Simulazione di campo di moto uido attorno ad ala bio-ispirata con bordo d'attacco sinusoidale mediante codice di calcolo

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1 POLITECNICO DI TORINO Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Tesi di Laurea Simulazione di campo di moto uido attorno ad ala bio-ispirata con bordo d'attacco sinusoidale mediante codice di calcolo OpenFOAM Relatori Candidato prof. Renzo Arina prof.ssa Stefania Scarsoglio Orazio Pinti OTTOBRE 2015

2 Contents 1 Introduzione Richiami di aerodinamica Scopo della tesi Leggi di conservazione nei uidi Accelerazione di una particella uida Tensore degli sforzi di taglio Legge di conservazione della massa Legge di conservazione della quantità di moto Legge di conservazione dell'energia Equazioni di Navier-Stokes Flussi turbolenti R.A.N.S Modelli di turbolenza Computational Fluid Dynamics Processo di analisi CFD OpenFOAM Simulazioni Formulazione del problema Generazione della mesh Risultati Simulazioni a bassa incidenza Simulazioni ad alta incidenza Distribuzioni di vorticità e interpretazione del fenomeno 42 5 Conclusioni 45 1

3 List of Figures 1 Prolo di ala NACA L'immagine mostra l'andamento dei coecienti di portanza C L a sinistra e resistenza C D a destra, in funzione degli angoli d'attacco 7 3 Ala retta con prolo simmetrico NACA Figura a scopo illustrativo della tipologia di ala studiata, dove i parametri della sinusoide non sono quelli usati per la simulazione 8 5 Esempio di tipica cartella di un caso di un problema eseguibile da OpenFOAM Vista della mesh 2D attorino ad un generico prolo dell'ala retta 29 7 Vista delle dimensioni totali del dominio di calcolo dell'ala retta 30 8 Mesh dello strato limite in corrispondenza del brodo d'attacco dell'ala retta Mesh dello strato limite in corrispondenza del brodo di fuga dell'ala retta Vista della zona più tta vicino al prolo dell'ala retta Vista delle dimensioni totali del dominio di calcolo dell'ala wavy Vista della zona più tta vicino al prolo dell'ala wavy Dimensioni del dominio con la forma simmetrica dell'ala wavy in vista Dimensioni della porzione di ala wavy usata per la simulazione Mesh dello strato limite in corrispondenza del brodo d'attacco dell'ala wavy Mesh dello strato limite in corrispondenza del brodo di fuga dell'ala wavy Campo di velocità attorno all'ala retta, sopra e all'ala wavy, sotto, ad incidenza media di Campo di pressioni attorno all'ala retta, sopra, e all'ala wavy, sotto, ad incidenza media di Campo di velocità attorno all'ala retta, sopra, e all'ala wavy, sotto, ad incidenza media di Campo di pressioni attorno all'ala retta, sopra, e all'ala wavy, sotto, ad incidenza media di

4 21 Campo di velocità attorno al prolo sul picco della sinusoide ad incidenza geometrica maggiore, sopra, e sul ventre ad incidenza geometrica minore, sotto, dell'ala wavy Andamento della pressione sulla parete dell'ala wavy Distribuzione della componente della vorticità lungo la direzione della corda sul dorso del prolo dell'ala wavy Andamento dell'incidenza e della circuitazione passando da un massimo ad un minimo della sinusoide del bordo d'attacco Esempio di letto vorticoso entrante e convenzionalmente negativo per come è orientato l'asse x che appare passando da un massimo ad un minimo della sinusoide del bordo d'attacco List of Tables 1 Risultati delle simulazioni a incidenza media di Risultati delle simulazioni a incidenza media di

5 Ringraziamenti Il duro lavoro e l'impegno necessario a portare a conclusione un lavoro di tesi sono enormemente ripagati dalla soddisfazione nel vedere un obiettivo, che sembrava tanto lontano, raggiunto. Ma il merito di questo raggiungimento non è solo mio; devo tutto quello che ho ai miei genitori, che con il costante peso del loro duro lavoro mi permettono di vivere lontano da tutte le preoccupazioni con le quali loro combattono ogni giorno. Non riuscirò mai a ringraziarli abbastanza per questo. Un ringraziemento speciale va anche alla mia ragazza Valeriana, sempre vicina e pronta ad aiutarmi e spronarmi, al mio caro amico Andrea, con il quale ho condiviso gran parte di questo percorso, a al mio nuovo amico Luigi, senza il quale sarebbe stato tutto molto più dicile... 4

6 1 Introduzione 1.1 Richiami di aerodinamica Ci si può chiedere quale debba essere la forma di un corpo, per esempio a pari supercie della sezione e quindi a parità di peso, perchè sia minima la sua resistenza all'avanzamento in un uido. Perchè questo accada la separazione deve avvenire il più tardi possibile, nelle vicinanze della ne del corpo, così che la scia turbolenta sia la più stretta possibile. La separazione è facilitata da una rapida crescita della pressione lungo il corpo nella direzione del usso: il corpo deve quindi avere una forma tale che, dove la pressione cresce, la variazione avvenga nel modo più lento e continuo possibile. Questo si può ottenere dando al corpo una forma allungata nella direzione del usso, che si assottigli in modo continuo così che i ussi lungo i due lati del corpo conuiscano regolarmente senza passare attorno ad angoli o cambiare considerevolmente direzione rispetto alla corrente principale. All'estremità anteriore il corpo deve essere arrotondato; se ci fosse un'angolo nella sezione la velocità del uido al vertice tenderebbe a valori inniti, la pressione salirebbe rapidamente a valle e la separazione si produrrebbe inevitabilmente [Landau1953]. Figure 1: Prolo di ala NACA 4418 Tutte queste caratteristiche sono ben soddisfatte dalla forma mostrata in gura, che rappresenta un prolo NACA 4418, ovvero un generico prolo di un corpo chiamato ala. Nel usso attorno a corpi del genere la separazione avviene solo nelle vicinanze 5

7 del bordo di fuga appuntito e di conseguenza la resistenza è relativamente piccola. Nella resistenza di corpi come questo, detti aerodinamici, l'eetto dell'attrito diretto del uido dello strato limite sulla supercie del corpo gioca un ruolo molto importante, mentre resta trascurabile in corpi non aerodinamici Una delle caratteristiche di questi corpi è che la forza scambiata con il uido ha un'elevata capacità di sostentazione, oltre che di limitata opposizione al moto relativo, ovvero la componente perpendicolare al usso della forza aerodinamica totale scambiata è decisamente più grande di quella parallela. La componente perpendicolare al usso della forza viene chiamata portanza o Lift, mentre quella parallela resistenza o Drag. La portanza è la componente capace di sorreggere un corpo in moto mentre la resistenza si oppone al moto stesso. Il corpo può essere posto a vari angoli rispetto alla corrente, ma per mantenere le caratteristiche discusse nora questi angoli devono essere piccoli. Al crescere di questi angoli, chiamati angoli d'attacco o d'incidenza, cresce anche l'intensità della forza che il uido scambia con il corpo. Per una certa incidenza la portanza può essere massima e la resistenza contenuta: viene naturale introdurre una grandezza chiamata ecienza aerodinamica, denita appunto come: E = L D Possiamo pensare all'ecienza come una misura dell'aerodinamicità del corpo a condizioni denite, ovvero a quanta portanza riesce a creare in relazione alla conseguente resistenza. Da analisi sia sperimentali che dimensionali vediamo che le forze aerodinamiche dipendono dalle condizioni di lavoro in questo modo: F a = costante ρv 2 S Dove ρ è la densita del uido, V è la velocità della corrente indisturbata e S è una supercie signicativa del corpo lambito dal usso. Anche le componenti avranno la stessa dipendenza dai suddetti parametri, e inglobando le relazioni trigonometriche che intercorrono tra F a, L e D nella costante possiamo scrivere L = costante ρv 2 S e D = costante ρv 2 S. 6

8 Chiamando le costanti della portanza e della resistenza 1 2 C L e 1 2 C D arriviamo a scrivere L = 1 2 ρv 2 C L S D = 1 2 ρv 2 C D S C L e C D sono chiamati coecienti di portanza e di resistenza, e sono funzione tra l'altro dell'angolo d'attacco α. Per piccoli angoli, C L è una funzione praticamente lineare di α mentre C D è una funzione circa quadratica di C L e quindi di α. Figure 2: L'immagine mostra l'andamento dei coecienti di portanza C L a sinistra e resistenza C D a destra, in funzione degli angoli d'attacco Notiamo che per angoli compresi tra i 10 e i 15 il C L non è più lineare e va incontro ad un brusco calo; questo indica che l'angolo di attacco ha superato il limite per cui il uido riesce a rimanere attaccato al corpo, distaccandosi e creando una scia molto più ampia, facendo diminuire la portanza. 7

9 1.2 Scopo della tesi L'obbiettivo di questa tesi sarà lo studio di ali bio-ispirate alle pinne dorsali di alcuni cetacei come le megattere, ovvero la generazione di una mesh, che riproduca il più fedelmente possibile la pinna, e la simulazione mediante il codice di calcolo OpenFoam della suddetta, confrontando poi i risultati con la simulazione di un'ala analoga per dimensioni, ma rettangolare in pianta (gura 3). Figure 3: Ala retta con prolo simmetrico NACA 0021 La particolarità dell'ala studiata è quella di avere un bordo d'attacco sinusoidale lungo il piano perpendicolare alle corde, facendo lavorere i vari proli ad incidenze in generale diverse (gura 4). D'ora in poi chiameremo tale ala, ala wavy. Figure 4: Figura a scopo illustrativo della tipologia di ala studiata, dove i parametri della sinusoide non sono quelli usati per la simulazione 8

10 Verranno eettuate simulazioni delle due ali in un usso a due incidenze medie, una bassa e una alta prossima allo stallo. Notiamo che l'incidenza geometrica locale dei proli vicini al picco della sinusodie è sensibilmente più alta rispetto a quella media, quindi il pericolo di stallo si ha per angoli medi relativamente piccoli. In particolare siamo interessati al calcolo dei coecienti delle forze aerodinamiche per confrontarli. Dall'articolo pubblicato su Physics of Fluids di N. Rostamzadeh et al., leggiamo che questo tipo di bordo di attacco potrebbe portare ad un miglioramento nella regione vicina e post stallo, aumentando anche del 40% l'angolo a cui il usso si separa dal dorso, con un miglioramento di ecienza in questi regioni di lavoro. Una spiegazione andrebbe cercata nel fatto che tra i picchi e le gole delle oscillazioni si formerebbero zone di vortici controrotanti che variano la ciruitazione lungo l'apertura dell'ala, ed è proprio questa regione fortemente vorticosa che causerebbe i beneci menzionati [Rostamzadeh2013]. Infatti utilizzando l'approssimazione di usso potenziale per l'esterno dello strato limite vediamo, dalla condizione di Kutta, che la circuitazione varia come l'angolo di attacco eettivo ( Γ = πv c + 4 ) 3 3 t α eff < 0 dove c è la corda e t lo spessore massimo del prolo. Quindi, inizialmente, tra un picco e un ventre, dove l'incidenza diminuisce, dovrà aumentare algebricamente la circuitazione, e rifacendoci alla teoria della linea portante di Prandtl, questo vuol dire che si formerà un vortice che ruota in senso antiorario vedendo il bordo d'attacco. Analogamente tra il ventre e il picco successivo l'incidenza torna ad aumentare, così come la circuitazione a diminuire con un vortice controrotante rispetto al precedente. Questi vortici hanno come eetto istantaneo una diminuzione di angolo d'attacco eettivo per i proli nella vicinanza dei picchi, e un aumento per quelli nei ventri, a causa della velocità indotta: la dierenza massima tra gli angoli eettivi lungo l'ala diminuirà, così come l'ampiezza della sinusoide della circuitazione. I vortici andranno quindi a diminuire l'incidenza eettiva α eff dei proli dei picchi, dove l'incidenza è maggiore, e viceversa nelle gole; quindi come risposta avremo un'attenuazione delle variazioni di circuitazione lungo l'ala. Ma se le uttuazioni di Γ diminuiscono, anche l'intensità dei vortici diminuirà, gli stessi vortici che hanno causato la variazione degli angoli d'attacco eettivi e la regolarizzazione della circuitazione. 9

11 Si arriverà ad un equilibrio tra i due fenomeni in opposizione, l'intensità dei vortici che escono dall'ala tra i picchi e i ventri e la dierenza massima tra gli angoli eettivi lungo l'apertura: all'aumentare di uno diminuirerebbe l'altro che come conseguenza dalla condizione di Kutta porterebbe una diminzione del primo. Giunti ad un equilibrio stabile, avremo una certa intensità nale di vortici minore di quella dell'istante iniziale, ma concorde, e un certo andamento nale degli angoli eettivi attenuato rispetto a quello geometrico; la presenza dei vortici porta ad un aumento della velocità del usso e quindi una dierenza di pressione tra dorso e ventre maggiore con un C L maggiore a pari incidenza media. Sperimentalmente si è visto però che questi eetti diventano signicativi ad incidenza abbastanza elevata, grazie alla capacità dei vortici di mantenere il usso aderente al dorso anche per angoli molto alti, mentre con piccoli angoli d'attacco dovremmo avere anzi un peggioramento, che sarà quello che ci aspettiamo di vedere dalla simulazione. Proseguiremo con le simulazioni al calcolatore per trovare riscontri con i risultati presenti in letteratura, cercando conferme di quanto appena detto. 1.3 Leggi di conservazione nei uidi Il moto dei uidi è governato da equazioni dierenziali alle derivate parziali che rappresentano la conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia: le cosiddette equazioni di Navier-Stokes. Per la loro derivazione consideriamo un volume di controllo δxδyδz in moto in un usso uido, piccolo per le grandezze caratteristiche in gioco ma grande abbastanza da contenere tante molecole quante ne sono necessarie per denire quantità medie, e introduciamo alcuni concetti utili Accelerazione di una particella uida Denendo il campo vettoriale delle velocità in un uido come il vettore colonna avente per componenti le velocità del volume di controllo lungo le tre direzioni di un sistema di riferimento cartesiano V = u v w 10

12 questo è in generale funzione della posizione e del tempo, cioè la velocità varia sia con il tempo in uno stesso punto del sistema di riferimento che con la posizione ad uno stesso istante considerato. Quindi V = V (t, x, y, z) = (u(t, x, y, z), v(t, x, y, z), w(t, x, y, z)) T. Ogni componente del vettore velocità è una quantità scalare funzione dello spazio e del tempo, avente l'informazione sulla direzione contenuta nel versore corrispondente: V = u i e i. 1 Il dierenziale della funzione velocità lungo la direzione i, u i = u i (t, x, y, z) è: du i = u i t dt + u i x dx + u i y dy + u i z dz quindi la sue derivata nel tempo, ovvero l'accelerzione del volume lungo la direzione i, è: du i dt = u i t + u i dx x dt + u i dy y dt + u i dz z dt = u i t + u i x u + u i y v + u i z w Usando la denizione di operatore nabla ( x, y, ) z e di gradiente di una funzione scalare f : R n R, grad f = f = ( f,..., f ) x 1 x n possiamo riscrivere la derivata totale nel tempo di u i come: du i dt = u ( i t + ui x, u i y, u ) u i v z w e questa vale per le tre componenti del vettore velocità. = u i t + u i V 1 Si è utilizzata la notazione di Einstain secondo la quale indici ripetuti implicano sommatoria. 11

13 Considerando poi che i versori e i sono costanti in modulo e ssi nello spazio, quindi d V = d(u i e i ) = e i du i, abbiamo che il vettore accelerazione totale del volume è: d V dt = d dt u v w = du dt dv dt dw dt = u t + u V v t + v V w t + w V = u t v t w t + u V v V w V Ricordando la denizione di gradiente di un vettore, o matrice jabobiana dello stesso V = u v w = x u y u z u x v y v z v x w y w z w possiamo scrivere u V v V w V = u x u v y u w z u u x v v y v w z v u x w v y w w z w Allora abbiamo che l'accelerazione vale: = x u y u z u x v y v z v x w y w z w u v w = V V d V dt = t u v w + u v w V = V t + V V La derivata totale di una quantità scalare Q, dq dt = Q t + Q V è detta anche derivata materiale o lagrangiana, somma di un contributo detto euleriano e uno detto convettivo, e si può indicare anche come DQ Dt. Il primo termine indica una variazione di Q imputabile solo alla variazione temporale della quantità nello stesso punto, quindi ssiamo la posizione e valutiamo la variazione nel tempo; il secondo termine prende in considerazione la variazione di Q causata dal moto di trasporto, quindi anche in regime stazionario abbiamo una variazione diversa da zero, ssando un istante e muovendoci nello spazio. 12

14 1.3.2 Tensore degli sforzi di taglio Un uido in moto è sollecitato internamente da forze che si scambiano su ogni supercie, causate dalla viscosità che si oppone al moto relativo tra diverse particelle uide. Prendendo in considerazione una supercie, questa subirà una forza causata dal uido su ogni sua faccia. Facendo tendere a zero la supercie, il rapporto tra la forza e la supercie stessa può assumere un valore, detto sforzo σ: F σ = lim S 0 S Lo sforzo è un vettore e si può dimostrare che per conoscere completamente lo stato di tensione di un punto basta conoscere lo sforzo calcoto su tre piani ortogonali passante per il punto stesso: questo signica che la conoscenza di questi tre vettori è suciente per determinare lo sforzo su qualunque altro piano passante per il punto. Come insieme di tre piani ortogonali, e quindi indipendenti, possiamo prendere i tre piani perpendicolari alle tre direzioni di un sistema di coordinate cartesiane centrato nel punto, ottenendo tre sforzi σ 1, σ 2 e σ 3. Questi tre vettori posseggono ognuno tre componenti lungo le tre direzioni, che deniamo σ ij, dove i è la direzione lungo cui il piano considerato è ortogonale e j la direzione lungo la quale la componente è parallela. Le nove componenti possono essere raccolte in forma matriciale come: Π = σ xx σ xy σ xz σ yx σ yy σ yz σ zx σ zy σ zz Si può dimostrare con il teorema di Cauchy che questa matrice è simmetrica, ovvero σ ij = σ ji, dall'equilibrio alla rotazione di un cubetto elementare, quindi in realtà abbiamo solo sei incognite da determinare. Risulta che per un uido in quiete gli sforzi sono solo perpendicolari e di carattere compressivo, quindi Π ij = σ ij δ ij Dal teorema di Pascal inoltre si ha che tutti gli sforzi ortogonali sono uguali, e denendoli come pressione idrostatica p si ha che: 13

15 Π ij = σ ij δ ij = pδ ij In un uido in moto risulta invece che le componenti tangenziali degli sforzi non sono nulli, quindi deniamo la matrice degli sforzi viscosi come τ = τ xx τ xy τ xz τ yx τ yy τ yz τ zx τ zy τ zz anch'essa simmetrica ed imputabile solo al moto del uido. Denendo anche qui una pressione per il uido in moto come p = 1 3 i σ ii, riscriviamo ovvero: Π = pi + τ Π = p p p + τ xx τ xy τ xz τ yx τ yy τ yz τ zx τ zy τ zz da cui abbiamo che σ ij = pδ ij + τ ij. Osserviamo che la traccia di τ è nulla, essendo τ ii = σ ii 1 3 i σ ii. Con le ipotesi che il tensore simmetrico degli sforzi dipenda solo dalla distribuzione istantanea di velocità e che sia una funzione lineare del gradiente di velocità, e sapendo che si annulla nel caso di uido in quiete, possiamo esprimere il tensore per un uido isotropo come: τ = µ( V + V T ) + λ( V )I I uidi per i quali vale questa relazione sono detti newtoniani. In componenti cartesiane si scrive: ed in particolare ( ui τ ij = µ + u ) j u k + λδ ij x j x i x k τ ii = 2µ u i x i + k λ u k x k Dovendo essere la traccia di τ nulla abbiamo che 14

16 τ ii = i i (2µ u i x i + k λ u k x k ) = 3λ k u k x k + i 2µ u i x i = (2µ + 3λ) u k x k = 0 ovvero che λ = 2 3 µ, detta ipotesi di Stokes. Questa equivale a dire che la pressione del uido in moto equivale a quella idrostatica o termodinamica [Arina2014]. Possiamo riscrivere allora: τ = µ( V + V T ) 2 3 µ( V )I Legge di conservazione della massa All'interno del nostro volume di controllo sso Ω con supercie contrornante Σ entra ed esce uido, e quindi massa. Potrebbe entrarne più di quante ne esce, e quindi avere un accumulo di massa all'interno con un aumento di densità, oppure viceversa uscirne più di quanta ne entra; ma in ogni caso la massa totale in gioco è costante, quindi la variazione di massa all'interno del volume è uguale a quella che entra istante per istante meno quella che esce istante per istante. Prendiamo in considerzione una parte innitesima dσ della supercie Σ: la massa entrante o uscente da questa porzione di supercie è d (dm) = ρds n dσ, dove ds n è lo spazio perso in direzione normale alla supercie. Se è uscente dal volume di controllo diremo che il suo verso è positivo, viceversa il segno è negativo se ds n è percorso verso l'interno. Quindi la massa che entra od esce per unità di tempo dalla suddetta supercie innitesima è: d dt (dm) = ρds n dt dσ = ρ V n dσ con n versore normale alla supercie di controllo di verso uscente. Il prodotto scalare ci fa intendere che alla sola componente normale alla supercie è imputabile entrata o fuoriuscita di massa, mentre la componente tangente alla supercie non entra in gioco nel bilancio. Questo fattore ρ V n dσ è istantaneamente funzione del punto della supercie considerata: ovvero ssato un istante in ogni porzione di supercie potremmo avere massa entrante od uscente. Per sapere al netto quanta ne è eettivamente entrata od uscita dobbiamo integrare questo fattore su tutta la supercie del volume: questo integrale, interpretabile come la massa totale uscita meno quella totale entrata, sarà uguale alla varizione totale della massa nell'unità di tempo. 15

17 Questo in formule vuol dire: ˆ d dm = d ˆ ˆ ρ dω = ρ V n dσ dt Ω dt Ω Σ Il meno sta a signicare che se l'integrale di supercie è positivo, ovvero c'è una fuoriuscita netta di uido, la derivata della massa all'interno del volume deve essere negativa, perchè per quello che abbiamo appena ipotizzato sta diminuendo. Usando il teorema di Gauss o della divergenza otteniamo ˆ ˆ ˆ d ρ ρ dω = dt Ω Ω t dω = (ρ V )dω Ω ˆ Ω ( ρ t + (ρ V ))dω = 0 Ed essendo nullo l'integrale per ogni volume sarà nulla la funzione integranda: ρ t + (ρ V ) = 0 Usando la denizione di derivata lagrangiana possiamo scrivere anche ρ t + (ρ V ) = ρ t + V ρ + ρ V = Dρ Dt + ρ V = 0 Da questo discerne che per un uido incompressibile a densità costante la divergenza della velocità è nulla: ρ = cost = Dρ Dt = 0 = V = 0 Se nel volume di controllo sono presenti sorgenti di massa f per unità di volume e tempo il bilancio si modica scrivendo: ρ t + (ρ V ) = f Legge di conservazione della quantità di moto Anche per il nostro volume Ω = δxδyδz vale la seconda legge della dinamica m a = i Fi. In un usso in moto però le uniche forze agenti su ogni particella sono le forze di pressione e gli sforzi di taglio, che trasmettono tutte le forze esterne al usso che causano e modicano il moto, a cui dobbiamo aggiungere 16

18 la forza di gravità. È come se isolassimo la particella e la vedessimo muoversi lungo la sua traiettoria: le cause di quel moto sono solo le forze che lei sente dalle particelle adiacenti. Prendiamo la direzione x ricordando che sia le pressioni che gli sforzi sono forze per unità di supercie; in più aggiungiamo la componente della forza di gravità lungo la direzione considerata, visto che il sistema di riferimento potrebbe avere un'orientazione qualsiasi: ma x = δxδyδz ρ Du Dt = p x δxδyδz+ τ xx x δxδyδz+ τ yx y δxδyδz+ τ zx z δxδyδz+ρg xδxδyδz ρ ( u t + u V ) = p x + τ xx x + τ yx y + τ zx z +ρg x = p x + (τ xx, τ yx, τ zx )+ρg x E questo vale per tutte le direzioni i-esime: ρ ( u i t + u i V ) = p x i + (τ xi, τ yi, τ zi ) + ρg i Mettendo tutto assieme in forma vettoriale moltiplicando la relazione di sopra per e i e sommando, otteniamo: ρ D V Dt = p + τ + ρ g = Π + ρ g Legge di conservazione dell'energia L'energia per unità di massa una particella uida la scriviamo come somma dell'energia interna e dell'energia cinetica: E = ε + V 2 Possiamo scrivere che la variazione di energia nel tempo della particella uida è uguale al usso netto di energia che viene trasportata dal uido e che attraversa le pareti del volume di controllo più eventuali ussi di calore, da aggiungere al lavoro totale svolto dalle forze esterne quali forze di pressione, di taglio e gravità. Il lavoro innitesimo delle forze di pressione per uno spostamento (dx, dy, dz) è: dl p = p x δxδyδz dx p y 17 2 p δxδyδz dy δxδyδz dz z

19 che derivato nel tempo dà: dl p dt = p p p δxδyδz u δxδyδz v x y z δxδyδz w = p V δxδyδz Analogamente il lavoro delle due forze di taglio τ xx agenti sulle due facce perpendicolari all'asse x, derivato nel tempo è: ( ) ( dlt = τ xx + τ ) ( xx dt τ xx x δx δyδz u + u ) x δx τ xx δyδz u = = ( ) u τ xx x + u τ xx δxδyδz = x x (τ xxu) δxδyδz dove abbiamo al solito trascurato termini di ordine d'innitesimo maggiore. Allo stesso modo possiamo scrivere il lavoro nel tempo di tutte e 6 le forze di taglio agenti sulle due facce perpendicolari all'asse x come: ( ) [ dlt = dt x x (τ xxu) + x (τ xyv) + ] x (τ xzw) δxδyδz Allora il lavoro totale di tutte le 18 forze agenti sulle 6 facce del nostro cubetto elementare si scriverà come: dl t dt = i [ x i (τ xixu) + x i (τ xiyv) + ] (τ xizw) δxδyδz = x i = i x i (τ xixu + τ xiyv + τ xizw) δxδyδz = i (τ xix, τ xiy, τ xiz) x i u v w δxδyδz = = ( x, y, ) z τ xx τ xy τ xz τ yx τ yy τ yz τ zx τ zy τ zz u v w δxδyδz = ( = τ ) V δxδyδz Quindi possiamo scrivere il lavoro nel tempo per unità di volume di tutte le forze in forma compatta come: p ( V + τ ) ( V = pi V + τ ) [ V = ( pi + τ) ] ( V = Π ) V 18

20 Possiamo scrivere la formulazione integrale della conservazione di energia totale come: ˆ ˆ d ρe dω = ρe V ˆ ( n dxdy+ Π ) ˆ V dω q n dxdy+ˆ ρ f ˆ V dω+ Q v dω dt Ω Σ Ω Σ Ω Ω dove con f abbiamo generalizzato tutte le forze di campo, quali campi gravitazionali o elettromagnetici ad esempio, e con Q v abbiamo inteso possibili sorgenti di energia per unità di volume interne al volume di controllo. Il terzo integrale a secondo membro indica i ussi di calore che permeano le superci del cubo e che trasportano quindi energia. La corrispondente formulazione dierenziale la otteniamo applicando il teorema di Gauss agli integrali dei ussi attraverso la supercie ( t (ρe) + ρe ) ( V = Π ) V q + ρ f V + Q v Se deriviamo i termini a primo membro otteniamo un termine nullo dall'equazione di continuità: ( t (ρe) + ρe ) V = ρ E t + E ρ ( t + E ρ ) V + ρ E V = ( ρ ( = E t + ρ ) ) ( E V + ρ t + E ) V = ρ DE Dt Quindi, scomponendo il tensore degli sforzi nella parte isotropa e non isotropa, abbiamo in denitiva: ρ DE ( Dt = p ) ( V + τ ) V q + ρ f V + Q v Equazioni di Navier-Stokes L'insieme di queste tre equazioni, di cui una vettoriale, formano un sistema di equazioni alle derivate parziali che descrivono il comportamento macroscopico di un uido in moto con l'approssimazione di un continuo. Il sistema è: ρ t + (ρ V ) = 0 ρ D V Dt = p + τ + ρ g = Π + ρ g 19

21 ρ DE ( Dt = p ) ( V + τ ) V q + ρ f V + Q v Sarà questo sistema che dovremo manipolare numericamente per risolvere problemi di uidodinamica computazionale. 1.4 Flussi turbolenti Il comportamento di un usso uido oltre un certo numero di Reynolds, che denito il uido e le condizioni di lavoro signica oltre una certa velocità, diventa caotico, ovvero le piccole e inevitabili perturbazioni del suo moto non sono più smorzate dalle forze viscose ed il moto si dice diventato turbolento. Le principali caratteristiche del moto turbolento sono la presenza di uttuazioni, sia spaziali che temporali, di alti livelli di dissipazione, diusività e vorticità con presenza di eddy. Le uttuazioni, irregolari e caotiche, rendono il moto turbolento fortemente non stazionario, tridimensionale e interagente non linearmente. Rimane uno dei pochi, se non l'unico, problema ancora aperto della sica classica. In generale la trattazione di un usso turbolento è molto complicata, e ci sono tre strade per arontarla numericamente: ˆ ˆ ˆ D.N.S. (Direct numerical simulation): è l'approccio concettualmente più semplice, si discretizzano lo spazio e il tempo con griglie della dimensione voluta e si eseguono i calcoli su esse. È l'approccio che restituisce i risultati più accurati ma ha un costo computazionale elevatissimo; per le applicazioni industriali risulta quindi troppo dispendioso. L.E.S. (Large eddy simulation): consiste nel calcolare numericamente il comportamento delle scale turbolente più grandi e modellare opportunamente le scale più piccole (scale di Kolmogorov). Per operare questa suddivisione si introducono ltri numerici creati ad-hoc. R.A.N.S. (Reynolds averaged Navier-Stokes equations): si basano sull'assunzione che si possa vedere il moto turbolento come formato da un moto medio e da una sua uttuazione nel tempo. Le grandezze delle equazioni di partenza vengono mediate in un certo intervallo di tempo; così facendo i tempi di calcolo vengono notevolmente ridotti in quanto le scale del moto medio risultano essere notevolmente maggiori di quelle del moto turbolento. Richiedono l'utilizzo di ulteriori equazioni per la chiusura del problema ma è il metodo meno costoso dal punto di vista computazionale, ed ora andremo ad analizzarlo più nel dettaglio [Wikipedia]. 20

22 1.4.1 R.A.N.S. Possiamo pensare di studiare statisticamente l'andamento delle grandezze proprie di un moto turbolento. Considerando un moto turbolento statisticamente stazionario: andiamo a scomporlo in un moto medio più le eventuali uttuazioni procedendo con la decomposizione di Reynolds. Consideriamo ad esempio le componenti cartesiane della velocità: u i (t, x ) = U i ( x ) + u i (t, x ) dove U i ( x ) è il campo medio indipendente dal tempo e u i (t, x ) sono le uttuazioni temporli del campo di moto. Dalla denizione di valor medio notiamo che il valor medio del campo medio è identicamente uguale e sè stesso mentre quello delle uttuazioni è nullo. Procediamo analogamente per la pressione e la temperatura: p (t, x ) = P ( x ) + p (t, x ) T (t, x ) = Θ ( x ) + T (t, x ) Scrivendo l'equazione di continuità e della conservazione della quantità di moto per un uido incomprimibile, trascurando l'eventuale presenza di campi di forza, come: u i x i = 0 ; u i t + u u i j = 1 p + 2 u i x j ρ x i x 2 j ; e ricordando che u i = U i + u i e che u i = U i + u i = U i, possiamo andare a mediare nel tempo le Navier-Stokes ottenendo: U i x i = 0 ; U i ρu j = P + ( ) τ ij ρu i x j x i x u j j ( ) U con τ ij = µ i x j + Uj x i sforzo viscoso. ; 21

23 Queste equazioni mediate prendono il nome di Equazioni mediate alla Reynolds o R.A.N.S. La particolarità di queste equazioni è la presenza del termine ρu i u j, un tensore del secondo ordine che tiene conto degli sforzi turbolenti dovuti alle uttuazioni dal moto medio; viene indicato solitamente con R, denito dalla relazione R ij (t, x ) = ρu i u j, ed è chiamato tensore degli sforzi di Reynolds [Arina2014]. Ora le equazioni appena derivate ci pongono davanti un problema: si sono aggiunte le incognite del tensore di Reynolds dovute alle uttuazioni e non è possibile chiudere il problema Modelli di turbolenza Nel risolvere queste equazioni possiamo seguire due strategie, atte alla modellizazione di questo tensore, che danno origine a due classi di modelli distinte: ˆ ˆ modelli a viscosità turbolenta (Eddy Viscosity); modelli per il tensore intero (Reynolds Stress Models R.S.M.); I primi hanno come ipotesi di base, per aggiungere un'equazione al problema, la cosiddetta ipotesi di Bousinesq, scrivibile come: R ij ρ = ν t ( Ui + U ) j x j x i mettendo in proporzionalità lineare il tensore con le derivate spaziali delle componenti di velocità media, in analogia con quanto fatto per il tensore degli sforzi viscosi. La costante di proporzionalità ν t è detta eddy viscosity o viscosità turbolenta. Aggiungiamo solo che quest'ipotesi presenta dei limiti di applicabilità, e rimandiamo per maggiori dettagli ai molti testi disponibili sull'argomento [Durbin2011, Pope2000]. Per risolvere il problema della chiusura ci riconduciamo quindi a risolvere sistemi lineari, algebrici o dierenziali, con l'obiettivo di determinare il valore della viscosità turbolenta. La classicazione dei modelli a viscosità turbolenta è basato sul numero di equazioni aggiunte al sistema delle equazioni mediate per chiudere il problema. Citiamo solo uno dei più noti modelli di ordine 1, quello di Spalart-Allmaras, semplice rispetto ad altri di ordine 2 ma ottimizzato per ussi attorno a superci alari. 22

24 Questo modello si basa sull'introduzione di una sola equazione alle derivate parziali, che omettiamo, per descrivere l'andamento spaziale della viscosità turbolenta. 1.5 Computational Fluid Dynamics La uidodinamica computazionale, d'ora in poi CFD, manipola le equazioni di bilancio e le risolve numericamente per ottenere una soluzione; operativamente sostituisce alcune di queste equazioni dierenziali con una serie di equazioni algebriche risolvibili al calcolatore. La CFD fornisce previsioni qualitative, e a volte anche quantitative, su un certo campo di moto uido tramite la modellistica matematica, metodi numerici ed appositi software, consentendo di eseguire esperimenti numerici in un laboratorio virtuale. L'analisi numerica dà un'idea su modelli di usso che sono dicili, costosi o impossibili da studiare con tecniche sperimentali tradizionali. È vero anche che la CFD non sostituisce mai completamente le misurazioni, ma il numero di esperimenti e il costo totale dello studio da eettuare può essere signicativamente ridotto. Analizziamo gli aspetti che ci fanno preferire una simulazione al computer piuttosto che un esperimento: Metodo Sperimentale, descrizione quantitativa sul usso mediante misurazioni: ˆ ˆ ˆ Valido per una certa quantità misurata ad un certo istante Valido per un limitato numero di punti Necessità di adottare un modello in scala da laboratorio ˆ Possibilità di studiare un limitato numero di problemi in un limitato range di condizioni operative ˆ Fonti di errore: errori di misurazione e usso disturbato dalle sonde. Simulazione numerica, previsione quantitativa sul usso mediante software CFD: ˆ ˆ Valido per tutte le caratteristiche e le quantità desiderate Possibilità di avere un alta risoluzione dell'analisi in spazio e tempo 23

25 ˆ ˆ Possibilità di studiare il usso nel suo dominio a dimensioni simulate reali Possibilità di studiare virtualmente ogni tipo di problema in ogni realistica condizione opererativa. Per quanto riguarda l'analisi al calcolatore, gli errori sono imputabili all'impostazione matematico-sica e informatica iniziale del problema: scelta del modello, discretizzazione, iterazione, implementazione ecc. Altri fattori che vanno a favore delle simulazioni sono il minore costo, la maggiore facilità e velocità di realizzazione, il parallelismo delle esecuzioni contro la sequenzialità degli esperimenti, un'analisi volta a scopi multipli rispetto all'approccio single-purpose dell'esperimento. C'è da dire però che i risultati di una simulazione CFD non sono mai totalmente adabili perchè i dati in input potrebbero contenere troppe imprecisioni, il modello matematico del problema in esame potrebbe essere inadeguato e la precisione dei risultati è comunque limitata dalla potenza di calcolo disponibile. L'adabilità è maggiore per ussi laminari, a fase singola e per sistemi chimicamente inerti. La uidodinamica computazionale è un'area di studio fortemente interdisciplinare, dove si incontrano sica, matematica applicata e informatica Processo di analisi CFD Gli step da seguire nel processo di simulazione possono essere così suddivisi: Formulazione del problema Andiamo a denire: cosa conosciamo sul usso in esame, di quali fenomeni sici dobbiamo tener conto, la geometria del dominio e le condizioni operative, in particolare se ci sono ostacoli interni o superci libere, interfacce. Dobbiamo stabilire il tipo di usso con cui vogliamo lavorare: se laminare o turbolento, se stazionario o instazionario. Inne dobbiamo denire quali devono essere gli obiettivi dell'analisi, se quantità integrali quali forze e momenti aerodinamici; se istantanee su dati del campo quali velocità, concentrazioni ecc, oppure se lo scopo è l'ottimizzazione di forme per migliorare le performance. Modello matematico Dobbiamo scegliere un modello adatto per il usso e formulare le leggi di conservazione; è inoltre necessario semplicare al massimo le equazioni che governano il suddetto modello trascurando i termini che hanno poca o nessuna inuenza sui risultati, vericando la presenza di simmetrie e 24

26 direzioni predominanti del usso, modellizzando gli eetti delle uttuazioni su piccola scala: questo per ridurre lo sforzo computazionale. Inne è necessario aggiungere le condizioni iniziali e al bordo. Processo di discretizzazione Il sistema di equazioni dierenziali alle derivare parziali è trasformato in un sistema di equazioni algebriche. La discretizzazione è eettuata sullo spazio e sul tempo, approssimando rispettivamente le derivate spaziali e temporali, e tramite la creazione di una mesh, denendo la forma e il numero delle celle. Le dimensioni delle celle possono essere diverse a seconda della zona del dominio considerata, inttendo la griglia nelle zone d'interesse. Strategie per la risoluzione iterativa Le equazioni algebriche non lineari accoppiate devono essere risolte iterativamente con: ˆ ˆ ˆ iterazioni esterne: i coecienti del problema discreto vengono aggiornati utilizzando i valori della soluzione dell'iterazione precedente in modo da eliminare le non linearità con un metodo simile a quello di Newton e risolvere le equazioni in forma chiusa iterazioni interne: la sequenza risultante di sottoproblemi lineari è tipicamente risolta con un metodo iterativo perché solutori diretti, come ad esempio l'eliminazione di Gauss, sono proibitivi criteri di convergenza: è necessario controllare i residui, le variazioni delle relative soluzioni e altri indicatori per assicurarsi che le iterazioni convergano Postprocessing Il postprocessing dei risultati della simulazione è eseguita al ne di estrarre le informazioni desiderate dal campo di moto uido calcolato: ad esempio il calcolo di grandezze derivate (funzione di corrente, vorticità); calcolo di portanza, resistenza, massa totale; visualizzazione, debug, verica e validazione del modello CFD. Verica del modello La verica equivale alla ricerca di errori nell'implementazione del modello; in altre parole rispondiamo alla domanda: stiamo risolvendo le equazioni nel modo giusto? Validazione del modello La validazione consiste nell'appurare che il modello scelto sia il più adeguato per il nostro scopo; ovvero rispondiamo alla domanda: stiamo risolvendo le equazioni giuste? 25

27 L'obiettivo della verica e della validazione è quello di garantire che il codice CFD produca risultati ragionevoli per una certa tipologia di problemi di ussi [Kuzmin] OpenFOAM OpenFOAM (Open Field Operation and Manipulation) è principalmente un toolbox C++ open source per estendere soluzioni software per la simulazione. È un solver basato sulla teoria della meccanica dei continui che include la uidodinamica computazionale, ovvero risolve problemi basati su equazioni dierenziali alle derivate parziali usando l'approccio dei volumi niti. Viene fornito con una libreria di solvers applicabile ad una vasta gamma di problemi. OpenFOAM è stato concepito come piattaforma per la meccanica dei continui ma è adeguato anche per simulazioni in vari ambiti della sica; è costituito da una biblioteca che ore le funzionalità di base del codice, quali ad esempio operazioni di algebra tensoriale e analisi di campi, discretizzazione di equazioni dierenziali parziali, soluzione di sistemi lineari e di equazioni dierenziali ordinarie, parallelizzazione automatica di operazioni di alto livello e in modelli sici come modelli termodinamici, di turbolenza, modelli per reazioni chimiche, modelli di trasferimento di calore ecc. Una cartella di un caso di simulazione, necessaria a far partire il codice di calcolo, deve contenere al suo interno le cartelle 0, constant e system. Nella cartella 0 ci sono le sulle condizioni iniziali di certe grandezze tra quali la pressione (p) e la velocità (U ); la cartella constant contiene a sua volta una sottocartella chiamata polymesh e alcuni dizionari del tipo [...]Properties. Nella cartella polymesh sono contenuti i le di descrizione della mesh di volume, generati dalle utilities di pre-processing. Questi le contengono l'elenco di tutti i punti, le celle, le facce e i contorni del dominio di calcolo; in particolare il le chiamato boundaries contiene le informazioni sul bordo del dominio, ovvero di che tipologia si tratta un bordo (ad esempio se permeabile o no). I dizionari, nel caso generale, sono transportproperties, turbulenceproperties e RASProperties, e contengono informazioni sul modello utilizzato per svolgere la simulazione. La cartella system contiene i dizionari che deniscono il problema da risolvere e i metodi numerici. I 3 dizionari fondamentali sono il controldict, fvschemes e fvsolution che dicono che solvers e che applications stiamo usando per simulare, oltre al numero di iterazioni massimo, con l'intervallo di tempo tra una e l'altra, e al valore dei residui per cui i risultati possono per noi essere ritenuti accettabili: il calcolatore si fermerà appena incontrerà uno di questi due limiti. 26

28 Figure 5: Esempio di tipica cartella di un caso di un problema eseguibile da OpenFOAM Volendo generare la mesh mediante il software Gmsh è necessario un le di testo che contenga i punti del dominio rispetto ai quali si creerà poi la mesh oppure direttamente un le.msh importato da Gmsh stesso in cui sono riportati tutti i dati della mesh. Per poi trasferire in formato leggibile da OpenFoam la mesh dobbiamo usare il comando da terminale gmshtofoam. 27

29 2 Simulazioni 2.1 Formulazione del problema Prenderemo in esame un dominio a forma di parallelogramma, di dimensioni nella lunghezza dell'apertura di 17 m tale da comprendere un solo periodo di sinusoide, sfasata perchè sia simmetrica, con condizioni di simmetria sulle facce dove il dominio tocca i proli nali, in modo da andare a studiare un'ala di allungamento innito. Il usso sarà al 5% turbolento, con velocità media in ingresso di V = 25 ms 1. La corda dell'ala è pari a c = 0.07 m, mentre la sinusoide presente sul bordo di attacco ha un'ampiezza di A = m con una conseguente variazione massima di incidenza geometrica rispetto a quela media di α rad 2. Eettueremo due simulazioni per ognuna delle due ali, una ad un'incidenza media di 3, l'altra a 9. Useremo il modello di ordine 1 già citato Spalart-Allmaras; sulle facce che danno sul ventre e sul dorso imposteremo una condizione di wall sul le boundaries, ovvero di pareti, con la condizione di slip per la velocità, quindi vogliamo che il usso scorra liberamente su queste due pareti come in assenza di viscosità, senza aderenza, quindi di fatto come se queste pareti non ci fossero. Per l'ala rettangolare il dominio sarà un po' diverso dato che possiamo studiare benissimo il caso bidimensionale; quindi il parallelogramma avrà una dimensione lungo l'apertura molto minore rispetto alle altre due. Questo per diminuire sensibilmente il numero di celle della mesh e aumentare quindi la velocità di calcolo. Ci proponiamo di calcolare i coecienti di portanza e resistenza, e quindi l'ecienza, delle due ali e confrontarle; i coecienti, essendo indipendenti dalla supercie, possono essere confrontati legittimamente, al contrario dell'eettiva forza aerodinamica scambiata, funzione questa della supercie in pianta. 2.2 Generazione della mesh La discretizzazione è il processo più lungo e delicato, dove bisogna impostare ed implementare griglie che devono tener conto di molti criteri per far convergere, e anche in tempi limitati, la simulazione. Per la generazione della mesh si è usata la piattaforma Gmsh, dalla quale abbiamo importato i punti del prolo considerato, il NACA 0021, e generato il bordo d'attacco sinusoidale. 28

30 La maggiore dicoltà è creare la zona nelle immediate vicinanze dell'ala, che deve avere un'alta densità di celle a causa della presenza dello strato limite e quindi degli alti gradienti, proprio dove le forme sono complesse e molto curve per il particolare bordo d'attacco. Si è scelto, come è solito fare, di creare una mesh strutturata per lo strato limite e non strutturata all'esterno di questo. Abbiamo inoltre suddiviso ulteriormente il dominio in una zona più piccola, dove la mesh è più tta, per ottenere risultati più precisi e per motivi di convergenza dei residui. Nella zona esterna invece, la suddivisione va ad essere sempre più rada no ad arrivare a dimensioni delle celle comparabili a quella della corda. Infatti in questa zona siamo abbastanza lontani dal corpo e il usso ne risulterà in buona approssimazione indisturbato, senza brusche variazioni in qualsiasi direzione, portando a convergenza i risultati molto più facilmente. Nella descrizione delle mesh delle due tipologie di ala prenderemo in considerazione una sola incidenza, essendo questa poco inuente sulle caratteristiche qualitative di cui andremo a parlare. Ala retta Per l'ala retta tutto questo è risultato più semplice grazie alla maggiore regolarità della forma. Figure 6: Vista della mesh 2D attorino ad un generico prolo dell'ala retta Lo spessore della mesh, come già detto, sarà particolarmente sottile per diminuire il costo computazionale (gura 7). 29

31 Figure 7: Vista delle dimensioni totali del dominio di calcolo dell'ala retta La zona dello strato limite è sede di forti gradienti di velocità lungo la normale al prolo e di pressione lungo la corda; per cogliere le forti variazioni in spazi molto piccoli, e portare quindi a convergenza i risultati numerici, dobbiamo inttire la mesh nelle vicinanze del prolo e farlo strutturato, con 8 strati. Questo signica che le celle non saranno più triangolari in sezione, ma rettangolari. La dicoltà è che il codice di calcolo obbliga ad avere la stessa suddivisione di punti nel prolo reale e lungo il bordo della zona inttita; questo porta ad una forte distorsione delle celle in certe zone, che abbiamo in certa misura ridotto dividendo in quattro settori la zona inttita, due nelle prossimità del bordo di fuga. Questo ha permesso un certo raddrizzamento delle celle. Figure 8: Mesh dello strato limite in corrispondenza del brodo d'attacco dell'ala retta 30

32 Nei pressi del bordo di fuga le celle danno non pochi problemi causati dall'angolo appuntito, che costringe le forme delle celle ad appiattirsi troppo. In eetti questa regione è limitatissima per dimensioni rispetto al resto dell'ala, quindi abbiamo modicato leggermenti i punti del prolo per dare una forma più arrotondata e morbida al bordo di fuga (gura 9). Figure 9: Mesh dello strato limite in corrispondenza del brodo di fuga dell'ala retta Questa zona resta in ogni caso molto limitata rispetto alle dimensioni del prolo (gura 10). Figure 10: Vista della zona più tta vicino al prolo dell'ala retta 31

33 Ala wavy La mesh di quest'ala è decisamente più complessa da realizzare, per ovvie cause dettate dal bordo d'attacco. Per motivi presumibilmente imputabili ad eetti instazionari la simulazione non arriva facilmente a convergenza. Ipotizziamo siano i vortici creati ad incidenze troppo alte a non essere stazionari. Per questo motivo abbiamo dovuto inttire molto la mesh nelle vicinanze del prolo, no a raggiungere circa 2 milioni di celle totali, ed abbassare le incidenze medie della simulazione. La mesh nale si presenta come in gura 11. Figure 11: Vista delle dimensioni totali del dominio di calcolo dell'ala wavy Abbiamo scelto al solito di creare una zona più tta che racchiuda l'ala per guadagnare in precisone dei risultati (gura 12). 32

34 Figure 12: Vista della zona più tta vicino al prolo dell'ala wavy Le dimensioni del dominio rispetto a quelle dell'ala sono state scelte abbastanza grandi per le dicoltà che questo bordo d'attacco genera durante la simulazione, tutto questo a scapito del tempo necessario a farla convergere (gura 13). Figure 13: Dimensioni del dominio con la forma simmetrica dell'ala wavy in vista 33

35 Figure 14: Dimensioni della porzione di ala wavy usata per la simulazione Il boundary layer è stato fatto, come per l'ala retta, strutturato e diviso in quattro settori, questo sempre per avere migliori forme delle celle, il più simile possibile a parallelepipedi e non a parallelogrammi. Anche se dal punto di massimo inarcamento no al bordo di fuga questa distorsione è comunque presente, il risultato è comunque accettabile come mostrato in gura 15. Figure 15: Mesh dello strato limite in corrispondenza del brodo d'attacco dell'ala wavy I due settori presenti al bordo di fuga e l'arrotondamento dello stesso, come per l'ala retta, sono necessari per eliminare i problemi dell'angolo vivo, ovvero avere celle particolarmente schiacciate che si incastrano male. I due settori sono 34

36 stati anche inttiti lungo la linea del prolo, dove sono presenti molti più punti, passando ad una densità di suddivisioni circa 8 volte maggiore: questo a causa della curvatura che costringe a dimensionare le celle con una lunghezza tale che le suddivisioni del bordo curvato siano ben approssimabili a segmenti retti (gura 16). Figure 16: Mesh dello strato limite in corrispondenza del brodo di fuga dell'ala wavy 35

37 3 Risultati Valuteremo prima le due ali a 3 di incidenza (incidenza media per l'ala wavy), e poi a 9, confrontando i coecienti di portanza e resistenza e quindi l'ecienza. 3.1 Simulazioni a bassa incidenza Con incidenza bassa quello che ci aspettiavamo era di avere un peggioramento con il bordo d'attacco ondulato, ed è quello che abbiamo riscontrato nella simulazione. Le immagini mostrano i proli di velocità per le due ali (gura 17). Notiamo che l'ala wavy è ad incidenza media 3 mentre in generale i suoi proli sono ad incidenza diversa da 3. Figure 17: Campo di velocità attorno all'ala retta, sopra e all'ala wavy, sotto, ad incidenza media di 3 36

38 Il campo di pressioni invece si presenta così (gura 18): Figure 18: Campo di pressioni attorno all'ala retta, sopra, e all'ala wavy, sotto, ad incidenza media di 3 Non notiamo forti dierenze ad incidenze così basse, e il bordo d'attacco ondulato probabilmente aumenta solo la resistenza. Di seguito riportiamo i dati dei coecienti di portanza e resistenza delle due ali. α = 3 Ala retta Ala Wavy C L C D E Table 1: Risultati delle simulazioni a incidenza media di 3 Come ci aspettavamo abbiamo riscontrato un lieve peggioramento a costo di un'ala molto più complessa da realizzare. 37

39 I dati del coeciente di portanza sono in buon accordo con i risultati di N. Rostamzadeh et al. [Rostamzadeh2013] mentre per quanto riguarda il coeciente di resistenza troviamo un valore di un ordine di grandezza più grande, chiaramente poco plausibile. Da quest'ultimo valore troviamo anche un'ecienza molto bassa. Probabilmente questa imprecisione è dovuta al modello usato e a condizioni iniziali e di bordo non ottimali. 3.2 Simulazioni ad alta incidenza A incidenza media di 9 le cose si ribaltano, e come abbiamo un miglioramento con l'ondulazione. Ecco come si presentano i proli di velocità (gura 19) e di pressione (gura 20) attorno all'ala retta e al prolo di picco dell'ala wavy: Figure 19: Campo di velocità attorno all'ala retta, sopra, e all'ala wavy, sotto, ad incidenza media di 9 38

40 Figure 20: Campo di pressioni attorno all'ala retta, sopra, e all'ala wavy, sotto, ad incidenza media di 9 I risultati sono riportati in tabella seguente, e come nel caso ad incidenza bassa abbiamo i valori del coeciente di portanza in accordo con i risultati di Rostamzadeh et al., mentre il coeciente di resistenza si discosta molto dai valori sperimentali. Ciononostante i C D hanno una pendenza di crescita molto simile ai risultati in galleria passando da basse ad alte incidenze, come se la curva fosse traslata in alto, quindi con un C D0 maggiore. Per il C L invece notiamo che è maggiore per l'ala wavy mentre dai dati sperimentali è il contrario, avendo solo un'abbassamento graduale e non un brusco salto del coeciente dopo l'angolo di stallo. Si tratta in ogni caso di una prima simulazione, predisposta a molte possibili ottimizzazioni. α = 9 Ala retta Ala Wavy C L C D E Table 2: Risultati delle simulazioni a incidenza media di 9 39

41 È interessante notare che nel prolo dell'ala wavy ad incidenza geometrica più bassa, nel ventre della sinusoide, abbiamo una velocità maggiore (gura 21), indice di un gradiente di pressione maggiore, giusticando l'asserzione di Rostamzadeh et al. secondo cui i proli vicino al ventre stallano prima. La velocità maggiore non puo' indicare un'incidenza eettiva maggiore rispetto ai proli sui picchi: questo perchè il fenomeno di velocità indotta dai vortici è presente, ma non può ribaltare la distribuzione di angoli d'incidenza geometrici iniziali poiché creerebbe un paradosso fenomenologico: per avere una distribuzione di angoli eettivi opposta a quella degli angoli geometrici, ovvero α eff maggiore sui ventri della sinusoide, servirebbero dei vortici ottenibili solo da una distribuzione di angoli concorde a quella degli angoli geometrici. Figure 21: Campo di velocità attorno al prolo sul picco della sinusoide ad incidenza geometrica maggiore, sopra, e sul ventre ad incidenza geometrica minore, sotto, dell'ala wavy Andando a vedere la distribuzione di pressione sull'ala notiamo, come ipotizzato, che la gola della sinusoide del bordo d'attacco è sede di una pressione maggiore, con uguale pressione al bordo di fuga; quindi di fatto il gradiente di pressione è maggiore. 40

42 Figure 22: Andamento della pressione sulla parete dell'ala wavy 41

43 4 Distribuzioni di vorticità e interpretazione del fenomeno La teoria sulla creazione di vortici, che deriva dal modello semplicativo della condizione di Kutta per usso potenziale, è stata confermata anche dalle simulazioni, in cui sono presenti vortici controrotanti sul dorso dell'ala come mostrato in gura 22. Figure 23: Distribuzione della componente della vorticità lungo la direzione della corda sul dorso del prolo dell'ala wavy Possiamo imputare a questi vortici la causa del miglioramento del coeciente di portanza, grazie ad un'accelerazione aggiuntiva del usso. La loro natura, come già detto, è glia della distribuzione sinusoidale degli 42