Algebra dei vettori 2/2

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1 Algebra dei vettori 2/2 Prodotto dot / inner / interno / scalare Prodotto cross / vettoriale Algebra di punti e vettori Differena fra punto e punto vettore Somma punto + vettore punto

2 Ripasso: base vettoriale Insieme di n vettori asse (qui:,, ) Ogni vettore v esprimibile univoc. come combina dei vettori asse I pesi della combina sono le coord di v Chiralità di un frame Un sistema di riferimento ortogonale può essere sinistrorso o destrorso comunque! sinistrorso destrorso Ricordiamoci di usare la STESSA MANO per immaginare il prodotto cross 2

3 Ripasso: sistema di riferimento (geometric frame) n vettori asse + punto origine (base vettoriale) o Ogni vettore v comb lineare degli n assi Ogni punto p origine + comb. lin. assi Trasformaioni spaiali Punto originale f Punto trasformato Vettore originale f Vettore trasformato 3

4 Trasformaioni spaiali Funioni input: un punto (oppure un vettore) output: un punto (oppure un vettore) punti e vettori: rappresentati da coordinate trasformaioni: cambiano le coordinate nuove coords fun( vecchie coords ) p f q v f f f q (p) (u) Trasformaioni spaiali: intro Concetto molto generale Parte di molte strutture dati: nello scene graph (trasf. di modellaione) nelle animaioni cinematiche nelle animaioni rigged (skeleton based) Vengono usate in molti processi nel rendering, dalla GPU (verte shader!) trasformaione di molleione, di vista, di proieione trasformano geometria e normali delle mesh renderiate nella modellaione, interattivamente, dall artista deformare un intero oggetto o una sua sottoparte 4

5 Es : trasformaione spaiale di modellaione Spaio Oggetto f Spaio Mondo p f f q Es 2: trasformaioni nel rendering Spaio Oggetto Trasforamione di Modellaione Spaio Mondo Trasforamione di Vista Spaio Vista Trasforamione di Proieione e Viewport Spaio Schermo 5

6 Object Coordinates Dare ad ogni oggetto il suo sistema di coordiante privato: il suo Object Space; Es: scene graph Mondo T T2 T3 T4 6

7 Object Space (spaio oggetto) spaio oggetto assi e dello spaio oggetto origine o dello spaio oggetto spaio oggetto ( spaio macchina ) Object Coordinates 2.3 p (.5, 2.3) coordinate di p in spaio oggetto.5 spaio oggetto ( spaio macchina ) 7

8 Object Coordinates p (.5, 2.3) (2.5, 8.) coordinate di p in spaio oggetto.5 coordinate di p in spaio mondo spaio oggetto ( spaio macchina ) spaio mondo 2.5 Object Coordinates coordinate in spaio oggetto coordinate in spaio mondo 7.4 p (.5, 2.3) (22.5, 7.4) 4.2 p (.5, 2.3) (9.7, 4.2) spaio oggetto: ( spaio macchina B ) spaio mondo 9.7 spaio oggetto: ( spaio macchina A )

9 Classi utili di trasformaioni spaiali Isometrie (rototraslaioni) Mantengono le distane Rota + Trasla Nota: sono chiuse rispetto a combinaione Similitudini (trasforma. conformali) Mantengono gli angoli Rota + Trasla + Scaling uniforme Lineari (trasforma. affini) f ( v + v ) f ( v) + f ( v) tr. affini similit. isom. Classi utili di trasformaioni spaiali Isometrie (rototraslaioni) Mantengono le distane Rota + Trasla Similitudini (trasforma. conformali) Mantengono gli angoli Rota + Trasla + Scaling uniforme Lineari (trasforma. affini) f ( v + v ) f ( v) + f ( v) 9

10 PRELIMINARE Rappr. punti e vettori in coord omogenee POSIZIONI punto p di coordinate cartesiane (,, ) coordiante omogenee di p : (,,, ) DIREZIONI / SPOSTAMENTI vettore v di coordinate cartesiane (,, ) coordiante omogenee di v : (,,, ) Trasformaioni affini Definiioni equivalenti: trasf esprimibili con moltiplica con matrice 44 con ultima riga:,,, si moltiplica la matr il vett di coordinate omogenee cambio di frame (di origine + sistema di assi catesiani) da: spaio di origine a: spaio di destinaione trasf lineari: cioè t.c. f ( v + v ) f ( v) + f ( v) tasformaioni di un tetraedro in un tetraedro (in 3D) (in 2D: di un triangolo in un triangolo)

11 Trasformaioni affini: cosa fanno mantengono sempre: rapporti fra volumi parallelisimo fra rette non mantengono (in generale): volumi, o aree, o angoli, o lunghee o rapporti fra aree, o fra lunghee non includono: defomaioni prospettiche Trasformaioni affini: cosa fanno Rotaioni Traslaioni (di punti le direioni non ha senso) Scalature uniformi o non Skewing (infatti includono tutte le isometrie) e combinaioni infatti la classe è chiusa rispetto a combinaioni (basta moltiplicare le matrici!)

12 Trasformaioni affini (nelle GUI) : come si possono specificare [DEMO] nota: questi controlli familiari (piu la traslaione, effettuata con drag-and-drop) sono sufficienti a specificare ogni possibile trasf affine in 2D Trasformaioni affini (nelle GUI) : come si possono specificare Controllers (concetto generale) aka: handles (maniglie) aka (specie in 3D): glifi (glphs) o gimos Elementi delle GUI per specificare cose Esempio: handles per specificare le trasf affini in 2D: scalatura (vert) scalatura (uniforme) rota skew ori scalatura (ori) skew verticale 2

13 3 Trasformaioni Affini Si possono tutte esprimere come una moltiplicaione con matrice 44 sempre f coordinate affini punto di partena 3 2 δ δ δ coordinate affini punto di arrivo conta solo questo Trasformaioni Affini Caso vettori sempre f coordinate affini vettore di partena 3 2 δ δ δ coordinate affini vettore di arrivo...

14 4 Esempio di riscrittura come matrice 44: trasformaione di traslaione rigida + f posso riscriverla come: e cioè: f vettore di traslaione Trasformaione di Traslaione rigida l'inversa è ovviamente: ),, ( T ),, ( ),, ( T T matrice di traslaione:

15 5 Trasformaione di Traslaione rigida cosa succede se la applico ad un vettore? f S( ) matrice di scaling Trasformaione di Scalatura uniforme f f

16 6 Trasformaione di Scalatura generica f ),, ( S matrice di scaling f inversa? Trasformaione di Scalatura generica nota: la scalatura applicata ai punti "scala" anche la distana dall'origine

17 Trasformaione di Scalatura generica Osservaioni: Fattori di scala inferiori a avvicinano l oggetto al punto fisso di riferimento (origine) Fattori di scala maggiori di lo allontanano Se s s o s s le proporioni dell oggetto non sono mantenute (scalatura non uniforme, o anisotropica) Se s s s le proporioni sono mantenute e si ha una scalatura uniforme (o isotropica) Shearing Lo spostamento proporionale alla pos + cotθ H ( θ ) cotθ 7

18 8 Rotaione attorno all'asse (, ) (,) ρ ρ sin cos partena: ) sin( ) cos( ρ ρ + + arrivo: ρ cos sin sin cos + ρ ρ ρ ρ cos sin sin cos sin sin cos cos + Rotaione attorno all'asse (, ) (,) ρ cos sin ' sin cos + cos sin -sin cos ) ( θ R Z + cos sin sin - cos ) ( R Z

19 Rotaione attorno all'asse,, o R X ( θ ) cosθ sinθ -sinθ cosθ R Y e le inverse? R cosθ ( θ ) - sinθ T X ( θ ) RX ( θ ) RX ( θ ) R Z sinθ cosθ cosθ -sinθ sinθ cosθ ( θ ) Rotaioni generiche Una rotaione generica è definita da: angolo u, asse v punto di applicaione p f come si fa? 9

20 da XKCD Rotaione intorno ad un asse parallelo all'asse traslaione T -. Porto il centro di rot nell'origine 2. Ruoto 3 traslaione T 3. Rimetto a posto 2 rotaione R 2

21 Rotaione intorno ad un asse parallelo all'asse traslaione T - f( p ) T ( R ( T - p ) ) 3 traslaione T 2 rotaione R Composiione di trasformaioni Moltiplicaione matrici (vettori) ha la propretà associativa f(p) T ( R ( T - p ) ) (T R T - ) p una matrice M 44 che fa tutto. consideraioni sull'efficiena cosa possiamo dire sulla forma di M? cosa succede se moltiplichiamo un vettore per M? 2

22 Punti VS vettori v M( v ) p M M( p ) p ( *, *, *, ) punto all'angolo della casa (punto) v ( *, *, *, ) velocità vettoriale del fumo (vettore) Ripassino Attenione all'inversione: (AB) - B - A - Associativa si, ma commutativa no! AB BA previsione: determinare il corretto ordine delle trasformaioni non sarà intuitivo RT TR 22

23 trasformaione affine matrice 44 Caso generale : sottomatrice 33 Rotaione + Scalatura + Skewing M t vettore 3 Traslaione Memoriabile anche come: Mat33 + Vec3 Come rappresento le trasformaioni Per esempio, con una matr 44: class Transform { // fields: Mat44 m; } // methods: Vec4 appl( Vec4 p ); // p in coord omogenee Vec3 appltopoint( Vec3 p ); // p in coord cartes. Vec3 appltovector( Vec3 v ); // p in coord cartes. 23

24 Come rappresento le trasformaioni Oppure, per es, con matr33 + vett traslaione: class Transform { // fields: Mat33 m; // rota, skew, scale Vec3 t; // transla } // methods: Vec3 appltopoint( Vec3 p ){ return m * p + t; } Vec3 appltovector( Vec3 v ){ return m * p; } Reppresentaioni possibili per trasformaioni: criteri Buone (o meno) per: compattea quanto sono prolisse in memoria? facilità di applicaione quanto è oneroso applicare ad uno (o ventimila) punti / vettori? interpolabilità è possibile/facile trovare un inerpolaione fra N trasforma date? quanto è buono il risultato combinabilità è facile trovare la risultante di N trasforma date, eseguite in successione? invertibilità è facile trovare la trasforma inversa? intuitività quanto è difficile spiegarla ai modellatori / editori di scene / etc 24

25 Perché è utile interpolare trasforma: esempio: animaioni T tempo T i? tempo 5 T 2 tempo 2 Perché è utile cumulare trasforma: esempio: scenegraph spaio oggetto ruota spaio oggetto automobile spaio mondo (globale) 25

26 Perché è utile cumulare trasforma: esempio: scenegraph T3 seguito da T Tc T T T2 T3 T4 T5 T6 NOTA: cumulaione di rotaioni NON commuta!!! (in 3D) Perché è utile invertire trasforma: switch between spaces spaio mondo spaio oggetto A T T - 26

27 Come rappresento le trasformaioni Quindi servono metodi come: class Transform { // fields: } // methods: Vec3 appltopoint( Vec3 p ); Vec3 appltovector( Vec3 v ); Transform cumulatewith( Transform& t ); Transform inverse(); Transform interpolatewith( Transform& t, float k ); Sinonimi comuni al posto di interpolate: blend, mi, lerp Classi utili di trasformaioni spaiali Isometrie (rototraslaioni) Mantengono le distane Rota + Trasla Similitudini (trasforma. conformali) Mantengono gli angoli Rota + Trasla + Scaling uniforme Lineari (trasforma. affini) f ( v + v ) f ( v) + f ( v) 27

28 Un altra classe di trasf (sena nome) spesso usata nei Game Engines Le trasformaioni ottenibili combinando: Rotaioni Traslaioni Scalature ma anche NON uniformi (un altro sottoinsieme delle trasformaioni affini) Utile in pratica facile da specificare, abb. flessibile e intuitiva Bruttina in teoria non e chiusa rispetto a combinaione :-O :-( (e non mantiene angoli, nulla) Come rappresento le trasf. isometriche / conformali Sotto problema: come rappresento le rotaioni class Rotation { // fields: Mat33 m; } // methods: class Transform { // fields: Rotation r; float s; // scale Vec3 t; // translation Non necessariamente cosi! stiamo per vedere valide alternative } // methods: 28

29 Osservaione se la mia trasformaione è rappresentata da rotaione + traslaione + (eventualmente) scalatura allora la posso agevolmente applicare (a punti e vettori) cumulare (con altre trasformaioni) invertire interpolare a patto di saperlo fare con le rotaioni! Osservaione Esempio: applicaione a punti e vettori class Transform { // fields: Rotation r; Vec3 t; // translation } Transform appltopoint( Vec3 p ){ return r.appl( p ) + t ; } Transform appltovector( Vec3 v ){ return r.appl( v ) ; } 29

30 Osservaione Esempio: interpolare transf class Transform { // fields: Rotation r; Vec3 t; // translation } Transform miwith( Transform b, float k ){ Transform result; result.r this.r.blendwith( b.r, k ); result.t this.t * k + b.t * (-k); return result; } Osservaione Esempio: inversione class Transform { // fields: Rotation r; Vec3 t; // translation Transform inverse(){ Transform result; result.r this.r.inverse(); result.t result.r.appl( -this.t ); return result; } NB! (perchè?) } 3

31 Osservaione Esempio: cumulare trassf class Transform { // fields: Rotation r; Vec3 t; // translation Transform cumulatewith( Transform b ){ Transform result; result.r this.r.cumulatewith( b.r ); result.t b.r.appl( this.t ) + b.t; return result; } NB! (perchè?) } Come rappresento (internamente) una rotaione in 3D? cioè anche gli orientamenti di un oggetto nello spaio 3

32 Rotaioni in R3: quante possibili? R R5 R R R6 R R2 R7 R2 R3 R8 R3 R4 R9 etc etc Rotaioni in R3: quante possibili? R (e ovviamente includono l identità) 32

33 Per paragone: reppresenta. delle traslaioni in 3D Banale: vettore di displacement (tre float)! perfetta secondo tutti i criteri (verificare!) Per paragone: reppr. delle rotaioni in 2D Banale: un angolo (un float) buona secondo tutti i criteri (verificare per es.!) (unica scelta: degrees or radiants?) [,36) [,2 Pi) caveat: interpolaione! «pick the shortest route» mi( 25, 335,.5 ) (ma, still eas)

34 Per paragone: reppr. delle rotaioni in 2D Passaggio angolo vettore Per paragone: reppr. delle rotaioni in 2D Passaggio angolo vettore pro tip: use atan2 34

35 Reppresentaioni per rotaioni (in 3D) Molte possibili, vanno più o meno bene coi vari criteri Tutte molto diffuse ed usate Modi per passare da una rappr. all altra? Reppresentaioni principali delle rotaioni Matrici 33 quello tipic. usato durante il rendering (nella GPU) 35

36 Modo : matrice 33 (9 floats) dopotutto, una rot è un es di trasf affine (sottomatrice 33 della matrice di trasf 44) R come sappiamo, R ortonormale con det Modo : matrice 33 (9 floats) Prolissa (9 numeri invece di 3) Facile da applicare (molt matrice-vettore) come sappiamo, cumulabile con qualunque altra trasf. affine Abb. facile da cumulare (molt matrice-matrice) Facilissima da invertire (trasposi matrice) Problematica da interpolare: k R + (-k) R M perché? in genere NON di rotaione (non ortonormale) 36

37 Modo : matrice 33 (9 floats) Molto efficiente da applicare prodotti e somme, no trigonometria Piu traslaione: matrice 44 cumulabile con tutte le altre trasf affini! metodo tipic. adottato per memoriare ed eseguire trasformaioni spaiali nel GPU-based rendering! (nel verte shader) Reppresentaioni principali delle rotaioni Matrici 33 Angoli di Eulero il più intuitivo dei metodi per specificare a mano una rot molto usato nei software di modellaione 37

38 Modo 2: angoli di eulero (3 floats) Qualunque rotaione (*) può essere espressa come: rotaione lungo asse X (di gradi), seguita da: rotaione lungo asse Y (di gradi), seguita da: rotaione lungo asse Z (di gradi): Angoli : angoli di Eulero di quella rotaione (quindi: le coordinate di quella rota) oridine (X-Y-Z) arbitrariamente scelto, (ma volta tutte) Modo 2: angoli di eulero (3 floats) In linguaggio nautico / areonautico: angoli di rollio, beccheggio, imbardata rollio (roll ) beccheggio (pitch ) imbardata (aw ) 38

39 Modo 2: angoli di eulero (3 floats) Implementa. fisica: mappamondo a tre assi Modo 2: angoli di eulero (3 floats) Compattea: perfect! Da applicare: un po faticoso (tre rotaioni in fila) Da interpolare: possibile intrerpola dei tre angoli (occhio ad interpolare angoli: ricordarsi equivalena angoli: +36 (k) ) ma risultati non sempre intuitivi) Da cumulare e invertire: problematico perché sommare e invertire gli angoli non funiona? 39

40 da: angoli di eulero a: matrice 33 Facile! M R ( ) R ( ) R ( ) Il viceversa? (solo a suon di conti e fun trigon. inverse) Recap: rappresenta di rota. /2 33 Matri Euler Angles Space efficient? (in RAM, GPU, storage ) 9 scalars 3 scalars (even small int!) E f f i c i e n t / e a s t o Appl (to points/vectors) Invert (produce inverse) Cumulate (with another rotation) Interpolate (with another rotation) Intutive? (e.g. to manuall set) Notes 9 products (3 dot products) just transpose matri multiplication (9 dots)?!? Free skew + scale! trigonometr sin/cos eas to do unintuitive result rollio & beccheggio & imbardata GIMBAL LOCK 4