Esercizi di teoria dei giochi. Luca Correani

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1 Esercizi di teoria dei giochi Luca Correani Settembre 2006

2 Indice 1 Giochi Statici con informazione completa Analisi formale dei giochi e calcolo dell equilibrio di Nash Giochi Bayesiani 2.1 Analisi formale dei giochi e calcolo dell equilibrio di Nash Bayesiano 3 Giochi Dinamici con informazione completa Induzione all indietro ed equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi 9 4 Giochi Ripetuti Collusione, reputazione e Folk Theorem Giochi Dinamici con informazione incompleta 16.1 Giochi di segnalazione ed equilibrio di Nash perfetto Bayesiano Giochi evolutivi La dinamica dei replicatori Giochi simmetrici Giochi asimmetrici

3 Capitolo 1 Giochi Statici con informazione completa 1.1 Analisi formale dei giochi e calcolo dell equilibrio di Nash Esercizio 1.1 Due lavoratori di pari abilità devono decidere simultaneamente se offrire i propri servizi ad un salario alto w h o basso w l. Se entrambi richiedono un salario alto sarà assunto solo uno di essi in modo casuale - in tal caso la probabilità di assunzione è pari a 0,. Se si offrono a salari differenti verrà assunto quello che ha chiesto il salario più basso. Se il salario richiesto dai due lavoratori è quello basso allora verranno assunti entrambi. 1. Definire in modo formale gli elementi del gioco e costruire la matrice dei payoff; 2. Verificare se ci sono strategie strettamente o debolmente dominate; 3. Determinare l equilibrio di Nash; 4. Ripetere l esercizio ipotizzando che nel caso in cui si offrissero entrambi ad un salario basso, solo uno di essi venga assunto. Esercizio 1.2 In un gioco statico le funzioni di utilità di due giocatori sono u 1 = 12s 0, 1 s 2 e u 2 = 2s 0, 2 3s 1. Con s i > 0 è indicata la generica strategia pura del giocatore i. 1. Definire in modo formale gli elementi del gioco; 2. Determinare l equilibrio di Nash. 3. Ripetere l esercizio ipotizzando le seguenti funzioni di utilità u 1 = 12s 0, s 2 s 1 e u 2 = 2s 0, 2 3s 1 s Chiarire le differenze tra i risultati ottenuti nei punti 2 e

4 CAPITOLO 1. GIOCHI STATICI CON INFORMAZIONE COMPLETA 3 Esercizio 1.3 (da Tirole [1] pag. 37 ) Si consideri il gioco riportato nella figura 1.1 e si stabilisca per quali valori dei parametri il profilo (U,L) è un equilibrio di Nash. G / G 1 2 L R U a;b c;d D e;f g;h Figura 1.1 Esercizio 1.4 Si consideri il gioco riportato nella figura 1.2; 1. Definire in modo formale gli elementi del gioco; 2. Determinare l equilibrio di Nash; 3. Verificare se ci sono strategie strettamente o debolmente dominate. G \ G 1 2 A B a 0;2-1;1 b 2;0 0;2 c 1;3 0;3 Figura 1.2 Esercizio 1. - Oligopolio à la Cournot Tre imprese devono decidere simultaneamente quanto produrre di uno stesso bene. Le loro funzioni di costo sono C 1 = 10+c 2 1q 1, C 2 = 8+c 2 2q 2 e C 3 = 2+c 2 1q 3. La funzione di domanda è p = a bq. 1. Definire in modo formale gli elementi del gioco; 2. Determinare l equilibrio di Nash, ipotizzando che c 1 = c 2 = c 3 ; 3. Ripetere il punto 2 ipotizzando c 1 > c 2 > c 3 ; 4. Chiarire le differenze tra i risultati ottenuti nei punti 2 e 3. Esercizio 1.6 Un monopolista deve decidere il livello di qualità dei propri prodotti; una volta fatta la sua scelta un gruppo di clienti, che non conosce il livello qualitativo scelto dal monopolista, decide se acquistare o no. Un prodotto di alta qualità fornisce al cliente una utilità di 10 mentre quello di bassa qualità solo di. Il prezzo del prodotto è pari a p <. I costi della produzione sono c h per l alta qualità e c l per la bassa qualità, con c h > c l. 1. Definire in modo formale gli elementi del gioco;

5 CAPITOLO 1. GIOCHI STATICI CON INFORMAZIONE COMPLETA 4 2. Costruire la matrice dei payoff; 3. Stabilire se esiste un equilibrio in cui il monopolista sceglie di produrre alta qualità. Esercizio Duopolio à la Bertrand Due imprese identiche devono decidere il prezzo di vendita del proprio prodotto. I prezzi praticabili sono solo cinque: p 1 =, p 2 = 4, p 3 = 3, p 4 = 2 e p 1 = 1 = c mg. L impresa che fissa il prezzo più basso si appropria dell intera domanda di mercato; se i prezzi scelti sono uguali, la domanda è divisa in parti uguali. La domanda è D(p i ). 1. Definire in modo formale gli elementi del gioco; 2. Costruire la matrice dei payoff; 3. Determinare l equilibrio di Nash. Esercizio 1.8 Due giocatori si confrontano nel gioco carta, pietra, forbice. Rappresentare il gioco in forma strategica e trovarne gli equilibri. Esercizio 1.9 Si consideri il gioco della figura 1.3. Il giocatore 2 (colonna) gioca la strategia mista 1/2, 1/2. Con riferimento al giocatore 1 (riga) stabilire se esiste una strategia mista che domina strattamente almeno una delle sue strategie pure. G / G 1 2 a b A 3;- 1;- B 1;- 3;- C 2;- 0;- Figura 1.3 Esercizio 1.10 Si consideri il gioco della figura 1.2 ipotizzando che le mosse non siano più simultanee ma sequenziali con informazione perfetta. 1. Determinare l equilibrio ipotizzando che il giocatore 1 muova per primo; 2. Determinare l equilibrio ipotizzando che il giocatore 2 muova per primo; 3. Confrontare le soluzioni dei punti 1 e 2 con quella ottenuta nella versione statica del gioco.

6 Capitolo 2 Giochi Bayesiani 2.1 Analisi formale dei giochi e calcolo dell equilibrio di Nash Bayesiano Esercizio 2.1 (da Gibbons [2] pag.148) Si consideri un duopolio à la Cournot con domanda di mercato P (Q) = a Q. La funzione di costo dell impresa 1 è C 1 = cq 1 mentre quella dell impresa 2 è C 2 = c L q 2 con probabilità 1/3 e C 2 = c H q 2 con probabilità 2/3. Limpresa 2 conosce la propria funzione di costo. 1. Definire in modo formale gli elementi del gioco; 2. Determinare l equilibrio di Nash Bayesiano. Esercizio 2.2 (da Hargreaves Heap [3] pag.8) Si consideri il gioco della figura 2.1. Il giocatore 1 può essere di due tipi con p(t 1 ) = 0, 6. Il giocatore 2 non conosce il tipo del giocatore Definire in modo formale gli elementi del gioco; 2. Calcolare l equilibrio di Nash Bayesiano. G / G 1 2 a b A 0 o 3;-1 2 o ;0 B 2;1 3;0 Figura 2.1 Esercizio 2.3 Si consideri il gioco della figura 2.2. Entrambi i giocatori possono essere di due tipi. Per il giocatore 1 si ha che p(t 1 ) = 0, 6, mentre per il giocatore 2 p(t 1 ) = 0, Definire in modo formale gli elementi del gioco; 2. Calcolare l equilibrio di Nash Bayesiano.

7 CAPITOLO 2. GIOCHI BAYESIANI 6 G / G 1 2 a b A 0 o 3;-1 2 ;0 B 2;1 3;2 o -1 Figura 2.2 Esercizio 2.4 (si veda anche Tirole [1] pag. 212) Due gruppi di contribuenti devono decidere se pagare le imposte o meno. È sufficiente che uno di essi paghi le imposte perchè il governo sia in grado di fornire un bene pubblico che darà utilità pari a 1 ad entrambi i gruppi. L importo delle imposte pagate dipende dal reddito del gruppo. Se il reddito è alto allora l imposta è t H, se è basso t L con 1 > t H > t L > 0. Ogni gruppo conosce il proprio livello di reddito, ma ignora quello dell altro gruppo. Vale la seguente probabilità: p th = 0,. 1. Definire in modo formale gli elementi del gioco; 2. Ricavare la matrice dei payoff; 3. Calcolare l equilibrio di Nash Bayesiano e chiarire se c è evasione fiscale. Esercizio 2. Si consideri un gioco con due giocatori. Il giocatore 1 può essere di due tipi. Se è di tipo t 1 il gioco è un dilemma del prigioniero; se invece è di tipo t 2 il gioco diventa del tipo Battaglia dei sessi. 1. Rappresentare il gioco in modo formale (matrici dei payoff); 2. Studiare gli equilibri del gioco. Esercizio 2.6 Si consideri una vendita all asta al miglior offerente, con offerta in busta sigillata e due offerenti. Ogni offerente valuta la merce in modo soggettivo. La valutazione può essere alta v H con probabilità 1/2 o bassa. I prezzi di offerta possono essere solo due: p 1 < p 2. Inoltre vale la seguente relazione: p 1 < v 1 < p 2 < v 2. Se le offerte sono uguali, l offerente che si aggiudica la merce viene determinato dal lancio di una moneta. 1. Definire in modo formale gli elementi del gioco; 2. Studiare gli equilibri del gioco. Esercizio 2.7 (Jehle - Reny [7] pag. 283) Due imprese competono à la Bertrand. Il costo marginale della prima impresa è zero. Il costo marginale della seconda impresa può essere 1 o 4 con probabilità 1/2. Se il prezzo più basso praticato è p allora la domanda è 8 p. Ogni impresa può scegliere solo un prezzo tra i tre a disposizione: p 1 = 1, p 2 = 4, p 3 = 6. I payoff sono descritti nella figura Determinare l equilibrio di Nash Bayesiano; 2. Rappresentare il gioco in forma strategica (basta rappresentarlo come se ci fossero tre giocatori).

8 CAPITOLO 2. GIOCHI BAYESIANI 7 G G 1 2 l p l p l = 4 p l = 1 p = 6 1 6, 0,12 0,0 p = ,0 8,6 0,0 p = 1 1 7,0 7,0 7,0 Figura 2.3 G G 1 2 h ph p h = 4 p h = 1 p = 6 1 6,-2 0,0 0,-21 p = ,0 8,0 0,-21 p = 1 1 7,0 7,0 7,0 Esercizio 2.8 (Dutta [8] pag. 31) Si consideri il gioco della figura Definire in modo formale gli elementi del gioco; 2. Stabilire per quale valore di p la strategia a è la strategia migliore del gioctore 2 a fronte di una strategia (a, b) del giocatore 1.

9 CAPITOLO 2. GIOCHI BAYESIANI 8 Natura p 1-p Tipo 1 Tipo 2 a b a b G 2 a b a b a b a b (0,1) (1,0) (3,0) (0,3) (3,1) (0,0) (0,0) (1,3) Figura 2.4

10 Capitolo 3 Giochi Dinamici con informazione completa 3.1 Induzione all indietro ed equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi Esercizio 3.1 Una impresa deve decidere se entrare in un mercato dove è già presente un monopolista. Qualora decidesse di entrare correrebbe il rischio di subire una vera e propria ritorsione da parte dell impresa monopolista che provocherebbe perdite ad entrambe le imprese. Se invece la reazione del monopolista è accomodante, le due imprese si dividerebbero i profitti del mercato in parti uguali. 1. Rappresentare il gioco in forma estesa; 2. Studiare gli equilibri del gioco; 3. Come cambierebbe la soluzione se le imprese facessero le proprie scelte simultaneamente? Esercizio 3.2 (si veda Rapoport[4] pag.80) Sviluppare un gioco del tipo dilemma del prigioniero con due giocatori ma con mosse sequenziali e se ne studino gli equilibri. Ripetere l esercizio ipotizzando tre giocatori. Esercizio 3.3 Sviluppare un gioco del tipo Battaglia dei sessi con due giocatori ma con mosse sequenziali e se ne studino gli equilibri. Confrontare la soluzione con quella ottenuta nella versione simultanea del gioco. Esercizio 3.4 Sviluppare un gioco del tipo Matching pennies con due giocatori ma con mosse sequenziali e se ne studino gli equilibri. Confrontare la soluzione con quella ottenuta nella versione simultanea del gioco. 9

11 CAPITOLO 3. GIOCHI DINAMICI CON INFORMAZIONE COMPLETA10 Esercizio 3. Si consideri il gioco della figura 3.1 e se ne studino gli equilibri. G 1 A B G 2 a b c d A B G 3 C Figura Esercizio 3.6 Si rappresenti il gioco della figura 3.1 attraverso una matrice dei payoff (N.B. - i giocatori sono 3) e se ne studino gli equilibri. Esercizio 3.7 Si consideri il gioco della figura 3.1 e si ipotizzi che i giocatori 1 e 3 siano la stessa persona. 1. Rappresentare il gioco attraverso una matrice dei payoff; 2. Definire in modo formale l insieme delle strategie di ogni gicatore; 3. Calcolare gli equilibri del gioco e confrontarli con quelli ottenuti con l induzione all indietro. Esercizio 3.8 Due imprese muovono in sequenza. Nel primo stadio l impresa 1 deve decidere di quanto capitale dotarsi (K 1 ); nel secondo stadio l impresa 2 osserva la scelta fatta dall impresa 1 esceglie a sua volta il proprio livello di capitale (K 2 ). I profitti della generica impresa i con i = 1, 2 sono dati da Π i = K i (1 K 1 K 2 ).

12 CAPITOLO 3. GIOCHI DINAMICI CON INFORMAZIONE COMPLETA11 1. Rappresentare il gioco in forma estesa; 2. Determinare le dotazioni di capitale scelte dalle due imprese e i rispettivi profitti; 3. Commentare i risultati ottenuti nel punto 1; 4. Ripetere il gioco ipotizzando che le imprese facciano le loro scelte simultaneamente e verificare se la soluzione cambia. Esercizio 3.9 (Tirole [1]) Si consideri il gioco della figura Trovare gli equilibri sequenziali; 2. Calcolare per quali valori di p il giocatore 2 preferirà l azione b; 3. Rappresentare il gioco in forma matriciale, determinare gli equilibri di Nash e verificare se coincidono con quelli trovati nel punto 1. G 1 A B p 1-p G 2 a b a b Figura Esercizio 3.10 Risolvere il seguente modello utilizzando l induzione all indietro: 1. Il primo giocatore (impresa 1) muove scegliendo il livello ottimo di produzione q 1 ; 2. Il secondo giocatore (impresa 2) osserva la quantità scelta dal primo e decide prezzo p e quantità q 2 ; 3. Il prezzo scelto dall impresa 2 è adottato anche dalla prima impresa; 4. Le utilità dei due giocatori sono: U 1 = U 1 (q 1, p, q 2 ), U 2 = U 2 (q 1, p, q 2 ).

13 CAPITOLO 3. GIOCHI DINAMICI CON INFORMAZIONE COMPLETA12 Esercizio 3.11 Un monopolista deve fronteggiare la possibile entrata nel mercato di una impresa concorrente. In caso di entrata il monopolista è chiamato a decidere se dare il via ad una guerra dei prezzi che produrrà perdite per entrambe le imprese, o assumere un atteggiamento accomodante, accettando di dividere i profitti di monopolio con la concorrente. 1. In base al criterio dell induzione all indietro, quale sarà la strategia adottata dal monopolista? 2. Rappresentare il gioco attraverso una matrice dei payoff e determinare gli equilibri di Nash; 3. Confrontare le soluzioni dei punti precedenti. Sono differenti? Perchè? Esercizio 3.12 (Gibbons [2] pag. 138) Tre oligopolisti operano in un mercato con domanda p = a Q. Ogni impresa ha un costo marginale di produzione costante, c e non ha costi fissi. Le imprese scelgono le loro quantità nel modo seguente: 1) l impresa 1 sceglie q 1 ; 2) le altre imprese osservano q 1 e poi scelgono simultaneamente q 2 e q 3 rispettivamente. Quale è l esito perfetto nei sottogiochi?

14 Capitolo 4 Giochi Ripetuti 4.1 Collusione, reputazione e Folk Theorem Esercizio 4.1 Si consideri un dilemma del prigioniero ripetuto infinite volte. Determinare la condizione che porta i giocatori a scegliere la cooperazione in ogni periodo. Esercizio 4.2 Si ripeta l esercizio precedente ipotizzando che ad ogni stadio il gioco possa concludersi con probabilità pari a 1/2. Esercizio 4.3 Si consideri un duopolio di Bertrand ripetuto infinite volte. 1. E possibile che le imprese si accordino per fissare congiuntamente un prezzo più alto del costo marginale? 2. La collusione diventa più o meno probabile all aumentare del numero di imprese? Esercizio 4.4 Si consideri un dilemma del prigioniero. Chiarire se è possibile avere un equilibrio cooperativo con un numero finito di ripetizioni del gioco. Esercizio 4. Si considerino i seguenti elementi di un gioco statico: I = {1, 2}, S 1 = {A, B}, S 2 = {a, b}, u 1 (A, a) = α, u 1 (A, b) = 0, u 1 (B, a) =, u 1 (B, b) = 4. Il gioco è simmetrico. 1. Rappresentare la matrice dei payoff; 2. Stabilire per quali valori di α il profilo (A, a) è un equilibrio del gioco; 3. Si ipotizzi che il gioco venga ripetuto un numero finito di volte: per quali valori di α il profilo (A, a) è un equilibrio del gioco ripetuto? Di che tipo di equilibrio si tratta? 13

15 CAPITOLO 4. GIOCHI RIPETUTI 14 Esercizio 4.6 Si consideri un dilemma del prigioniero ripetuto infinite volte. In base al Folk Theorem, si determini graficamente l insieme dei payoff ammissibili che possono considerarsi come risultati di corrispondenti equilibri perfetti del gioco ripetuto. Esercizio 4.7 Si ripeta l esercizio precedente avendo come gioco di riferimento: Duopolio di Bertrand; Duopolio di Cournot; Battaglia dei sessi; Stug-Hunt. Esercizio 4.8 Chiarire se la seguente strategia può costituire un equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi nel dilemma del prigioniero ripetuto infinite volte: Cooperare nei periodi dispari; non cooperare nei periodi pari. Determinare il payoff medio che assicurerebbe lo stesso valore ottenuto nel caso in cui entrambi i giocatori giocassero tale strategia; chiarire se il payoff medio è ammissibile e se è superiore a quello relativo all equilibrio di Nash del gioco costituente. Esercizio 4.9 Si considerino n imprese che competono à la Bertrand e che interagiscono per un numero infinito di periodi. Se decidono di formare un cartello ottengono ognuna un profitto pari a Πm n ; rompere l accordo frutta l intero profitto del settore, ma solo per un periodo; una volta scoperta la defezione,infatti, inizierebbe una guerra di prezzo tra le imprese che porterebbe i profitti di ognuna ad annullarsi. Determinare sotto quali condizioni il cartello è in grado di reggere ipotizzando le seguenti situazioni: La domanda di mercato è ciclica; aumenta di un fattore θ > 1 nei periodi dispari e si riduce di un fattore λ < 1 nei periodi pari; il numero delle imprese aumenta di un fattore θ > 1; ci sono ritardi di informazione, per cui una defezione può essere scoperta solo dopo m periodi; le n imprese hanno tutte un δ differente. Esercizio 4.10 (Hargreaves [3] pag. 196) Si consideri un dilemma del prigioniero ripetuto infinite volte. Ogni giocatore ha a disposizione le seguenti strategie: Trigger strategy; Defezionare sempre;

16 CAPITOLO 4. GIOCHI RIPETUTI 1 Cooperare fino a che l altro coopera; in caso di defezione del rivale si sceglie di non cooperare per due periodi (invece che per sempre come nella trigger strategy). Costruire una matrice dei payoff dove siano riportate le tre strategie con i corrispondenti payoff, e quindi determinare gli equilibri del gioco. Esercizio 4.11 Per ognuno dei mercati sotto riportati si provi a costruire un modello di collusione che formalizzi le caratteristiche di ognuno e metta in luce i possibili incentivi/ostacoli alla collusione tra imprese. Mercati da considerare: Telefonia; Farmaceutico; Latte in polvere; Carburanti per autotrazione; Discografia; Libri scolastici; Prodotti per l infanzia (passeggini, seggioloni, ecc..); Acqua minerale; Diamanti.

17 Capitolo Giochi Dinamici con informazione incompleta.1 Giochi di segnalazione ed equilibrio di Nash perfetto Bayesiano Esercizio.1 Un mercato è formato da una impresa e un consumatore che deve decidere se acquistare o meno i prodotti offerti. L impresa può essere di due tipi: con un 0% di probabilità essa produce beni di alta qualità, altrimenti di scarsa qualità. Entrambe i tipi possono decidere di inviare messaggi pubblicitari ad un costo di o di non fare pubblicità. Dato lo schema del gioco riportato nella figura.1, studiare gli equilibri e chiarire se la situazione in cui solo l impresa di alta qualità realizza una campagna pubblicitaria è un equilibrio del gioco. 10,10 Compra Compra 1,10 Non compra Pubbl. Aq No Pubbl. Non compra -,0 0, 0,0 Nat 10,- Compra 0, Compra 1,- -,0 Non compra Pubbl. Bq No Pubbl Non compra 0,0 Figura.1 16

18 CAPITOLO. GIOCHI DINAMICI CON INFORMAZIONE INCOMPLETA17 Esercizio.2 Si consideri il gioco della figura.2. Definire in modo formale gli elementi costitutivi del gioco; Determinare gli equilibri. (1;1) (2;1) a b m 1 t 2 0,2 m 2 c (0;1) (1;2) (0;1) a b m 1 t 1 0,8 m 2 c (1;0) Figura.2 Esercizio.3 Un impresa deve segnalare in anticipo il livello di qualità della propria produzione. La segnalazione può essere veritiera o falsa, ma in quest ultimo caso l impresa rischia di incappare in una sanzione S qualora venisse scoperto che il segnale inviato è falso. La probabilità di essere scoperti è pari a 0, 7. Una seconda impresa osserva il segnale e decide se adottare lo stesso livello di qualità segnalato o uno differente (più alto o più basso). Se i livelli effettivi di qualità delle due imprese sono uguali allora queste si dividono il mercato in parti uguali ottenendo ognuna ricavi Π 2 ; se sono differenti, l impresa con la qualità maggiore si appropria dell intero mercato ottenendo un ricavo pari a Π. I profitti vanno comunque ridotti del costo della qualità: c 1 per la bassa qualità, c 2 per la media e c 3 per quella alta con c 3 > c 2 > c 1. La probabilità che la prima impresa sia di alta qualità è 0, Costruire lo schema del gioco di segnalazione e definire in modo formale i suoi elementi ; 2. Determinare gli equilibri Bayesiani perfetti; 3. Valutare l effetto di un aumento della probabilità che il segnale falso venga scoperto; 4. Chiarire se per una impresa di alta qualità è possibile indurre la seconda a scegliere una qualità minore attraverso un segnale falso.

19 Capitolo 6 Giochi evolutivi 6.1 La dinamica dei replicatori Giochi simmetrici Esercizio 6.1 (Weibull [], Faccipieri [6]) Si considerino i seguenti giochi simmetrici: 1. Dilemma del prigioniero; 2. Gioco di coordinamento; 3. Hawk-Dove; 4. Rock-Scissors-Paper. Per ognuno di essi studiare le dinamiche evolutive attraverso le equazioni dei replicatori. Nell analisi servirsi dei diagrammi di fase. Esercizio 6.2 Si ripeta l esercizio precedente ipotizzando versioni asimmetriche dei giochi. Per il gioco Rock-Scissors-Paper si impostino solo le equazioni di replicazione. Esercizio 6.3 Si consideri una popolazione di imprese che competono à la Bertrand. I prezzi praticabili sono due: P 1 < P 2. Al tempo t 0 la quota di imprese che pratica il prezzo più basso è solo del 2%. Utilizzando le equazioni dei replicatori studiare le dinamiche evolutive di questa popolazione precisando se esiste la possibiltà che tutte le imprese decidano di praticare il prezzo più alto (contraddicendo l equilibrio di Bertrand). Esercizio 6.4 Studiare le dinamiche evolutive di un gioco del tipo matching pennies. Esiste un equilibrio asintoticamente stabile? 18

20 CAPITOLO 6. GIOCHI EVOLUTIVI 19 Esercizio 6. Si consideri una popolazione di imprese che competono sulla qualità del prodotto venduto. La qualità che ognuna può scegliere è alta o bassa. Scegliere qualità alta permette di avere un maggiore livello dei profitti se l impresa è chiamata a confrontarsi con un altra che ha scelto bassa qualità. Se il confronto è tra due imprese che hanno scelto lo stesso livello qualitativo, allora queste ottengono profitti pari a Π, indipendentemente dal livello di qualità scelto. 1. Determinare la matrice dei payoff; 2. Studiare l evoluzione delle strategie delle imprese attraverso le equazioni di replicazione. Esercizio 6.6 Si ripeta l esercizio precedente ipotizzando che con probabilità pari a 0, 1 il profitto delle imprese di alta qualità sia zero, a causa degli alti costi sostenuti. Esercizio 6.7 Si consideri una popolazione in cui ogni individuo deve decidere se spostarsi con mezzi pubblici o con l auto privata. L utilizzo dell auto privata assicura un payoff pari a u 1 x dove x indica la quota di popolazione che usa i mezzi pubblici. Il payoff derivante dall utilizzo dell auto privata è tanto più alto quanto maggiori sono gli individui che utilizzano mezzi pubblici (le strade sono più libere dal traffico). Il payoff di coloro che prendono il mezzo pubblico è u 2 (1 x); la loro utilità si riduce all aumentare della quota di coloro che usufruiscono di mezzi pubblici. Si ipotizzi che u 1 = u 2.Attraverso lo studio delle equazioni dei replicatori studia le dinamiche di questa popolazione, precisando se sia possibile avere un equilibrio stabile in cui tutti gli individui rinunciano all auto privata. Esercizio 6.8 Si ripeta l esercizio precedente ma con u 1 = 1 e u 2 =. Confrontare la soluzione con quella ottenuta in precedenza; cosa è cambiato? Perchè? Esercizio 6.9 Due giocatori muovono in sequenza. La struttura dei payoff è la seguente: (a, c) (0, 2), (a, d) (1, 1), (b, c) (0, 0), (b, d) (3, 0). 1. Rappresentare il gioco in forma estesa e determinare le soluzioni; 2. Rappresentare il gioco attraverso una matrice dei payoff e determinare gli equilibri; 3. Considerare il gioco del punto 2 e studiarne le dinamiche evolutive attraverso le equazioni dei replicatori. Esercizio 6.10 Si consideri una popolazione con tre tipi di individui: cooperativi, cooperativi con monitoraggio, non cooperativi. Ogni giocatore è chiamato a condividere un progetto con un altro estratto a caso dalla popolazione. Il monitoraggio ha un costo pari ad m ma permette di valutare in anticipo se il soggetto con cui si

21 CAPITOLO 6. GIOCHI EVOLUTIVI 20 interagisce è cooperativo o no; in quest ultimo caso si interrompe immediatamente il progetto. La realizzazione del progetto ha un rendimento pari ad A; tuttavia se l individuo cooperativo interagisce con uno non cooperativo sarà solo questultimo ad ottenere il rendimento A. Il gioco è presentato nella figura 6.1. G \ G 1 2 C Cm nc C A b / 2 ; A b / 2 A b / 2 ; A m b / 2 b ;A Cm A m b / 2 ; A b / 2 A m b / 2 ; A m b / 2 -m;0 nc A;-b 0;-m 0;0 Figura Studiare le dinamiche della popolazione (per facilitare lo svolgimento si può attribuire un valore numerico ai parametri); 2. Chiarire se esiste un equilibrio in cui la popolazione sia interamente costituita da cooperativi; 3. Chiarire l effetto sulle dinamiche di un aumento del costo di monitoraggio. Esercizio 6.11 (Hargreaves [3]) Ricavare il diagramma del processo evolutivo che corrisponde al gioco della figura 6.2, ipotizzando una popolazione omogenea. G / G 1 2 A B C a 1,1-1,-1 2,0 b -1,-1 1,1 0,0 c 0,2 0,0 1,1 Figura Giochi asimmetrici Esercizio 6.12 Un sistema economico è costituito da due popolazioni distinte di investitori. In ogni momento un imprenditore della prima popolazione deve coordinarsi con uno della seconda, per la realizzazione di un progetto. Ogni giocatore può scegliere se cooperare o comportarsi da free rider. Se cooperano ottengono entrambi un payoff π 1. La non cooperazione assicura un payoff di π 2 con π 1 > π 2. Se un individuo cooperativo si incontra con un free rider allora ottiene Costruire la matrice dei payoff del gioco; 2. Studiare le dinamiche delle due poplazioni servendoti del diagramma di fase; 3. Sotto quali condizioni la strategia cooperativa si diffonde in entrambe le popolazioni?

22 CAPITOLO 6. GIOCHI EVOLUTIVI 21 Esercizio 6.13 Si ripetano gli esercizi 6.1 e 6.4, ipotizzando che i giocatori appartengano a due popolazioni differenti. Esercizio 6.14 Le imprese di due distretti industriali interagiscono continuamente l una con l altra. Il comportamento cooperativo è premiante se reciproco e assicura un payoff di y 1 a entrambe le imprese. L impresa cooperativa che interagisce con una non cooperativa ottiene 0. La non cooperazione assicura comunque un payoff pari a y 2 con y 2 < y 1. Scegliere la cooperazione, quindi, richiede una certa fiducia nei confronti dell impresa dell altro distretto. 1. Rappresentare la matrice dei payoff del gioco; 2. Studiare le dinamiche evolutive e rappresentarle in un diagramma di fase; 3. Chiarire se esiste un equilibrio in cui le imprese di entrambi i distretti cooperano; 4. Ripetere l esercizio ipotizzando che tutte le imprese appartengano allo stesso distretto.

23 Bibliografia [1] Tirole, J. e Fudemberg, D., Game Theory, The MIT Press, Cambridge, Massachussetts, [2] Gibbons, R., Teoria dei giochi, Il Mulino - Bologna, [3] Hargreaves Heap, S., Game theory. A critical text, Routledge, London, [4] Rapoport, A., N-person game theory. Concepts and applications, Dover publications, New York, [] Weibull, J. W., Evolutionary game theory, MIT Press,Cambridge, Massachussetts, [6] Faccipieri S., Teoria evolutiva dei giochi, CEDAM,Padova, [7] Jehle G., Reny P., Advanced Microeconomic theory, Addison-Wesley, [8] Dutta P., Strategies and games. Theory and practice, MIT,