Data la DFT Generalizzata

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1 Il pricing veloce delle componeni derivaive: DFT su griglie gaussiane e Error Conrol Non Uniforme Marcello Minenna Paolo Verzella IX WORKSHOP ON QUANTITATIVE FINANCE January 24-25, 2008 Universiy of Rome "Tor Vergaa" 2 3 Il Pricing via FT Call Europea Prezzo Spo S C soo la misura neurale al rischio Il Pricing via FT Call Europea Prezzo Spo S C soo la misura neurale al rischio Il Pricing via FT Accuraezza Errore Medio Assoluo calcolao rispeo ad. su uno spazio Una rasformazione lineare dallo Spazio di Fourier FT Una rasformazione lineare dallo Spazio di Fourier FT Il Pricing via FT Sabilià Errore Medio Assoluo calcolao rispeo ad su uno spazio eseso Convergenze DFT - FT Daa la DFT Generalizzaa 7 8 9

2 Convergenze DFT - FT Convergenze DFT - FT Daa la DFT Generalizzaa Il Teorema di Convergenza per la DFT generalizzaa (C Th) C 0 via FT Teoremi di Convergenza via DFT 0 2 Condizione Griglia di Discreizzazione Uniforme N=M Condizione 2 DFT specializzaa where n=,2,,n Condizione Condizione 2 Limie di Nyquis Shannon (N-S) DFT classica. Griglia di Discreizzazione Uniforme per f

3 . 2. Teorema di Equivalenza + N-S + N-S Il prezzo della Call calcolao via Teorema di Convergenza è uguale al prezzo della Call calcolao via Trapezoid/Simpson Quadraure Condizione Griglie di Discreizzazione Non Uniformi Condizione Griglie Gaussiane Scela Oimale dei puni di discreizzazione Gauss Laguerre Gander Gauschi Condizione Griglie Gaussiane Condizione Griglie Gaussiane Condizione Griglie Gaussiane Scela Oimale dei puni di discreizzazione Gauss Laguerre Scela Oimale dei puni di discreizzazione Gauss Lobao Scela Oimale dei puni di discreizzazione Gander Gauschi Zero di Polinomi di Laguerre Zero di Polinomi di Legendre Zero di Polinomi di Legendre riscalai a b

4 N M Condizione 2 Il Teorema di Convergenza per la DFT generalizzaa (C Th) DFT Generalizzaa dove m=,2,,m. 2. Griglie Gaussiane per f Teorema di Equivalenza + C-Th + C-Th Il prezzo della Call calcolao via Teorema di Convergenza è uguale al prezzo della Call calcolao via Gauss Laguerre/Gander Gauschi Quadraure Non Uniforme L Opion Pricing Veloce via DFT consene Algorimi Fas Fourier Transform L Opion Pricing Veloce Newon-Coes FFT Uniforme via DFT

5 L Opion Pricing Veloce FFT Uniformi via DFT Gauss Non Uniforme Caraerizzazione della DFT di Cooley - Tukey Ierando dal basso verso l alo per N passi Si oiene l algorimo FFT di Cooley Tukey FFT Uniformi FFT Uniformi Algorimo FFT di Cooley Tukey Il coso compuazionale della DFT si riduce da a FFT Uniformi Dao il Limie di Nyquis Shannon, le formule di prezzo via FFT forniscono prezzi accurai SOLO inorno alla Frequenza di Nyquis FFT Uniformi Dao il Limie di Nyquis Shannon, le formule di prezzo via FFT forniscono prezzi accurai SOLO inorno alla Frequenza di Nyquis All incirca il 25% dei prezzi può essere acceao Non Uniforme

6 Sep Sep Convoluzione Gaussiana della funzione caraerisica non uniformemene campionaa Sep Convoluzione Gaussiana della funzione caraerisica non uniformemene campionaa Componeni Singole Sep Convoluzione Gaussiana della funzione caraerisica non uniformemene campionaa Sep Convoluzione Gaussiana della funzione caraerisica non uniformemene campionaa 0 x x 2 x 3 x 4 xn - x N 2p x x 2 x3 4 x xn - x N f ( x ) 2 Sep 2 Discreizzazione su una griglia uniforme sovracampionaa f ( x) f ( x ) 2 0 x x 2 x 3 x 4 xn - x N 2p 0 x x 2 x 3 x 4 xn - x N 2p dove x x 2 x3 4 x xn - x N x x 2 x3 4 x xn - x N

7 Sep 3 Calcolo del Coefficiene di Fourier f ( x) discreizzao Sep 4 Rappresenazione NU-DFT del Coefficiene di Fourier F ( n) Sep 5 Rappresenazione DFT del Coefficiene di Fourier F ( n) M per n =,2,..., Sep 6 Derivazione della NU-DFT come una funzione della DFT Sep 6 Derivazione della NU-DFT come una funzione della DFT Sep 7 Calcolo NU-FFT 58 M per n =,2,..., Coso Compuazionale Sep 7 Calcolo NU-FFT Sep 7 Calcolo NU-FFT FFT NU-FFT FFT

8 Coso Compuazionale Coso Compuazionale Coso Compuazionale Il maggior coso compuazionale della procedura è la FFT su griglia sovracampionaa Il maggior coso compuazionale della procedura è la FFT su griglia sovracampionaa Il maggior coso compuazionale della procedura è la FFT su griglia sovracampionaa scegliendo il rapporo di sovracampionaura scegliendo il rapporo di sovracampionaura Il coso oale della procedura è Non Uniforme ACCURATEZZA G LA G LO G LA G LO 2000 Prices compued STABILITA STABILITA L errore del 90% dei prezzi calcolai ricade enro G LA G LO G LA G LO Srike price 7 72

9 STABILITA VELOCITA L errore del 90% dei prezzi calcolai ricade enro VELOCITA lo schema NU FFT è all incirca 2 vole più leno di FFT L INTERVALLO DI PRECISIONE FFT NU FFT VELOCITA Per empi minimi, le differenze scompaiono FFT NU FFT VELOCITA Per empi minimi, le differenze scompaiono NC2 G LA G - LO 0.0 sec. N/A N/A NC2 G -LA G -LO 0.02 sec sec sec. Calcolo di 4000 prezzi su un Cenrino 600Mhz 2gb RAM Valore medio su 000 run Non Uniforme Conclusioni Conclusioni Conclusioni NU FFT permee l uso di Griglie Gaussiane NU FFT permee l uso di Griglie Gaussiane NU FFT è indifferene al limie di Nyquis - Shannon NU FFT permee l uso di Griglie Gaussiane NU FFT è indifferene al limie di Nyquis - Shannon NU FFT è accurao almeno quano FFT

10 Conclusioni NU FFT permee l uso di Griglie Gaussiane NU FFT è indifferene al limie di Nyquis - Shannon NU FFT è accurao almeno quano FFT NU FFT è più sabile di FFT Conclusioni NU FFT permee l uso di Griglie Gaussiane NU FFT è indifferene al limie di Nyquis - Shannon NU FFT è accurao almeno quano FFT NU FFT è più sabile di FFT NU FFT è veloce ano quano FFT classico Il pricing veloce delle componeni derivaive: DFT su griglie gaussiane e Error Conrol Marcello Minenna Paolo Verzella IX WORKSHOP ON QUANTITATIVE FINANCE 84 January 24-25, 2008 Universiy of Rome "Tor Vergaa"