INTRODUZIONE. Motivazione. Terminologia. Paolo Fiorini Dipartimento di Informatica Università degli Studi di Verona

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1 INRODUZIONE Paolo Fiorini Diartimento di Informatica Università degli Studi di Verona Motivaione Dobbiamo sviluare dei metodi er raresentare la osiione del coro:. La sua localiaione. Orientaione 3. La configuraione dei giunti. Il metodo rinciale si basa sull uso di vettori e matrici, che raresentano unti e relaioni tra unti, associati a dei sistemi di riferimento. Le relaioni che legano questi elementi si chiamano rasformaioni Cinematiche. erminologia Problemi tiici:. Alias: descrivere la osiione di un coro da un altro unto di vista.. Alibi: descrivere il movimento dei giunti del coro. Definiioni: - Cinematica: studia il movimento dei cori sena considerarne le cause. - Punto: é un oggetto geometrico sena massa né dimensioni. - Cammino: é la curva ercorsa da un unto che si muove. - Siaamento: é la differena tra la osiione iniiale e finale di un unto - raslaione: é il movimento di un coro rigido in cui tutti i unti si muovono su cammini aralleli. - Rotaione: é il movimento di un coro che ruota attorno ad un asse. - Moto generale: é un movimento che include traslaione e rotaione

2 I Sistemi di Riferimento Di solito si usa un sistema di riferimento ortogonale, su cui vengono definite delle coordinate Cartesiane {,, }, che indicano la osiione di ogni unto dello saio risetto al sistema di riferimento. Esistono anche sistemi di riferimento non ortogonali (obliqui), ad esemio er descrivere la raresentaione degli stimoli sensoriali Assegnamento dei Sistemi di Riferimento Si fa l iotesi di studiare il moto dei cori rigidi, anche nel caso di movimento umano. Si individuano molti sistemi di riferimento: -Globale: che rimane fisso nell ambiente. - Mobile: che segue il movimento del coro, ma rimane arallelo al riferimento globale. - Relativo: che segue il movimento delle varie arti del coro I Vettori Il Vettore é l entitá matematica che descrive la osiione di un unto risetto ad un sistema di riferimento. Le oeraioni tra vettori includono, somma, sottraione, rodotto interno (scalare) e rodotto esterno (vettore). Il rodotto vettore é dato da: V P Q sinθ V θ P Q 6 6 6

3 Le Matrici Le matrici sono delle tabelle rettangolari di numeri. Ciascun numero é un elemento della matrice. Unamatriceha n colonne e m righe, se nm la matrice si dice quadrata. L ordine di una matrice é dato da nm. Si definiscono le oeraioni tra matrici: Somma Sottraione Moltilicaione Divisione r ( cϕ) cϕ r r ( cϕ) r sϕ r r ( cϕ) r sϕ Rr ( ϕ) rr ( cϕ) r sϕ r ( cϕ) cϕ rr ( cϕ) r sϕ r r ( cϕ) rsϕ rr ( cϕ) r sϕ r cϕ cϕ ( ) Relaioni tra Sistemi di Riferimento Quando il unto che si considera é l origine di un sistema di riferimento, un vettore raresenta la traslaione che lega i due sistemi di riferimento Relaioni tra Sistemi di Riferimento Le rotaioni relative tra due sistemi di riferimento sono raresentate dalle matrici

4 Posiione La osiione di un unto nello saio uò essere descritta da un vettore di osiione 3 risetto ad una terna A di coordinate di riferimento A P Rotaione di un Vettore La matrice di rotaione uò essere interretata come l oeratore matriciale che consente di ruotare un vettore attorno ad un dato asse nello saio. Rotaioni Elementari Costruione delle comonenti di e

5 Rotaioni Elementari Data la terna di riferimento A- si consideri la rotaione di un angolo θ attorno all asse (una rotaione è ositiva se in senso antiorario) e sia B- la nuova terna ottenuta. Per quanto visto rima, i versori di R diventano: cθ sθ sθ cθ MARICI DI RASFORMAZIONE Paolo Fiorini Diartimento di Informatica Università degli Studi di Verona 4 4 Orientamento L orientamento di un coro rigido è descritto da una terna ortonormale (B) solidale con il coro I versori della terna B devono essere esressi risetto alla terna di riferimento A 5 5 5

6 6 6 6 Raresentaione di un vettore Si consideri un coro rigido e la terna B- ad esso solidale con origine o coincidente con l origine della terna di riferimento A-. Un unto P nello saio è esrimibile in modo del tutto equivalente come: Raresentaione di un vettore Essendo e lo stesso unto P nello saio, si ha: e quindi: Viste le rorietà recedenti vale ure: [ ] R R Orientamento I versori [ ] della terna B sono quindi esressi dalle seguenti: Da cui la notaione comatta: [ ] R

7 Prorietà della matrice R I vettori colonna della matrice R raresentano i versori di una terna ortonormale, sono quindi: Ortogonali Di modulo unitario Conseguentemente R è ortogonale, er cui valgono le relaioni: R R I R R Le re Rotaioni Elementari R ( λ) cλ sλ sλ cλ cβ sβ R ( β ) sβ cβ cα sα R ( α) sα cα In maniera analoga si costruiscono le rotaioni elementari attorno agli assi e Si noti che vale la seguente: k R k R ( ϑ ) ( ϑ) dove k è uno degli assi re Significati er R Una matrice di rotaione assume quindi tre significati geometrici distinti: Fornisce l orientamento di una terna di coordinate risetto ad un altra Raresenta una trasformaione di coordiante che mette in relaione uno stesso unto in due sistemi di riferimento diversi È l oeratore che ermette di ruotare un vettore in una stessa terna di coordinate

8 Comosiione di Matrici Si considerino tre terne coordinate, e aventi origine in comune, e un unto nello saio. Per quanto visto valgono le seguenti: R R R R R ( R ) R R Dalla sostituione si ottiene che: R R R Comosiione di Matrici L oeraione di rotaione esressa dall esemio si uò descrivere come segue: Come rima cosa si ruota la terna fino a sovraorla alla terna in base a quanto dettato dalla rima matrice R Successivamente si ruota la terna ora sovraosta a fino a ortarla a coincidere con la terna La rotaione comlessiva si ottiene come successione di rotaioni ariali, ognuna delle quali diende dall esito della recedente Si dice che la rotaione avviene in terna corrente Comosiione di Matrici In alternativa si ossono esrimere rotaioni successive semre nella stessa terna base. In questo caso si arla di rotaioni in terna fissa. Sia R la matrice che esrime risetto la terna base e ottenuta da una rotaione della terna secondo la matrice R Si rocede come segue: Riallineiamo la terna con la terna Eseguiamo la rotaione in terna corrente Si comensa il riallineamento alicando la trasformaione inversa R R R R R R R R 4 4 4

9 Comosiione di Matrici Imortante: Un asetto interessante della comosiione di rotaioni è la non commutatività del rodotto di matrici. Si giunge alla conclusione che in generale due rotaioni non commutano e che il risultato della combinaione di iù rotaioni diende dall ordine con cui si succedono Nota: Quanto sora non vale er le rotaioni infinitesimali Rotaioni attorno ad un asse arbitrario Sia r il versore che identifica un asse di rotaione arbitrario risetto alla terna di riferimento. Si rocede come segue: Si sovraone r a con la successione di una rotaione di -α attorno a e di una rotaione di -β attorno a Si alica la rotaione di ϕ attorno a Si riristina l orientamento iniiale di r con una rotaione di β attorno a seguita da una rotaione di α attorno a Rotaioni attorno ad un asse arbitrario In sintesi la matrice di rotaione risulta essere: R ( ϕ) R ( α) R ( β ) R ( ϕ) R ( β ) R ( α ) r 7 7 7

10 Rotaioni attorno ad un asse arbitrario Meno in sintesi, er chi se la vuole calcolare, la matrice risulta essere: r ( cϕ) cϕ r r ( cϕ) rs ϕ rr ( cϕ) rsϕ Rr ( ϕ) rr ( cϕ) rs ϕ r ( cϕ) cϕ rr ( cϕ) r sϕ rr ( cϕ) rsϕ rr ( cϕ) r sϕ r ( cϕ) cϕ Rotaioni attorno ad un asse arbitrario Per la matrice aena illustrata vale la seguente rorietà: R r ( ϕ ) Rr ( ϕ) Che mostra come tale raresentaione non sia univoca. Una rotaione di ϕ sull asse r è equivalente ad una rotaione ϕ sull asse r. Per la risuluione del roblema inverso vale che: r3 r3 r r r33 ϕ cos r r3 r3 sinϕ r r Raresentaioni Minime Le matrici di rotaione forniscono una descriione ridondante dell orientamento di una terna Nove elementi Sei vincoli legati all ortogonalità I arametri liberi er la descriione dell orientamento sono in numero di tre. Una raresentaione dell orientamento in termini di tre arametri indiendenti costituisce una raresentaione minima 3 3 3

11 Raresentaioni Minime Angoli di Eulero Rotaioni esresse in terna corrente Angoli di RPY Rotaioni esresse in terna fissa Angoli di Eulero Raresentaione minima esressa in terna corrente. Ogni rotaione è esressa dalla combinaione di tre rotaioni elementari. In base alla scelta di quali angoli usare ci sono ossibili combinaioni (3). Solitamente si usa la raresentaione ZYZ Angoli di Eulero Siano α βγgli angoli di Eulero considerati

12 Angoli di Eulero L orientaione finale della terna si ottiene dalla comosiione di rotaioni risetto alla terna corrente. R R ( α) R ( β ) R ( γ EUL ) cα cβ cγ sα s sα cβcγ cα s sβ cγ γ γ c c α β γ s c α β γ s s c s s β γ α γ s c c α γ cα sβ sα sβ c β Angoli di RPY Raresentaione minima esressa in terna fissa. RPY sta er Roll-Pitch-Yaw imbardata) (rollio, beccheggio, Ogni rotaione è esressa dalla combinaione di tre rotaioni elementari esresse risetto ad una terna solidale con il coro rigido Angoli di RPY Siano α βγgli angoli di RPY considerati

13 Angoli di RPY L orientaione finale della terna si ottiene dalla comosiione di rotaioni risetto alla terna fissa, moltilicando da destra a sinistra le matrici elementari. RRPY R ( α) R ( β ) R( γ ) cα cβ cα sβ sγ sα cγ cα sβcγ sα sγ sα cβ sα sβ sγ cα cγ sα sβcγ cα sγ sβ cβ sγ cβcγ rasformaioni Omogenee La osiione di un coro nello saio è individuata in termini di: Posiione di un aortuno unto solidale con il coro rigido (traslaione) Orientamento, esresso in base alle comonenti dei versori degli assi di una terna solidale al coro stesso (rotaione) rasformaioni Omogenee

14 rasformaioni Omogenee Da semlici consideraioni geometriche si ricava che: B _ orig rasformaione di traslaione rotaione La trasformaione inversa si ottiene moltilicando da s a d er l inversa (o trasosta) di R R R B _ orig B _ orig R R R rasformaioni Omogenee Uniamo traslaione e rotaione er ottenere una raresentaione comatta (omogenea) della trasformaione R A o La trasformaione recedente si riscrive come A rasformaioni Omogenee La trasformaione inversa risulta ora data da A ( A ) dove l inversa è esressa come R R o R Ro A Si noti che er la matrice di trasformaione omogenea non vale l ortogonalità e quindi A A 4 4 4