Su un applicazione della formula di Eulero della trigonometria sferica nella cinematica dei corpi rigidi

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1 Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica Corso di Laurea in Matematica Su un applicazione della formula di Eulero della trigonometria sferica nella cinematica dei corpi rigidi Elena Marongiu 25 Luglio 2018

2 Introduzione Lo scopo di questa tesi è quello di dimostrare le formule che esprimono i coseni direttori dei versori di una terna solidale al corpo rigido (rispetto alla terna fissa) utilizzando la trigonometria sferica. In particolare, la dimostrazione proposta risulta essere una semplice applicazione di uno dei teoremi chiave della trigonometria sferica: il teorema del coseno (o di Eulero). slide 2 di 18

3 Richiami sulla Cinematica dei Corpi Rigidi Definizione: un corpo rigido è un sistema in cui la distanza di una qualunque coppia di punti resta costante nel tempo. Sia S un corpo rigido e siano date due terne levogire: Ωξηζ fissa, con versori e 1, e 2, e 3 ; Oxyz solidale ad S, con versori j 1, j 2, j 3. z S ζ x O y ξ Ω η slide 3 di 18

4 Richiami sulla Cinematica dei Corpi Rigidi Sia P un generico punto del sistema, allora: P Ω = (P O) + (O Ω) z ζ x P O S y ξ Ω η Siano P = (x, y, z), rispetto alla terna solidale, e O = (α, β, γ), rispetto alla terna fissa, allora: P Ω = (xj 1 + yj 2 + zj 3 ) + (αe 1 + βe 2 + γe 3 ) slide 4 di 18

5 Richiami sulla Cinematica dei Corpi Rigidi Da cui si ricavano le equazioni generali del moto di un sistema rigido libero: ξ = α + xα 1 + yα 2 + zα 3 η = β + xβ 1 + yβ 2 + zβ 3 ζ = γ + xγ 1 + yγ 2 + zγ 3 Dove gli α i, β i, γ i con i = 1, 2, 3 sono i coseni direttori di j 1, j 2, j 3 così definiti: e 1 e 2 e 3 j 1 α 1 β 1 γ 1 j 2 α 2 β 2 γ 2 j 3 α 3 β 3 γ 3 slide 5 di 18

6 Richiami sulla Cinematica dei Corpi Rigidi Da cui si ricavano le equazioni generali del moto di un sistema rigido libero: ξ = α + xα 1 + yα 2 + zα 3 η = β + xβ 1 + yβ 2 + zβ 3 ζ = γ + xγ 1 + yγ 2 + zγ 3 Dove gli α i, β i, γ i con i = 1, 2, 3 sono i coseni direttori di j 1, j 2, j 3 così definiti: e 1 e 2 e 3 j 1 α 1 β 1 γ 1 j 2 α 2 β 2 γ 2 j 3 α 3 β 3 γ 3 I coseni direttori non sono tra loro indipendenti: α 2 i + β 2 i + γ 2 i = 1 con i = 1, 2, 3 α i α h + β i β h + γ i γ h = 0 con i h (i, h = 1, 2, 3) Perciò un corpo rigido è individuato da sei gradi di libertà. slide 5 di 18

7 Richiami sulla Cinematica dei Corpi Rigidi Definizione: se i piani [ξη], [xy] sono distinti, allora si intersecano in una retta N detta linea dei nodi. Gli angoli di Eulero sono: θ (0, π), detto angolo di nutazione; ψ [0, 2π), detto angolo di precessione; φ [0, 2π), detto angolo di rotazione propria. ζ Ω η ξ slide 6 di 18

8 Richiami sulla Cinematica dei Corpi Rigidi e3 = j 3 e3 = j 3 e3 ĵ 3 θ ĵ 2 ĵ 3 = j 3 j 2 j 2 ψ θ j2 φ ĵ 2 e2 e1 ψ n = j 1 (a) Prima rotazione e2 e1 n = j 1 = ĵ1 (b) Seconda rotazione j 1 φ e1 n = j 1 = ĵ1 e2 (c) Terza rotazione In forma matriciale: cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ cos θ sin θ 0 sin θ cos θ cos φ sin φ 0 sin φ cos φ slide 7 di 18

9 Richiami sulla Cinematica dei Corpi Rigidi Quindi: ξ cos ψ sin ψ 0 η = sin ψ cos ψ cos φ sin φ 0 0 cos θ sin θ sin φ cos φ 0 x y ζ sin θ cos θ z Confrontando questo sistema con il seguente: ξ α 1 α 2 α 3 x η = β 1 β 2 β 3 y ζ γ 1 γ 2 γ 3 z slide 8 di 18

10 Richiami sulla Cinematica dei Corpi Rigidi I coseni direttori sono legati agli angoli di Eulero dalle seguenti espressioni: α 1 = cos φ cos ψ sin φ sin ψ cos θ α 2 = sin φ cos ψ cos φ sin ψ cos θ α 3 = sin ψ sin θ β 1 = cos φ sin ψ + sin φ cos ψ cos θ β 2 = sin φ sin ψ + cos φ cos ψ cos θ β 3 = cos ψ sin θ γ 1 = sin φ sin θ γ 2 = cos φ sin θ γ 3 = cos θ Intendiamo dimostrare queste formule usando un approccio diverso basato sulla trigonometria sferica. Tale approccio si basa su un osservazione che ci è stata fatta notare da prof. Borghero. slide 9 di 18

11 Trigonometria Sferica Definizione: l angolo di due archi di circonferenza, tracciati sopra una sfera di centro O e aventi un estremo A in comune, è l angolo convesso formato dai vettori unitari u, v tangenti agli archi nel punto comune. Proprietà: se gli archi appartengono a circoli massimi, l angolo dei due archi è uguale alla sezione normale del diedro dei semipiani, di origine OA, che li contengono. A v u α O α v u H K A slide 10 di 18

12 Trigonometria Sferica Definizione: si chiama triangolo sferico, la figura formata dai tre archi di circolo massimo, ciascuno minore di una semicirconferenza, che uniscono a due a due tre punti A, B, C di una sfera S, non appartenenti ad uno stesso circolo massimo. I punti A, B, C sono i vertici, gli archi ÂB, ˆBC, ĈA, sono i lati, e gli angoli formati dagli archi che concorrono in un vertice, sono gli angoli del triangolo sferico. A c α b S B β a γ C O slide 11 di 18

13 Il Teorema del Coseno Teorema del Coseno: In un triangolo sferico il coseno di un lato è uguale al prodotto del coseno degli altri due più il prodotto dei loro seni per il coseno dell angolo fra essi compreso. In simboli: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α c u AB α A u AC b u BA B β ubc a u CB γ u CA C slide 12 di 18

14 Espressione dei Coseni Direttori: un altra dimostrazione Consideriamo un sistema rigido e supponiamo che la terna fissa e la terna mobile rispetto ad esso abbiano origine coincidente in O. Dopodichè prendiamo una sfera unitaria S centrata in O. slide 13 di 18

15 Espressione dei Coseni Direttori α 1 = cos φ cos ψ sin φ sin ψ cos θ Per definizione α 1 = j 1 e 1, cioè α 1 = cos xξ. Per il teorema del coseno: cos xξ = cos Nx cos Nξ + sin Nx sin Nξ cos xnξ = = cos φ cos ψ + sin φ sin ψ cos(π θ) slide 14 di 18

16 Espressione dei Coseni Direttori α 1 = cos φ cos ψ sin φ sin ψ cos θ Per definizione α 1 = j 1 e 1, cioè α 1 = cos xξ. Per il teorema del coseno: cos xξ = cos Nx cos Nξ + sin Nx sin Nξ cos xnξ = = cos φ cos ψ + sin φ sin ψ cos(π θ) = α 1 = cos φ cos ψ sin φ sin ψ cos θ slide 14 di 18

17 Espressione dei Coseni Direttori β 1 = cos φ sin ψ + sin φ cos ψ cos θ Per definizione β 1 = j 1 e 2, cioè β 1 = cos xη. Per il teorema del coseno: cos xη = cos Nx cos Nη + sin Nx sin Nη cos xnη = = cos φ cos( π 2 ψ) + sin φ sin(π ψ) cos θ 2 slide 15 di 18

18 Espressione dei Coseni Direttori β 1 = cos φ sin ψ + sin φ cos ψ cos θ Per definizione β 1 = j 1 e 2, cioè β 1 = cos xη. Per il teorema del coseno: cos xη = cos Nx cos Nη + sin Nx sin Nη cos xnη = = cos φ cos( π 2 ψ) + sin φ sin(π ψ) cos θ 2 = β 1 = cos φ sin ψ + sin φ cos ψ cos θ slide 15 di 18

19 Espressione dei Coseni Direttori γ 1 = sin φ sin θ Per definizione γ 1 = j 1 e 3, cioè γ 1 = cos xζ. Per il teorema del coseno: cos xζ = cos Nx cos Nζ + sin Nx sin Nζ cos xnζ = = cos φ cos π 2 + sin φ sin π 2 cos(π 2 θ) slide 16 di 18

20 Espressione dei Coseni Direttori γ 1 = sin φ sin θ Per definizione γ 1 = j 1 e 3, cioè γ 1 = cos xζ. Per il teorema del coseno: cos xζ = cos Nx cos Nζ + sin Nx sin Nζ cos xnζ = = cos φ cos π 2 + sin φ sin π 2 cos(π 2 θ) = γ 1 = sin φ sin θ slide 16 di 18

21 Bibliografia Letteratura: F. Borghero, Sui fondamenti della trigonometria sferica, Archimede, Fase 2-3, 1987; T. Levi Civita e U. Amaldi, Lezioni di meccanica razionale e complementi alle lezioni di meccanica razionale, Volumi 1 e 2 curato da Maschio G., Cirillo N. M., Ruggeri T. Editore: Compomat, Pubblicato a Gennaio 2013 (si tratta della ristampa del celebre trattato precedentemente edito da Zanichelli); P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello, Meccanica Razionale, Springer, slide 17 di 18

22 GRAZIE PER L ATTENZIONE! slide 18 di 18