Dispense del corso di Robotica con Laboratorio

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1 Dispense del corso di Robotica con Laboratorio Docente: Luca Zaccarian December 17, 2002 Contents 1 Nozioni preliminari Operazioni sui vettori Basi e coordinate Traslazioni e rotazioni Traslazione Rotazione Matrici di rotazione fondamentali Composizione di matrici di rotazione Rotazione intorno ad un asse qualsiasi Coordinate e trasformazioni omogenee Rototraslazioni e rappresentazioni minime Angoli di Eulero Angoli di RPY Coordinate omogenee Cinematica diretta dei robot Segmenti, giunti e loro parametri Rappresentazione di Denavit-Hartenberg Trasformazione omogenea associata ad un link Spazio dei giunti e spazio operativo Esempi e esercizi Cinematica inversa dei robot 34 6 Cenni sulla dinamica dei motori in corrente continua Le equazioni elettriche Le equazioni meccaniche Motoriduttori e motori a presa diretta Diagramma a blocchi del motore CC Funzionamento degli encoder incrementali 39 1

2 1 Nozioni preliminari 1.1 Operazioni sui vettori Dato l insieme di tutti i vettori nello spazio tridimensionale R 3 (questo insieme è in effetti uno spazio vettoriale), ogni vettore appartenente a tale insieme (o spazio) u R 3 è caratterizzato da tre numeri u 1, u 2 e u 3, denominati componenti del vettore, e si indica con u = (u 1, u 2, u 3 ). Nello spazio vettoriale R 3, sono definite le seguenti operazioni: 1. Prodotto con i reali: R R 3 R 3, definito come: a u = a (u 1, u 2, u 3 ) := (a u 1, a u 2, a u 3 ), a R, u R Prodotto scalare: R 3 R 3 R, definito come: 3. Norma: R 3 R, definita come: < u, v > = <(u 1, u 2, u 3 ), (v 1, v 2, v 3 )> := u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3, u, v R 3. u = (u 1, u 2, u 3 ) 4. Somma: R 3 R 3 R 3, definita come: := < u, u> = u u u 2 3, u R 3. u + u = (u 1, u 2, u 3 ) + (v 1, v 2, v 3 ) := (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ), u, v R Prodotto vettoriale: R 3 R 3 R 3, definito come: u v = (u 1, u 2, u 3 ) (v 1, v 2, v 3 ) := (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ), u, v R 3. Geometricamente, le cinque operazioni sopra elencate si possono interpretare come segue (si osservi anche la rappresentazione in Figura 1): 1. Il prodotto con i reali corrisponde alla espansione (o contrazione, se a < 1) del vettore, senza cambiarne la direzione (eventualmente cambiandone il verso, se a < 0). Il vettore risultante ha norma (o lunghezza) scalata di un fattore pari ad a (questo è verificabile con una semplice sostituzione). 2. Si considerino due vettori u e v e un piano su cui giacciono entrambi. Sia θ l angolo descritto sul piano da uno dei due vettori per arrivare a sovrapporsi all altro. Allora, sussiste la relazione: < u, v >= u v cos θ. (1) 2

3 Figure 1: Moltiplicazione per uno scalare, somma e prodotto vettoriale. 3. La norma corrisponde alla lunghezza geometrica del vettore nello spazio (questa proprietà deriva direttamente dal teorema di Pitagora). 4. La somma di due vettori corrisponde al vettore risultatnte dall applicazione del primo vettore sul punto terminale del secondo (e viceversa). 5. Si considerino due vettori u e v e un piano su cui giacciono entrambi. Il vettore u v è perpendicolare al piano 1 con verso assegnato secondo la regola della mano destra (si veda Figura 3). Sia θ l angolo descritto sul piano da uno dei due vettori per arrivare a sovrapporsi all altro, allora la norma di u v è pari a u v = u v sin θ. (2) Si osservi che l equazione (1) implica che, dati due vettori non nulli u e v, il loro prodotto scalare è pari a u v se e solo se i vettori sono paralleli è pari a 0 se e solo se i vettori sono perpendicolari. Analogamente, l equazione (2) implica che, dati due vettori non nulli u e v, il modulo del loro prodotto vettoriale è pari a u v se e solo se i vettori sono perpendicolari è pari a 0 se e solo se i vettori sono paralleli. 1.2 Basi e coordinate In questo paragrafo si intende chiarire come i vettori appartenenti allo spazio R 3 possano essere utilizzati per la descrizione della configurazione spaziale di oggetti tridimensionali. A tale scopo si fa riferimento al concetto di punto P come elemento caratterizzante una specifica posizione nello spazio. A titolo di esempio, in Figura 2 sono rappresentati alcuni corpi ed alcuni punti materiali P 1, P 2. L individuazione dei punti nello spazio è evidentemente subordinata alla specificazione del punto di vista dell osservatore, ovvero alla definizione di un sistema di riferimento che può essere formalizzata come segue (un esempio è riportato in Figura 2): 1 Se u e v sono paralleli, allora u v è il vettore nullo. 3

4 Figure 2: Corpi nello spazio tridimensionale, punti e terna di riferimento. Definizione 1.1 Una base ortonormale (o, e x, e y, e z ) è un sistema (o una terna) di riferimento ortonormale in R 3 costituito da tre vettori e x, e y, e z, detti versori, applicati ad un punto o, l origine, mutuamente ortogonali, cioè tali che e di lunghezza unitaria, cioè: < e x, e y >= 0, < e x, e z >= 0, < e y, e z >= 0, e x = 1, e y = 1, e z = 1. Un sistema di riferimento ortonormale si dice destrorso se e x e y = e z. In queste dispense, a meno che non sia specificato diversamente, tutti i sistemi di riferimento si intenderanno implicitamente destrorsi. Osservazione 1.1 Per i sistemi di riferimento destrorsi, vale la regola mnemonica cosiddetta della mano destra, secondo cui, allineando le direzioni di e x, e y ed e z, rispettivamente, con il pollice, l indice e il medio, l orientamento della terna destrorsa coincide con quello della mano destra posizionata come in Figura 3. Dato un punto P ed il centro o di una base (o, e x, e y, e z ), il vettore u := op, che individua il punto P in funzione di tale base, è esprimibile in modo univoco come combinazione lineare dei versori vece x, e y ed e z della base, come segue: u = < u, e x > e x + < u, e y > e y + < u, e z > e z, = x e x + y e y + z e z, (3) ed è quindi individuato da tre numeri reali (x, y, z) := (< u, e x >, < u, e y >, < u, e z > ) che costituiscono le sue componenti rispetto alla base scelta. Qualsiasi punto P nello 4

5 Figure 3: La regola della mano destra per sistemi di riferimento destrorsi. spazio tridimensionale è rappresentato dal vettore op ed individuato dalle componenti q := [x y z] T di op rispetto alla base ortonormale (o, ex, e y, e z ) che chiameremo coordinate del punto P. I gradi di libertà di un punto P, corrispondenti al numero di coordinate indipendenti che ne individuano la configurazione, è dunque pari a 3. Dati due sistemi di riferimento (o 1, e x1, e y1, e z1 ) e (o 2, e x2, e y2, e z2 ), le coordinate di un punto P nei due riferimenti verranno indicate da q 1 = [x 1 y 1 z 1 ] T e q 2 = [x 2 y 2 z 2 ] T, rispettivamente. 2 Traslazioni e rotazioni Definizione 2.1 Un corpo rigido è un insieme di punti P k vincolati dalle relazioni nello spazio tridimensionale P i (t) P j (t) = r ij = cost, i, j, (4) che impongono che la distanza tra due punti qualsiasi appartenenti al corpo sia costante nel tempo. La configurazione di un corpo rigido nello spazio tridimensionale è univocamente determinata dalla posizione di almeno tre punti non allineati. 2 Considerando i vincoli di rigidità, dei nove parametri che caratterizzano la posizione dei tre punti, solo sei sono indipendenti tra di loro: l invarianza della mutua distanza (corrispondente all equazione (4)) impone infatti tre condizioni scalari che devono essere soddisfatte dai nove parametri. Si dice quindi che un corpo rigido libero di assumere qualsiasi configurazione nello spazio tridimensionale possiede sei gradi di libertà. Più convenientemente, la configurazione di un corpo rigido è individuata dalla posizione e dall orientamento di una terna di riferimento solidale con il corpo rispetto ad una terna di riferimento fissa. Si vedrà più avanti come possono essere rappresentati la posizione e l orientamento di una terna di riferimento mobile rispetto ad una fissa. 2 Si dimostra facilmente che specificando la posizione di più di 3 punti (non allineati), i vincoli (4) impongono delle relazioni di congruenza che riducono comunque i gradi di libertà a 9. 5

6 Uno spostamento rigido (ovvero, di un corpo rigido) su dice traslatorio, o traslazione, se lascia invariati gli orientamenti degli assi della terna di riferimento solidale con il corpo rigido. Uno spostamento rigido si dice sferico se lascia invariata la posizione di un punto, chiamato centro. Uno spostamento rigido si dice rotatorio, o rotazione, se lascia invariata la posizione di tuttii punti appartenenti ad una retta, chiamata asse di rotazione. 2.1 Traslazione Si considerino dapprima due sistemi di riferimento (o 1, e x1, e y1, e z1 ) e (o 2, e x2, e y2, e z2 ) tali che i vettori ( e x1, e y1, e z1 ) siano rispettivamente paralleli a ( e x2, e y2, e z2 ) ed il punto o 2 abbia coordinate d = [d x d y d z ] T nel primo sistema di riferimento (vedi Figura 4). Un generico punto P ha coordinate q 1 = [x 1 y 1 z 1 ] T e q 2 = [x 2 y 2 z 2 ] T nei due sistemi di riferimento. Tra le due rappresentazioni sussiste la relazione esprimibile in forma vettoriale come: x 1 = x 2 + d x y 1 = y 2 + d y (5) z 1 = z 2 + d z o 1 P = o 2 P + d. Figure 4: Due sistemi di riferimento traslati l uno rispetto all altro. 2.2 Rotazione Consideriamo ora due sistemi di riferimento (o 1, e x1, e y1, e z1 ) e (o 2, e x2, e y2, e z2 ) aventi le origini coincidenti, come in Figura 5. Si vuole determinare la relazione tra le coordinate di un generico punto P nei due riferimenti, cioè la relazione tra q 1 = [x 1 y 1 z 1 ] T e q 2 = [x 2 y 2 z 2 ] T, rispettivamente. In base all equazione (3), nel riferimento (o 1, e x1, e y1, e z1 ), i vettori e x2, e y2 6

7 ed e z2 sono espressi dalle relazioni e x2 = < e x2, e x1 > e x1 + < e x2, e y1 > e y1 + < e x2, e z1 > e z1 e y2 = < e y2, e x1 > e x1 + < e y2, e y1 > e y1 + < e y2, e z1 > e z1 e z2 = < e z2, e x1 > e x1 + < e z2, e y1 > e y1 + < e z2, e z1 > e z1. Figure 5: Due sistemi di riferimento ruotati l uno rispetto all altro. Sostituendo tali espressioni nel vettore (o 2, e x2, e y2, e z2 ): si ottiene il vettore o 2 P espresso rispetto al sistema di coordinate o 2 P = x 2 e x2 + y 2 e y2 + z 2 e z2 o 1 P espresso nel sistema di coordinate (o 1, e x1, e y1, e z1 ): o 1 P = x 1 e x1 + y 1 e y1 + z 1 e z1 dove, raccogliendo i fattori che moltiplicano e x1, e y1 e e z1, si possono esprimere le coordinate (x 1, y 1, z 1 ) in funzione delle coordinate (x 2, y 2, z 2 ) come segue: x 1 < e x2, e x1 > < e y2, e x1 > < e z2, e x1 > x 2 q 1 = y 1 = < e x2, e y1 > < e y2, e y1 > < e z2, e y1 > y 2 (6) z 1 < e x2, e z1 > < e y2, e z1 > < e z2, e z1 > z 2 =: B q 2. In modo del tutto analogo, si ricava x 2 < e x1, e x2 > < e y1, e x2 > < e z1, e x2 > q 2 = y 2 = < e x1, e y2 > < e y1, e y2 > < e z1, e y2 > z 2 < e x1, e z2 > < e y1, e z2 > < e z1, e z2 > =: A q 1. x 1 y 1 z 1 (7) Le matrici A e B sono dette matrici di rotazione. Le matrici di rotazione godono di proprietà particolari, come evidenziato di seguito. 7

8 Definizione 2.2 Una matrice quadrata Q con elementi reali, si dice ortogonale se Q T Q = I, ovvero, se Q è invertibile e Q 1 = Q T. Teorema 2.1 Le matrici di rotazione sono ortogonali. Dimostrazione. Si considerino le equazioni (6), (7). Poiché il prodotto scalare è commutativo, cioè, dati due vettori u e v, < u, v >=< v, u>, ne segue che B = A T e B T = A. D altra parte, poiché q = ABq, necessariamente, AB = I, cioè A = B 1, e quindi B T = B 1. La matrice B è dunque ortogonale. Data la generalità della trasformazione (6), (7), il teorema è dimostrato Matrici di rotazione fondamentali Si consideri il caso in cui due sistemi di riferimento (o 1, e x1, e y1, e z1 ) e (o 2, e x2, e y2, e z2 ) hanno le origini e i versori e z1 ed e z2 coincidenti. Si supponga inoltre che il versore e x1 debba compiere una rotazione antioraria di un angolo θ per sovrapporsi al versore e x2. In questo caso, rappresentato in Figura 6.a, la matrice di rotazione R z,θ tale che, q 1 = R z,θ q 2, (8) detta matrice di rotazione fondamentale intorno all asse z, 3 si può calcolare esplicitamente in base all equazione (7) come cos θ sin θ 0 R z,θ := sin θ cos θ 0. (9a) Osservazione 2.1 Se l orientamento degli angoli di rotazione viene sempre tracciato in senso antiorario, allora una utile regola mnemonica per la scrittura corretta della relazione tra sistemi di riferimento ruotati l uno rispetto all altro è la seguente. Se le coordinate che si trovano a sinistra del segno di uguaglianza sono quelle rispetto al sistema di riferimento da cui l angolo di rotazione parte (cioè, dal lato opposto della freccia), allora la matrice di rotazione da scrivere è quella fondamentale. In caso contrario, la matrice di rotazione da scrivere è quella fondamentale trasposta (il motivo di questo, che sarà più chiaro di seguito, è legato al Teorema 2.1). Ad esempio, nell equazione (8), poiché q 1 è a sinistra dell uguale, e in Figura 6.a l angolo parte da un asse del primo riferimento, allora la matrice di rotazione scritta nella (8) è quella fondamentale. Nel caso opposto, si sarebbe scritta la trasposta; in altre parole, vale la relazione q 2 = Rz,θ T q 1. 3 In altre parole, R x,θ è la matrice che trasforma le coordinate rispetto al riferimento (o 2, e x2, e y2, e z2 ) in coordinate rispetto al secondo riferimento (o 1, e x1, e y1, e z1 ). 8

9 Figure 6: Le tre rotazioni fondamentali. Analogamente, la matrice di rotazione fondamentale intorno all asse x, corrispondente al caso rappresentato in Figura 6.b, è data dalla relazione R x,θ := 0 cos θ sin θ, (9b) 0 sin θ cos θ e la matrice di rotazione fondamentale intorno all asse y, corrispondente al caso rappresentato in Figura 6.c, è data dalla relazione cos θ 0 sin θ R y,θ := (9c) sin θ 0 cos θ Esercizio 2.1 Si calcolino le coordinate dei punti q 1 = [4 3 2] T, q 1 = [6 2 4] T, in un sistema di riferimento ruotato di 60 gradi intorno all asse z rispetto al precedente. R. q 2 = [ ] T, q 2 = [ ] T, Composizione di matrici di rotazione Le matrici di rotazione fondamentali possono essere composte tra loro per costruire nuove matrici di rotazione che consentano la rappresentazione di relazioni più complesse tra sistemi di coordinate con le origini coincidenti. In particolare, si considerino tre sistemi 4 di 4 Per semplicità di notazione, da questo punto in poi, il sistema di riferimento (o i, e xi, e yi, e zi ) verrà spesso denotato con (oxyz) i. Inoltre, l asse passante per e xi verrà spesso denotato come asse x i, o, se questo non genera confusione, più semplicemente, asse x. Analogamente sarà fatto per gli assi y i e z i. 9

10 riferimento (oxyz) 0, (oxyz) 1 e (oxyz) 2 con le origini coincidenti, e le matrici di rotazione 0 R 1 e 1 R 2 tali che q 0 = 0 R 1 q 1, q 1 = 1 R 2 q 2. È evidente che la relazione tra il sistema di riferimento (oxyz) 0 e il sistema di riferimento (oxyz) 2 è rappresentata dalla matrice di rotazione 0 R 2 definita come segue: q 0 = 0 R 1 q 1, = 0 R 1 1 R 2 q 2 =: 0 R 2 q 2. In particolare, se un sistema di coordinate (oxyz) 2 è ottenuto da una rotazione del sistema di coordinate (oxyz) 0 intorno all asse x di un angolo θ seguita da una rotazione intorno all asse y di un angolo φ in base alle equazioni relative alle rotazioni fondamentali e alla regola mnemonica descritta nell Osservazione 2.1, le coordinate q 0 e q 2, sono in relazione secondo la seguente matrice di rotazione: q 0 = 0 R 2 q 2 = R x,θ R y,φ q = 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ = cos φ 0 sin φ sin φ 0 cos φ cos φ 0 sin φ sin φ sin θ cos θ cos φ sin θ sin φ cos θ sin θ cos φ cos θ q 2. q 2 (10) Si noti peraltro che, in base al Teorema 2.1, la trasformazione inversa da q 0 a q 2 è data dalla matrice 0 R 2 := 2 R T 0. Questa proprietà tuttavia non è da confondere con la commutatività di due matrici di rotazione, che non sussiste, ad eccezione del caso banale in cui le due rotazioni avvengono intorno allo stesso asse. Per mostrare che Le rotazioni non godono della proprietà di commutatività, 5 si consideri la rotazione commutata rispetto a quella dell equazione (10), cioè la rotazione di un angolo φ intorno all asse y seguita da una rotazione di un angolo θ intorno all asse x. La matrice relativa è data da R := R y,φ R x,θ cos φ 0 sin φ = sin φ 0 cos φ = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ cos φ sin φ sin θ sin φ cos θ 0 cos θ sin θ sin φ cos φ sin θ cos φ cos θ che, evidentemente è molto diversa dalla matrice nell equazione (10). 5 Ovvero, rotazioni effettuate secondo un ordine diverso non sono associate allo stesso risultato finale., 10

11 Osservazione 2.2 Si osservi che mentre come già visto, una rotazione R 2 effettuata in seguito ad una rotazione R 1 provoca una rotazione globale pari alla postmoltiplicazione di R 2 per R 1 : R T OT := R 1 R 2, se una rotazione R 0 viene effettuata prima di una rotazione R 1, la rotazione complessiva è data dalla premoltiplicazione di R 0 per R 1 : R T OT := R 0 R Rotazione intorno ad un asse qualsiasi Sulla base di quanto detto nel precedente paragrafo, sembra naturale sostenere che qualsiasi rotazione di un corpo rigido sia esprimibile tramite una matrice di rotazione. Per dimostrare questa proprietà, in questa sezione si descriverà una tecnica costruttiva per caratterizzare la rotazione di una terna di riferimento intorno ad una asse di rotazione arbitrario. Figure 7: Rotazione intorno ad un asse arbitrario. Con riferimento alla Figura 7, si consideri il caso in cui rispetto alla terna di riferimento (0xyz), l asse di rotazione abbia coordinate (r x, r y, r z ), con (rx 2 + ry 2 + rz) = 1. In altre parole, si supponga che il vettore r mostrato in Figura 7 sia di fatto un versore. In questo caso, la rotazione di un angolo θ intorno all asse individuato da r può essere descritta dalla composizione di rotazioni elementari come segue: 11

12 1. rotazione di un angolo α intorno all asse z per portare l asse r sul piano verticale individuato dagli assi gli assi x e z; 2. rotazione di un angolo β intorno all asse y per sovrapporre l asse r all asse z; 3. rotazione di un angolo θ intorno all asse z r; 4. rotazione di un angolo β intorno all asse y; 5. rotazione di un angolo α intorno all asse z. Si noti che le ultime due rotazioni vengono eseguite per riportare l asse r nella posizione originaria. In particolare, poiché la rotazione da rappresentare avviene intorno all asse r, tutti i punti dello spazio su questo asse non devono subire nessuno spostamento. La procedura sopra elencata può essere descritta in termini di matrici di rotazione fondamentali tramite la formula seguente (si noti che, in relazione all Osservazione 2.2, tutte le rotazioni sopraelencate sono riferite alla terna fissa dunque corrispondono a matrici di rotazione che vengono via via premoltiplicate): R r,θ = R z,α R y,β R z,θ R y, β R z, α, (11) nella quale è utile eliminare la dipendenza da α e β, esprimendola in funzione delle componenti di r rispetto al sistema di riferimento (0xyz). In particolare, poiché r ha norma unitaria, le seguenti relazioni derivano da semplici argomentazioni geometriche: r x = rx 2 + ry 2 cos α r y = rx 2 + ry 2 sin α r 2 x + ry 2 = sin β r z = cos β. (12) Dalle relazioni 12, si ricava sostituendo seni e coseni di α e β in (11) e moltiplicando: 6 rx(1 2 C θ ) + C θ r x r y (1 C θ ) r z S θ r x r z (1 C θ ) + r y S θ R r,θ = r x r y (1 C θ ) + r z S θ ry(1 2 C θ ) + C θ r y r z (1 C θ ) r x S θ, (13) r x r z (1 C θ ) r y S θ r y r z (1 C θ ) + r x S θ rz(1 2 C θ ) + C θ che rappresenta la rotazione di un angolo θ della terna originaria (0xyz) intorno all asse arbitrario r. In particolare, si denoti con (0xyz) 1, la terna (0xyz) in seguito alla rotazione, allora vale q = R r,θ q 1. Osservazione 2.3 Si osservi che l equazione (12) può anche essere ricavata a partire dalla matrice centrale R z,θ. In particolare, assumendo in prima istanza che r z, la rotazione si esprime come R z,θ. Successivamente, le rotazioni necessarie per riportare l asse r nella posizione corretta corrispondono a due matrici R z,α R y,β che premoltiplicano la matrice di rotazione. Infine, poiché di fatto l assunzione r z non è vera in generale, le rotazioni da effettuare per portare r a coincidere con z corrispondono a due matrici R y, β R z, α che postmoltiplicano la matrice di rotazione, dando così luogo alla (12). 6 Nella (13), la notazione C θ sta per cos θ e la notazione S θ sta per sin θ. 12

13 Esercizio 2.2 Si verifichi che anche per la matrice (13), come per tutte le matrici di rotazione, vale la relazione Rr,θ T R r,θ = I, dimostrata nel Teorema 2.1. Esercizio 2.3 Utilizzando la formula (11), si scrivano le tre matrici relative alle rotazioni di un sistema di riferimento di 60 gradi intorno ai seguenti assi, rispettivamente: 1. l asse x; 2. l asse y; 3. la bisettrice del primo quadrante. 13

14 3 Coordinate e trasformazioni omogenee 3.1 Rototraslazioni e rappresentazioni minime Come già anticipato nel paragrafo 1.2, il numero di gradi di libertà di un corpo rigido nello spazio è pari a sei. Questa proprietà verrà reinterpretata in questo paragrafo, alla luce della descrizione delle rotazioni e delle traslazioni data nei paragrafi precedenti. Si consideri un sistema di riferimento fisso (ovvero, con posizione ed orientamento costanti nel tempo) e un sistema di riferimento solidale con il corpo rigido e con il centro localizzato su un punto di interesse del corpo rigido (quale, il punto terminale, una cuspide, etc.). Si osservi che, in base all equazione (5) e all equazione (7), qualsiasi rototraslazione del corpo rigido nello spazio può essere descritta dalla relazione seguente (corrispondente ad una rotazione seguita da una traslazione): q 0 = R q + d, (14) dove il vettore d R 3 rappresenta la posizione del centro del sistema di riferimento solidale con il corpo, mentre la matrice R ne rappresenta l orientamento, entrambi valutati rispetto al sistema di riferimento fisso. Il fatto che l equazione (14) sia in grado di rappresentare qualsiasi posizione del corpo rigido nello spazio è stabilito nei seguenti teoremi. Teorema 3.1 (Teorema di Eulero) Un generico spostamento rigido che lascia invariato un punto fisso c (spostamento sferico) è uno spostamento rotatorio con asse di rotazione passante per c. Teorema 3.2 (Teorema di Chasles) Un generico spostamento rigido può essere decomposto in una rotazione attorno ad un asse fisso ed in una traslazione lungo lo stesso asse. In base al teorema di Chasles, per qualsiasi spostamento rigido, esiste un sistema di coordinate tale che lo spostamento è caratterizzato da una lunghezza l ed un angolo θ ed è esprimibile in tale sistema di coordinate tramite la forma canonica di Chasles: q 0 = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ q + Nonostante l equazione (14) possa rappresentare qualsiasi rototraslazione, essa non ne costituisce una rappresentazione minima. In particolare, mentre il vettore d rappresenta univocamente la posizione del centro del sistema di riferimento solidale con il corpo rigido, la matrice R ne rappresenta l orientamento con un certo grado di ridondanza. Infatti, dei nove parametri che caratterizzano la matrice R, sei sono vincolati dalla relazione R R T = I, dimostrata nel Teorema 2.1, che corrisponde a 6 relazioni scalari (tre corrispondenti agli elementi sulla diagonale dell identità e tre corrispondenti agli elementi fuori dalla diagonale). Allo scopo di ottenere una rappresentazione minima dell orientamento, è necessario stabilire una relazione biunivoca tra i nove coefficienti della matrice R e tre parametri indipendenti, generalmente costituiti da tre angoli, opportunamente selezionati in una varietà di scelte, tutte equivalenti. Di seguito descriveremo due possibili scelte di rappresentazioni minime dell orientamento l.

15 3.1.1 Angoli di Eulero La strategia più diretta per la selezione dei parametri minimi descriventi l orientamento consiste nel caratterizzare la matrice di rotazione in base alla composizione di tre rotazioni successive intorno a tre assi coordinati. I tre angoli associati alle rotazioni vengono denominati angoli di Eulero. L arbitrarietà degli angoli di Eulero consiste nel fatto che ciascuna delle tre rotazioni può essere effettuata intorno a un qualsiasi asse coordinato. Tuttavia, condizione necessaria (e sufficiente) perché i tre angoli derivanti da questa caratterizzazione siano indipendenti è che ogni coppia di rotazioni successive avvenga intorno ad assi coordinati diversi. Vi sono dunque 27 possibili combinazioni di rotazioni, corrispondenti a rotazioni successive intorno ad assi coordinati diversi. Per ogni combinazione, la relativa terna di Eulero viene denominata terna XYZ, o terna YXY, e via di seguito. Si ribadisce che una terna del tipo XXY non costituirebbe una rappresentazione minima dell orientamento perché le prime due rotazioni (entrambe intorno all asse coordinato x) non sono indipendenti. Nel seguito si fa riferimento alla convenzione associata agli angoli ZYZ caratterizzati dalle seguenti operazioni: 1. Rotazione di un angolo ϕ intorno all asse z; 2. Rotazione di un angolo ϑ intorno all asse y (corrente); 3. Rotazione di un angolo ψ intorno all asse z (corrente); Per convenzione, tali rotazioni vengono via via riferite agli assi trasformati secondo l ultima rotazione effettuata. In base a quanto illustrato nell Osservazione 2.2, esse corrispondono dunque a matrici di rotazione che vanno via via a postmoltiplicare le rotazioni precedenti. Considerando dapprima il problema della determinazione della matrice di rotazione R ZY Z (ϕ, ϑ, ψ) a partire dai valori dei tre angoli ZYZ ϕ, ϑ e ψ, si può scrivere la seguente relazione: R ZY Z (ϕ, ϑ, ψ) = R z,ϕ R y,ϑ R z,ψ C ϕ C ϑ C ψ S ϕ S ψ C ϕ C ϑ S ψ S ϕ C ψ C ϕ S ϑ = S ϕ C ϑ C ψ C ϕ S ψ S ϕ C ϑ S ψ C ϕ C ψ S ϕ S ϑ S ϑ C ψ S ϑ S ψ C θ. (15) Data una terna ϕ, ϑ, ψ di angoli ZYZ, l equazione (15) permette di ricavare la matrice di trasformazione corrispondente. Il procedimento inverso (ovvero il calcolo degli angoli ϕ, ϑ, ψ corrispondenti ad un determinato orientamento, in base all espressione della relativa matrice di rotazione R) è anche di interesse, ma corrisponde ad un problema algebrico più articolato. Per la soluzione di quest ultimo problema è utile introdurre la funzione (x, y) atan2(x, y) x che associa ad ogni coppia di ingressi x, y un angolo α tale che sin(α) = x e cos(α) = 2 +y 2 y. Questa funzione viene anche denominata arcotangente a 4 quadranti in quanto, x 2 +y2 al contrario della classica funzione arcotangente atan( ), non è soggetta all indeterminazione tra il primo e il terzo (similarmente, il secondo e il quarto) quadrante. Inoltre, i punti di singolarità in π/2+kπ caratterizzanti la funzione classica atan( ) non sono presenti in questo caso, grazie al fatto che atan2(, ) è funzione di due argomenti. Le peculiarità essenziali della funzione (x, y) atan2(x, y) sono le seguenti: 15

16 per qualsiasi costante a > 0 e qualsiasi angolo α [0, 2π), la funzione è indeterminata 7 in (0, 0). atan2(a sin(α), a cos(α)) = α, (16) Sulla base della funzione atan2(, ) si può ora procedere alla determinazione della trasformazione inversa della (15). In particolare, supponiamo che sia nota la matrice R = {r ij } relativa ad un determinato orientamento e che si voglia determinare la terna di angoli (o, più correttamente, una 8 terna di angoli) ϕ, ϑ e ψ tali che R = R ZY Z (ϕ, ϑ, ψ). Per procedere alla determinazione di ϕ, ϑ e ψ si considerano dapprima tutte le relazioni di uguaglianza corrispondenti a R = R ZY Z (ϕ, ϑ, ψ): r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 = C ϕ C ϑ C ψ S ϕ S ψ C ϕ C ϑ S ψ S ϕ C ψ C ϕ S ϑ S ϕ C ϑ C ψ C ϕ S ψ S ϕ C ϑ S ψ C ϕ C ψ S ϕ S ϑ S ϑ C ψ S ϑ S ψ C ϑ e successivamente, sfruttando le uguaglianze membro a membro, si procede alla determinazione dei vari angoli facendo uso della funzione atan2( ) sopra definita. Una possibile strategia è la seguente (anche se non è l unica): ϑ = atan2( r r 2 32, r 33 ). Se S ϑ 0, allora 9 ψ = atan2(r 32, r 31 ). ϕ = atan2(r 23, r 13 ), Se S ϑ = 0, allora le rotazioni ϕ e ψ avvengono intorno allo stesso asse (eventualmente con verso opposto), quindi si può scegliere arbitrariamente ψ = 0 cosicché sin(ψ) = 0 e cos(ψ) = 1, per poi determinare ψ = 0 (per definizione). ϕ = atan2(r 21, r 11 ) Angoli di RPY Una convenzione per la rappresentazione minima dell orientamento particolarmente adottata in campo aeronautico è la convenzione RPY, dove R sta per rollio (roll), P sta per beccheggio (pitch) e Y sta per imbardata (yaw). Questa convenzione è bene interpretabile facendo riferimento all assetto di un aereoplano sul quale sia stato fissato un sistema di riferimento il cui asse z è disposto lungo la carlinga, il cui asse y è disposto nella direzione dell apertura alare e il cui asse x è disposto di conseguenza (vedi Figura 8). 7 Si noti che se la funzione atan2(, ) è usata in modo appropriato, i suoi argomenti non sono mai entrambi nulli, in quanto essi devono corrispondere al seno e al coseno di un angolo (eventualmente non normalizzati). La circostanza in cui entrambi i suoi argomenti sono nulli corrisponde generalmente ad un errore di utilizzo della funzione. 8 È immediato constatare che questa terna di angoli è, in generale, non unica, perché ad esempio, R ZY Z (ϕ, 0, ψ) = R ZY Z (ϕ + α, 0, ψ α) per qualsiasi valore dell angolo α. 9 Si osservi che per definizione, sin ϑ = r r2 32 > 0, per cui dalla (16), con a = sin ϑ > 0, le espressioni proposte per ψ e per ϕ sono corrette. 16

17 Figure 8: Gli angoli di RPY. Secondo la convenzione RPY, gli angoli di rollio ϕ, di beccheggio ϑ e di imbardata ψ vengono definiti eseguendo tre rotazioni successive, tutte intorno agli assi del sistema di riferimento originale, secondo la sequenza: 1. Rotazione di un angolo ψ intorno all asse x; 2. Rotazione di un angolo ϑ intorno all asse y (originale); 3. Rotazione di un angolo ϕ intorno all asse z (originale). In base a quanto illustrato nell Osservazione 2.2, le tre rotazioni sopra elencate corrispondono a matrici di rotazione che vanno via via a premoltiplicare le rotazioni precedenti, infatti eseguendo le rotazioni successive rispetto al sistema di riferimento originale, l effetto è quello che si otterrebbe se la rotazione in oggetto fosse anteposta a quelle già effettuate (questa proprietà sarà più chiara in seguito nell Esempio 3.2 e nell Osservazione 3.1). Premoltiplicando, dunque, le matrici di rotazione relative alle trasformazioni sopra elencate, si può procedere alla determinazione della matrice di rotazione R RP Y (ϕ, ϑ, ψ) analoga a quella riportata in equazione (15) per il caso degli angoli ZYZ: R RP Y (ϕ, ϑ, ψ) = R z,ϕ R y,ϑ R x,ψ C ϕ C ϑ C ϕ S ϑ S ψ S ϕ C ψ C ϕ C ϑ C ψ + S ϕ S ψ = S ϕ C ϑ S ϕ S ϑ S ψ C ϕ C ψ S ϕ S ϑ C ψ C ϕ S ψ S ϑ C ϑ S ψ C ϑ C ψ. (17) Si osservi che gli angoli di RPY corrispondono ad una delle 27 possibili scelte per gli angoli di Eulero indicate nel paragrafo precedente. In particolare, essi corrispondono agli angoli di Eulero ZYX. La determinazione della trasformazione inversa alla (17) può essere eseguita in maniera parallela a quanto fatto nel paragrafo precedente per il caso degli angoli ZYZ ed è oggetto del seguemte esercizio. 17

18 Esercizio 3.1 Data una matrice di rotazione generica R = {r ij }, determinare una terna di angoli di RPY ϕ, ϑ e ψ tali che R = R RP Y (ϕ, ϑ, ψ). 3.2 Coordinate omogenee Con riferimento alla Figura 9, dato un punto P nello spazio e dati due sistemi di riferimento (0xyz) 0 e (0xyz) 1, se le coordinate del punto o 1 rispetto al sistema di riferimento (0xyz) 0 sono rappresentate dal vettore d, e se q 0 e q 1 denotano le coordinate del punto P nei due sistemi di riferimento, allora la seguente relazione può essere verificata con semplici considerazioni geometriche di composizione di vettori: q 0 = 0 R 1 q 1 + d, (18) dove 0 R 1 è la matrice di rotazione del sistema di riferimento (0xyz) 1 rispetto al sistema di riferimento (0xyz) 0. Si noti che l equazione (18) coincide con l equazione (14). Tuttavia, sulla base del Teorema di Eulero 3.1, sappiamo ora che qualunque spostamento rigido può essere caratterizzato dalla (18). Figure 9: Rappresentazione di un punto in diversi sistemi di coordinate. Per rappresentare in maniera più compatta il generico spostamento rigido (18), invece delle coordinate Cartesiane [x y z] T si utilizzano le coordinate omogenee: [wx wy wz w] T, costituite non più da tre ma da quattro componenti, di cui la quarta costituisce il fattore di scala per cui le componenti x, y e z sono moltiplicate e può essere utilizzata per risalire alle coordinate Cartesiane. Sulla base delle coordinate omogenee si definiscono le trasformazioni omogenee, rappresentate da matrici appartenenti allo spazio R 4 4 che consentono la rappresentazione compatta non solo di rotazioni (come avveniva per le matrici nello spazio R 3 3 ) ma anche di traslazioni. La forma più generale per una trasformazione omogenea è data dalla seguente formula: w 1 q 1 w 1 = R f 18 d s w 0 q 0 w 0, (19)

19 dove R R 3 3 è la matrice di rotazione, d R 3 è il vettore di posizione, f R 1 3 è il vettore di trasformazione prospettica e s R è il fattore di scala. Nelle applicazioni robotiche (e, nel nostro caso, da questo punto in poi), si considera sempre f = [0 0 0] e s = 1, quindi le coordinate omogenee associate ad un punto di coordinate Cartesiane [x y z] T saranno sempre definite come [x y z 1] T (il fattore di scala e il vettore di trasformazione prospettica sono usati, ad esempio, in applicazioni di computer grafica). Sulla base della struttura delle trasformazioni omogenee descritta dall equazione (19), si possono scrivere le seguenti matrici di rotazioni omogenee fondamentali (corrispondenti rispettivamente alle equazioni (9)): T z,θ := T x,θ := T y,θ := cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 cos θ 0 sin θ sin θ 0 cos θ 0, (20a) (20b) (20c) e la matrice di traslazione omogenea fondamentale T tr,d := d x d y d z, (20d) dove d = [d x d y d z ] T costituisce un generico spostamento traslatorio. Il vantaggio delle coordinate e trasformazioni omogenee sta nel fatto che l equazione (18), caratterizzante un generico spostamento rigido, può essere descritta in forma matriciale come segue, tramite la trasformazione omogenea 0 T 1 : p 0 = [ q0 1 ] = 0 T 1 p 1 [ 0 ] [ R = 1 d q1 [0 0 0] 1 1 [ 0 ] R = 1 q 1 + d 1 e, analogamente a quanto accadeva per le rotazioni (descritte da matrici in R 3 3 ), gli spostamenti rigidi si possono comporre, consentendo la rappresentazione compatta di catene di sistemi di riferimento in relazione l uno con l altro. In particolare, se p 0 = 0 T 1 p 1 e p 1 = 1 T 2 p 2, 19 ],

20 Figure 10: Composizione di spostamenti rigidi per determinare la trasformazione di coordinate complessiva. allora si può sostituire e ottenere p 0 = 0 T 1 p 1, = 0 T 1 1 T 2 p 2 =: 0 T 2 p 2. Quindi, con riferimento alla Figura 10, la matrice 0 T 4 è data dal seguente prodotto delle trasformazioni da ogni sistema di riferimento al successivo: 0 T 4 = 0 T 1 1 T 2 2 T 3 3 T 4. Esercizio 3.2 Si dimostri tramite l uso delle trasformazioni omogenee che una rotazione lungo un asse ed una traslazione nella direzione dello stesso asse sono trasformazioni che commutano. Esempio 3.1 Trovare una matrice di trasformazione omogenea che rappresenti una traslazione di lunghezza d lungo l asse z seguita da una rotazione di un angolo θ intorno a z, seguita da una rotazione di un angolo α intorno all asse x, e infine, da una traslazione di lunghezza a lungo x. Soluzione. La soluzione è data dalla composizione delle quattro matrici di trasformazione fondamentali, secondo la regola mnemonica data in Osservazione 2.2: T = T tr,[0 0 d] T T z,θ T x,α T tr,[a 0 0] T cos θ sin θ 0 0 = sin θ cos θ d

21 = a cos α sin α 0 0 sin α cos α 0 cos θ cos α sin θ sin α sin θ a cos θ sin θ cos α cos θ sin α cos θ a sin θ 0 sin α cos α d Esercizio 3.3 Si dimostri che le trasformazioni omogenee non godono della proprietà di ortogonalità come le rotazioni. Inoltre, si verifichi che, data la trasformazione omogenea, [ 0 ] 0 R T 1 = 1 d, [0 0 0] 1 la trasformazione inversa 10 corrisponde a: [ 0 1 R1 T 0 = T 0 R1 T d [0 0 0] 1 ]. Se da un lato la composizione di più trasformazioni omogenee risulta come una banale operazione algebrica, non è altrettanto banale la costruzione della matrice di trasformazione relativa a due basi orientate e centrate in modi diversi. Sulla base del seguente esempio, si può estrapolare una regola mnemonica per la costruzione della matrice di trasformazione corretta. Esempio 3.2 In questo esempio, le coordinate omogenee saranno utilizzate per rappresentare la posizione e l orientamento del punto termale di un robot planare in base al sistema di coordinate solidale con la base del robot. Con riferimento alla Figura 11, si assuma che i due bracci (spesso indicati come link o segmenti ) del robot siano lunghi rispettivamente a 1 e a 2 e che gli angoli dei due giunti, definiti come in figura, siano rispettivamente θ 1 e θ 2. Si possono allora definire tre sistemi di riferimento: il sistema fisso (0xyz) 0, solidale con la base; il sistema (0xyz) 1, solidale con il giunto finale del primo link e il sistema (0xyz) 2, collocato sul punto terminale del robot (effettore). A partire da questi tre sistemi di riferimento, per calcolare la trasformazione di coordinate omogenea 0 T 2 dal sistema di riferimento di base (0xyz) 0 a quello di effettore (0xyz) 2, si possono calcolare le trasformazioni 0 T 1 e 1 T 2 e comporle tramite la semplice moltiplicazione delle matrici. Per quanto riguarda il calcolo delle due trasformazioni parziali, 10 In base al fatto che tutte le matrici di trasformazione omogenee sono non singolari, si può dimostrare che tale trasformazione è unica. 21

22 Figure 11: Un robot planare a due link con i sistemi di riferimento. si osservi che in base alla scelta degli angoli e in base alla struttura del robot, le due matrici di trasformazione saranno identiche ma con variabili aventi indici diversi. È dunque sufficiente la determinazione di 0 T 1 per arrivare alla trasformazione complessiva. Determinazione di 0 T 1. I sistemi di riferimento (0xyz) 0 e (0xyz) 1 differiscono per una traslazione di a 1 lungo x 1 e per una rotazione di θ 1 intorno all asse z 0 (o, analogamente, intorno all asse z 1 ). Si osservi tuttavia, che la matrice relativa alla traslazione va postmoltiplicata alla rotazione per avere la trasformazione corretta, infatti l origine del sistema (0xyz) 1 ha coordinate q 0 = [a 1 cos θ 1 a 1 sin θ 1 0] T, vettore che effettivamente coincide con il termine d della trasformazione complessiva ottenuta postmoltiplicando la matrice di traslazione a quella di rotazione. In particolare, si ottiene: 0 T 1 := T z θ1 T tr,[a1 0 0] T = = cos θ 1 sin θ sin θ 1 cos θ cos θ 1 sin θ 1 0 a 1 cos θ 1 sin θ 1 cos θ 1 0 a 1 sin θ a Sulla base dell equazione (21), si può ricavare la matrice di trasformazione globale che risulta essere: 0 T 2 := 0 T 1 1 T 2 = T z θ1 T tr,[a1 0 0] T T z θ 2 T tr,[a2 0 0] T cos θ 1 sin θ 1 0 a 1 cos θ 1 = sin θ 1 cos θ 1 0 a 1 sin θ = cos θ 2 sin θ 2 0 a 2 cos θ 2 sin θ 2 cos θ 2 0 a 2 sin θ cos(θ 1 + θ 2 ) sin(θ 1 + θ 2 ) 0 a 2 cos(θ 1 + θ 2 ) + a 1 cos θ 1 sin(θ 1 + θ 2 ) cos(θ 1 + θ 2 ) 0 a 2 sin(θ 1 + θ 2 ) + a 1 sin θ , (21)

23 dove l ultima relazione è stata ottenuta usando le ben note formule di Prostaferesi per le funzioni trigonometriche di somme e differenze di angoli. Osservazione 3.1 In base all esperienza fatta tramite l Esempio 3.2, si può dare la seguente regola mnemonica. Per esprimere le coordinate rispetto ad una base (0xyz) 0 in funzione di una seconda base (0xyz) 1 in posizione arbitraria rispetto alla precedente, bisogna scomporre il movimento dalla base (0xyz) 0 alla (0xyz) 1 in rotazioni o traslazioni elementari e poi eseguire la seguente procedura: 1. Sovrapporre (0xyz) 1 a (0xyz) 0 e inizializzare T = I (i due sistemi di riferimento sono coincidenti). 2. Esprimere ordinatamente le rotazioni e traslazioni necessarie per portare (0xyz) 1 nella posizione originaria aggiornando T ad ogni movimento elementare come segue: se (0xyz) 1 ruota (trasla) intorno ad (lungo) un asse fondamentale di (0xyz) 1, allora si postmoltiplica T per la matrice di trasformazione omogenea elementare corrispondente al movimento; se (0xyz) 1 ruota (trasla) intorno ad (lungo) un asse fondamentale di (0xyz) 0, allora si premoltiplica T per la matrice di trasformazione omogenea elementare corrispondente al movimento. Figure 12: Sistema considerato nell Esercizio 3.4. Esercizio 3.4 Sulla base dell Esempio 3.2, e della regola mnemonica data nell Osservazione 3.1, calcolare la matrice di trasformazione tra i sistemi di riferimento di base ed effettore, corrispondente al braccio meccanico rappresentato in Figura