ALGEBRA LINEARE: LEZIONI DAL 10 AL 18 OTTOBRE

Transcript

1 ALGEBRA LINEARE: LEZIONI DAL 10 AL 18 OTTOBRE Sommario delle lezioni 10 Ott: Lezione 4. Dipendenza ed indipendenza lineare. Sottospazio generato da un sottoinsieme. Sottospazio generato da un numero finito di elementi. Generatori lineari di uno spazio vettoriale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Basi di R n. Basi diverse di uno stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi. Dimensione di uno spazio vettoriale. (due ore) 16 Ott: Lezione 5. Sistemi di equazioni lineari. Soluzioni di un sistema omogeneo e indipendenza lineare delle colonne della matrice associata. n elementi linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale di dimensione n sono una base. Compatibilità di sistemi quadrati non singolari. Struttura delle soluzioni di un sistema qualsiasi: spazi affini e sottospazi affini di uno spazio vettoriale. Rango di un applicazione lineare e di una matrice. (due ore) 18 Ott: Lezione 6. Teorema di Rouché-Capelli. Rango di una matrice. Se T : V W è lineare, dim Im T + dim Nucleo T = dim V. Condizioni per la compatibilità di un sistema di equazioni lineari. Introduzione ai determinanti. Proprietà dei determinanti. Calcolo di determinanti 2 2 e 3 3. Dipendenza lineare e determinanti. Determinante di matrici diagonali e triangolari. Se le colonne di una matrice sono linearmente dipendenti, il determinante è zero. (due ore) Risultati essenziali. Dipendenza e indipendenza lineare. Se ho alcuni vettori v 1, v 2,..., v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,..., v n di V da loro generato è l insieme di tutte le combinazioni lineari, ovvero dei vettori della forma α 1 v α nv n, al variare di α 1,..., α n tra i numeri reali. Non è detto che tutti i vettori siano necessari per generare W : se ad esempio uno di essi diciamo v 1 si esprime come combinazione lineare degli altri, bastano v 2,..., v n a generare W. Se nessuno dei vettori si esprime come combinazione lineare dei rimanenti, tutti sono necessari a generare W. In tal caso i vettori si dicono linearmente indipendenti. Una proprietà equivalente, che è quella utilizzata in classe per definire la lineare indipendenza, è che l unica combinazione lineare dei vettori v 1,..., v n a dare il vettore nullo è quella con tutti coefficienti nulli. In altri termini α 1 v α nv n = 0 = α 1 = α 2 =... = α n = 0 2. Ovviamente, se ho dei vettori che non sono linearmente indipendenti, dirò che sono linearmente dipendenti! Alcune banalità sulla dipendenza lineare: Se uno tra v 1,..., v n è il vettore nullo, allora i vettori non sono linearmente indipendenti. Se ho dei vettori linearmente dipendenti, anche aggiungendone degli altri rimangono linearmente dipendenti. Un vettore preso da solo è sempre linearmente indipendente se non è il vettore nullo. Se un vettore si esprime come combinazione lineare di v 1,..., v n in più maniere diverse, allora v 1,..., v n sono linearmente dipendenti. Se un vettore si esprime in maniera unica come combinazione lineare di v 1,..., v n, allora essi sono linearmente indipendenti. Le ultime due proprietà dipendono dal fatto che se le combinazioni lineari α 1 v α nv n e β 1 v β nv n sono entrambe uguali a v, allora la differenza (α 1 β 1 )v (α n β n)v n è il vettore nullo, e viceversa. Basi. Si definisce il concetto di base per poter trovare degli elementi che giochino, in spazi vettoriali che non siano i nostri bravi R n, il ruolo degli elementi (1, 0, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0), ecc... La proprietà essenziale di queste n-uple è che ogni vettore di R n si esprime in modo unico come 1 Il fatto che questo sottoinsieme sia un sottospazio vettoriale è facile da mostrare. E quindi anche il minimo sottospazio vettoriale di V contenente i vettori dati. 2 Per mostrare che è equivalente all altra proprietà basta osservare che se una combinazione lineare a coefficienti non tutti uguali a zero dà il vettore nullo, ognuno dei vettori che vi compaiono si scrive come combinazione lineare dei rimanenti. 1

2 2 ALGEBRA LINEARE I loro combinazione lineare. Una base dello spazio vettoriale V è un insieme di vettori di V con la proprietà che ogni altro elemento di V si scriva, e si scriva in maniera unica, come loro combinazione lineare. In altre parole, i vettori sono linearmente indipendenti, e il sottospazio vettoriale che generano è tutto V. Costruire basi è facile: si sceglie un vettore (non nullo) a caso in V. Se i suoi multipli esauriscono V, ovvero se tutti gli elementi di V sono multipli del vettore che abbiamo scelto, abbiamo terminato; altrimenti scegliamo un altro vettore di V al di fuori di questa retta. Se con le combinazioni lineari dei primi due vettori raggiungiamo tutti gli elementi di V abbiamo terminato, altrimenti scegliamo un altro vettore al di fuori, e continuiamo così fin quando non riusciamo a generare tutto V. A quel punto 3 avremo ottenuto una base di V. Alla stessa maniera, se ho dei vettori di V linearmente indipendenti, posso sempre scegliere altri vettori come appena descritto in modo che tutti insieme formino una base di V. Si dice che ho completato i vettori ad una base di V. Le basi sono inestimabili per lo studio degli spazi vettoriali, come vedremo in seguito. Per il momento ho fatto vedere a lezione che se uno spazio vettoriale V ha una base di n elementi, non ci può essere un insieme di vettori linearmente indipendenti se questi vettori sono più di n. La dimostrazione che ho dato è stata un po macchinosa, e la richiamo qui sotto con tutti i dettagli. Questo fatto ha anche un altra conseguenza. Se ho una base di V costituita da n vettori, e altri n vettori che sono linearmente indipendenti, questi ultimi devono essere necessariamente una base di V. Ad esempio, se ho tre vettori linearmente indipendenti in R 3, questi formano per forza una base. In quello che segue, V è uno spazio vettoriale, e v 1,..., v n ne costituiscono una base. Un sottospazio di V che contenga i vettori v 1,..., v n è tutto V. La dimostrazione è immediata. Un sottospazio che contiene dei vettori, contiene tutte le loro combinazioni lineari. Siccome v 1,..., v n sono una base di V, posso ottenere ogni altro vettore come loro combinazione lineare. Se w = α 1 v α nv n e α i 0, il sottospazio generato dai vettori v j, j i insieme a w è tutto V. Anche questo è facile. Il sottospazio generato da alcuni vettori ne contiene le combinazioni lineari. Il sottospazio generato dai vettori v j, j i e da w contiene sicuramente tutti i v j, j i. Ma contiene anche v i. Infatti la combinazione lineare (w α 1 v 1 α 2 v 2... α i 1 v i 1 α i+1 v i+1... α nv n)/α i è esattamente uguale a v i. Il nostro sottospazio contiene tutti i vettori di una base, e quindi coincide con l intero V. Nelle stesse ipotesi di sopra, i vettori v j, j i e w sono una base di V. Sappiamo già che questi vettori generano tutto V. Basta quindi dimostrare che sono linearmente indipendenti. Per semplificare la dimostrazione, faccio finta che i = 1, tanto posso sempre riordinare gli n vettori v 1,..., v n in modo che v i venga per primo... Faccio vedere che se w, v 2,..., v n sono linearmente dipendenti v 1,..., v n non possono essere una base di V. Se i vettori w, v 2,..., v n sono linearmente dipendenti, allora c è una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli β 1 w + β 2 v β nv n = 0. Il problema è che β 1 non può essere né uguale a zero, né diverso da zero. Infatti se è zero, allora la combinazione lineare appena scritta mostra che v 2,..., v n sono linearmente dipendenti, mentre sappiamo che insieme a v 1 formano una base. Se invece β 1 0 allora possiamo sfruttare l identità di sopra per scrivere w come combinazione lineare di v 2,..., v n. Ma sapevamo già come scrivere w come combinazione lineare di v 1, v 2,..., v n, e avevamo supposto che il coefficiente di v 1 non fosse zero. Quindi w si esprime in due modi diversi come combinazione lineare di v 1,..., v n, che però sono una base. Finora abbiamo mostrato che se abbiamo una base v 1,..., v n, ed un vettore w = α 1 v α nv n, sostituendo w al posto di v i otteniamo di nuovo una base SE α i 0. 4 Attenzione: sono n sia i Se v 1,..., v n è una base di V, e w 1,..., w n sono linearmente indipendenti, allora primi che i secondi!! sono anch essi una base. Subdola applicazione del trucco di prima. Prendo w 1. E sicuramente diverso da zero, perché i vettori sono linearmente indipendenti. Esprimo w 1 come combinazione lineare dei v 1,..., v n. Uno dei coefficienti non è nullo, allora se sostituisco w 1 al posto del corrispondente v i, sono ancora una base. Passo a w 2 e lo sostituisco ad un altro, e faccio così anche con w 3,..., w n. Se tutto è andato bene, dopo aver sostituito questi vettori sono rimasto con w 1,..., w n che devono quindi essere una base. Che cosa può essere 3 C è la possibilità che quel punto non arrivi mai. Se questo accade, di dice che lo spazio vettoriale V ha dimensione infinita. Nonostante ci siano altre maniere di costruire una base di V in questo caso, faremo finta di ignorare questa eventualità e per la maggior parte del corso considereremo soltanto spazi vettoriali di dimensione finita. 4 Se αi = 0 invece, non c è speranza che sia una base.

3 ALGEBRA LINEARE I 3 andato storto? Magari ho sostituito uno dei vettori w i al posto di un altro w j invece che di uno dei v j. Devo controllare che posso sempre evitarlo. Posso sostituire w i al posto dei vettori il cui coefficiente nella combinazione lineare che esprime w i non sia zero. Ebbene, c è sempre un vettore tra i v j il cui coefficiente non sia zero. Infatti, se i coefficienti di tutti i v j sono nulli, vuol dire che w i si scrive come combinazione lineare dei soli w j. Questo non può succedere perché sono linearmente indipendenti. Se v 1,..., v n è una base di V, e w 1,..., w h sono linearmente indipendenti, allora h n. A questo punto è facile: se h > n, w 1,..., w n sono una base per quello che abbiamo detto prima. Ma allora w n+1 si scrive come combinazione lineare di w 1,..., w n e quindi w 1,..., w h sono linearmente dipendenti. Quindi h > n non è possibile. Se v 1,..., v n e w 1,..., w m sono due basi di V, allora m = n. Per quanto detto prima, se m > n avrei più di n vettori linearmente indipendenti con una base di n elementi. Se m < n scambio le due basi e ripeto l argomento. Se W è un sottospazio di V e dim W = dim V allora W = V. Scelgo una base di W ed una di V. La base di W è un insieme di vettori linearmente indipendenti. Poiché sono nello stesso numero dei vettori di una base di V, sono anch essi una base di V. Quindi W deve essere tutto V. Rango di un applicazione lineare. Prendiamo un applicazione lineare T : V W. Abbiamo già visto che l immagine di T è un sottospazio vettoriale di W. La dimensione di questo sottospazio vettoriale è il rango di T, e si indica rg T. Chiaramente, rg T dim W, dal momento che la dimensione di un sottospazio vettoriale è minore o uguale alla dimensione dello spazio vettoriale che lo contiene. Inoltre rg T = dim W solo quando T è suriettiva, cioè quando l immagine di T coincide con tutto W. Se T va da R m a R n, e conosciamo la matrice associata a T, sappiamo che l immagine di T è il sottospazio di W generato dalle colonne della matrice. In generale però le colonne non sono linearmente indipendenti, e quindi non rappresentano una base di Im T. Ho spiegato a lezione come scegliere alcune delle colonne in modo che formino una base dell immagine: prendo tutte le colonne della matrice che non sono combinazione lineare delle precedenti. In pratica prendo la prima se non è il vettore nullo, la seconda se non è un multiplo della prima, la terza se non si scrive come combinazione lineare delle prime due e così via. I vettori così ottenuti sono linearmente indipendenti per costruzione! Infatti, se c 1,..., c r sono le colonne selezionate, non posso avere una loro combinazione a coefficienti non tutti nulli che dia il vettore nullo. Se così fosse, avrei α 1 c 1 + α 2 c α rc r = 0, con gli α i non tutti nulli. Ma allora se porto a secondo membro l ultimo dei termini che compaiono nella combinazione lineare, e divido per il suo coefficiente, riesco ad esprimere questa colonna della matrice come combinazione lineare di colonne precedenti, mentre l ho scelta proprio perché questo non succedeva! Le colonne c 1,..., c r sono allora una base dell immagine, ed il rango è uguale ad r. Sistemi lineari e dipendenza lineare. Un sistema di equazioni lineari si dice omogeneo se i termini noti sono tutti nulli, e non omogeneo altrimenti. Sappiamo già che le soluzioni di un sistema omogeneo sono un sottospazio vettoriale, perché rappresentano il nucleo dell applicazione lineare individuata dai primi membri del sistema di equazioni 5. Se sto risolvendo invece un sistema non omogeneo, le sue soluzioni non formano un sottospazio vettoriale. In ogni caso, la differenza di due qualsiasi soluzioni è una soluzione del sistema omogeneo corrispondente (stessi primi membri, termini noti tutti nulli); nella stessa maniera la somma di una soluzione di un sistema non omogeneo e di una del sistema omogeneo associato è ancora soluzione dello STESSO sistema non omogeneo. Questo ci ha permesso di concludere che, una volta nota una soluzione particolare 6 di un sistema non omogeneo, le altre soluzioni sono tutte e sole quelle che si scrivono come somma della soluzione particolare e di una qualche soluzione del sistema omogeneo associato. Geometricamente, questo vuol dire che le soluzioni di un sistema non omogeneo si ottengono traslando le soluizoni del sistema omogeneo associato (che è un sottospazio vettoriale) di una traslazione pari ad una soluzione particolare. Questo ci permette di concludere che gli insiemi di soluzioni hanno la stessa struttura. Se la soluzione del sistema omogeneo associato è unica, un sistema non omogeneo non può avere più di una soluzione 7. Se le soluzioni del sistema omogeneo associato formano una retta, un sistema non omogeneo ha per insieme delle soluzioni quella stessa retta traslata, e così via. Lo studio della 5 Ovviamente suppongo di mettere nel primo membro di ciascuna equazione le incognite, e nel secondo membro i termini noti. 6 Che posso scegliere come mi pare. 7 Fermo restando che potrebbe non avere soluzioni. Però quando ne ha, la soluzione DEVE essere unica.

4 4 ALGEBRA LINEARE I id è la matrice identità molteplicità delle soluzioni di un sistema si riduce quindi allo studio delle soluzioni del sistema omogeneo associato. Dobbiamo rispondere a due domande fondamentali: quante soluzioni ha un dato sistema lineare omogeneo? Come faccio a capire se un sistema non omogeneo ha soluzioni? A lezione ho risposto alla prima domanda mostrando che la dimensione del nucleo di una applicazione lineare T : V W (leggi: la dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo) è pari a dim V rg T (leggi: il numero di incognite meno il rango della matrice dei coefficienti). Ho fatto vedere questo fatto risolvendo esplicitamente il sistema di equazioni, ed ottenendo una base dello spazio delle soluzioni composta esattamente di dim V rg T vettori. Qui do una dimostrazione alternativa un po più astratta, ma che ha il pregio di funzionare per spazi vettoriali qualsiasi, mentre quella data a lezione funziona solo se V e W sono R m ed R n. Prendiamo un applicazione lineare T : V W. Il nucleo di T è un sottospazio vettoriale di V. Posso sceglierne una base {v 1,..., v n} del nucleo di T (sarà formata da vettori di T linearmente indipendenti) e completarla ad una base {v 1,..., v n, w 1,..., w r} di V. Siccome ogni vettore di V si scrive come combinazione lineare di questi n + r vettori, ogni vettore dell immagine di T si scrive come combinazione lineare dei vettori T (v 1 ),..., T (v n), T (w 1 ),..., T (w r). Ora, i vettori T (v 1 ),..., T (v n) sono chiaramente tutti nulli, perché abbiamo scelto v 1,..., v n all interno del nucleo di T. Perciò l immagine di T è generata dai vettori T (w 1 ),..., T (w r). Ora voglio mostrare che questi r vettori sono necessariamente linearmente indipendenti. Prendiamo una combinazione lineare α 1 T (w 1 )+...+α rt (w r) uguale al vettore nullo. Voglio far vedere che tutti i coefficienti α i sono nulli. T è lineare, e riesco a scrivere 0 = α 1 T (w 1 ) α rt (w r) = T (α 1 w α rw r) perciò il vettore w = α 1 w α rw r appartiene al nucleo di T. Ma siccome v 1,..., v n formano una base del nucleo w si scrive anche come combinazione lineare dei soli v 1,..., v n. Se gli α i non sono tutti nulli, w si scrive in due modi diversi come combinazione lineare dei vettori v 1,..., v n, w 1,..., w r, il che è impossibile, perch formano una base di V. Ricapitolando, l immagine di T è generata dai vettori T (w 1 ),..., T (w r) che sono linearmente indipendenti. Questi vettori sono quindi una base di Im T, e quindi dim Im T = r. Inoltre V ha una base v 1,..., v n, w 1,..., w r costituita da n + r vettori, quindi dim V = n + r. Allo stesso modo, il nucleo di T ha una base v 1,..., v n di n vettori, e quindi ha dimensione n. Concludiamo che dim V = n+r = rg T +dim ker T. 8 Come conseguenza abbiamo che se le colonne dei coefficienti di un sistema omogeneo sono linearmente indipendenti (e quindi dim V = rg T ) allora la dimensione dello spazio delle soluzioni è zero, e quindi l unica soluzione è quella banale. Il teorema di Rouché-Capelli. La risposta alla seconda domanda è data dal teorema di Rouché- Capelli, che dice che un sistema non omogeneo ammette soluzioni se la matrice dei coefficienti del sistema di equazioni, e la matrice ottenuta aggiungendo come ulteriore colonna alla matrice dei coefficienti quella dei termini noti, hanno lo stesso rango. Le espressioni che ho visto in giro erano talmente convincenti che sono tentato di non rispiegarlo... Basti ricordare che se vado a calcolare il rango delle due matrici come ho spiegato più sopra, nel calcolare il rango della seconda matrice mi pongo alla fine il problema di stabilire se la colonna dei termini noti si scriva o meno come combinazione lineare delle precedenti o meno. Se si scrive come combinazione lineare, allora il sistema ha soluzione, ed i ranghi sono uguali. Se non si scrive come combinazione lineare, allora il sistema non ha soluzione, ed il rango della seconda matrice è uno in più di quello della prima. Determinanti. Vi ho spiegato abbondantemente a lezione come si calcolano i determinanti di matrici quadrate. Ricordo qui soltanto le proprietà essenziali dei determinanti. Scambiare tra loro due colonne moltiplica il determinante per 1. Moltiplicare una colonna per λ moltiplica il determinante per λ. Se A, B, C sono tre matrici quadrate uguali in tutto tranne che in una colonna, e in questa colonna della matrice C è la somma delle corrispondenti colonne di A e B, allora det A + det B = det C. det id= 1. Queste proprietà determinano univocamente la funzione determinante. Hanno come conseguenze (alcune più, altre molto meno immediate) queste altre: Il determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi sulla diagonale. Il determinante di una matrice triangolare superiore o inferiore è il prodotto degli elementi sulla diagonale. Il determinante di una matrice con una colonna nulla è zero. 8 Gli articoli di ricerca sono solitamente scritti in inglese, e l abbreviazione tradizionale di Nucleo è sorprendentemente ker.

5 ALGEBRA LINEARE I 5 Se le colonne della matrice A sono linearmente dipendenti, il determinante di A è zero. det AB = det A det B det A t = det A. 9 In particolare tutto quello che abbiamo detto per le colonne è vero anche per le righe! Se le colonne della matrice A sono linearmente indipendenti, il determinante di A non è zero. Dipartimento di Matematica, Università degli studi di Roma La Sapienza address: dandrea@mat.uniroma1.it 9 A t è la matrice trasposta della matrice A. Si ottiene da A scambiando le righe con le colonne.