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2 Problema Esercizio Consideriamo i seguenti vettori di IR " : e' è ( 22 03) vs ( ) rtgfco/2o)ee? R '? : generano estrarre una base Scolorimento sappiamo che i vettori Ho d N generano R? Basterà capire se questi 4 vettori sono generati da Me NE Nz Osserviamo che va va reo

3 219 i va rigettata g Claire tinaia eiaosi# (aiia ai tb cioè bi : : È vz (10 00 ) (dio 10) ( %0)

4 Cosa generatori significa? " estrarre " una base da un insieme di Base insieme di indipendenti gonfi linearmente supponiamo che { va _ va } siano generatori " di un sottospazio S di R cioè S ehi va > fu è una base dis? cioè fra va } sono lin ind?

5 lineare 4 5 < te Uno di essi diciamo via ho trovato e conto In tal caso degli altri una base S < via Veniva <vt > t 9 sono bin / generano S ind? 9 fra vai là una base dis { va vai } sono tin dipendenti

6 < Uno di essi è conto lineare degli altri lo scarto 1 : I Hero il procedimento finche ' non trovo un insieme minimale di generatori cioè un insieme Fermi di s bin indipendenti (una base) Torniamo all' esercizio R " abete #X b i#7

7 d ( 22 03) Vs ( ) rtgfco/2o)rf ) 7 Vic È < vi Va ) e (22/03)01110 ( atb 1) tb ( iii00 ) atb 00 ) a 3 b a p µ E < Va va 7 È < va va > a ( g g i 1) ali io/1)tp(11oo) (ftpei o a) <

8 da f o ] Vs < vi 47 e ) vs è lin inedito vi va Vg È e va va 7 ( ) Ì a ) t b (1100 ) tc ( ) (atbtc atb e etc ) c : : i Qtc 0 a 2

9 ( ) e evita vs )? Ha E e Vi Va 7 ( 473 2) È a (110/1) + b ( iiiordtc ) latbtc atb ciatc) ( atbt } fatto C 3 QXC 2 atbtc io ( ) e vi va vs >

10 indip { vi va vs la } sono bin indi p p ehi Va 7 e vi va vs Va ) IR? In IR " stolasarsasimana dis Base : insieme di generatori di S lin teorema : ogni base di un sottospazio S ha lo stesso numero di elementi ( cardinali tà )

11 din ( s ) cardinali tà di ogni sua base te Ra ' Una base di IR è fiero ) basa canonica di R2 dim IREZ " una analogamente base di IR è g%ììì { (10 0) ( ) e ( 00 0 al } a Infatti questi lettori gaffe sono liti :

12 Abbiamo D) # ( XI Xn) Xi ( dio _ o) + Xz ( 01 0 a) t + info 04) ( 0 0 ) +1/10 io/txz(o 10 t Xnlo yo a) ( te Xu) > ti Xz Xn 0 ivelti Osservazione Sia S un sottospazio di IR " e sia dimsie Questo vuol dire che elementi ogni base di S ha K osservato che una base è

13 indipendenti un insieme minimale di generatori quindi 1 è il minimo numero di vettori che servono per generare S Ora osserviamo che te è anche il massimo numero di vettori liu dentro 8 Partiamo da IR? come si può costruire una bara di M " a partire da { me Yul lin indipendenti? se vi ne generano R"

14 indi sono già una base ( n n) Se Ken non bastano a generare IR " cioè esiste un lettore Wax E IR " Nati { We Nn } { we ma Nuti } sono lin indipendenti k ÌD Guitar"? Il massimo numero di vettori eiu in IR" èn? Perche ' altrimenti potrei costruire una base di IR " con un numero di vettori più grande

15 di n " Sia ora SE IR un sottospazio di IR? din D n < Se R " Se sia Nn } E IR ' aie:0?::s: trovarci nei vettori liu Ind dentro al " 3

16 in c " Sia S un sottospazio di IR e siamo { un sur } vettori liu iudip 1 S Generano S? a ti Lee s t urti ella Vr > 4 Allora considero fifoni hai } fra arte liveint una base dis Generano S? a

17 ytz te ne { Vai hai } Vado avanti è una base dis ; 1 completamento di un INSIEME toi vettori ( ( µ INDIPENDENTI IN / questo Ad un certo punto procedimento tua fine perché sono una Base in IR " e dentro IR " non ci sono più di inventori lini indipendenti Esempio sia S { lxiy zitte R " ) x t of

18 Completare Osserviamo che ( 11 00) e S { 4190) } in una base di S Osservo subito che SAR " perché ad esempio Gioia s± ( stentatamente : verificare esercizio) I din S E3 ( o a a o) E 5 ed è Lin inedito da (110/0) perché MI ( 00 a) a) E si è un suo multiplo È Lin inorip da ( in e

19 Io i iq? a liveqltpcoihhqtciq ) fi DI sono lin indipendenti vettori in S dim SE 3 base di S Avrei potuto procedere cercando prima un insieme di generatori di S e poi " estraendo " da esso una base S > ftpzc#yztoy

20 D I) imd { ( y z ytz ) e R " } s ( tz (00/41) + ( 10 o 1) t y ( o 10 sono lin? ( no 01 ) è bin indi perché non molto ( home ) e ( odio sono bin ind perché non sono uno multiplo dell'altro bingin?eelnoqhloiiqd 5

21 indipendenti {Iiii sono bin indipendenti individuano una base di S dimslt Abbiamo visto che ci sono (almeno ) a modi di costruire una base di un sottospazio SER " ) A partire da un insieme di 2) A partire da vettori bin ::c un insieme di generatori

22 dai precedenti finchenon trovo un insieme di generatori COMPLETAMENTO / generatori lini dipendenti dagli altri finche ' non trovo un insieme di / minima ESTRAZIONE Esempio Dati i vettori iiiii e) e ( ) di IR " osservare che sono lin di R? indipendenti a completarli in una base / III io 111 e i 12) sono Lin indipendenti

23 perche ' ven Sona uno multiplo dell' altro Per completare gli ( in una base di M " devo aggiungere 2 vertici in modo che tutti e ci siano lin indipendenti Per esempio posso aggiungere innanzitutto io quo ) sono lin indipendenti h01 } # A questo punto posso aggiungere ( coppia) e osservare che { hai 4 9 ' io ) 45 0 F il } sono bin indip ' poiché sono a vettori in IR " bin indipendenti sono necessariamente una base di IR " ( Perché se non

24 generassero di R " bin R " io potrei trovare un quinto vettore Ind da essi e costruire così una base di IR " ' con piu questo non è possibile! ) di 4 elementi ma

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