Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; 2 π ]

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1 IV A GAT PRIMA VERIFICA DI MATEMATICA 3 ottobre 0 Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; π ] Risultati:. = π/6 e = 7π/6. =π/ ; =π/6 ; =π/6 3. =π/3 ; =π/3. =π/3 ; =π/3. π/<<3π/ 6. π/6<<π/6 7. π/3<<π/3 ; π/3<<π/3 8. 0<<π/6

2 Tema di matematica 9 novembre 0 Alunno:. Sono state effettuate 00 prove sul tempo di caduta di un liquido in un viscosimetro con un cronometro avente sensibilità di un centesimo di secondo, ottenendo i risultati riportati nella seguente tabella: tempo (s) frequenza assoluta,03,0 0,06 8,0 36, 6,3 7,6 frequenza relativa frequenza cumulata a) Dopo aver completato la tabella con le frequenze relative e cumulate, rappresenta le frequenze assolute con il diagramma che ritieni più opportuno. b) Calcola la media, la moda e la mediana. c) Calcola la varianza e la deviazione standard. NB: solo per la varianza tieni cifre decimali; per gli altri risultati bastano 3 cifre decimali.. In una classe di alunni, il giorno della verifica ci sono assenti. L insegnante, dopo aver corretto i compiti, stabilisce che la media è 6,. Se, dopo aver assegnato ai assenti una prova di recupero e averla valutata, la nuova media della classe è diventata 6,, qual è stata la valutazione media degli ultimi compiti? Possiamo dire con certezza che i alunni assenti hanno preso tutti più di 6?

3 3. In una classe di 6 allievi viene fatta un indagine sull ultimo libro letto. La seguente tabella riporta i risultati dell indagine. X indica il sesso (M o F) e Y il genere del libro. Y romanzo giallo fantasy X M 6 F 8 a. Determina la moda dei lettori maschi e delle lettrici femmine. b. Determina le distribuzioni marginali di X e Y. c. Determina la distribuzione di X condizionata alla modalità «romanzo» di Y. d. Costruisci la tabella teorica di indipendenza di X e Y. e. Valuta il grado di connessione.. I dipendenti di una piccola azienda variano da semestre a semestre a seconda degli ordini da soddisfare. La seguente tabella riporta quante persone lavorano in 6 semestri. X = numero di semestre Y = numero di dipendenti a. Rappresenta la nuvola di punti i, y i e determina le coordinate del baricentro. b. Calcola il coefficiente di correlazione lineare della distribuzione rappresentata. Arrotonda il risultato alla seconda cifra decimale. c. Scrivi l equazione della retta di regressione che esprime il personale in funzione del tempo. Fornisci i coefficienti arrotondati alla seconda cifra decimale. d. Sulla base del modello trovato, stima il numero di persone che lavoreranno nell azienda nel decimo semestre. Risposte:. a. fantasy,romanzo; e. 3.87; normalizzato 0. la connessione è quindi circa del % della massima possibile. a. (3.;.); b. r 0.83; c. ; d. 6 ( arrotondando ad un numero intero)

4 Tema di matematica 8 novembre 0 Alunno:. Il grafico seguente riporta le temperature registrate nel mese di maggio 03 a Roma, espresse in C. a) Limitatamente ai primi 0 giorni, determina la temperatura media e lo scarto quadratico medio e stabilisci qual è stata la massima escursione termica rispetto alla media. b) Se le temperature fossero espresse in Kelvin, il che richiederebbe di sommare 73 a ogni valore, come varierebbe la media? E lo scarto quadratico medio?. In una classe di alunni, il giorno della verifica ci sono assenti. L insegnante, dopo aver corretto i compiti, stabilisce che la media è 6,. Se, dopo aver assegnato ai assenti una prova di recupero e averla valutata, la nuova media della classe è diventata 6,7, qual è stata la valutazione media degli ultimi compiti? Possiamo dire con certezza che i alunni assenti hanno preso tutti più di 6,?

5 3. In una classe di 30 allievi viene fatta un indagine sull ultimo libro letto. La seguente tabella riporta i risultati dell indagine. X indica il sesso (M o F) e Y il genere del libro. Y romanzo giallo fantasy X M 3 7 F 6 a. Determina la moda dei lettori maschi e delle lettrici femmine. b. Determina le distribuzioni marginali di X e Y. c. Determina la distribuzione di X condizionata alla modalità «romanzo» di Y. d. Costruisci la tabella teorica di indipendenza di X e Y. e. Valuta il grado di connessione.. I dipendenti di una piccola azienda variano da semestre a semestre a seconda degli ordini da soddisfare. La seguente tabella riporta quante persone lavorano in semestri. X = numero di semestre Y = numero di dipendenti a. Rappresenta la nuvola di punti i, y i e determina le coordinate del baricentro. b. Calcola il coefficiente di correlazione lineare della distribuzione rappresentata. Arrotonda il risultato alla terza cifra decimale. c. Scrivi l equazione della retta di regressione che esprime il personale in funzione del tempo. d. Sulla base del modello trovato, stima il numero di persone che lavoreranno nell azienda nel decimo semestre. Risposte:. a. fantasy,romanzo; e..; normalizzato la connessione è quindi molto bassa circa del 3.7% della massima possibile. a. (3;.8); b r 0 98; c. 0 ; d. 38 ( arrotondando ad un numero intero)

6 Calcolo combinatorio 8//0 Fila A. In quanti modi posso disporre penne in un astuccio, scegliendole da un gruppo di 8 penne, tutte diverse tra loro?. Le targhe delle automobili sono formate da una coppia di lettere, una terna di numeri e infine una coppia di lettere. Le lettere variano possono essere solo perché sono state tolte la I, la O, la Q e la U. Quante targhe sono possibili? 3. In quanti modi posso mettere nella libreria libri sapendo che sono di autori diversi, che del primo autore ci sono 6 libri e del secondo 9 e che si vogliono mettere vicini i libri dello stesso autore?. Alla fine di uno spettacolo teatrale gli attori, uomini e donne, devono uscire a raccogliere gli applausi. In quanti modi si possono presentare al pubblico, supponendo che si dispongano in fila e considerando i maschi indistinguibili e le donne indistinguibili? In quanti modi si possono disporre se l ultimo della fila è un uomo (sempre considerando i maschi indistinguibili e le donne indistinguibili)?. In quanti modi diversi si possono scegliere persone per un interrogazione tra i alunni di una classe? 6. Usando solo le cifre,, 3, 6, 7, 8, quanti numeri di sei cifre, tutte distinte, si possono scrivere? Come cambierebbe la risposta, ammettendo di potere ripetere le cifre? Tra questi ultimi numeri (quelli dove si ammette anche di poter ripetere le cifre), quanti contengono almeno una volta la cifra 7? 7. Nella sala d attesa di uno studio medico ci sono 0 persone: 3 uomini al di sotto dei trent anni, al di sopra dei 0 e 3 signore. a. In quanti ordini possibili potrebbero essere arrivati, supponendo che nessuno sia arrivato contemporaneamente ad altri? b. Se fossero arrivate per prime delle 3 signore, in quanti ordini possibili potrebbero essere arrivati gli altri pazienti? 8. La combinazione di una cassaforte è formata da 8 cifre (ciascuna scelta tra 0 e 9). Sapendo che le cifre possono ripetersi e che l ultima cifra è pari, quante combinazioni sono possibili (considerando lo 0 pari)? Soluzioni: : 670 ( 8*7*6**) : ( **0*0*0** ) 3 : 7 00 ( 9!*6!* ) : 6 = 9!/(!*!) e 70 = 8!/ (!!) : 76 6 : 70 =6! ; 666= 6 6 ; 303 = : = 0! ; 0 30 =8! 8 : = 0 7 *

7 Calcolo combinatorio 8//0 Fila B. In quanti modi posso disporre 6 penne in un astuccio, scegliendole da un gruppo di 9 penne, tutte diverse tra loro?. Le targhe dei ciclomotori sono formate da 6 caratteri scelti tra quelli numerici e quelli alfabetici a eccezione dei caratteri 0,, A, E, I, O, Q, U. Quante targhe sono possibili? 3. In quanti modi posso mettere nella libreria libri sapendo che sono di autori diversi, che del primo autore ci sono libri e del secondo e che si vogliono mettere vicini i libri dello stesso autore?. Alla fine di uno spettacolo teatrale gli attori, uomini e 7 donne, devono uscire a raccogliere gli applausi. In quanti modi si possono presentare al pubblico, supponendo che si dispongano in fila e considerando i maschi indistinguibili e le donne indistinguibili? In quanti modi si possono disporre se l ultimo della fila è una donna (sempre considerando i maschi indistinguibili e le donne indistinguibili)?. In quanti modi diversi si possono scegliere persone per un interrogazione tra i 6 alunni di una classe? 6. Usando solo le cifre,, 3,,, 6, 9, quanti numeri di sette cifre, tutte distinte, si possono scrivere? Come cambierebbe la risposta, ammettendo di potere ripetere le cifre? Tra questi ultimi numeri (quelli dove si ammette anche di poter ripetere le cifre), quanti contengono almeno una volta la cifra? 7. Nella sala d attesa di uno studio medico ci sono 8 persone: uomini al di sotto dei trent anni, al di sopra dei 0 e signore. a. In quanti ordini possibili potrebbero essere arrivati? b. Se fossero arrivati per primi dei quattro uomini sopra i 0 anni, in quanti ordini possibili potrebbero essere arrivati gli altri pazienti? 8. La combinazione di una cassaforte è formata da 6 cifre (ciascuna scelta tra 0 e 9). Sapendo che le cifre possono ripetersi e che l ultima cifra è pari, quante combinazioni sono possibili (considerando lo 0 pari)? Soluzioni: : 6080 =9* 8*7*6** : = : =!*!* : 330 =!/(7!*!) e 0 = 0!/ (!6!) : 3 6 : 00 = 7! ; 83 3 = 7 7 ; = : 0 30 = 8! ; 70 =6! 8 : = 0 *

8 Nome e Cognome 8/0/0 Tema di probabilità. (3 punti )Vero o falso? a. la probabilità di un evento può essere uguale a V F b. dato un evento A e il suo evento contrario A, i due eventi A e A possono avere la stessa probabilità se e solo se la probabilità di A è uguale a 0, V F c. si estrae una carta da un mazzo di carte: «esce una figura» ed «esce una carta di cuori» sono eventi indipendenti V F d. la probabilità di A è 0,3; quella di B è 0,6 e quella di A B è 0,7: allora la probabilità di A B è il 0% V F e. se due eventi sono contrari, la somma delle loro probabilità è uguale a V F f. La seguente tabella definisce una variabile aleatoria. V F. ( punto ) Lanciando contemporaneamente tre monete calcola la probabilità dell evento E= le facce presentano Testa e Croce F= le facce presentano 3 Teste 3. ( punto ) Si lancia un dado due volte. Calcola la probabilità di ottenere: a. due numeri la cui somma è ; b. due numeri la cui somma è minore di.. (. punto ) Un oggetto prodotto da una macchina può presentare due tipi di difetti, diciamo A e B. Scelto a caso un oggetto prodotto dalla macchina, la probabilità che presenti il difetto A è 0,; la probabilità che presenti il difetto B è 0, e la probabilità che non presenti alcun difetto è 0,7. Determina la probabilità che l oggetto: a. presenti almeno uno dei due difetti; b. presenti entrambi i difetti; c. non presenti il difetto A ma presenti il difetto B.. ( punto ) Trova la varianza e lo scarto quadratico medio della variabile aleatoria della tabella riportata di seguito. 6. (. punto ) Una prova scritta di matematica è strutturata come test a risposta multipla: vi sono 9 domande, ognuna con possibili risposta, tra le quali una sola è esatta. Per ottenere la sufficienza occorre rispondere esattamente ad almeno 6 domande. Uno studente impreparato indica le risposte a caso: qual è la probabilità che ottenga la sufficienza? (Distribuzione binomiale con n=, p=. Lo studente ottiene la sufficienza se. Quindi la sua probabilità sarà la somma di tali probabilità, )

9 Nome e Cognome 8/0/0 Risultati:. F,V,V,V,V,F. 3/8, /8 3. /8, /. 0., 0.0, 0.. Varianza = 3,97; scarto quadratico medio =,99 6. Distribuzione binomiale con n=9, p=/ Lo studente ottiene la sufficienza se. Tale evento è l unione di eventi disgiunti e la sua probabilità sarà la somma di tali probabilità, cioè La probabilità che lo studente impreparato ottenga la sufficienza è: cioè circa %.

10 Esercizio Il 0% di un gruppo di persone ha contratto una data malattia. Ciascun individuo del gruppo viene sottoposto ad un test diagnostico per rilevare la malattia. Se un individuo è malato, la probabilità che il test risulti positivo è uguale a p; se un individuo non è malato, la probabilità che il test risulti negativo è ancora uguale a p. a) Il test relativo ad una persona del gruppo risulta positivo. Qual è la probabilità che abbia davvero contratto la malattia? b) Qual è il valore della probabilità calcolata nel punto precedente, se p = 9%? c) Affinché la probabilità calcolata nel punto a) sia superiore al 90%, quali valori deve assumere p? Soluzione: Dati: Risposta a): calcolo = Risposta b) : Risposta c): Denominatore >0 sempre, infatti : 9-8p>0 è p<9/8 Numeratore: Esercizio 0000 donne partecipano ad un programma di screening per la diagnosi precoce del tumore alla mammella. 66 di loro risultano positive al test e vengono subito sottoposte ad un approfondimento diagnostico (biopsia) che conferma la presenza del tumore in 3 casi. A 93 delle donne risultate negative al test viene diagnosticata la malattia successivamente, al di fuori del programma di screening. Riportare i dati in tabella e produrre una stima della sensibilità e della specificità del test. Calcolare i valori predittivi positivo e negativo del test.

11 Soluzione malato sano Sensibilità=Pr(+ malato)=3/=0.87 Specificità=Pr(- sano)=96/977=0.97 PPV=Pr(malato +)=3/66=0.0 NPV=Pr(sano -)=96/93=0.99 Esercizio 3 In una località marina la temperatura durante l anno si distribuisce normalmente con media C e deviazione standard C. Determina la probabilità che in un giorno a caso la temperatura sia: a) Minore o uguale a b) Maggiore di c) Compresa tra e d) Compresa tra 8 e e) Quante volte in un anno si registra la temperatura maggiore di 30 C? Soluzione: a) P(X )=0. b) P(X>) devo fare Z=(-)/=0. P(X>) =- P(X<) =-P(Z<0.) = =0.308 c) P( X )= P(0 Z 0.)= =0.9 d) P(8 X )= P(- Z 0.)= =0.38 e) N 30 =36*P(X>30)=36(-P(Z<))=36(-0.977)=8.3 Esercizio : La probabilità che un missile intelligente cada sull obiettivo è valutata 0,8. Qual è la probabilità che almeno due su missili intelligenti colpisca l obiettivo? Soluzione: P(X )= -P(X=0)-P(X=)=

12 . Disegna la seguente funzione esponenziale: y = +. Quale delle seguenti espressioni analitiche rappresenta l equazione della funzione esponenziale il cui grafico compare nella figura? A) y B) y C) y D) y 3. Risolvi le seguenti equazioni: = e =3 3 = = - 3 e =. Risolvi le seguenti disequazioni esponenziale <0 o > < < >. I virus presenti in un organismo aumentano secondo la legge, essendo N 0 =300 e t il tempo misurato in ore. Determinare: a) Il numero di virus dopo 36 ore N=378 b) Il numero di ore necessario perché i virus quadruplichino. T=9.8 ore

13 Esponenziali e modelli di crescita esponenziale. /0/0. Risolvi la seguente equazione esponenziale: Risolvi le seguenti disequazioni esponenziali: - v 0 - v 0<< 3. Il numero di uccelli di una specie in via di estinzione decresce esponenzialmente. Un modello che descrive l evoluzione della popolazione di uccelli è costituito dalla funzione: dove t indica il tempo ( in anni ) trascorso a partire da oggi e y indica il corrispondente numero di uccelli. Quanti esemplari di uccelli di quella specie ci sono in vita oggi? Quanti ce ne saranno tra anni? [3000; ] Tra quanto tempo gli esemplari in vita saranno soltanto 000? [9.3 anni ]. In 0. g di lievito di birra, la riproduzione delle cellule è descritta da una funzione esponenziale. Sappiamo che la massa triplica ogni ore ( ossia un giorno). Determina la funzione che descrive l aumentare della massa in funzione del tempo Quale sarà la massa del lievito dopo 0 giorni? [m(t)=0.*3 t, m(0)=0.*3 0 =90.9 g ]. Trova i punti di intersezione con gli assi e l asintoto orizzontale della funzione:. Disegna il grafico. Nello stesso sistema di assi cartesiani disegna anche il grafico della funzione: 6. Risolvi graficamente la seguente disequazione:

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15 . Risovi le seguenti equazioni logaritmiche: log 3 log 3 log log. Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche: 7 6 log -<<-6 ; -<< 3 3 log log 0 3log log { } /0<< ; > (0) /3 3. Rappresenta la seguente funzione:. Risolvi graficamente la disequazione:. Un modello che è stato sviluppato per descrivere il surriscaldamento globale ( cioè il progressivo aumento della temperatura media dell atmosfera terrestre e degli oceani) è costituito dalla funzione: Dove t indica il tempo (in anni) trascorso dal 900 e f(t) indica il corrispondente incremento della temperatura media (in C) della terra. Sulla base di questo modello, rispondi alle seguenti domande. a. Di quanto è aumentata la temperatura media della terra dal 900 al 00? Arrotonda il risultato alla prima cifra decimale. b. In quale anno la temperatura media della terra sarà C in più della temperatura media della terra nel 900? Arrotonda il risultato ad un numero intero. [0.9 C, 096] 6. Il numero dei donatori di organi in Italia è cresciuto negli ultimi anni molto rapidamente. Si è passati da.8 donatori effettivi registrati per milione di popolazione nel 99 al 0.8 nel 00. Assumendo una crescita esponenziale, quale sarà il numero di donatori per milione nel 00? In quale anno si avranno 00 donatori per milione di popolazione. [Nel 00 circa., saranno 00 nel 0] 7. Calcola il dominio della seguente funzione:

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