Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 14 gennaio 2019 Parte B Tema B1

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1 Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 14 gennaio 2019 Parte B Tema B1 Tempo a disposizione: due ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio deve cominciare all inizio di una nuova pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Saranno tolti punti per le risposte non giustificate. Esercizio 1. Sia SOLUZIONI z = (1 + 3i) 4 (1 + i) 6. a) Calcolare parte reale, parte immaginaria, modulo e argomento di z. In questo caso è semplice calcolare il modulo e l argomento di z. Infatti il numeratore della frazione è la potenza quarta di z 1 = 1 + 3i che ha z 1 = 2 e arg z 1 = π 3, quindi il numeratore ha modulo 24 e argomento 4π 3. Il denominatore è la potenza sesta di z 2 = 1 + i che ha z 2 = 2 e arg z 2 = π 4, quindi il denominatore ha modulo 23 e argomento 3π 2. Quindi z = 2 e arg z = π 6. Abbiamo quindi Re z = 3 e Im z = 1. b) Calcolare le radici settime di z. Abbiamo z in forma trigonometrica, le sue radici settime sono quindi molto semplici da calcolare. Sono z k = e iπ ikπ 7 = 2 1 (12k 1)iπ 7 e 42 con k = 0,..., 6. 1

2 Esercizio 2. a) Dati i vettori v 1 = (1; 2; 1), v 2 = (2; 1; 1) e v 3 = ( 1; 4; k), studiare, al variare di k, la dipendenza o indipendenza lineare e, nei vari casi, indicare la dimensione del sottospazio V da essi generato. Si vede immediatamente che v 1 e v 2 non sono linearmente dipendenti perché non sono proporzionali. Quindi il sottospazio W che essi generano è di dimensione 2. La dimensione di V può essere quindi 2 o 3 secondo che v 3 W o no. Per sapere se v 3 sta in W ci basta calcolare la caratteristica della matrice A = k Questa matrice può avere caratteristica 2 o 3 e ha caratteristica 2 se e soltanto se det A = 0. Non è difficile verificare che det A = 3k 3 (come al solito è più furbo usare un ±1 per fabbricare degli zeri in una riga o una colonna piuttosto che buttarsi a capofitto nel calcolo del determinante). La dimensione del sottospazio V è quindi 2 se k = 1, mentre vale 3 se k 1. b) Determinare, al variare di k, se il vettore appartiene o no al sottospazio V. w = ( 4; 1; 1) Se k 1 è sicuro che w V poiché V = R 3. Nel caso k = 1 abbiamo visto che v 1 e v 2 costituiscono una base di V. Quindi basta, di nuovo, calcolare il determinante della matrice B = Il calcolo del determinante non pone nessun problema (ma si consiglia lo stesso di fabbricare degli zeri). È effettivamente uguale a 0 e quindi anche nel caso k = 1 abbiamo che w V. Esercizio 3. Si consideri il sistema seguente, dipendente da un parametro reale a: x 5y + z = 3 3x 10y + 7z = 7 2x 10y + (a + 4)z = 6 x 15y + (a 5)z = 7. 2

3 Determinare per quale (o quali) valori il sistema è possibile e risolverlo in questo (o quei) casi. Per determinare in quali casi il sistema ha soluzioni è possibile usare il teorema di Rouché Capelli. Siccome bisogna poi risolvere il sistema, è più conveniente procedere direttamente con il metodo di Gauss. La prima equazione si presta ad eliminare l incognita x dalle altre equazioni. Otteniamo: x 5y + z = 3 5y + 4z = 2 (a + 2)z = 0 10y + (a 6)z = 4. A questo punto usiamo la seconda equazione per eliminare l incognita y dal resto del sistema. Viene: x + 5z = 1 5y + 4z = 2 (a + 2)z = 0 (a + 2)z = 0. Quindi il sistema è risolvibile per tutti i valori di a. Se a 2 allora z = 0 e il sistema è determinato, con soluzione x = 1, y = 2 5 e z = 0. Se invece a = 2, il sistema è indeterminato, con le soluzioni che dipendono da z (per esempio), e x e y sono determinati in funzione di z dalle prime due equazioni. Nota: era possibile (anzi, consigliabile), sottrarre la quarta equazione alla terza prima di iniziare la risoluzione. Facendo poi le stesse operazioni, la terza sarebbe risultata 0 = 0. 3

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5 Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 14 gennaio 2019 Parte B Tema B2 Tempo a disposizione: due ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio deve cominciare all inizio di una nuova pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Saranno tolti punti per le risposte non giustificate. Esercizio 1. Sia SOLUZIONI z = (1 3i) 4 ( 1 + i) 6. a) Calcolare parte reale, parte immaginaria, modulo e argomento di z. In questo caso è semplice calcolare il modulo e l argomento di z. Infatti il numeratore della frazione è la potenza quarta di z 1 = 1 3i che ha z 1 = 2 e arg z 1 = π, quindi il numeratore ha modulo 3 24 e argomento 4π. Il denominatore è la potenza sesta di 3 z 2 = 1 + i che ha z 2 = 2 e arg z 2 = 3π 4, quindi il denominatore ha modulo 23 e argomento 9π 2 = π 2 + 4π. Quindi z = 2 e arg z = 11π 6 = π 6 2π. Abbiamo quindi Re z = 3 e Im z = 1. b) Calcolare le radici settime di z. Abbiamo z in forma trigonometrica, le sue radici settime sono quindi molto semplici da calcolare. Sono z k = 2 1 iπ 7 e ikπ 7 = 2 1 (12k+1)iπ 7 e 42 con k = 0,..., 6. 1

6 Esercizio 2. a) Dati i vettori v 1 = (3; 1; 2), v 2 = (1; 1; 1) e v 3 = (7; 5; k), studiare, al variare di k, la dipendenza o indipendenza lineare e, nei vari casi, indicare la dimensione del sottospazio V da essi generato. Si vede immediatamente che v 1 e v 2 non sono linearmente dipendenti perché non sono proporzionali. Quindi il sottospazio W che essi generano è di dimensione 2. La dimensione di V può essere quindi 2 o 3 secondo che v 3 W o no. Per sapere se v 3 sta in W ci basta calcolare la caratteristica della matrice A = k Questa matrice può avere caratteristica 2 o 3 e ha caratteristica 2 se e soltanto se det A = 0. Non è difficile verificare che det A = 4k + 16 (come al solito è più furbo usare un ±1 per fabbricare degli zeri in una riga o una colonna piuttosto che buttarsi a capofitto nel calcolo del determinante). La dimensione del sottospazio V è quindi 2 se k = 4, mentre vale 3 se k 4. b) Determinare, al variare di k, se il vettore appartiene o no al sottospazio V. w = (3; 5; 1) Se k 4 è sicuro che w V poiché V = R 3. Nel caso k = 4 abbiamo visto che v 1 e v 2 costituiscono una base di V. Quindi basta, di nuovo, calcolare il determinante della matrice B = Il calcolo del determinante non pone nessun problema (ma si consiglia lo stesso di fabbricare degli zeri). È effettivamente uguale a 0 e quindi anche nel caso k = 4 abbiamo che w V. Esercizio 3. Si consideri il sistema seguente, dipendente da un parametro reale a: x + 2y + 5z = 0 x 3y 6z = 5 3x + 7y + (a 3)z = 5 5x + 8y + (a + 4)z = 10. 2

7 Determinare per quale (o quali) valori il sistema è possibile e risolverlo in questo (o quei) casi. Per determinare in quali casi il sistema ha soluzioni è possibile usare il teorema di Rouché Capelli. Siccome bisogna poi risolvere il sistema, è più conveniente procedere direttamente con il metodo di Gauss. La prima equazione si presta ad eliminare l incognita x dalle altre equazioni. Otteniamo: x + 2y + 5z = 0 y z = 5 y + (a 18)z = 5 2y + (a 21)z = 10. A questo punto usiamo la seconda equazione per eliminare l incognita y dal resto del sistema. Viene: x + 3z = 10 y z = 5 (a 19)z = 0 (a 19)z = 0. Quindi il sistema è risolvibile per tutti i valori di a. Se a 19 allora z = 0 e il sistema è determinato, con soluzione x = 10, y = 5 e z = 0. Se invece a = 19, il sistema è indeterminato, con le soluzioni che dipendono da z (per esempio), e x e y sono determinati in funzione di z dalle prime due equazioni. Nota: era possibile (anzi, consigliabile), sottrarre la quarta equazione alla terza prima di iniziare la risoluzione. Facendo poi le stesse operazioni, la terza sarebbe risultata 0 = 0. 3

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9 Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 14 gennaio 2019 Parte B Tema B3 Tempo a disposizione: due ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio deve cominciare all inizio di una nuova pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Saranno tolti punti per le risposte non giustificate. Esercizio 1. Sia SOLUZIONI z = ( 3 i) 4 (1 i) 6. a) Calcolare parte reale, parte immaginaria, modulo e argomento di z. In questo caso è semplice calcolare il modulo e l argomento di z. Infatti il numeratore della frazione è la potenza quarta di z 1 = 3 i che ha z 1 = 2 e arg z 1 = π, quindi il numeratore ha modulo 6 24 e argomento 2π. Il denominatore è la potenza sesta di 3 z 2 = 1 i che ha z 2 = 2 e arg z 2 = π 4, quindi il denominatore ha modulo 23 e argomento 3π 2. Quindi z = 2 e arg z = 5π 6. Abbiamo quindi Re z = 3 e Im z = 1. b) Calcolare le radici settime di z. Abbiamo z in forma trigonometrica, le sue radici settime sono quindi molto semplici da calcolare. Sono z k = 2 1 5iπ 7 e ikπ 7 = 2 1 (12k+5)iπ 7 e 42 con k = 0,..., 6. 1

10 Esercizio 2. a) Dati i vettori v 1 = (2; 1; 1), v 2 = ( 2; 2; 3) e v 3 = (10; 7; k), studiare, al variare di k, la dipendenza o indipendenza lineare e, nei vari casi, indicare la dimensione del sottospazio V da essi generato. Si vede immediatamente che v 1 e v 2 non sono linearmente dipendenti perché non sono proporzionali. Quindi il sottospazio W che essi generano è di dimensione 2. La dimensione di V può essere quindi 2 o 3 secondo che v 3 W o no. Per sapere se v 3 sta in W ci basta calcolare la caratteristica della matrice A = k Questa matrice può avere caratteristica 2 o 3 e ha caratteristica 2 se e soltanto se det A = 0. Non è difficile verificare che det A = 2k + 6 (come al solito è più furbo usare un ±1 per fabbricare degli zeri in una riga o una colonna piuttosto che buttarsi a capofitto nel calcolo del determinante). La dimensione del sottospazio V è quindi 2 se k = 3, mentre vale 3 se k 3. b) Determinare, al variare di k, se il vettore appartiene o no al sottospazio V. w = (10; 8; 7) Se k 3 è sicuro che w V poiché V = R 3. Nel caso k = 3 abbiamo visto che v 1 e v 2 costituiscono una base di V. Quindi basta, di nuovo, calcolare il determinante della matrice B = Il calcolo del determinante non pone nessun problema (ma si consiglia lo stesso di fabbricare degli zeri). È effettivamente uguale a 0 e quindi anche nel caso k = 3 abbiamo che w V. Esercizio 3. Si consideri il sistema seguente, dipendente da un parametro reale a: x + y 2z = 1 2x 3y z = 0 3x 17y + (a + 7)z = 5 4x + 4y + (a 7)z = 4. 2

11 Determinare per quale (o quali) valori il sistema è possibile e risolverlo in questo (o quei) casi. Per determinare in quali casi il sistema ha soluzioni è possibile usare il teorema di Rouché Capelli. Siccome bisogna poi risolvere il sistema, è più conveniente procedere direttamente con il metodo di Gauss. La prima equazione si presta ad eliminare l incognita x dalle altre equazioni. Otteniamo: x + y 2z = 1 5y + 3z = 2 20y + (a + 13)z = 8 (a + 1)z = 0. A questo punto usiamo la seconda equazione per eliminare l incognita y dal resto del sistema. Viene: 5x 7z = 3 5y + 3z = 2 (a + 1)z = 0 (a + 1)z = 0. Quindi il sistema è risolvibile per tutti i valori di a. Se a 1 allora z = 0 e il sistema è determinato, con soluzione x = 3 5, y = 2 5 e z = 0. Se invece a = 1, il sistema è indeterminato, con le soluzioni che dipendono da z (per esempio), e x e y sono determinati in funzione di z dalle prime due equazioni. Nota: era possibile (anzi, consigliabile), sottrarre la quarta equazione alla terza prima di iniziare la risoluzione. Facendo poi le stesse operazioni, la terza sarebbe risultata 0 = 0. 3

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13 Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Appello 14 gennaio 2019 Parte B Tema B4 Tempo a disposizione: due ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio deve cominciare all inizio di una nuova pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Saranno tolti punti per le risposte non giustificate. Esercizio 1. Sia SOLUZIONI z = ( 3 + i) 4 ( 1 + i) 6. a) Calcolare parte reale, parte immaginaria, modulo e argomento di z. In questo caso è semplice calcolare il modulo e l argomento di z. Infatti il numeratore della frazione è la potenza quarta di z 1 = 3 + i che ha z 1 = 2 e arg z 1 = π 6, quindi il numeratore ha modulo 24 e argomento 2π 3. Il denominatore è la potenza sesta di z 2 = 1 + i che ha z 2 = 2 e arg z 2 = 3π 4, quindi il denominatore ha modulo 23 e argomento 9π 2 = π 2 + 4π. Quindi z = 2 e arg z = π 6. Abbiamo quindi Re z = 3 e Im z = 1. b) Calcolare le radici settime di z. Abbiamo z in forma trigonometrica, le sue radici settime sono quindi molto semplici da calcolare. Sono z k = 2 1 iπ 7 e ikπ 7 = 2 1 (12k+1)iπ 7 e 42 con k = 0,..., 6. 1

14 Esercizio 2. a) Dati i vettori v 1 = ( 1; 1; 3), v 2 = (1; 2; 2) e v 3 = ( 5; 7; k), studiare, al variare di k, la dipendenza o indipendenza lineare e, nei vari casi, indicare la dimensione del sottospazio V da essi generato. Si vede immediatamente che v 1 e v 2 non sono linearmente dipendenti perché non sono proporzionali. Quindi il sottospazio W che essi generano è di dimensione 2. La dimensione di V può essere quindi 2 o 3 secondo che v 3 W o no. Per sapere se v 3 sta in W ci basta calcolare la caratteristica della matrice A = k Questa matrice può avere caratteristica 2 o 3 e ha caratteristica 2 se e soltanto se det A = 0. Non è difficile verificare che det A = k + 5 (come al solito è più furbo usare un ±1 per fabbricare degli zeri in una riga o una colonna piuttosto che buttarsi a capofitto nel calcolo del determinante). La dimensione del sottospazio V è quindi 2 se k = 5, mentre vale 3 se k 5. b) Determinare, al variare di k, se il vettore appartiene o no al sottospazio V. w = ( 5; 8; 0) Se k 5 è sicuro che w V poiché V = R 3. Nel caso k = 5 abbiamo visto che v 1 e v 2 costituiscono una base di V. Quindi basta, di nuovo, calcolare il determinante della matrice B = Il calcolo del determinante non pone nessun problema (ma si consiglia lo stesso di fabbricare degli zeri). È effettivamente uguale a 0 e quindi anche nel caso k = 5 abbiamo che w V. Esercizio 3. Si consideri il sistema seguente, dipendente da un parametro reale a: x y 3z = 5 5x 8y 14z = 27 2x + 4y + (a + 1)z = 6 2x + 10y + (a 1)z = 2. 2

15 Determinare per quale (o quali) valori il sistema è possibile e risolverlo in questo (o quei) casi. Per determinare in quali casi il sistema ha soluzioni è possibile usare il teorema di Rouché Capelli. Siccome bisogna poi risolvere il sistema, è più conveniente procedere direttamente con il metodo di Gauss. La prima equazione si presta ad eliminare l incognita x dalle altre equazioni. Otteniamo: x y 3z = 5 3y + z = 2 6y + (a + 7)z = 4 12y + (a + 5)z = 8. A questo punto usiamo la seconda equazione per eliminare l incognita y dal resto del sistema. Viene: 3x 10z = 13 3y + z = 2 (a + 9)z = 0 (a + 9)z = 0. Quindi il sistema è risolvibile per tutti i valori di a. Se a 9 allora z = 0 e il sistema è determinato, con soluzione x = 13 3, y = 2 3 e z = 0. Se invece a = 9, il sistema è indeterminato, con le soluzioni che dipendono da z (per esempio), e x e y sono determinati in funzione di z dalle prime due equazioni. Nota: era possibile (anzi, consigliabile), sottrarre la quarta equazione alla terza prima di iniziare la risoluzione. Facendo poi le stesse operazioni, la terza sarebbe risultata 0 = 0. 3

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