Matematica curiosa. Silvia Sbaragli ASP Locarno NRD Università di Bologna. Il viaggiatore scientifico 3 15 novembre 2008

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1 Matematica curiosa Silvia Sbaragli ASP Locarno NRD Università di Bologna Il viaggiatore scientifico 3 15 novembre 2008

2 Matematica curiosa l infinito matematico. I paradossi di Zenone di Elea (nato circa V sec. a.c.). 2

3 Achille e la Tartaruga A 100 m T Supponiamo che Achille abbia una velocità che sia 10 volte quella della Tartaruga. Chi vincerà la gara? 3

4 L esperienza sensibile fa sì che Achille sia il sicuro favorito di questa incredibile gara. Ma un ragionamento mostrerà che la vittoria spetta alla Tartaruga in quanto Achille non potrà raggiungerla in un tempo finito. 4

5 100 m T T 10 m 100 m T T T 10 m 1 m Ad ogni percorso rapidamente effettuato da Achille, la Tartaruga compie un percorso che è sì la decima parte di quello di Achille, ma che è tuttavia pur sempre maggiore di zero. 5

6 È vero che la somma di infiniti addendi è sempre una somma infinita? d = ,1 + 0,01 + = 111,

7 Questa somma non è infinita pur essendo formata da infiniti addendi A 111,2 m Achille avrà sicuramente sorpassato la Tartaruga. Il paradosso, anzi il falso paradosso sta nel fatto che non è sempre vero che la somma di infiniti addendi sia una somma infinita. 7

8 Ma per poter eseguire somme di infiniti addendi e capire che tali somme possono essere finite, si dovette aspettare il XVIII secolo. Solo allora Georg Cantor ( ) creò una soddisfacente e coerente teoria dell infinito matematico. 8

9 Nell antichità greca filosofi e matematici coincidevano nella stessa persona: Platone ( a. C.), uno dei filosofi più straordinari dell antichità, ha anche osservato che vi sono solo 5 poliedri regolari, e non infiniti come parrebbe per analogia con i poligoni. 9

10 I 5 poliedri regolari detti anche platonici 10

11 Nel suo dialogo Timeo Platone associa: il tetraedro al fuoco, l ottaedro all aria, l esaedro alla terra, 11

12 l icosaedro all acqua che erano allora ritenuti i quattro elementi fondamentali dell universo, mentre associa il dodecaedro all immagine del cosmo intero. 12

13 I 5 poliedri regolari sono stati in seguito disegnati da Leonardo da Vinci ( ) per l amico frate matematico Luca Pacioli ( ). 13

14 Passiamo ai numeri grandi, senza scomodare l infinito. Oggi i matematici hanno la possibilità di conoscere e gestire numeri grandi. 14

15 Grandi in due sensi: - grandi come valore; - grandi nel senso di conoscere molte cifre decimali. Ci sono numeri in matematica che si chiamano irrazionali, che saltano sempre fuori quando si usa il teorema di Pitagora. 15

16 Pitagora di Samo ( a.c.) Scoperta del legame tra Matematica e Musica: la costruzione della prima scala musicale con la corrispondenza tra gli intervalli musicali e i numeri. 16

17 In un triangolo rettangolo, l area del quadrato costruito sulla ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti. Semplice, corretto, denso, armonioso, laconico, eppure contenente tutte le informazioni necessarie. 17

18 Così scrive Wisława Szymborska: «Non ho difficoltà a immaginare un antologia dei più bei frammenti della poesia mondiale in cui trovasse posto anche il teorema di Pitagora. Li c è ( ) una grazia che non a tutti i poeti è stata concessa» (Szymborska, 2006; cit. anche in Bartocci, 2006, p. XXVIII). Poetessa e saggista polacca, premiata con il Nobel nel

19 Matematica curiosa Non tutti sanno che al posto della parola quadrato è possibile sostituire la parola triangolo equilatero : In un triangolo rettangolo, l area del triangolo equilatero costruito sulla ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei triangoli equilateri costruiti sui cateti. 19

20 Ma non basta, il teorema di Pitagora si può estendere agli infiniti poligoni regolari. Ad esempio: in un triangolo rettangolo, l area dell esagono regolare costruito sull ipotenusa è uguale alla somma delle aree degli esagoni regolari costruiti sui cateti. 20

21 Ma non basta, si può usare il cerchio o, per far venire più elegante la figura, il semicerchio: In un triangolo rettangolo, il semicerchio che ha come diametro la ipotenusa è equiesteso alla somma dei semicerchi che hanno come diametri i cateti. 21

22 I E J A M L O H D K B C F G Forse è questa la figura sulla quale si basa la dimostrazione più famosa del teorema di Pitagora, che è stata trovata nel 1830 da un giovane agente di borsa inglese Henry Perigal. 22

23 I Pitagorici nel VI sec. a. C. dimostrarono che la diagonale e il lato di uno stesso quadrato sono grandezze tra loro incommensurabili. d 0 l 1? 2 r Q 23

24 Se uno cerca il valore di 2, o sulle tavole o con la macchina calcolatrice o a mano, trova 1, ; ma questo è solo il suo valore approssimato per difetto dopo 7 cifre decimali. 24

25 Oggi siamo in grado di arrivare fin dove vogliamo, miliardi e miliardi di cifre decimali, grazie a computer superveloci. Una curiosità Nel febbraio 2006 sono state calcolate cifre decimali di 2 in 13 giorni e 14 ore. 25

26 Ci sono numeri irrazionali anche più interessanti, π: il rapporto costante tra la lunghezza di una qualsiasi circonferenza e del suo diametro, circa 3,14; 26

27 tale numero è il più calcolato da sempre nella storia; si va dal valore 3, scritto nella Bibbia (I libro de I Re, cap. VII, v. 23), a 3,16 degli Egizi, e via via, fino al valore calcolato oggi, di 2 miliardi di cifre dopo la virgola; ecco l approssimazione per difetto di alcune cifre decimali: 27

28 3,

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34 e: numero di Nepero, circa 2, , alla base dei logaritmi, ma estremamente importante in analisi, in economia,... 34

35 Una piccola curiosità il numero e è così importante in matematica che, nel 2004, nella formulazione dell offerta pubblica di vendita di Google Inc., la compagnia, piuttosto che proporre una cifra tonda di denaro, ha annunciato la sua intenzione di proporre come cifra di acquisto US$ Lì per lì, ben pochi uomini e donne d affari capirono che, evidentemente, tale richiesta corrisponde ad e miliardi di dollari approssimati. Uno scherzo matematico assai raffinato. 35

36 Passiamo ai numeri piccoli Lo zero e i Maya I Maya erano un popolo formato da tante tribù e piccoli stati che viveva in una zona del Centroamerica che oggi corrisponde ad una parte del Messico, del Guatemala e del Belize, che occupa un territorio di poco più vasto dell attuale Italia. 36

37 I Maya erano incuriositi dallo scorrere del tempo e dall astronomia. Proprio studiando le stelle riuscirono a mettere a punto calendari estremamente precisi. Per questi motivi svilupparono un sistema di numerazione davvero avanzato. Come strumenti per contare utilizzavano fagioli o chicchi di mais e legnetti (detti frijolito e palito). 37

38 Oggi usiamo un sistema posizionale, ossia il valore delle cifre è determinato dalla loro posizione nella scrittura dei numeri. La nostra base è 10 come il numero delle cifre che utilizziamo, ma questo è casuale. Anche il sistema Maya è posizionale come il nostro, ma il sistema numerico Maya si basa su una base mista: la 5 e la 20 insieme e non sulla nostra base

39 I Maya quindi pur avendo la base 20 usavano solo 3 diverse cifre: sassolino, legnetto e il simbolo per lo zero. Nella scrittura numerale Maya, lo zero veniva rappresentato in diversi modi, e lo si chiamava a volte ombelico, ma più spesso conchiglia. 39

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41 Come si rappresentava il venti con i numerali? Il 20 per i Maya era quello che per noi è il 10, ossia la loro base decina e 0 unità 1 ventina 0 unità 41

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43 Il mito dell occhio di Horus del 1800 circa a. C. Tale mito ha moltissime varianti, una delle quali relativa alla dispersione dell occhio frantumato di Horus per vendetta, nel deserto. Il famoso occhio viene strappato e diviso una prima volta a metà, poi la metà della metà rimasta e così di seguito per sei volte. 43

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45 Questa forma non è casuale; spezzata in modo opportuno, è null altro che un insieme di frazioni. Ecco infatti come gli Egizi del 2000 a. C. scrivevano le frazioni. 45

46 Forse più che leggenda si tratta di un gioco per vedere chi era in grado di notare che la somma non ridà l occhio per intero, cioè non ha come somma 1, dato che, comunque, per riformare tutto l intero occhio, ne manca sempre 1/64. 46

47 Si ipotizza dunque che la storia, volesse richiamare l attenzione sul calcolo frazionario che gli Egizi consideravano sacro, come si evince dal Papiro di Rhind, conservato al British Museum, un papiro del 1650 a. C., copia di uno precedente, perduto, del 1800 circa a. C. I miti e le matematiche delle varie civiltà si intrecciano sempre. 47

48 Uno dei più antichi documenti matematici egizi è il papiro Rhind Numerali egizi ieratici (Papiro Rhind, - XVII sec.) 48

49 Un bell esempio di commistione tra matematica, mito ed arte si raggiunge nell acquaforte Melancolia di Albrecht Dürer ( ). 49

50 La celeberrima Melancolia rappresenta il trionfo dei suoi interessi matematici. 50

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54 La magia dei quadrati magici Mario Ceroli, 1974: Quadrato magico 54

55 La Sagrada Família di Barcellona è il capolavoro di Antoni Gaudí, il quale ottenne l incarico nel 1884 e lavorò al progetto per oltre 40 anni. Antoni Gaudí ( ) 55

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57 Tutti guardano le statue, ma l occhio attento trova Il bacio di Giuda 57

58 Mancano: 12 e 16 Sono ripetuti: 10 e 14 Quadrato 4 4 NON magico, ma di costante 33 Gaudi mise sempre in molta evidenza il suo massiccio uso della matematica, in tutti i suoi scritti, come fecero, del resto, altri grandi architetti 58

59 Ancora quadrati magici: piccolo salto di secoli Un esempio di incomprensione matematica da parte di lettori e critici, viene da una delle opere più celebri del grande poeta e drammaturgo tedesco Johann Wolfgang von Goethe ( ), il Faust. 59

60 Nel Faust, ad un certo momento, la Strega declama una famosa filastrocca che è stata un rompicapo per i critici della letteratura: «Capire tu mi devi! Dal dieci uno tu levi, se il due poi lascerai e il tre subito fai, ricco ti troverai. Poi perdi il quattro! Col cinque e col sei, la strega ha detto, fa il sette e l otto, e a posto tu sei. E nove è uno e dieci è zero tondo e questo è delle streghe il far di conto», di fatto la costruzione di un potente quadrato magico (non diabolico), amuleto portafortuna (di cui Faust avrebbe gran bisogno ). 60

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