La nascita della matematica come scienza dimostrativa

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1 La nascita della matematica come scienza dimostrativa Livia Giacardi - Liceo Classico Alfieri - Febbraio 2006 I testi matematici mesopotamici più antichi risalgono al periodo III millennio a. C. I testi matematici egizi risalgono al periodo II millennio a. C. 1

2 Caratteri delle matematiche pregreche La matematica non è intesa come un attività speculativa astratta, ma un prodotto sociale generato dai bisogni di una società in continua espansione. Nasce e si sviluppa nei templi come strumento per l amministrazione della città (costruzione di edifici e canali, computo dei giorni necessari per condurre a termine un lavoro, divisione di eredità, calcolo di interessi, riscossione di imposte, ) i problemi si riferiscono sempre a casi particolari le soluzioni sono ricette di calcolo non c è simbolismo, non ci sono formule non ci sono spiegazioni dei procedimenti, né dimostrazioni non c è suddivisione fra aritmetica, algebra, geometria i testi che ci sono pervenuti sono perlopiù manuali scolastici In Egitto Casa dei rotoli di papiro biblioteche, archivi insegnamento di livello elementare scrivere e contare In Mesopotamia Case della vita insegnamento superiore specializzazione Ricopiare testi modello costituiva una parte essenziale del programma di studi delle scuole paleobabilonesi ( a.c.). Molti testi contenevano elenchi e tabelle... Eseguendo questi compiti di ricopiatura, lo studente si esercitava nella scrittura cuneiforme e al tempo stesso accumulava una piccola biblioteca personale di tavolette 2

3 Il pensiero greco è il vero creatore della matematica come teoria razionale e come sistema logico e della filosofia come approccio razionale ai problemi della vita e del mondo Obbedienza passiva al potere politico-religioso Clima di libertà Scienza strumento per i burocrati patrimonio culturale dei liberi cittadini Appello all autorità o alla rivelazione divina Fiducia dell uomo nelle sue capacità Gli dei non hanno rivelato ogni cosa fin dall origine, ma l uomo con la sua ricerca paziente riesce a scoprire ogni cosa [Senofane, 540 a. C. ] Mito di Prometeo simbolo dell attività creatrice dell uomo e della lotta contro le forze della natura [Esiodo, VIII-VII sec.a. C., Eschilo, V sec. a. C. ] 3

4 La matematica come attività razionale nasce e si sviluppa parallelamente alla filosofia Raffaello, La scuola di Atene Scuola ionica - Asia minore, VI sec a. C. Talete di Mileto Scuola pitagorica - Italia meridionale, VI-V sec a. C., Pitagora di Samo Scuola eleatica - Elea (a sud di Paestum) V sec. a.c. l infinito entra nella matematica greca I sofisti - Atene V sec. a. C. uso della matematica per capire l universo Scuola di Atene - Atene, V-IV sec. a. C., Platone e Aristotele Accademia Prima Scuola di Alessandria Alessandria, III sec.a.c.- 30 a.c. Museo - Euclide (300 a.c.) Elementi - Archimede ( a. C.) - Apollonio ( a. C.) 4

5 , αποδειξις Significato generico: esposizione, presentazione di un oggetto o di un argomento Platone: : argomentazione razionale idonea a convincere l interlocutore Aristotele: : al concetto di dimostrazione è associato il carattere di assoluta certezza Euclide: : scegliere in modo opportuno le premesse e i termini del discorso e, di qui ricavare deduttivamente altre proposizioni. Fonti Palinsesto con un opera di Archimede Nessun manoscritto originale dei maggiori matematici greci è pervenuto fino a noi (il papiro è deperibile e le grandi biblioteche sono state distrutte) Le principali fonti per la matematica greca sono dunque codici manoscritti bizantini scritti da 500 a 1500 anni dopo la composizione delle opere originali. Vi sono anche versioni arabe e versioni latine derivate da quelle arabe. Importanti fonti di notizie sono le opere di due commentatori Pappo (III sec. d. C.) e Proclo (V sec. d. C.) Fonti indirette: opere dei filosofi, in particolare Platone e Aristotele opere dell arte e della tecnica 5

6 Talete di Mileto (VI sec a. C.) La scuola ionica si sviluppò a Mileto, la cui posizione geografica favoriva scambi culturali e commerciali con le antiche civiltà orientali. I pensatori di Mileto erano uomini politici, astronomi, geografi, geometri che si ponevano anche il problema filosofico, dell origine dell universo, ricercando una causa prima (αρχη) Si passa dal mito all osservazione diretta., Per Talete l l αρχη era l acqual Proclo: Fu Talete colui che, andato in Egitto, ne riportò in Grecia questo studio (la geometria); e molte scoperte fece lui stesso, di molte ricerche suggerì i principi a quelli che vennero poi, alcune cose studiando più in astratto, altre più in concreto La tradizione attribuisce a Talete quattro teoremi: 1. Il cerchio è dimezzato da un suo diametro. 2. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali tra loro 3. Gli angoli opposti al vertice sono tra loro uguali. 4. Gli angoli inscritti in un semicerchio sono retti. Salto qualitativo rispetto agli scribi egizi e babilonesi: Le dimostrazioni di Talete non erano deduttive e si basavano probabilmente su considerazioni di simmetria, ma egli fa delle affermazioni generali in cui è evidente una correlazione fra tesi e ipotesi. 6

7 Gli angoli inscritti in un semicerchio sono retti. Come può Talete aver dimostrato questo teorema? Test di intuizione geometrica visiva A B Quanto vale l area l della regione gialla? 7

8 A B A Talete viene anche attribuita la soluzione di due problemi geometrici: - determinare l altezza di una piramide mediante l ombra da essa proiettata. - determinare la distanza di una nave dal porto. misurò le piramidi dall ombra, aspettando il momento in cui le nostre ombre sono uguali [Diogene Laerzio] Sotto quali condizioni Talete poté effettivamente eseguire questo calcolo? 8

9 sono simili Di quali proprietà godono questi due triangoli? - hanno la stessa forma P T - hanno gli angoli ordinatamente uguali - hanno i lati in proporzione T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 Quali coppie di triangoli sono simili? Domande Due triangoli uguali sono simili? E due quadrati qualunque? E due rettangoli qualunque? Mentre per i triangoli basta che si verifichi l uguaglianza l degli angoli perché possa dedursi la proporzionalità dei lati e viceversa, questo non accade per i poligoni (non regolari) con più di tre lati (altrimenti dovrebbero essere simili tutti i rettangoli cosa che non è). 9

10 Distanza di una nave dal porto A α 10 u β B N Due triangoli con gli angoli ordinatamente uguali hanno i lati omologhi in proporzione. AB 2000 = = 200 A' B' 10 AB = 200 A' B' AN = 200 A' N' A α 2000 u β B N Pitagora di Samo (circa 572 e la sua scuola (circa 572- fine VI sec. a. C.) Proclo: Pitagora si dedicò allo studio della geometria,,, ricercandone i principi primi e investigandone i teoremi concettualmente e teoreticamente: per primo trattò l irrazionalel e trovò la struttura della figure cosmiche I filoni di ricerca teoria numeri (aritmogeometria) problematiche connesse con la scoperta delle grandezze incommensurabili teoria delle proporzioni prime dimostrazioni geometriche (teorema di Pitagora, solidi regolari) 10

11 Nasce a Samo nel 572 a. C. I più dicono che egli apprese le cosiddette scienze matematiche dagli Egizi, dai Caldei e dai Fenici; ché già nei tempi più antichi gli Egizi si dedicarono allo studio della geometria, i Fenici allo studio dell'aritmetica e della logistica, i Caldei all'osservazione degli astri [Porfirio] Intorno al 520 a.c. si trasferisce in Italia Pitagora giunse in Italia e si stabilì a Crotone, tanto i Crotoniati furono attratti da lui che era uomo notevolissimo, e aveva aspetto nobile e grande, e moltissima grazia, e grande decoro nel parlare e nel comportarsi e in ogni altra cosa, che dopo che egli si fu cattivato il Senato con molti e bei discorsi, i magistrati lo incaricarono di fare ai giovani dei discorsi... adatti alla loro età. Parlò anche ai fanciulli che si raccoglievano intorno a lui appena tornati da scuola; e quindi alle donne. Istituì anzi anche un'assemblea delle donne. [Porfirio] Si impegna politicamente stabilendo nuove leggi e facendo fiorire la città di Crotone Crea una scuola con caratteri di isolamento e segretezza Imponeva ai suoi aspiranti cinque anni di silenzio, mettendo così alla prova la loro padronanza di sé. In questo periodo di tempo gli averi di ciascuno erano messi in comune... Se apparivano degni di essere iniziati alle dottrine, dopo cinque anni di silenzio, diventavano per sempre esoterici, ascoltavano Pitagora dentro la tenda, e potevano anche vederlo. Prima, fuori della tenda, avevano potuto partecipare alle sue lezioni solamente ascoltando, senza mai vederlo [Giamblico] Pitagora esponeva i suoi insegnamenti a chi lo frequentava o distesamente o per simboli... e quelli che lo frequentavano si distinguevano in Matematici e Acusmatici. Matematici erano quelli che conoscevano la parte più importante e più approfondita della sua dottrina, Acusmatici quelli cui erano insegnate solo le regole sommarie senza accurate spiegazioni [Porfirio] 11

12 La setta pitagorica si trasforma in una vera e propria oligarchia isolata dalla popolazione creando tensioni e poi un vero conflitto - risentimento degli esclusi dalla setta - carattere chiuso della comunità pitagorica - potere oligarchico esercitato su tutta la città L antipitagorismo porta allo sterminio di alcuni seguaci della setta e all esilio di altri. Pitagora si rifugia a Metaponto dove muore alla fine del VI secolo a.c. circondato da un aura di sacralità. Tutto è numero Si dedicarono alle matematiche e per primi le fecero progredire i cosiddetti Pitagorici. Questi, dediti a tale studio, credettero che i principi delle matematiche fossero anche principi di tutte le cose che sono. Ora, poiché principi delle matematiche sono i numeri, e nei numeri essi credevano di trovare, più che nel fuoco e nella terra e nell'acqua, somiglianze con le cose che sono e che divengono [ ] e poiché inoltre vedevano espresse dai numeri le proprietà e i rapporti degli accordi armonici, poiché insomma ogni cosa nella natura appariva loro simile ai numeri, e i numeri apparivano primi tra tutto ciò che è nella natura, pensavano che gli elementi dei numeri fossero elementi di tutte le cose che sono, e che l'intero mondo fosse armonia e numero (Diogene Laerzio, Vite dei filosofi) 12

13 I Pitagorici pensano che il numero sia d'un modo solo, e cioè matematico, se non che non lo considerano separato dalle cose, ma dicono che da numeri sono composte le sostanze percepibili. Di numeri infatti compongono l'intero cielo; ma non di numeri formati da unità senza grandezza, ché essi attribuiscono grandezza alle unità. Quanto alla prima unità dotata di grandezza, come essa sia composta, sembra che non sappiano dire [ ] Essi dicono che il numero è le cose che sono, o almeno applicano i loro teoremi ai corpi, come se i numeri fossero dei corpi (Aristotele, Metafisica) aritmosofia pitagorica 1 ragione 2 opinione, femminile 3 armonia, maschile 10 = tetractys 4 giustizia fonte e radice dell'eterna natura Numeri perfetti: un numero si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori propri 6 = = Nel corso dei secoli molti matematici a partire da Euclide si interessarono dei numeri perfetti. 13

14 In Grecia l aritmetica l si sviluppa secondo due filoni logistica, tecnica di calcolo legata soprattutto alle attività pratiche: sistema additivo in base 10 poco maneggevole, abachi aritmetica, scienza pura del numero, teoria dei numeri, coltivata dai matematici e dai filosofi Platone (IV sec. a.c.) considerava la logistica come una disciplina adatta all uomo d affari e all uomo di guerra, mentre il filosofo deve coltivare l aritmetica poiché deve emergere dal mare del mutamento e afferrare il vero essere, l aritmetica ha un grande potere nell elevare la mente costringendola a ragionare intorno ai numeri astratti, Godono dello statuto di αριθμοι solo i numeri interi. Esistono anche i rapporti di interi, ma non sono concepiti come numeri. Le frazioni esistono come parti dell unità monetaria o di misura e interessano solo la logistica. Aritmogeometria uso, finalizzato ad ottenere conoscenze di tipo aritmetico, di un algoritmo che consiste nel rappresentare i numeri naturali con configurazioni geometriche di punti (numeri figurati o poligonali) Secondo Nicomaco di Gerasa (II sec.) i Pitagorici scoprirono, mediante l'aritmogeometria semplici proprietà dei numeri figurati 14

15 Consideriamo il numero triangolare T 4, la tetractys, = T 4 = C è un modo rapido per calcolarlo: si eseguono 1 moltiplicazione e 1 divisione anziché 3 addizioni. Questo metodo dà una formula per calcolare il generico T n e dunque per calcolare la somma dei primi n numeri naturali 1. un generico numero triangolare T n si ottiene sommando i primi n numeri naturali: n(n + 1) Tn = n = n =1,2,3,... 2 Esempio: 3 4 T 3 = 6 = = 2 2. un generico numero quadrato si ottiene sommando i numeri dispari, a partire dall unità: Q n =n 2 = (2n-1) Esempio: 3 2 = 1+3+5= = = = = 25 n =1,2,3,... 15

16 Q n = n 2 = (2n-1) n =1,2,3,... Perché indico con 2n-1 il termine di posto n della successione? Suggerimento: n 2 = a 1 + a 2 + a a n a 1 = 1 a 2 = a 1 +2 a 3 = a = a a 4 = a = a = a a n = a 1 + (n -1) 2 = 1+ 2n -2 = 2n-1 Formula generale a n = a + ( n 1) d 1 Esercizi Trova qualche relazione fra numeri triangolari e numeri quadrati 2 T + T = n = Q n n 1 n 2 T 3 = = 4 2 T n 2 = n T 4 + n = ( n + 1) 2 = = 5 ( n + 1) 2 5,... 16

17 3. un generico numero pentagonale P n si ottiene sommando i numeri naturali a partire dall unità così: P n La differenza tra ciascun numero e quello che lo precede è 3 Esempio: = ( 3n P 4 = = 22 P 5 = = 35 2) n =1,2,3,... Trovare la formula che esprime l n-esimo numero pentagonale osservando la figura P 5 + T 5 = 3 4 P n = (3n 2) = n + 3Tn 1 = ( n 1) n 2n + 3n( n 1) n(3n 1) n + 3 = =

18 I) n II) (2n-1) III) (3n-2) T n Q n P n È costante la differenza fra ciascun numero e quello che lo precede immediatamente in I) la differenza è 1 in II) la differenza è 2 in III) la differenza è 3 1, 2, 3, 4, progressione aritmetica di ragione 1 1, 3, 5, 7, progressione aritmetica di ragione 2 1, 4, 7, 10,... progressione aritmetica di ragione 3 Come posso costruire un numero esagonale? Come posso indicare il termine di posto n? Uso una progressione aritmetica di ragione 4 E n = (4n 3) 18

19 Sembra che sia stato Ipsicle (II sec. A.C.) a stabilire un collegamento tra numeri poligonali e progressioni aritmetiche: il generico numero poligonale di n lati si ottiene sommando i termini di una progressione aritmetica avente come primo termine l unità e ragione il numero n dei lati del poligono meno 2. Lo studio dei numeri figurati appartiene a quel settore della teoria dei numeri chiamato analisi diofantea. Molti studiosi, nel corso dei secoli, cercarono di penetrare la proprietà di questi numeri: Diofanto, Fermat, Euler, Gauss e Cauchy, per citarne alcuni. Domanda Seguendo la dottrina pitagorica del tutto è numero, cioè rappresentando il segmento con i suoi punti monade è possibile trovare il punto medio di un segmento? 19

20 La scoperta delle grandezze incommensurabili incommensurabilità lato e diagonale del quadrato Una dimostrazione di questo tipo (per assurdo), ad esempio, è quella che stabilisce l incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, che si fonda sul fatto che se si suppone che siano commensurabili, i numeri dispari risultano uguali a quelli pari (Aristotele, Analitici primi) Due segmenti a e b sono commensurabili quando ammettono un sottomultiplo comune, cioè quando esiste un terzo segmento u che è contenuto un numero intero di volte sia in a che in b. b a u a = 5u, a b = 5 3 b = 3u Il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale 20

21 Ragionamento per assurdo supponiamo che lato e diagonale siano commensurabili, cioè abbiano un sottomultiplo comune u Teor.. di Pitagora AC = pu AB q 2 u 2 +q 2 u 2 = p 2 u 2 p 2 = 2q BC 2 AB = qu = AC 2 Possiamo supporre che p e q siano primi fra loro p 2 è pari, dunque p è pari, allora q deve essere dispari pongo p = 2s, allora 4s 2 = 2q 2 2s 2 = q 2 q 2 pari, dunque q è pari q dovrebbe essere contemporaneamente pari e dispari, il che è assurdo. Dunque il lato e la diagonale del quadrato sono incommensurabili Il lato e la diagonale del quadrato sono incommensurabili Questo significa che il rapporto fra lato e diagonale del quadrato non è un rapporto di numeri interi: noi diciamo che non è un numero razionale d l d 2 = l 2 + l 2 d 2 = 2 l 2 d = l 2 2 è irrazionale l 21

22 Platone, Menone Problema: costruire un quadrato di area doppia di quello assegnato Or questa gli intendenti la chiamano diagonale e dalla diagonale si può ottenere l area l doppia Conseguenze della scoperta delle grandezze incommensurabili Nella filosofia: crollo della centralità del numero [numeri interi positivi] rivelatosi insufficiente a descrivere la complessità dell universo Nella matematica: l insufficienza dei numeri nelle questioni geometriche ne determina l espulsione dalla geometria, avviando una separazione destinata a durare 2000 anni - nuova definizione delle grandezze geometriche prima: grandezze = aggregati di monadi, aventi quindi nella monade la comune misura naturale come è l unità per i numeri dopo: poiché esistono grandezze incommensurabili non aventi un sottomultiplo comune, le grandezze geometriche non possono più essere correlate ai numeri interi grandezza continua infinitamente divisibile 22

23 Di Ippaso si racconta che fosse dei Pitagorici, ma che, per aver divulgato per primo la costruzione della sfera di dodici pentagoni, perisse in mare come empio... Altri dicono che anche la divinità si adirasse con i divulgatori delle dottrine di Pitagora. Perì infatti come empio in mare colui che rivelò come si inscrive nella sfera l icosagono, cioè il dodecaedro, una delle cinque figure dette solide. Alcuni però narrano che questo accadde a colui che aveva rivelato la dottrina degl irrazionali e degl incommensurabili [Giamblico, Vite dei filosofi] Paperino nel paese della matemagica, da Four Color Comic, n. 1051, agosto

24 M u s i c a Prendeva infatti alcuni vasi tutti uguali, e, mentre ne lasciava uno vuoto, riempiva il secondo d'acqua fino alla metà; poi li percuoteva entrambi e otteneva il rapporto di ottava (2:1) Quindi, lasciando ancora vuoto uno dei vasi, riempiva l'altro per una quarta parte, e poi ancora li percuoteva entrambi e otteneva l'accordo di quarta (4:3); l'accordo di quinta (3:2) l'otteneva quando riempiva il vaso per la sua terza parte [Teone di Smirne] Nell affresco di Raffaello La scuola di Atene, Pitagora è riconoscibile dal fatto che un fanciullo gli regge con la mano una tavola che racchiude tutta la teoria musicale pitagorica. In alto compaiono i numeri 6, 8, 9, 12. Una linea collega i numeri 12 e 6, ad indicare il rapporto 2:1, corrispondente all ottava (diapason in greco). Allo stesso modo sono collegati i numeri 9 e 6, e 12 e 8, ad indicare il rapporto 3:2, corrispondente alla quinta (diapente in greco), ed i numeri 8 e 6, e 12 e 9, ad indicare il rapporto 4:3, corrispondente alla quarta (diatessaron in greco). Nella parte bassa della tavola è riprodotta la tetractys. 24

25 Il teorema di Pitagora Se consultiamo i ricercatori di cose antiche, troveremo che essi fanno risalire questo teorema a Pitagora, e affermano che egli sacrificò anche un bue per questa scoperta [Proclo, Commento al primo libro di Euclide] Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l angolo retto [Euclide, Elementi, I,47] La dimostrazione data da Euclide è troppo complessa per essere quella pitagorica originaria. A. Schopenauer la definì un brillante esempio di perversione = 5 2 Questa è una dimostrazione?? 25

26 I II Le dimostrazioni visive possono trarre in inganno, pertanto occorre dimostrare che le figure che rimangono dopo aver tolto i 4 triangoli uguali sono effettivamente dei quadrati e precisamente i quadrati sui cateti nella prima figura e il quadrato sull ipotenusa nella seconda... A T C S B Occorre dimostrare che ABCD è un quadrato D U A R Hp) I triangoli rossi sono rettangoli e uguali fra loro RSTU è un quadrato con lato = alla somma dei cateti del triangolo rosso TH) ABCD è un quadrato. AB = BC = CD = DA Dimostriamo che l angolo l BAD ˆ è retto: BAD ˆ + BAR ˆ + DAU ˆ = 180 Dunque BAD ˆ è retto. Si può procedere in modo analogo per gli 90 altri angoli (è( necessario farlo?) 26

27 forse 1200 a.c. Generalizzazione del teorema di Pitagora Il teorema rimane valido se al posto dei quadrati costruiti sui cateti e sull ipotenusa mettiamo semicerchi, o altre figure purché simili fra loro. 27

28 Ippocrate di Chio (V sec. a. C.) si servì della generalizzazione del teorema di Pitagora per la quadratura delle lunule (regioni piane delimitate da due archi di circonferenza) S 1 A C 90 S S 2 B L 1 T L 2 S 1 +S 2 = S (teorema di Pitagora generalizzato) Eliminando le parti bianche in comune si avrà che S 1 +S 2 -(segmenti circolari bianchi) = S - (segmenti circolari bianchi) area delle due lunule L 1 + L 2 = area triangolo T Proviamo a invertire il teorema di Pitagora. Invertire un teorema significa scambiare la tesi con l ipotesi HP) Se i lati a, b, c di un triangolo verificano la relazione a 2 +b 2 =c 2 TH) allora il triangolo è rettangolo Dimostrare questo teorema utilizzando il III criterio di congruenza dei triangoli a c a d b b 28

29 Questo teorema ci dà un metodo semplice per costruire triangoli rettangoli senza bisogno di misurare gli angoli. Basta trovare tre numeri che soddisfino alla relazione a 2 + b 2 = c 2 il triangolo di lati a, b, c sarà rettangolo. Se a, b, c sono interi e sono tali che a 2 + b 2 = c 2 formano una terna pitagorica Es.: Euclide (300 a.c.) Alessandria Gli Elementi sono la sua opera fondamentale Due criteri uno extralogico dell evidenza uno puramente logico della dimostrazione A partire da alcune proprietà primitive la cui intelligibilità è garantita dall evidenza, si ricavano deduttivamente tutte le altre proposizioni metodo assiomatico deduttivo Gli Elementi di Euclide, Classici della scienza, Utet, Torino

30 Visione epistemologica della matematica di stampo platonico Platone (IV sec. a.c.), considerava la matematica razionalità pura. Nella Repubblica distingue fra le forme geometriche in sé e i disegni materiali. Socrate a Trasimaco: Sai dunque pure che [i geometri] si servono di figure visibili e ragionano su di esse, ma non ad esse pensando, bensì a ciò di cui quelle sono le immagini, ragionando sul quadrato in sé, e sulla diagonale in sé, e non su quella che disegnano. Lo stesso si dice per tutte le figure, che essi modellano e disegnano, di cui si servono come immagini (a guisa di ombre e di immagini riflesse nelle acque) cercando di vedere i veri enti, che non si possono vedere se non con il pensiero. [La Repubblica] Gli Elementi sono uno dei libri più studiati e riprodotti nella storia e hanno sempre avuto un ruolo importante nell insegnamento scolastico. Sono una raccolta, un perfezionamento e sistemazione rigorosa di gran parte delle conquiste della matematica greca classica. { I-VI geometria piana (V teoria delle proporzioni) 13 Libri VII-IX teoria dei numeri X gli incommensurabili XI-XIII geometria solida 30

31 Elementi, Libro I Inizia con l enunciazione dei termini, dei postulati e delle nozioni comuni su cui è costruita tutta l opera. I termini illustrano gli oggetti che si vogliono considerare (punto, retta, ) Termini (Óroi) (sono 23) I. un punto è ciò che non ha parti IV. la retta è la linea che giace ugualmente rispetto ai suoi punti... XXIII. rette parallele sono quelle che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall una e dall altra parte, non si incontrano tra loro da nessuna delle due parti le nozioni comuni sono verità generali garantite dall evidenza applicabili a tutte le scienze Nozioni comuni (koinaì énnoiai) I. Cose uguali a una medesima cosa sono uguali anche tra di loro II. Se cose uguali vengono aggiunte a cose uguali, gli interi sono uguali III. Se cose uguali vengono sottratte da cose uguali, i resti sono uguali IV. Cose che coincidono l una con l altra sono uguali l una con l altra V. L intero è maggiore della parte. L aggettivo uguale (ísos( sos) ) in che senso è usato da Euclide nella II e III nozione comune? 31

32 i postulati individuano un sistema di proprietà primitive evidenti di per sé e di operazioni possibili partendo dalle quali il geometra possa con il solo ragionamento logico ricavare tutto l edificio della geometria. Postulati (aitémata) I. Si può tracciare una retta da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi II. Si può prolungare indefinitamente una retta finita III. Si può descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio qualsiasi Traducono in termini geometrici le operazioni pratiche degli arpedonapti egizi: - tendere una corda tra due punti - tracciare un cerchio usando una corda fissata ad un paletto infisso nel terreno Euclide parla di cerchi e di rette e ciò equivale a dire che i soli strumenti ammessi sono la riga e il compasso IV. Tutti gli angoli retti sono uguali V. Se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli interni inferiori a due angoli retti, le due rette, se prolungate indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due angoli retti. Data una retta r ed un punto P esterno ad essa esiste una ed una sola retta passante per P parallela alla retta data 32

33 A partire da queste proposizioni primitive Euclide ricava in modo puramente deduttivo tutte le altre proposizioni. Le proposizioni degli Elementi, sono di due tipi: - in alcune di esse si dimostra che una certa affermazione è vera (teoremi), - nelle altre si costruisce un oggetto a partire da altri oggetti (problemi) utilizzando solo i tre postulati costruttivi, cioè con l'uso della riga e del compasso. Negli Elementi problemi e teoremi si alternano in una perfetta concatenazione logica. Euclide, infatti, in linea di massima non introduce un oggetto geometrico se prima non ne ha data la costruzione e questo talvolta rende le dimostrazioni più complicate. Per Esempio: nella proposizione 5 del I libro relativa all'uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele non si serve della bisettrice perché ne darà la costruzione solo nella successiva proposizione I. 9. C A K B Presentare la costruzione dell oggetto geometrico dà ad Euclide, in certo qual modo, la garanzia dell'esistenza dell oggetto stesso 33

34 Costruzione della bisettrice Il V postulato negli Elementi di Euclide Il postulato delle parallele, già nella formulazione è più complesso degli altri e, andando al di là dei dati forniti dall esperienza (che si riferiscono solo allo spazio accessibile ai nostri sensi e non all infinito), risulta meno evidente. Euclide stesso sembra essersi reso conto di ciò, infatti lo utilizza il più tardi possibile e le prime 28 proposizioni del I libro vengono dimostrate senza farne uso. 34

35 Una delle conseguenze più significative del V postulato, è che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti. Prop. I. 32 In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti A E α β γ ε δ B C D I commentatori di Euclide, nel corso dei secoli, produssero innumerevoli tentativi di dimostrare il V postulato fino a che i matematici all inizio dell Ottocento, a partire da C. F. Gauss ( )incominciarono a dubitare che il V postulato fosse dimostrabile. Nacquero così le geometrie non-euclidee, geometrie dove non vale il V postulato, ma logicamente coerenti J. Bolyai ( ) N. I. Lobatchevsky ( ) B. Riemann ( ) 35

36 L algoritmo di Euclide Prop. VII,1 Se si prendono due numeri disuguali e si procede [a sottrazioni successive], togliendo di volta in volta il minore dal maggiore, [la differenza dal minore e così via], se il numero che [ogni volta] rimane non divide mai quello che immediatamente lo precede, finché rimanga solo l unità, i numeri dati all inizio saranno primi fra loro (p. 435) r 19 r 5 r 4 r 1 r 0 Prop. VII,2 Dati due numeri che non siano primi fra loro, trovare il loro massimo comun divisore (tò méghiston autón métron) (p. 436) r 1 50 r 2 25 r

37 Numeri primi Prop. IX, 20 Esistono [sempre] numeri primi in numero maggiore di quanti numeri primi si voglia proporre Siano A, B, C numeri primi assegnati Affermo che esiste almeno un quarto numero primo Considero K = A B C +1 a se K è un numero primo la tesi è dimostrata Il matematico G. Hardy cita questo teorema come esempio di matematica bella e profonda a se non lo è, K ammette divisore primo D (VII,31) Affermo che D A, B, C. Ragiono per assurdo: se infatti fosse D uguale ad uno dei numeri A, B, o C, dividerebbe il loro prodotto A B C, ma D divide anche K = A B C +1, quindi D dovrebbe dividere anche la differenza tra A B C +1 e A B C, ossia l unità: il che è assurdo. Quindi (infinito potenziale) Il crivello di Eratostene (III sec. a. C.) Il crivello è una specie di setaccio che scartando i numeri composti permette di determinare i numeri primi. Volendo determinare tutti i numeri primi minori di N si procede nel seguente modo: si scrivono tutti i numeri da 1 a N in ordine crescente si eliminano tutti i numeri pari perché multipli di 2, tranne il 2 si eliminano tutti i multipli di 3 dopo il 3 si eliminano tutti i multipli di 5 dopo il 5 si continua così finché non sono stati eliminati tutti i numeri composti. 37

38 Come funziona il crivello di Eratostene N= sono rimasti i numeri primi contenuti nei naturali da 1 a 100 Che 1 debba o meno essere considerato primo è un fatto convenzionale, tuttavia risulta più semplice non considerarlo primo Domanda Dove possiamo fermarci nell eliminazione dei multipli? Ci possiamo fermare ai multipli di 7 perché il numero primo successivo è 11 che è maggiore di 100 =10 e tutti i suoi multipli minori di 100 vengono già eliminati eliminando via via i multipli di 2, 3, 5, 7. Lo stesso vale per i numeri primi successivi all

39 Il matematico, come il pittore e il poeta, è un creatore di forme e di strutture. Un matematico non ha materiali concreti su cui lavorare, ma solo idee e per questa ragione è probabile che i suoi disegni durino più a lungo. I disegni del matematico, come quelli del pittore e del poeta, devono essere belli, le idee, come i colori e le parole, devono combinarsi fra loro in modo armonico. La bellezza è il primo segno distintivo. G.H. Hardy, Apologia di un matematico Bibliografia essenziale Boyer C., Storia della matematica, Mondadori, Milano, 1980, Cap. 4-7 Giacardi L., Roero S., La matematica delle civiltà arcaiche (Egitto, Mesopotamia, Grecia), Stampatori, Torino, 1979, Cap. 4 Giusti E., Pitagora e il suo teorema, Il Giardino di Archimede, Firenze 2001 Kline M., Storia del pensiero matematico, (1972), Torino, Einaudi, I vol., 1991, Cap. 3, 4 I testi I presocratici. Testimonianze e frammenti, I vol. Laterza Bari,1983 Euclide, Gli Elementi, Classici della scienza, Utet, Torino,