T 1. T i T 2. Reppresentazioni possibili per trasformazioni: criteri. Come rappresento le trasformazioni. Come rappresento le trasformazioni

Transcript

1 Come rappresento le trasformazioni Per esempio, con una matr 4x4: class Transform { Mat4x4 m; // methods: Vec4 apply( Vec4 p ); // p in coord omogenee Vec3 applytopoint( Vec3 p ); // p in coord cartes. Vec3 applytovector( Vec3 v ); // p in coord cartes. Reppresentazioni possibili per trasformazioni: criteri Buone (o meno) per: compattezza quanto sono prolisse in memoria? facilità di applicazione quanto è oneroso applicare ad uno (o ventimila) punti / vettori? interpolabilità è possibile/facile trovare un inerpolazione fra N trasformaz date? quanto è buono il risultato combinabilità è facile trovare la risultante di N trasformaz date, eseguite in successione? invertibilità è facile trovare la trasformaz inversa? intuitività quanto è difficile spiegarla ai modellatori / editori di scene / etc Come rappresento le trasformazioni Perché è utile interpolare trasformaz: esempio: animazioni Oppure, per es, con matr3x3 + vett traslazione: class Transform { Mat3x3 m; // rotaz, skew, scale Vec3 t; // translaz // methods: Vec3 applytopoint( Vec3 p ){ return m * p + t; Vec3 applytovector( Vec3 v ){ return m * p; T 1 T 2 T i? tempo 100 tempo 150 tempo 200 Master Game Dev Univ Verona 1

2 Perché è utile cumulare trasformaz: esempio: scenegraph Perché è utile invertire trasformaz: switch between spaces spazio mondo spazio oggetto A spazio oggetto ruota 1 spazio oggetto automobile T spazio mondo (globale) T -1 Perché è utile cumulare trasformaz: esempio: scenegraph Come rappresento le trasformazioni T3 seguito da T0 Tc T0 T1 T2 Quindi servono metodi come: class Transform { T3 T4 T5 T6 // methods: Vec3 applytopoint( Vec3 p ); Vec3 applytovector( Vec3 v ); Transform cumulatewith( Transform& t ); Transform inverse(); Transform interpolatewith( Transform& t, float k ); NOTA: cumulazione di trasf. NON commuta!!! Sinonimi Marco Tarini comuni - Master Game al Dev posto di interpolate: blend, mix, lerp Master Game Dev Univ Verona 2

3 Classi utili di trasformazioni spaziali Isometrie (rototraslazioni) Mantengono le distanze Rotaz + Traslaz Similitudini (trasformaz. conformali) Mantengono gli angoli Rotaz + Traslaz + Scaling uniforme Lineari (trasformaz. affini) Come rappresento le trasf. isometriche / conformali Sotto problema: come rappresento le rotazioni class Rotation { Mat3x3 m; // methods: class Transform { Rotation r; float s; // scale Vec3 t; // translation // methods: Non necessariamente cosi! stiamo per vedere valide alternative Un altra classe di trasf (senza nome) spesso usata nei Game Engines Le trasformazioni ottenibili combinando: Rotazioni Traslazioni Scalature ma anche NON uniformi (un altro sottoinsieme delle trasformazioni affini) Utile in pratica facile da specificare, abb. flessibile e intuitiva Bruttina in teoria non e chiusa rispetto a combinazione :-O :-( (e non mantiene Marco angoli, Tarini - Master Game nulla) Dev Osservazione se la mia trasformazione è rappresentata da rotazione + traslazione + (eventualmente) scalatura allora la posso agevolmente applicare (a punti e vettori) cumulare (con altre trasformazioni) invertire interpolare a patto di saperlo fare con le rotazioni! Master Game Dev Univ Verona 3

4 Osservazione Esempio: applicazione a punti e vettori class Transform { Rotation r; nb: usata a scatola chiusa Vec3 t; // translation Transform applytopoint( Vec3 p ){ return r.apply( p ) + t ; Transform applytovector( Vec3 v ){ return r.apply( v ) ; Osservazione Esempio: inversione class Transform { Rotation r; Vec3 t; // translation Transform inverse(){ Transform result; result.r = this.r.inverse(); result.t = result.r.apply( -this.t ); return result; NB! (perchè?) Osservazione Esempio: interpolare transf class Transform { Rotation r; Vec3 t; // translation Transform mixwith( Transform b, float k ){ Transform result; result.r = this.r.blendwith( b.r, k ); result.t = this.t * k + b.t * (1-k); return result; Osservazione Esempio: cumulare trassf class Transform { Rotation r; Vec3 t; // translation Transform cumulatewith( Transform b ){ Transform result; result.r = this.r.cumulatewith( b.r ); result.t = b.r.apply( this.t ) + b.t; return result; NB! (perchè?) Master Game Dev Univ Verona 4

5 Come rappresento (internamente) una rotazione in 3D? cioè anche gli orientamenti di un oggetto nello spazio Rotazioni in R3: quante possibili? R0 (e ovviamente includono l identità) Rotazioni in R3: quante possibili? Per paragone: reppresentaz. delle traslazioni in 3D R0 R5 R10 R1 R2 R6 R7 R11 R12 Banale: vettore di displacement (tre float)! perfetta secondo tutti i criteri (verificare!) R3 R8 R R4 Marco Tarini - Master Game Dev R9 etc etc Master Game Dev Univ Verona 5

6 Per paragone: reppr. delle rotazioni in 2D Per paragone: reppr. delle rotazioni in 2D Banale: un angolo (un float) buona secondo tutti i criteri (verificare per esercizio!) (unica scelta: degrees or radiants?) [0,360) [0,2 Pi) caveat: interpolazione! «pick the shortest route» mix( 25, 335, 0.5 ) = 0 (ma, still easy) = -25 Passaggio angolo vettore y α x pro tip: use atan2 Per paragone: reppr. delle rotazioni in 2D Reppresentazioni per rotazioni (in 3D) Passaggio angolo vettore Molte possibili, vanno più o meno bene coi vari criteri y Tutte molto diffuse ed usate α x Modi per passare da una rappr. all altra? Master Game Dev Univ Verona 6

7 Reppresentazioni principali delle rotazioni Matrici 3x3 quello tipic. usato durante il rendering (nella GPU) Modo 1: matrice 3x3 (9 floats) Prolissa (9 numeri invece di 3) Facile da applicare (molt matrice-vettore) come sappiamo, cumulabile con qualunque altra trasf. affine Abb. facile da cumulare (molt matrice-matrice) Facilissima da invertire (trasposiz matrice) Problematica da interpolare: k R + (1-k) 0 R = 1 M perché? in genere NON di rotazione (non ortonormale) Modo 1: matrice 3x3 (9 floats) dopotutto, una rot è un caso di trasf affine (sottomatrice 3x3 della matrice di trasf 4x4) R come sappiamo, R ortonormale con det = 1 Modo 1: matrice 3x3 (9 floats) Molto efficiente da applicare prodotti e somme, no trigonometria Piu traslazione: matrice 4x4 (o 3x4) cumulabile con tutte le altre trasf affini! metodo tipic. adottato per memorizzare ed eseguire trasformazioni spaziali nel GPU-based rendering! (nel vertex shader) Master Game Dev Univ Verona 7

8 Reppresentazioni principali delle rotazioni Matrici 3x3 Angoli di Eulero il più intuitivo dei metodi per specificare a mano una rot e.g. ben compreso anche da artisti digitali Modo 2: angoli di eulero (3 floats) In linguaggio nautico / areonautico: angoli di rollio, beccheggio, imbardata rollio (roll ) beccheggio (pitch ) imbardata (yaw ) Modo 2: angoli di eulero (3 floats) Qualunque rotazione può essere espressa come: rotazione lungo asse X (di α gradi), seguita da: rotazione lungo asse Y (di β gradi), seguita da: rotazione lungo asse Z (di γ gradi): Angoli α β γ : angoli di Eulero di quella rotazione (quindi: le coordinate di quella rotaz) oridine (X-Y-Z) arbitrariamente scelto, (ma 1 volta x tutte) Modo 2: angoli di eulero (3 floats) Implementaz. fisica: mappamondo a tre assi Master Game Dev Univ Verona 8

9 Modo 2: angoli di eulero (3 floats) Univoco? 1:1? 1 rotaz 1 terna di angoli di Eulero? Quasi (limintando oppurtunamente gli angoli). Brutta eccezione: GIMBAL LOCK quando 1 rotazione fa coincidere gli assi delle altre (è inevitabile che possa Marco Tarini - Master Game Dev accadere) da: angoli di eulero a: matrice 3x3 Facile! Il viceversa? (solo a suon di conti e funz trigon. inverse) Modo 2: angoli di eulero (3 floats) Compattezza: perfect! Da applicare: un po faticoso (tre rotazioni in fila) Da interpolare: possibile intrerpolaz dei tre angoli (occhio ad interpolare angoli: ricordarsi equivalenza angoli: α = α +360 (k) ) ma risultati non sempre intuitivi) Da cumulare / invertire: problematico perché sommare / ribaltare gli angoli non funziona? Recap: rappresentaz. di rotaz. 1/2 3x3 Matrix Euler Angles Space efficient? (in RAM, GPU, storage ) E f f i c i e n t / e a s y t o Apply (to points/vectors) Invert (produce inverse) Cumulate (with another rotation) Interpolate (with another rotation) Intuitive? (e.g. to manually set) Notes 9 scalars 3 scalars (even small int!) 9 products (3 dot products) just transpose matrix multiplication (9 dots)?!? Free skew + scale! trigonometry sin/cos easy to do unintuitive result rollio & beccheggio & imbardata GIMBAL LOCK Master Game Dev Univ Verona 9

10 Reppresentazioni principali delle rotazioni Matrici 3x3 Angoli di Eulero Asse + angolo il metodo comunemente usato per es in fisica Modo 3: asse e angolo Compattezza: abb buono: 4 float Efficienza di applicazione: maluccio modo migliore: passare a matrice 3x3 (come?) (o a quaternione: vedi poi) Invertire: facilissimo (ribaltare angolo oppure asse) nota: se si invertono entrambi? stessa rotazione! Modo 3: asse e angolo Qualunque rotazione data può essere espressa come: una rotazione di un angolo attorno ad un asse Angolo: uno scalare (1 float) Asse: un vettore unitario (3 float) passante per l origine opportunamente scelti Modo 3: asse e angolo Nota: (ax, ay, az, alpha) (-ax, -ay, -az, -alpha) sono la stessa rotazione! Ogni rotazione ha due rappresentaz equivalenti come asse e angolo! (eccetto l identità, che ne ha infinite: alpha = 0, asse qualunque) Marco Tarini - Master Game Dev Master Game Dev Univ Verona 10

11 Modo 3: asse e angolo da: asse e angolo a: matrice 3x3 Cumulare: nient affatto immediato Interpolare: ottimo! idea: interpolare asse, intrerpolare angolo Alcuni semplici caveat: 1) bisogna prima flippare uno dei due (asse,angolo) se questo avvicina i due assi fra loro 2) angolo va interpolato «modulo 360» (again!) 3) l asse va rinormalizzato post interpolaz 4) occhio ai casi degeneri (assi opposti) best results! la rotazione giusta eccetto la velocità di rotaz esercizio! Modo 3: asse e angolo: variante asse: v (vett normale, v = 1) angolo: α (scalare) rappresentarli internamente come 1 solo vett: v (3 float in tutto) v =αv angolo α = v asse v = v / v (nota: se angolo = 0, asse si perde infatti non conta) Più coinciso, ma per il resto equivalente anzi, meglio: una sola rappresentaz per ogni rotaz (perchè?) anche per l identità (perchè?) Reppresentazioni principali delle rotazioni Matrici 3x3 Angoli di Eulero Asse + angolo Quaternioni Master Game Dev Univ Verona 11

12 Ripasso: numeri complessi Assunzione fantasiosa : c è un t.c. 1 Conseguenze: Num complesso : (a + b i ) interpretaz geom: punti 2D (a, b) Moltiplicaz fra complessi: interpretaz geom: Dunque: moltiplicare per ruotare in 2D numero complesso (attorno (a norma 1) all origine) numeri complessi rappresentaz (a norma 1) rotazioni in 2D Da asse+angolo a quaternione rotaz: di α attorno all asse (a x, a y, a z ) quaternione: q = s a x i + s a y j + s a z k + c con c = cos( α / 2 ) s = sin ( α / 2 ) cioè q = ( s a x, s a y, s a z, c ) nota: q = Marco Tarini - Master Game verificare! Dev vett. unitario Passare ai quaternioni Modo 4: quaternioni (4 float) Assunzione fantasiosa : ci sono,, t.c. x i j k i -1 +k -j j -k -1 +i k +j -i -1 cioè: i 2 = j 2 = k 2 = -1 ij = k ji = -k jk = i kj = -i ki = j ik = -j Conseguenze: Quaternione : ( a i + b j + c k + d ) interpr. geom: punti 3D (a,b,c), quando d=0 Molitplicare due quat: Invertire un quat: Coniungare due quat q e p - (fare q p q ): interpretaz geom: ruotare p con la rotaz def da q Dunque: coniugare con un ruotare in 3D quat (con norma 1) (asse pass. x ori) quaternioni rappresentaz (a norma 1) rotazioni in 3D Applicazione: facillimo ;) ruotare p = x i+y j+z k p ruotato = q p q 2 moltiplicaz quat. Cumulare: facillimo ;) 1 moltiplicaz quat Invertire: facillimo ;) flippare la parte reale oppure quella immaginaria se entrambe: rimane la stessa rotaz! quat che rappresenta il punto di coord ( x, y, z ) Nota: parte reale = 0 Master Game Dev Univ Verona 12

13 Modo 4: quaternioni (4 float) Interpolare: facillimo ;) e good results! simili caveats di asse e angolo: 1) flippare un quaternione prima, se accorcia la distanza fra i due 2) ri-normalizzare il quaternione dopo velocità: non corretta c è modo di correggerla And the winner is Ovviamente, i quaternioni perché sono più efficienti su tutte le op Ovviamente, gli angoli di Eulero perché sono più intuitivi (e pure più compatti) Ovviamente, asse+angolo perché hanno l interpolazione più naturale (in molti casi, speed giusta di default) Ovviamente, le matrici 3x3 perché sono lo standard in CG perché esprimono non solo rot ma qualsiasi affine (eccetto la traslaz, che tanto è storata separatamente) Recap: rappresentaz. di rotaz. 2/2 axis + angle (unitary) quaternion Space efficient? (in RAM, GPU, storage ) E f f i c i e n t / e a s y t o Apply (to points/vectors) Invert (produce inverse) Cumulate (with another rotation) Interpolate (with another rotation) Intuitive? (e.g. to manually set) Notes 4 scalars (or 3) (but precision needed) to matrix? + trigonometry super easy flip di asse o angolo easy (best results!) sometimes easy: 2 prodotti quat not really two representations for each rotation (flip all no effect) (for different reasons) 4 scalars (but precision needed) super easy flip di parte reale o imm. super easy: 1 prodotto quat easy + good result (except speed) Switching between representations 3x3 MATRIX AXIS + ANGLE EULER ANGLES QUATER- NION rather trivial (I expect you to be able to!) interesting exercise (try it, maybe) Master Game Dev Univ Verona 13

14 GUI: come specifica un utente le rotazioni in 3D? Metodo ricorrente: rotation gizmo (a volte: «arcball» o «trackball») tre handles per controllare i tre angoli di Eulero o free, drag-n-drop intuitivo (metafora trackball) GUI: come specifica un untente le scalature in 3D? scaling gizmo (tipic. orientato in spazio oggetto) tre handles per le scalature anisotropichje + un handle centrale per scalature uniformi convenzione: Rosso = X Verde = Y Blu = Z convenzione: Rosso = X Verde = Y Blu = Z GUI: come specifica un untente le traslazioni in 3D? Rotazioni in unity free : drag-and-drop 2D in spazio immagine, mantendo distanza da osservatore oppure translation gizmo orientato nello spazio mondo, oppure orientato nello spazio oggetto handles per trasl lungo assi e/o piani es: x spostare un oggetto qui, in questo punto dello schermo es: x spostare un oggetto in basso es: x spostare un oggetto lungo il suo basso Nella GUI del game tools: Euler Angles Internamente: Quaternions Nell interfaccia degli scripts: a scelta, (quat, euler, axis+angle ) con metodi setter/getter convenzione: Rosso = X Verde = Y Blu = Z Master Game Dev Univ Verona 14

15 Trasformazioni in Unity Lineari (trasformaz. affini) Similitudini (trasformaz. conformali) Mantengono gli angoli Rotaz + Traslaz + Scaling uniforme Isometrie (rototraslazione) Mantengono la magnitudine Rotaz + Traslaz anisotropico class Transform Reppresentare rotazioni roto-traslazioni Matrici 3x3 Angoli di Eulero Asse + angolo Quaternioni Matrici 4x4 (o 3x4) Dual Quaternions + Traslazione (displ. vec) Rotazioni in OpenGL Promemoria domande che ci siamo posti alla lavagna Nelle API «old school»: glrotate3f Asse e angolo Internamente: Matrici (come tutte le altre trasformazioni spaziali) Quale quaternione rappresenta: la rotazione di 0 gradi (qualunque asse)? la rotazione di 180 gradi attorno all asse delle X? quali angoli di eulero? quale matrice 3x3? idem, per rotaz di 90 gradi, asse delle Y Verificare che coningando tali quaternioni con xi+yj+zk si ottengono i risultati attesi rotaz del punto/vettore (x,y,z) Master Game Dev Univ Verona 15

16 Promemoria domande che ci siamo posti alla lavagna Dato un quaternione che ruota di un certo asse e un certo angolo, cosa succede se: flip di asse O di angolo flip di asse E di angolo angolo = angolo + 2 Pi Applica ai quaternioni visti nei punti sopra (compreso l ide) (2 Pi) radianti, o 360 Promemoria domande che ci siamo posti alla lavagna Quale è la trasformaz globale del nodo L? Se rendo il nodo L figlio del nodo D (non più del suo attuale padre), come devo modificare la sua trasf locale, affinchè non muti la sua posizione globale (in spazio mondo)? Modifico la trasf locale associata al nodo L (T7) moltiplicandola con una nuova trasf Tu, es una traslazione (magari dettata da un edit di uno scener). cioè T7 T7 * Tu cosa succede? L trasla di Tu, con la traslaz espressa nel frame locale di L (nello spazio oggetto di L) Come devo modificare T7 affinchè la trasformazione Tu avvenga invece nel frame globale (in spazio mondo)? T7? Promemoria domande che ci siamo posti alla lavagna mondo T7 L E B C F T0 T2 T1 T3 T4 T6 T5 G D H Master Game Dev Univ Verona 16