Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 21 giugno 2018 Parte B Tema B1

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1 Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 1 giugno 018 Parte B Tema B1 Tempo a disposizione: due ore Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi Ogni esercizio deve cominciare all inizio di una nuova pagina Vanno consegnati solo questo foglio e la bella Saranno tolti punti per le risposte non giustificate SOLUZIONI Esercizio 1 a Risolvere in C l equazione Osservazione: calcolare 13 z (4 + iz + i = 0 Si tratta di un equazione del secondo grado Il suo discriminante è = (4 + i 4( i = i 0 + 4i = + 1i Possiamo calcolarne una radice quadrata, δ = x + iy Verificherà x y = Re = xy = Im = 1 x + y = = 13 Sommando la prima e la terza si trova x = 8, cioè x = ± Nella seconda si vede che y = ±3 (con lo stesso segno di x, quindi δ = + 3i (o il suo opposto È allora facile vedere che le due soluzioni sono z 1 = 4 + i + + 3i z = 4 + i 3i = 3 + i = 1 i Si verifica che z 1 e z sono effettivamente soluzioni dell equazione b Disegnare le soluzioni dell equazione nel piano di Gauss 1

2 c Quali sono la somma e il prodotto delle soluzioni dell equazione? In un equazione del secondo grado z + bz + c = 0, la somma delle soluzioni è b e il loro prodotto è c Si può verificare facendo il calcolo Esercizio Risolvere il seguente sistema di quattro equazioni in tre incognite: 9x + 1y 4z = x + y z = 1 3x + 9y z = 13 6x + 4y z = Il sistema è determinato, la sua soluzione è x = 1 y = 3 z = 11 Non c è nessuna difficoltà particolare nella risoluzione, ma bisogna stare attenti al fatto che le prime tre equazioni sono linearmente dipendenti, quindi il sistema costituito dalle sole prime tre equazioni non è equivalente al sistema dato Esercizio 3 a Trovare gli autovalori e una base ortonormale di autovettori della matrice ( 1 B = 4 È facile vedere che gli autovalori di B sono e 0 Con semplici calcoli si trova poi che una base ortonormale di autovettori è data da u 1 = (, u = ( Non dimenticare di verificare (in brutta copia che Bu 1 = u 1 e Bu = 0 prima di perdere tempo in conti sbagliati

3 b Determinare (se esiste il centro della conica γ : x 4xy + 4y + x + 4 y = 0 Le coordinate del centro sono le soluzioni del sistema ( ( ( x 0 B + y =, 0 dove B è la matrice già incontrata nella domanda?? impossibile, la conica non ha centro Poiché tale sistema è c Ridurre a forma canonica e riconoscere la conica γ Possiamo effettuare una rotazione per eliminare il termine 4xy, ossia diagonalizzare la matrice B Abbiamo visto che i suoi autovalori sono λ 1 =, λ = 0 e che una base ortonormale di autovettori è data da u 1 = (, u = ( La rotazione cercata è quindi x = (x + y e la nuova equazione della conica è y = ( x + y (x 6x + 8y = 0 (Si ricorda che basta trasformare il binomio x + 4 y, poiché sappiamo che i termini di secondo grado diventano λ 1 (x + λ (y, mentre il termine noto rimane ovviamente invariato Dalla teoria (o con il metodo del completamento dei quadrati otteniamo una prima traslazione x = x 3 y = y che porta la conica nella forma (x + 8y 9 = 0 La seconda traslazione X = x porta γ nella forma canonica Quindi γ è una parabola Y = y 9 40 X + 8 Y = 0 3

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5 Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 1 giugno 018 Parte B Tema B Tempo a disposizione: due ore Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi Ogni esercizio deve cominciare all inizio di una nuova pagina Vanno consegnati solo questo foglio e la bella Saranno tolti punti per le risposte non giustificate SOLUZIONI Esercizio 1 a Risolvere in C l equazione Osservazione: calcolare 13 z (4 iz + + i = 0 Si tratta di un equazione del secondo grado Il suo discriminante è = ( 4 + i 4( + i = i 0 4i = 1i Possiamo calcolarne una radice quadrata, δ = x + iy Verificherà x y = Re = xy = Im = 1 x + y = = 13 Sommando la prima e la terza si trova x = 8, cioè x = ± Nella seconda si vede che y = ±3 (con il segno opposto di x, quindi δ = 3i (o il suo opposto È allora facile vedere che le due soluzioni sono z 1 = 4 i + 3i z = 4 i + 3i = 3 i = 1 + i Si verifica che z 1 e z sono effettivamente soluzioni dell equazione b Disegnare le soluzioni dell equazione nel piano di Gauss 1

6 c Quali sono la somma e il prodotto delle soluzioni dell equazione? In un equazione del secondo grado z + bz + c = 0, la somma delle soluzioni è b e il loro prodotto è c Si può verificare facendo il calcolo Esercizio Risolvere il seguente sistema di quattro equazioni in tre incognite: 4x 6y + 3z = 4 4x 4y + z = 8x 7y + z = 3 3x 3y + z = 4 Il sistema è determinato, la sua soluzione è x = 17 y = 3 z = Non c è nessuna difficoltà particolare nella risoluzione, ma bisogna stare attenti al fatto che le prime tre equazioni sono linearmente dipendenti, quindi il sistema costituito dalle sole prime tre equazioni non è equivalente al sistema dato Esercizio 3 a Trovare gli autovalori e una base ortonormale di autovettori della matrice ( 1 B = 4 È facile vedere che gli autovalori di B sono e 0 Con semplici calcoli si trova poi che una base ortonormale di autovettori è data da u 1 = (, u = ( Non dimenticare di verificare (in brutta copia che Bu 1 = u 1 e Bu = 0 prima di perdere tempo in conti sbagliati

7 b Determinare (se esiste il centro della conica γ : x 4xy + 4y x y = 0 Le coordinate del centro sono le soluzioni del sistema ( ( x ( B + 0 y =, 0 dove B è la matrice già incontrata nella domanda?? impossibile, la conica non ha centro Poiché tale sistema è c Ridurre a forma canonica e riconoscere la conica γ Possiamo effettuare una rotazione per eliminare il termine 4xy, ossia diagonalizzare la matrice B Abbiamo visto che i suoi autovalori sono λ 1 =, λ = 0 e che una base ortonormale di autovettori è data da u 1 = (, u = ( La rotazione cercata è quindi x = (x + y e la nuova equazione della conica è y = ( x + y (x + 3x 4y = 0 (Si ricorda che basta trasformare il binomio x y, poiché sappiamo che i termini di secondo grado diventano λ 1 (x + λ (y, mentre il termine noto rimane ovviamente invariato Dalla teoria (o con il metodo del completamento dei quadrati otteniamo una prima traslazione x = x y = y che porta la conica nella forma (x 4y 9 X = x 0 = 0 La seconda traslazione porta γ nella forma canonica Quindi γ è una parabola Y = y X 4 Y = 0 3

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9 Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 1 giugno 018 Parte B Tema B3 Tempo a disposizione: due ore Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi Ogni esercizio deve cominciare all inizio di una nuova pagina Vanno consegnati solo questo foglio e la bella Saranno tolti punti per le risposte non giustificate SOLUZIONI Esercizio 1 a Risolvere in C l equazione z (4 3iz + 1 i = 0 Si tratta di un equazione del secondo grado Il suo discriminante è = ( 4 + 3i 4(1 i = i 4 + 0i = 3 4i Possiamo calcolarne una radice quadrata, δ = x + iy Verificherà x y = Re = 3 xy = Im = 4 x + y = = Sommando la prima e la terza si trova x = 8, cioè x = ± Nella seconda si vede che y = ±1 (con il segno opposto di x, quindi δ = i (o il suo opposto È allora facile vedere che le due soluzioni sono z 1 = 4 3i + i z = 4 3i i = 3 i = 1 i Si verifica che z 1 e z sono effettivamente soluzioni dell equazione b Disegnare le soluzioni dell equazione nel piano di Gauss 1

10 c Quali sono la somma e il prodotto delle soluzioni dell equazione? In un equazione del secondo grado z + bz + c = 0, la somma delle soluzioni è b e il loro prodotto è c Si può verificare facendo il calcolo Esercizio Risolvere il seguente sistema di quattro equazioni in tre incognite: 1x + 8y + z = 1 6x + y = 3x + 4y + z = 11 x + y + z = Il sistema è determinato, la sua soluzione è x = 7 y = 37 z = 1 Non c è nessuna difficoltà particolare nella risoluzione, ma bisogna stare attenti al fatto che le prime tre equazioni sono linearmente dipendenti, quindi il sistema costituito dalle sole prime tre equazioni non è equivalente al sistema dato Esercizio 3 a Trovare gli autovalori e una base ortonormale di autovettori della matrice ( 1 B = 4 È facile vedere che gli autovalori di B sono e 0 Con semplici calcoli si trova poi che una base ortonormale di autovettori è data da u 1 = (, u = ( Non dimenticare di verificare (in brutta copia che Bu 1 = u 1 e Bu = 0 prima di perdere tempo in conti sbagliati

11 b Determinare (se esiste il centro della conica γ : x 4xy + 4y + x + y = 0 Le coordinate del centro sono le soluzioni del sistema ( ( ( x B + 0 =, y 0 dove B è la matrice già incontrata nella domanda?? impossibile, la conica non ha centro Poiché tale sistema è c Ridurre a forma canonica e riconoscere la conica γ Possiamo effettuare una rotazione per eliminare il termine 4xy, ossia diagonalizzare la matrice B Abbiamo visto che i suoi autovalori sono λ 1 =, λ = 0 e che una base ortonormale di autovettori è data da u 1 = (, u = ( La rotazione cercata è quindi x = (x + y e la nuova equazione della conica è y = ( x + y (x 3x + 4y = 0 (Si ricorda che basta trasformare il binomio x + y, poiché sappiamo che i termini di secondo grado diventano λ 1 (x + λ (y, mentre il termine noto rimane ovviamente invariato Dalla teoria (o con il metodo del completamento dei quadrati otteniamo una prima traslazione x = x 3 10 y = y che porta la conica nella forma (x + 4y 9 X = x 0 = 0 La seconda traslazione porta γ nella forma canonica Quindi γ è una parabola Y = y 9 80 X + 4 Y = 0 3

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13 Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 1 giugno 018 Parte B Tema B4 Tempo a disposizione: due ore Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi Ogni esercizio deve cominciare all inizio di una nuova pagina Vanno consegnati solo questo foglio e la bella Saranno tolti punti per le risposte non giustificate SOLUZIONI Esercizio 1 a Risolvere in C l equazione z (4 + 3iz i = 0 Si tratta di un equazione del secondo grado Il suo discriminante è = (4 + 3i 4(1 + i = i 4 0i = 3 + 4i Possiamo calcolarne una radice quadrata, δ = x + iy Verificherà x y = Re = 3 xy = Im = 4 x + y = = Sommando la prima e la terza si trova x = 8, cioè x = ± Nella seconda si vede che y = ±1 (con lo stesso segno di x, quindi δ = + i (o il suo opposto È allora facile vedere che le due soluzioni sono z 1 = 4 + 3i + + i z = 4 + 3i i = 3 + i = 1 + i Si verifica che z 1 e z sono effettivamente soluzioni dell equazione b Disegnare le soluzioni dell equazione nel piano di Gauss 1

14 c Quali sono la somma e il prodotto delle soluzioni dell equazione? In un equazione del secondo grado z + bz + c = 0, la somma delle soluzioni è b e il loro prodotto è c Si può verificare facendo il calcolo Esercizio Risolvere il seguente sistema di quattro equazioni in tre incognite: 3x y + z = 11x 6y + 3z = 1 4x + y + z = 9 3x y + z = Il sistema è determinato, la sua soluzione è x = 7 y = 3 z = 0 Non c è nessuna difficoltà particolare nella risoluzione, ma bisogna stare attenti al fatto che le prime tre equazioni sono linearmente dipendenti, quindi il sistema costituito dalle sole prime tre equazioni non è equivalente al sistema dato Esercizio 3 a Trovare gli autovalori e una base ortonormale di autovettori della matrice ( 1 B = 4 È facile vedere che gli autovalori di B sono e 0 Con semplici calcoli si trova poi che una base ortonormale di autovettori è data da u 1 = (, u = ( Non dimenticare di verificare (in brutta copia che Bu 1 = u 1 e Bu = 0 prima di perdere tempo in conti sbagliati

15 b Determinare (se esiste il centro della conica γ : x 4xy + 4y x 4 y = 0 Le coordinate del centro sono le soluzioni del sistema ( ( ( x 0 B + y =, 0 dove B è la matrice già incontrata nella domanda?? impossibile, la conica non ha centro Poiché tale sistema è c Ridurre a forma canonica e riconoscere la conica γ Possiamo effettuare una rotazione per eliminare il termine 4xy, ossia diagonalizzare la matrice B Abbiamo visto che i suoi autovalori sono λ 1 =, λ = 0 e che una base ortonormale di autovettori è data da u 1 = (, u = ( La rotazione cercata è quindi x = (x + y e la nuova equazione della conica è y = ( x + y (x + 6x 8y = 0 (Si ricorda che basta trasformare il binomio x 4 y, poiché sappiamo che i termini di secondo grado diventano λ 1 (x + λ (y, mentre il termine noto rimane ovviamente invariato Dalla teoria (o con il metodo del completamento dei quadrati otteniamo una prima traslazione x = x + 3 y = y che porta la conica nella forma (x 8y 9 = 0 La seconda traslazione X = x porta γ nella forma canonica Quindi γ è una parabola Y = y X 8 Y = 0 3

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