viene ammessi per concorso. Albert si prepara da solo per l esame dell ottobre 1895, ma viene bocciato. Non si scoraggia, frequenta una scuola che prepara al concorso e l anno dopo ( Albert ha 17 anni) viene ammesso al Polytechnikum. Qui incontra Mileva Maric, una ragazza serba, come lui studentessa di matematica e fisica. Un secolo fa era davvero un fatto eccezionale che una ragazza potesse studiare in una scuola di ingegneria celebre come il Polytechnikum di Zurigo, il primo istituto in Europa ad aprire le sue porte alle donne! Albert e Mileva si innamorano e ben presto pensano di sposarsi. Ma la famiglia di Albert è contraria: Mileva frequenta studi così poco femminili, è più vecchia di Albert, claudicante, straniera e non ebrea. I dissapori con la famiglia aumentano sempre più, ma alla fine Albert rinuncia al matrimonio. Nella primavera del 1901 Mileva si accorge si essere incinta, rientra in

4 4 ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA famiglia per partorire una bambina di cui presto si perderanno le tracce e che probabilmente muore nella prima infanzia. Tornata a Zurigo, Mileva non riesce a superare gli esami finali e si ritrova senza diploma e senza lavoro L Ufficio Brevetti di Berna I primi anni di Albert nella vita adulta non sono particolarmente felici. Nel luglio 1900, a 21 anni, si diploma in una delle scuole più prestigiose di Europa, ma ha subito una cocente delusione. Forse per alcune divergenze con un professore di Zurigo non gli viene offerto il posto di assistente che gli era stato prospettato. Per due anni si adatta a fare vari lavori saltuari tra cui il precettore. Solo nel giugno 1902, grazie ad una raccomandazione, riesce a trovare un impiego stabile all Ufficio Brevetti di Berna. Lavorare all Ufficio Brevetti fu per Albert, in un certo senso, un vero toccasana. Doveva esaminare nuovi apparecchi per lo più elettrici. Era questo un campo in cui era molto competente e perciò lo impegnava poco e gli lasciava molto tempo libero. La sera poteva studiare ed approfondire le grandi problematiche della fisica che lo interessavano tanto. Certo se avesse avuto un posto all università sarebbe stato molto più impegnato! Questi anni vedono la perdita della figlia, il fallimento della vita professionale della fidanzata, i continui contrasti con la famiglia finiti soltanto nel 1902 con la morte del padre quando può finalmente sposare Mileva. Eppure proprio in quel periodo Albert elabora e matura gli straordinari lavori del Come lui stesso ha più volte confermato, la forza di sopportare le difficoltà della vita le trova proprio nella riflessione e nella gioia del pensiero La Fisica prima della Relatività Quando Einstein inizia la sua carriera scientifica nei primi anni del Novecento la fisica attraversa un periodo di crisi. Nella fisica degli inizi Novecento, coesistono due teorie: la meccanica, scienza del movimento degli oggetti materiali e l elettromagnetismo, la scienza della luce. Purtroppo queste due teorie si contraddicono in molti aspetti. Le leggi della fisica classica, accettate prima della nascita della teoria della relatività, erano fondate sui principi della meccanica enunciati nel XVII secolo da Isaac Newton. La meccanica newtoniana differisce dalla meccanica relativistica sia nei principi fondamentali sia nella forma matematica, ma giunge a risultati

5 DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA 5 equivalenti se applicata allo studio di processi che coinvolgono velocità piccole rispetto a quella di propagazione della luce. Una descrizione corretta di sistemi in moto con alte velocità richiede invece l uso della relatività. Le origine della relatività sono da ricercare nell elettromagnetismo. In effetti alla fine dell 800 l elettromagnetismo e l ottica vengono collegati e interpretati tramite le cosiddette equazioni di Maxwell (dal nome del fisico britannico che le formulò). Poiché le trattazioni precedenti riguardanti fenomeni ondulatori avevano sempre fatto uso di un mezzo per la propagazione delle onde (vedi aria per il suono), era naturale per i fisici supporre che anche la luce avesse bisogno di un mezzo entro il quale propagarsi. In base alle proprietà note della luce era necessario ammettere che questo mezzo, chiamato etere, riempisse tutto lo spazio, fosse di densità trascurabile e interagisse in maniera trascurabile con la materia. Esso aveva ragione di esistere unicamente come veicolo per la propagazione della luce (onde elettromagnetiche). L ipotesi di esistenza dell etere poneva i fenomeni elettromagnetici in una situazione particolare rispetto al resto della fisica. Da molto tempo era noto che le leggi della fisica sono le stesse rispetto ad osservatori privilegiati, detti inerziali, in quiete o animati l uno rispetto all altro di moto traslatorio rettilineo ed uniforme (principio di relatività galileiano). Ciò si esprime dicendo che le leggi della meccanica sono invarianti rispetto a trasformazioni di Galileo. Ma le equazioni di Maxwell, il nucleo dell elettromagnetismo, non erano invarianti per trasformazioni di Galileo. Questa considerazione mise in dubbio la validità del principio di relatività galileiano e quindi l equivalenza di tutti gli osservatori inerziali. In soli sei mesi Einstein sciolse il groviglio di contraddizioni in cui si dibatteva la fisica. Nel giugno del 1905 elabora la teoria della relatività speciale (ristretta), una teoria della luce che fa a meno dell etere e nella quale scompare la contraddizione fra meccanica ed elettromagnetismo. Va certamente riconosciuto il merito dell organizzazione della fisica tedesca dell epoca, ed in particolare degli editori della principale rivista di fisica, gli Annalen der Physik che pubblicarono, cosa che oggi nessuna rivista scientifica si azzerderebbe a fare, due articoli assolutamente rivoluzionari, scritti da uno sconosciuto impiegato dell Ufficio Brevetti di Berna. Einstein a soli 26 anni ha la responsabilità e il merito di aver risolto, da solo, e con stupefacente semplicità problemi che avevano messo a dura prova scienziati ben più esperti!

6 6 ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA Brevemente poi la sua vita: nel 1907 comincia a pensare alla relatività generale (in cui i riferimenti non sono inerziali) che verrà formulata in modo completo nel Un tempo si diceva che solo tre persone al mondo erano in grado di comprenderne gli aspetti matematici. Questa è certo una esagerazione, ma ad Eistein occorsero nuovi strumenti matematici (fra essi il calcolo tensoriale) che trovò in grandi matematici del suo tempo (Grossmann, Minkowski, Ricci Curbastro). Nel 1908 lascia l Ufficio Brevetti e ottiene un incarico presso l Università di Berna, nel 1911 in quella di Praga. Nel 1912 viene nominato docente presso il Politecnico di Zurigo. Qui trova Marcel Grossmann un vecchio compagno di studi che insegna matematica e che lo aiuterà a costruire le basi matematiche della sua nuova teoria. Nel 1919 Eistein è già una celebrità mondiale. Nel 1922 Eistein ebbe il premio Nobel per i suoi lavori sull effetto fotoelettrico che si pensava potessero avere delle applicazioni industriali e non per la teoria della relatività giudicata troppo audace da alcuni membri del comitato. Nel 1933 lascia la Germania ed emigra negli Stati Uniti. Morirà nell aprile del Innumerevoli e fondamentali i suoi contributi alla fisica così come il suo impegno pacifista. (Visione della parte introduttiva del CD: AULA 1. (La fisica prima di Einstein)) Prima di affrontare gli argomenti fondamentali della relatività speciale occorre avere ben presenti i concetti fondamentali della meccanica newtoniana. A tal fine nella Parte I richiamiamo alcune nozioni di base e proponiamo la risoluzione di alcuni esercizi mirati rimandando all Appendice 2 per una trattazione completa ed esauriente. 3. Parte I: Richiami di meccanica classica Richiameremo alcuni concetti di Meccanica Classica, vista nell ambito della Meccanica Razionale (sottosettore della Matematica). La Meccanica Razionale viene denominata Meccanica perché si occupa dello studio del moto dei corpi reali e Razionale perché è una teoria matematica e dunque basata su postulati, definizioni e loro conseguenze (proposizioni, lemmi, teoremi). La Meccanica Razionale è una teoria deduttiva come tutte le teorie matematiche. La Meccanica si suole suddividere in tre parti:

7 DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA 7 - Cinematica: si occupa del moto dei corpi indipendentemente dalle loro cause (cioè le forze); - Cinetica o Geometria delle Masse: studia la struttura materiale dei corpi e introduce le grandezze fondamentali che intervengono nel seguito; - Dinamica: si occupa dello studio del moto dei corpi in relazione alle loro cause (cioè le forze). Il moto dei corpi avviene nello spazio e nel tempo. Vediamo di approfondire questi due concetti nei tre successivi paragrafi Spazio geometrico e vettori liberi Come spazio in Meccanica Classica si assume l usuale spazio tridimensionale in cui è ambientata la Geometria Euclidea; esso si utilizza per rappresentare lo spazio fisico, cioè lo spazio reale nel quale siamo immersi. Così come punto, retta e piano, anche lo spazio è visto come un concetto primitivo, ossia un ente che non riusciamo a definire utilizzando altri enti definiti in precedenza. Indichiamo con E lo Spazio che chiameremo Spazio Geometrico. Alcune grandezze, come la temperatura, il tempo, la massa, sono completamente individuate da un numero reale non negativo che ne definisce la misura rispetto ad una certa unità. Esse si chiamano grandezze scalari o semplicemente scalari. Per conoscere altre grandezze, come ad esempio la velocità e l accelerazione, non è sufficiente conoscerne la misura, ma è necessario conoscere altre loro caratteristiche. Per tale motivo occorre introdurre la nozione di vettore libero a partire da da E (Vedi Appendice 2). Come unità di misura per le lunghezze si usa il metro (m). I vettori dello spazio geometrico vengono denotati in genere con una lettera (maiuscola o minuscola, latina o greca) sormontata da una freccia: u, oppure sottolineata: u, oppure in grassetto: u Concetto di tempo assoluto Anche il Tempo come lo Spazio è un concetto primitivo. La nozione di tempo nasce dall osservazione che ognuno di noi è in grado di ordinare sequenzialmente gli eventi classificandoli in anteriori, posteriori e simultanei. In Meccanica Classica si assume che la successione degli eventi sia la stessa per chiunque li osservi ossia che il fluire del tempo non dipenda da nessuna entità esterna: dunque in Meccanica Classica il tempo ha carattere assoluto.

8 8 ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA Anche se il tempo è un concetto primitivo, ne possiamo dare una rappresentazione matematica. Il tempo è un insieme, indicato con T, i cui elementi sono detti istanti, che è in corrispondenza biunivoca con una retta orientata. Ad ogni istante τ T corrisponde un punto della retta che a sua volta è individuato dalla sua ascissa t a partire da un origine fissata sulla retta stessa. Dunque all istante τ è associato il numero reale t che lo individua in maniera completa e che viene chiamato coordinata temporale. L origine fissata sulla retta è detta origine dei tempi. Perciò, fissata l origine dei tempi, il tempo T è in corrispondenza biunivoca con R. Definizione Se un dato fenomeno inizia all istante τ 1 di coordinata temporale t 1 e finisce all istante τ 2 di coordinata temporale t 2 (t 2 > t 1 ), diciamo che la durata temporale del fenomeno è : t 2 t 1. Se si cambia l origine dei tempi, allo stesso istante τ viene associata, in luogo di t la nuova coordinata temporale t tale che (1) t = t + t 0, dove t 0 è l ascissa della vecchia origine rispetto alla nuova. Si osservi che, anche se si cambia l origine dei tempi, la durata temporale di un fenomeno non varia. Il tempo viene misurato mediante un orologio. Ovviamente si suppone che l unità di misura per il tempo sia la stessa per tutti gli orologi (il secondo). Come conseguenza del postulato del tempo assoluto, se due orologi sono sincronizzati, ossia utilizzano la stessa origine dei tempi, associano ad uno stesso evento la stessa coordinata temporale. Se non sono sincronizzati, associano due diverse coordinate temporali, correlate come in (1). Nel seguito, una volta fissata l origine dei tempi, per semplicità, invece di dire istante di coordinata temporale t diremo istante t Sistemi materiali Lo scopo della Meccanica Razionale è di introdurre degli opportuni modelli matematici che consentano di schematizzare i corpi reali e di condurre lo

9 DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA 9 studio del loro moto ad un problema matematico. Per studiare il comportamento dei corpi reali è necessario tenere conto di due loro caratteristiche: essi occupano determinate regioni nello spazio fisico e sono costituiti di un dato materiale. Ogni modello deve perciò tenere conto di queste due proprietà. Definizione Si dice sistema o corpo materiale ogni modello matematico che consente di schematizzare un corpo reale. In cinematica, di cui per il momento ci stiamo occupando, ciò che conta è la posizione occupata dai corpi e non la loro struttura materiale, cioè ciò che interessa sono le proprietà geometriche della regione spaziale occupata dai corpi stessi. Il modello più semplice è quello di punto materiale. Se un corpo reale ha dimensioni molto più piccole rispetto all ambiente nel quale si muove, possiamo riguardare la regione spaziale che questo occupa durante il moto come ridotta ad un punto. Ad esempio, se si studia il moto di un pianeta del sistema solare attorno al sole, possiamo schematizzarlo semplicemente con un punto. Più in generale, un corpo reale lo schematizziamo mediante un insieme di punti. Definizione Se i punti che costituiscono il sistema materiale sono in numero finito o si possono mettere in corrispondenza con i numeri naturali 1, 2,..., diciamo che il sistema materiale è discreto. In caso contrario diciamo che il sistema è continuo. Definizione Un sistema materiale formato da più punti (discreto o continuo) si dice rigido se i punti da cui è costituito, qualunque sia la posizione occupata, mantengono sempre tra loro la stessa distanza. Dunque un sistema rigido occupa nello spazio, durante un suo qualsiasi moto, regioni sempre congruenti tra loro. Un sistema rigido schematizza abbastanza bene il comportamento dei corpi reali solidi, che mantengono inalterata forma e volume Concetto di osservatore Il moto dei corpi, come tutti sappiamo, ha carattere relativo, cioè viene a dipendere dall ente cui il moto stesso è riferito. Ad esempio, se stiamo viaggiando in automobile, il paesaggio circostante si muove rispetto a noi, viceversa se siamo fermi sul ciglio della strada, sono i veicoli a muoversi rispetto a noi. Dunque per studiare un moto occorre precisare bene

10 10 ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA l ente cui è riferito il moto stesso, occorre cioè introdurre la definizione di osservatore. Si può dimostriamo la seguente Proposizione Ad un sistema rigido possiamo sempre associare un riferimento cartesiano spaziale ortonormale in modo che, qualunque sia la posizione del corpo nello spazio geometrico, le coordinate dei suoi punti rispetto a tale riferimento siano sempre le stesse. (Per quanto riguarda la nozione di riferimento cartesiano si rimanda all Appendice 2.) Diremo che il riferimento cartesiano ortonormale considerato nella proposizione è solidale al sistema rigido. Si osservi che ad ogni corpo rigido si possono associare più riferimenti solidali. Diamo ora la definizione di Osservatore. Definizione Definiamo osservatore per un dato moto l insieme di un corpo rigido cui è associato un riferimento cartesiano ortonormale ad esso solidale e di un orologio. Allora, considerato un corpo in moto rispetto ad un dato osservatore, per studiarne il moto dovremo stabilire come variano al trascorrere del tempo (misurato tramite l orologio dell osservatore) le coordinate dei punti del corpo rispetto al riferimento cartesiano associato all osservatore stesso Esercizi In questo paragrafo si danno come acquisite le nozioni di Cinematica esposte nell Appendice 2 e si propongono alcuni semplici esercizi. 1. Moto rettilineo uniformemente vario. Le osservazioni eseguite in seguito ad un incidente stradale hanno permesso di rilevare che l automobile investitrice raggiunse l ostacolo con la velocità di 10m/sec e che la frenata incominciò 40m prima dell urto. Mentre i freni agivano il moto dell automobile era uniformemente vario con accelerazione a 1 < 0 di intensità pari a 2m/sec 2. A quale velocità transitava l automobile quando furono azionati i freni? R.: 16m/sec. 2. Moto circolare uniforme. Due punti (ad es. gli estremi delle lancette di un orologio) si muovono di moto uniforme su due circonferenze concentriche nello stesso verso. Noti i periodi, determinare ogni quanto tempo si trovano allineati col centro e dalla stessa parte nell ipotesi che lo siano all istante iniziale. R.: Nel caso dell orologio dopo circa 1 h 5 27.

11 DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA Teorema di composizione delle velocità. Una persona si muove (in linea retta) con velocità u sotto la pioggia inclinata di 60 (nel piano verticale in cui cammina la persona) rispetto all orizzontale. Sapendo che la velocità delle gocce di pioggia è in modulo uguale a u, si chiede qual è l inclinazione ottima per l ombrello della persona. R.: Teorema di composizione delle accelerazioni. Un punto P scende lungo una retta inclinata di π/4 sull orizzontale con accelerazione relativa a r in modulo uguale a 2 m/sec 2. A sua volta la retta inclinata trasla, rispetto ad un certo osservatore, verso destra con accelerazione costante uguale a e 1. Determinare l accelerazione assoluta di P rispetto all osservatore. Come si muove il punto P rispetto all osservatore se inizialmente la velocità assoluta ha la direzione dell asse Ox 2? R.: a = e 2, scende lungo l asse Ox 2 con moto uniformemente vario. 5. Dinamica del punto. Stabilire la traiettoria del moto di un punto materiale soggetto a una forza vettorialmente costante. La risoluzione degli esercizi viene svolta in aula dagli studenti con l aiuto dei docenti Trasformazioni Galileiane La meccanica classica è basata: - sui postulati della geometria euclidea, - sul postulato del tempo assoluto e inoltre è governata dal principio di relatività di Galileo. Principio di Relatività di Galileo: Tutti i fenomeni meccanici si sviluppano nello stesso modo rispetto ad ogni osservatore inerziale. Dunque se si eseguono esperienze di carattere meccanico, non si riesce a mettere in evidenza lo stato di quiete o di moto traslatorio rettilineo uniforme di un osservatore inerziale rispetto ad un altro. Quindi i risultati di tali tipi di esperienze sono gli stessi sia che li eseguiamo in un luogo o in un altro (invarianza rispetto alle traslazioni e alle rotazioni), sia che li eseguiamo prima o dopo (invarianza rispetto alle traslazioni temporali), sia che li consideriamo rispetto a due osservatori inerziali in moto l uno rispetto all altro (invarianza rispetto ai trascinamenti.) Quando si studia un fenomeno meccanico rispetto a due diversi osservatori,

12 12 ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA intervengono due riferimenti Ox 1 x 2 x 3 e Ox 1 x 2 x 3 e due orologi che potranno eventualmente essere non sincronizzati. Supponiamo che tale fenomeno avvenga nel punto P e in un dato istante τ. Per il primo osservatore il punto P ha coordinate cartesiane (x 1, x 2, x 3 ) e l istante τ ha coordinata temporale t. Per il secondo osservatore il punto P ha coordinate cartesiane (x 1, x 2, x 3 ) e l istante τ ha coordinata temporale t. Le coordinate x h, h = 1, 2, 3 sono legate alle coordinate x i, i = 1, 2, 3 mediante le relazioni che sussistono tra le coordinate di uno stesso punto rispetto a due diversi riferimenti cartesiani (vedere Appendice 2)). Dunque la disposizione ordinata (x 1, x 2, x 3, t) è legata alla disposizione ordinata (x 1, x 2, x 3, t) mediante una trasformazione. Definiamo trasformazioni di Galileo quelle trasformazioni relative a due osservatori rispetto alle quali sono invarianti le equazioni che governano la Meccanica Classica. Quindi sono quelle trasformazioni che sussistono fra due osservatori inerziali. Tenendo presente che due osservatori inerziali sono in quiete o in moto traslatorio rettilineo uniforme l uno rispetto all altro, è evidente che tali trasformazioni si ottengono componendo i seguenti quattro tipi di trasformazioni: - Traslazioni spaziali, - Rotazioni spaziali, - Traslazioni temporali, - Trascinamenti. Le equazioni corrispondenti sono: - Traslazioni spaziali: x h = x h + s h, s h = costanti, h = 1, 2, 3, t = t. I due osservatori sono in quiete l uno rispetto all altro, i riferimenti cartesiani associati hanno origine diversa e gli assi paralleli, gli orologi associati sono sincronizzati. - Rotazioni spaziali: 3 x h = β hi x i, h = 1, 2, 3, t = t, i= βh1 2 + β2 h2 + β2 h3 = 1, h = 1, 2, 3, β h1 β k1 + β h2 β k2 + β h3 β k3 = 0, h k, h, k = 1, 2, 3. I due osservatori sono in quiete l uno rispetto all altro, i riferimenti cartesiani associati hanno la stessa origine, gli orologi associati sono sincronizzati

13 DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA 13 - Traslazioni temporali: x h = x h, h = 1, 2, 3, t = t + α. I due osservatori sono in quiete l uno rispetto all altro, i riferimenti cartesiani associati sono sovrapposti, gli orologi associati non sono sincronizzati. - Trascinamenti: x h = x h v h t, v h = costanti, h = 1, 2, 3, t = t. Il II osservatore si muove di moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto al I con velocità v di componenti (v 1, v 2, v 3 ) rispetto alla base comune associata ai riferimenti Ox 1 x 2 x 3 e Ox 1 x 2 x 3, gli orologi sono sincronizzati e all istante t = 0 i due riferimenti sono sovrapposti. In particolare chiamiamo trasformazione speciale di Galileo la trasformazione x 1 = x 1 vt, v = costante, x 2 = x 2, x 3 = x 3, t = t cioè il trascinamento avviene con velocità diretta come Ox Parte II: Meccanica relativistica nell ambito della relatività speciale 4.1. Introduzione La critica alla Meccanica Classica e al principio di relatività di Galileo ebbe origine dallo studio dei fenomeni elettromagnetici, ossia quei fenomeni legati alla presenza di cariche e correnti elettriche e poli magnetici.

14 14 ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA Come i fenomeni meccanici sono governati dalle tre leggi di Newton e in particolare dalla legge fondamentale della dinamica, così i fenomeni elettromagnetici sono governati da un sistema di 4 equazioni piuttosto complicate dette equazioni di Maxwell dal nome del fisico inglese che le stabilì nel In tali equazioni compare una costante c, avente le dimensioni di una velocità, introdotta da Oersted nel Nel 1856 Weber e Kohlrausch si accorsero che quella costante c era uguale alla velocità della luce nel vuoto, in tutte le direzioni, data da c = km/sec. L intuizione di Weber e Kohlrausch, i successi della teoria di Maxwell e la scoperta che i campi elettromagnetici si propagano mediante onde aventi velocità c convinsero i fisici di fine Ottocento che la luce fosse un fenomeno elettromagnetico. Pensando che un onda elettromagnetica per oscillare avesse bisogno di una sorta di mezzo (così come le onde acustiche hanno bisogno per esempio dell aria), si ipotizzò l esistenza di una sostanza particolare permeante l universo rispetto alla quale le onde si propagassero con velocità c. Tale sostanza fu chiamata etere (etere in greco significa aria). D altra parte si può provare che le equazioni di Maxwell, a differenza delle equazioni della meccanica classica, non sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo. Per tale motivo, nella seconda metà dell Ottocento si pensò che fra tutti gli osservatori inerziali ne esistesse uno privilegiato nel quale valgono le equazioni di Maxwell e rispetto al quale la velocità di propagazione della luce assume lo stesso valore c in tutte le direzioni. In base alla teoria dell etere si ipotizzò che tale osservatore fosse quello rispetto al quale l etere era in quiete. Si pensava, in base al teorema di composizione delle velocità, che una misura della velocità della luce effettuata rispetto ad un osservatore che si muovesse rispetto all etere, e dunque in moto rispetto all osservatore privilegiato, avrebbe portato un risultato maggiore o minore di c di una quantità che dipendeva dalla velocità dell osservatore rispetto

15 DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA 15 all etere (velocità di trascinamento). Pertanto si riteneva che misurando la velocità della luce rispetto ad un osservatore solidale alla Terra si potesse determinare la velocità della Terra rispetto all etere. Furono effettuati diversi esperimenti di ottica che diedero risultati negativi: il più importante è quello di Michelson e Morley (M-M)(1881 e ripetuto più volte con strumenti più precisi). (Vedi CD - LABORATORIO 1)). I risultati negativi degli esperimenti precedenti quello di M-M furono imputati all inadeguatezza degli strumenti usati perchè non erano in grado di misurare termini dell ordine di V 2 /c 2, con V velocità della Terra rispetto all etere. Infatti, in base a cosiderazioni teoriche, si riteneva che l effetto sulla velocità della luce del moto della Terra rispetto all etere si manifestasse solo mediante termini del tipo V 2 /c 2 e quindi molto piccoli. Nell esperimento di M-M lo spostamento delle frange d interferenza che si doveva trovare era proporzionale a V 2 /c 2.) Dall esperimento di M-M si dedusse che la velocità della Terra rispetto all etere era nulla e che la velocità di propagazione della luce era sempre c nel vuoto in tutte le direzioni e qualunque fosse il moto della sorgente. Nel 1905 Einstein nei suoi celeberrimi articoli propose che fosse abbandonata la teoria dell etere. Le osservazioni sperimentali e gli studi teorici portarono Einstein alle due seguenti conclusioni: - La velocità della luce nel vuoto è indipendente dal moto della sorgente ed è la stessa in ogni osservatore inerziale. - Le leggi della natura (e quindi non solo le leggi meccaniche) sono le stesse rispetto ad ogni osservatore inerziale. Questi due conclusioni sono in contraddizione con la meccanica classica. Infatti, per il teorema di composizione delle velocità, se la luce ha velocità c rispetto ad un dato osservatore e v è la velocità di un secondo osservatore in moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto al primo, allora la velocità della luce rispetto al secondo è data da c r = c v, quindi c r c in contraddizione con 1). Einstein propose di abbandonare la meccanica classica e di costruirne una nuova basandosi su un nuovo principio di relatività. Il principio di Relatività di Einstein asserisce: La velocità della luce, nel vuoto, è indipendente dal moto della sorgente ed è la stessa in ogni osservatore inerziale.

16 16 ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA Le leggi della natura sono le stesse rispetto ad ogni osservatore inerziale Cinematica Relativistica e trasformazioni di Lorentz La meccanica classica era basata sui postulati della Geometria Euclidea e sul postulato del Tempo Assoluto. La nuova meccanica continua ad usare in parte i postulati della Geometria Euclidea per lo spazio geometrico ma respinge totalmente il postulato del tempo assoluto perchè ad ogni osservatore inerziale viene associato un tempo proprio. La Relatività Ristretta è ristretta nel senso che limita le considerazioni ad osservatori inerziali, cioè ad osservatori per i quali la luce ha sempre velocità c e le leggi della natura rimangono invariate. Osserviamo che nel caso della Terra, le accelerazioni associate al suo moto di rotazione e orbitale sono abbastanza piccole da poter essere trascurate nella maggior parte dei casi. Perciò, salvo avviso contrario, considereremo la Terra e gli osservatori in moto con velocità costante rispetto ad essa come osservatori inerziali. Lo scopo è ora quello di determinare delle trasformazioni che svolgano nella relatività ristretta il ruolo svolto dalle trasformazioni di Galileo in Meccanica Classica. Come per quelle di Galileo le nuove trasformazioni mettono in relazione due osservatori inerziali e dunque due osservatori che sono in quiete relativa o in moto traslatorio rettilineo uniforme l uno rispetto all altro. Poichè non vale più il postulato del tempo assoluto, ad ogni osservatore è associato un tempo proprio. Dovremo allora pensare che all osservatore non sia associato un solo orologio, ma che in ogni punto dello spazio in cui occorra efettuare delle misure di tempo, sia presente un orologio in quiete rispetto all osservatore stesso perché, come vedremo, il tempo viene a dipendere dalle coordinate del punto in cui si effettua la misura. Siano Ox 1 x 2 x 3, Ox 1, x 2, x 3 i riferimenti cartesiani ortonormali associati ai due osservatori. Se per il I osservatore (O) un evento avviene nel punto P di coordinate cartesiane (x 1, x 2, x 3 ) e all istante di coordinata temporale t, per il secondo osservatore (O) l evento avviene nel punto di coordinate cartesiane (x 1, x 2, x 3 ) e all istante di coordinata temporale t. Le trasformazioni che cerchiamo legano la disposizione ordinata (x 1, x 2, x 3, t) alla disposizione ordinata (x 1, x 2, x 3, t) mediante equazioni del tipo (2) x h = F h (x 1, x 2, x 3, t), h = 1, 2, 3, t = F 4 (x 1, x 2, x 3, t). Si noti che, a differenza del caso presente, nelle trasformazioni di Galileo la relazione fra t e t non faceva intervenire le coordinate spaziali e si riduceva a t = t + α.

17 DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA 17 Poichè le trasformazioni coinvolgono due osservatori inerziali, queste devono essere tali che: - la velocità della luce nel vuoto sia c per entrambi gli osservatori, - se le velocità coinvolte sono molto più piccole rispetto a c, si riducano, in via approssimata, a quelle di Galileo. Questa seconda richiesta deriva dall osservazione di Einstein che quando le velocità in gioco sono piccole (come nella nostra vita quotidiana) rispetto a quella della luce, la Meccanica Classica dà ottimi risultati. Le trasformazioni cercate si assumono in ogni caso lineari come quelle di Galileo. Noi ci limiteremo a considerare quelle trasformazioni che sono le analoghe delle trasformazioni speciali di Galileo. A tal fine, supponiamo di avere due osservatori inerziali tali che il riferimento Ox 1, x 2, x 3 associato al secondo si muova di moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto al primo nella direzione e nel verso positivo dell asse Ox 1 con velocità data da v = v e 1 (con v costante positiva), per cui durante il moto l asse Ox 1 scorre sull asse Ox 1. Assumiamo inoltre che all istante t = t = 0 si abbia O = O. A partire da t = 0 sia inviato dall origine del I riferimento un segnale luminoso che si propaga in tutte le direzioni. Poiché la sua velocità di propagazione è c, rispetto al primo osservatore all istante t avrà raggiunto tutti quei punti la cui distanza da O è data da c t, ossia tutti quei punti le cui coordinate cartesiane (x 1, x 2, x 3 ) sono tali che x x x 2 3 c 2 t 2 = 0. Sia P di coordinate (x 1, x 2, x 3 ) uno dei punti raggiunti dal segnale luminoso all istante t rispetto al primo osservatore. La trasformazione (2) a (x 1, x 2, x 3, t) associa (x 1, x 2, x 3, t) per cui, rispetto al secondo osservatore, viene raggiunto dal segnale luminoso all istante di coordinata temporale t il punto di cartesiane (x 1, x 2, x 3 ). Poiché, anche

18 18 ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA rispetto al II osservatore il segnale luminoso è partito dall origine del suo riferimento all istante t = 0 e la sua velocità di propagazione è c deve essere Per concisione poniamo: x x x 2 3 c 2 t 2 = 0. s = x x x 2 3 c 2 t 2, s = x x x 2 3 c 2 t 2. La trasformazione che cerchiamo deve dunque essere tale che, se per il I osservatore s = 0, per il II osservatore in corrispondenza si abbia s = 0. Tale condizione è certamente verificata se la trasformazione (2) ci fornisce 3 s = Fh 2 (x 1, x 2, x 3, t) c 2 F4 2 (x 1, x 2, x 3, t) = x x x 2 3 c 2 t 2 = s. h=1 Come si può verificare (si può fare per esercizio) le trasformazioni che soddisfano a tale condizione sono: x 1 = x 1 vt, 1 v2 (3) x 2 = x 2, x 3 = x 3, t = c 2 t v c 2 x 1 1 v2 Queste trasformazioni furono stabilite per la prima volta alla fine dell 800 da Lorentz nelle sue ricerche sui fenomeni elettromagnetici e per tale motivo sono note come trasformazioni speciali di Lorentz. Agli inizi del 900 Poincarè ha esteso tali trasformazioni al caso generale in cui la velocità del II osservatore rispetto al I ha direzione qualsiasi e gli assi dei due riferimenti spaziali associati agli osservatori non sono paralleli. Einstein ha ritrovato le (3) e le loro generalizzazioni con argomenti di relatività. Nel seguito noi ci limiteremo a considerare solo trasformazioni di Lorentz speciali. Usualmente il termine v c si indica con β e 1 1 β 2 c 2. si indica con γ. Osservazioni - Per invertire le (3) basta sostituire v con v.

19 DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA 19 - Se β 1, ossia se v c, allora le trasformazioni speciali di Lorentz si riducono, in via approssimata, alle trasformazioni speciali di Galileo. - Se v = c i denominatori si annullano e dunque le (3) perdono di significato. Se ne deduce che la velocità della luce non è raggiungibile da nessun osservatore inerziale rispetto ad un altro (β < 1, γ > 1). Diamo ora il valore del coefficiente γ in un paio di casi interessanti. Una stazione spaziale che orbita in prossimità della terra ha una velocità v di circa 8km/sec. In questo caso si ha γ = e dunque differisce di pochissimo dall unità anche per velocità elevate come quella di un razzo orbitante. Nell anello Adone che opera nei laboratori nazionali di Frascati, elettroni e positroni si muovono a una velocità prossima a quella della luce tanto che γ = In questo caso le (3) sono ben lontane da una pignola correzione delle trasformazioni speciali di Galileo! (Visione della parte 2 (Relatività ristretta) dell AULA del CD) 4.3. Conseguenze delle trasformazioni di Lorentz Vediamo ora di dedurre alcune conseguenze delle trasformazioni di Lorentz del tutto contrarie al senso comune e che fin dalla loro scoperta furono sottoposte ad innumerevoli verifiche sperimentali. Nonostante tale giusto accanimento, a tuttoggi non vi è nessuna evidenza sperimentale che riveli una contraddizione al principio di relatività di Einstein ed alle trasformate di Lorentz che ne sono la veste matematica. Anzi, ogni giorno esse vengono verificate nel lavoro quotidiano del fisico delle alte energie e dell astrofisico. Consideriamo due osservatori inerziali in moto l uno rispetto all altro come nel paragrafo precedente. Per semplicità denotiamo con (O) l osservatore cui è associato il riferimento Ox 1 x 2 x 3 e con (O) l osservatore cui è associato il riferimento Ox 1 x 2 x 3. Supponiamo che rispetto all osservatore (O) si verifichi un dato evento nel punto P di coordinate spaziali (x 1, x 2, x 3 ) all istante t (ad esempio all istante t passi per P un punto in moto). Tale evento, poiché si verifica in un punto, è detto evento puntuale. Definizione Dato l evento puntuale che rispetto all osservatore (O) accade nel punto P di coordinate spaziali (x 1, x 2, x 3 ) all istante t, diremo che la disposizione ordinata (x 1, x 2, x 3, t) è la successione delle coordinate spazio-temporali dell evento stesso rispetto all osservatore (O). Si osservi che rispetto all osservatore (O) allo stesso evento è associata una nuova disposizione ordinata (x 1, x 2, x 3, t) con x h e t dati dalle (3).

20 20 ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA Simultaneità di eventi in punti distinti Supponiamo che rispetto all osservatore (O) allo stesso istante t si verifichino due eventi puntuali in due punti distinti, nel punto P di coordinate spaziali (x 1, x 2, x 3 ) e nel punto P di coordinate spaziali (x 1, x 2, x 3 ). Rispetto all osservatore (O) i due eventi sono dunque simultanei. Vediamo se i due eventi risultano simultanei anche rispetto all osservatore (O). Per tale osservatore, grazie alle (3), si ha che il primo evento avviene all istante t dato da t = t β c x 1 1 β 2. Il secondo evento avviene all istante t dato da t = t β c x 1 1 β 2. Poiché in generale si avrà x 1 x 1, risulta t t. Abbiamo così ottenuto la seguente Proposizione Due eventi puntuali in punti distinti che sono simultanei rispetto ad un dato osservatore non lo sono rispetto ad un altro. Dunque il concetto di simultaneità ha senso solo se riferito ad un dato osservatore. Ritardi mutui degli orologi o dilatazione dei tempi Consideriamo due eventi puntuali che si verificano nello stesso punto P fisso rispetto all osservatore (O) di coordinate spaziali (x 1, x 2, x 3 ) in due istanti diversi t, t, (t > t). La distanza temporale tra i due eventi è dunque t = t t. Ci chiediamo ora quanto vale la distanza temporale tra i due eventi per

21 DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA 21 l osservatore (O). Al primo evento (O) associa la coordinata temporale t data da t = t + β c x 1 1 β 2, al secondo evento la coordinata temporale t = t + β c x 1 1 β 2. Perciò per (O) la distanza temporale tra i due eventi è (4) t = t t = t 1 β 2 = γ t. Poiché γ > 1 deduciamo t > t. Tenendo presente che (O) e quindi anche ogni orologio in quiete rispetto ad (O) si muove rispetto a (O) con velocità v, otteniamo la seguente proposizione: Proposizione Un orologio che si muove con velocità v rispetto ad un osservatore inerziale ritarda del fattore γ rispetto agli orologi in quiete rispetto a tale osservatore. Osserviamo che il ritardo è mutuo, cioè se consideriamo due eventi che avvengono in uno stesso punto in quiete rispetto ad (O) si ha t > t. Ovviamente la differenza tra i due intervalli di tempo diventa tanto più grande quanto più β si avvicina a 1, cioè la velocità di un osservatore rispetto all altro si avvicina a c. Da questa conseguenza trae origine il celeberrimo paradosso dei gemelli. Contrazione delle lunghezze Consideriamo nuovamente due osservatori (O) e (O). Osserviamo che se abbiamo un punto in moto rispetto ad entrambi, il suo moto rispetto ad (O) è descritto dalle equazioni rispetto ad (O) dalle equazioni x i = x i (t), i = 1, 2, 3, x h = x h (t) h = 1, 2, 3. Sia dato ora un segmento rigido, di estremi P e P, in quiete rispetto ad (O) e che giace sull asse Ox 1. Le ascisse x 1 e x 1 di P e P sono dunque costanti. La lunghezza del segmento l è data da l = x 1 x 1.

22 22 ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA Rispetto all osservatore (O) il segmento non è in quiete, ma si muove di moto traslatorio rettilineo uniforme con velocità v nella direzione di Ox 1. La sua lunghezza l rispetto a tale osservatore è data dalla differenza tra i valori che le ascisse degli estremi misurate in (O) assumono nello stesso istante t, cioè l = x 1(t) x 1 (t). D altra parte, per le trasformazioni di Lorentz, si ha x 1 = x 1 vt, 1 β 2 x 1 = x 1 vt 1 β 2, da cui x 1 (t) = 1 β 2 x 1 + vt x 1(t) = 1 β 2 x 1 + vt. Dunque l = l 1 β 2. Perciò otteniamo che l è indipendente da t e che l < l. l è detta lunghezza propria o lunghezza a riposo del segmento e viene indicata con l o. Abbiamo dunque stabilito la seguente proposizione: Proposizione Un segmento rigido che si muova di moto traslatorio rettilineo uniforme con velocità v lungo l asse Ox 1 rispetto ad un osservatore (O) ha rispetto a questo lunghezza l inferiore rispetto alla sua lunghezza a riposo l o e precisamente (5) l = l o 1 β 2. Ovviamente se il segmento è disposto perpendicolarmente all asse Ox 1 la sua lunghezza rimane inalterata.

23 DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA RELATIVISTICA 23 Esercizi 1. Determinare il valore t per un osservatore (O) in moto alla velocità di 30m/sec rispetto ad (O), che registri due eventi simultanei per (O) e che si verificano alla distanza 100m, misurata da (O). R.: = sec. Solo accuratisssimi orologi da laboratorio registrerebbero il ritardo! 2. Determinare il valore t per un osservatore (O) (un astronave) in moto alla velocità di 0.99c rispetto ad (O), che registri due eventi simultanei per (O) e che si verificano alla distanza 10000km, misurata da (O). R.: = sec. Il ritardo è piccolo, ma apprezzabile. 3. Gli astronauti che si trovano su una navicella spaziale, che viaggia con velocità v = 0.6 c, incrociando la Terra, segnalano al controllo spaziale che si concedono un sonnellino di un ora, al termine del quale richiameranno. Qual è la durata del sonnellino misurata sulla Terra? R.: 1 h Calcola la contrazione relativistica di un aereo di lunghezza 100m in moto alla velocità di 300m/sec (1080km/h) relativamente ad un osservatore inerziale in quiete sulla Terra. R.: Non c è contrazione apprezzabile. 5. Calcola la contrazione relativistica di una astronave di lunghezza 100m in moto alla velocità di 0.99c relativamente ad un osservatore inerziale in quiete sulla Terra. R.: = 14m. 6. Con che velocità deve muoversi un metro rigido per avere la lunghezza di una iarda (yd) rigida? (La relazione fra metro e iarda è: 1 m = yd.) R.: v = 0.406c. Esempio Un esempio interessante delle osservazioni nelle sezioni 4.3 e 4.3 è fornita dai muoni (mesoni µ). Il muone è una particella elementare che si origina dai decadimenti innescati dall interazione con l atmosfera di protoni provenienti dai raggi cosmici che quotidianamente bombardano la terra. I muoni decadono nel tempo secondo la legge matematica (6) N(t) = N 0 e t/τ dove N 0 è il numero di muoni all istante t = 0, N(t) è il numero dei muoni al tempo t e τ è la vita media, pari a circa 2µs = sec per muoni fermi.

24 24 ALESSANDRA BORRELLI - MARIA CRISTINA PATRIA I muoni si creano nell alta atmosfera a molte migliaia di metri sul livello del mare. Un tipico muone che si muove con la velocità di 0.998c percorrerebbe, classicamente, solo 600m in 2µs, prima di decadere (spazio = = 600m). Tuttavia si osserva che in prossimità della superficie terrestre se ne possono rilevare molti! Come è allora possibile che giungano ai laboratori di rilevazione sulla superficie terrestre se vengono prodotti a ben più di 600m da terra? Il fattore γ in questo caso vale circa 15 e quindi, rispetto all osservatore terrestre, la vita media del muone è 2γ µs 30µs. Dunque il muone percorre circa = 9000m. Rispetto all osservatore muone l intervallo di tempo è 2µs e l atmosfera (cioè l osservatore terrestre) gli va incontro alla velocità di 0.998c: quindi la distanza si contrae a solo 600m. Sperimentalmente si può vedere la conferma della teoria relativistica. Supponiamo di avere 10 8 muoni a 9000m di altitudine in un certo intervallo di tempo. Quanti ne dovremmo osservare a livello del mare nello stesso intervallo di tempo? Secondo la teoria classica: il tempo impiegato per percorrere 9000m è circa 30µs, cioè 15 vite medie. Sostituendo in (6) si ha N Quindi dei 100 milioni di muoni solo 31 arrivano al suolo. Secondo la teoria relativistica: la Terra deve percorrere solo 600m rispetto al riferimento del muone. Questo richiede circa 2µs, cioè 1 vita media. Sostituendo in (6) si ha N Quindi, nello stesso intervallo di tempo, dovremmo osservare circa 36.8 milioni di muoni. Esperimenti hanno confermato le previsioni relativistiche! Concludiamo il paragrafo osservando che la contrazione delle lunghezze non deve essere vista come se il metro variasse la sua dimensione e la dilatazione dei tempi non deve essere vista come se l orologio segnasse un tempo diverso. Le misure infatti saranno differenti solo se effettuate da un altro osservatore in moto relativo (traslatorio rettilineo ed uniforme): la lunghezza del proprio metro e la durata del proprio minuto è la stessa per tutti gli osservatori. Inoltre il restringimento della lunghezza avviene solo nella direzione del moto e sia lo scorrere più lento del tempo, sia il restringimento dello spazio si verificano assieme. La teoria ammette questi effetti come conseguenza della peculiarità di c e del moto relativo ed è quindi conseguenza del nostro modo di guardare le cose. La lunghezza propria è la più grande fra tutte le lunghezze relative ai punti di vista, ma non per questo è più reale delle altre. Sarebbe come notare che più lontani siamo da un oggetto e più piccolo questo ci sembra: