Sistemi di numerazione. Anno accademico

Transcript

1 Sistemi di numerazione 1

2 Ancora un po di preistoria 1 I primi esempi di utilizzo di sistemi di numerazione risalgono al neolitico, ovvero a circa anni fa In epoca preistorica, le più utilizzate furono le basi 2, 5, 10, 20, 12, e 60 Mentre le basi 2, 5, 10 e 20 sono suggerite dalla fisiologia umana, 12 e 60 sembrano suggerite da scopi utilitaristici: 12 è divisibile per 1, 2, 3, 4, 6 e 12 mentre 60 per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 La base 12 è ancora utilizzata in alcune misure di tempo, 60 nella misurazione di angoli e tempo 2

3 Ancora un po di preistoria 2 Da notare che il 7 non compare mai nelle basi di numerazione e, in effetti, ebbe significati particolari, anche religiosi, presso i popoli antichi Il 7 esprime infatti la globalità, l universalità, l equilibrio perfetto Era legato al compiersi del ciclo lunare Presso i Babilonesi erano ritenuti festivi, e consacrati al culto, i giorni di ogni mese multipli di 7 3

4 E di storia 1 Tra le prime testimonianze certe dell utilizzo di concetti aritmetici avanzati vi sono le tavole numeriche babilonesi, elenchi di numeri utilizzati per calcoli astronomici e di agrimensura, risalenti al X secolo a.c. Tuttavia, nelle culture dell antica Mesopotamia, esistevano tabelle per le addizioni e le sottrazioni già durante il regno di Sargon I, intorno al 2350 a.c. 4

5 E di storia 2 Il documento più significativo dell antico Egitto è il papiro di Ahmes o Ahmose, dal nome dello scriba che lo compose nel 1650 a.c. Lo stesso Ahmes sostiene inoltre che il suo materiale è tratto da un documento anteriore, e fa risalire l originale ad Imhotep, medico e architetto del faraone Djoser della III dinastia, e quindi al 2650 a.c. circa Imhotep è ritenuto l architetto della grande piramide a gradoni di Saqqara, la cui enorme base quadrata ha lati perfetti al centimetro! 5

6 I numeri in Mesopotamia 1 Un antichissimo strumento utilizzato un po ovunque per aiutarsi nei conteggi è costituito da semplici sassolini Non a caso la parola calcolo deriva dal latino calculus, che significa appunto sassolino Appartengono alla civiltà dei Sumeri varie tavolette che contengono i più antichi segni numerali usati dall uomo e risalgono al a.c. Inizialmente, però, i Sumeri avevano semplicemente perfezionato il metodo dei sassolini, costruendone di particolari, in terracotta, di forme e dimensioni diverse, ciascuno con un proprio valore 6

7 I numeri in Mesopotamia 2 I simboli fondamentali usati nella numerazione sumera corrispondono ai numeri 1, 10, 60, 600, 3600, I valori dei sassolini sono crescenti secondo una scala che procede per 10 e per 6 alternativamente

8 I numeri in Mesopotamia 3 Il sistema di rappresentazione dei valori attraverso i calculi è un sistema additivo Come in ogni sistema di rappresentazione additivo, l operazione di addizione risulta particolarmente semplice Per addizionare due o più valori basterà infatti mettere insieme i simboli uguali di ciascuno degli addendi: l addizione è compiuta nel gesto stesso dell unione dei sassolini L insieme dei sassolini indicherà complessivamente il valore risultato dell addizione 8

9 I numeri in Mesopotamia 4 Successivamente i Sumeri, per motivi di praticità, realizzarono gli stessi simboli su tavolette di argilla, utilizzando bastoncini di diverse dimensioni cominciarono cioè a scrivere i numeri 9

10 I numeri in Mesopotamia 5 Tavoletta pittografica con un conto di 33 misure d olio (Godin Tepe, Iran, 3100 a.c.) 10

11 I numeri in Mesopotamia 6 Un ruolo speciale nell aritmetica sumera spetta dunque ai numeri 10 e 60: caratteristica ereditata poi dal sistema babilonese Vari secoli dopo, attorno al XIX secolo a.c., a partire dall antica numerazione sumera, gli scienziati Babilonesi crearono infatti un sistema di scrittura basato sui soli due simboli: cuneo verticale = 1 parentesi uncinata = 10 11

12 I numeri in Mesopotamia 7 Si rappresentavano i numeri da 1 a 59 Per i numeri successivi, si ha la prima testimonianza dell uso di una notazione posizionale Non si introducevano infatti altri simboli, ma si affiancavano gruppi di cunei per indicare le successive potenze del 60 Si tratta dunque di un sistema di numerazione posizionale (come il nostro, ma) in base 60 12

13 I numeri in Mesopotamia 8 13

14 I numeri in Mesopotamia 9 Tavoletta di argilla ( a.c.) contenente un elenco di terne pitagoriche (misure dei lati di un triangolo rettangolo) 14

15 I numeri in Mesopotamia 10 Ad esempio: = 7322 Il sistema di spaziatura consentiva di risolvere le ambiguità di interpretazione dei raggruppamenti Ai tempi di Alessandro Magno era però invalso anche l uso di un simbolo (due cunei obliqui) per indicare un posto vuoto; questo simbolo svolgeva alcune funzioni del nostro zero, ma non tutte: veniva usato fra colonne e mai per indicare colonne vuote alla fine della sequenza 15

16 I numeri nell antico Egitto 1 La civiltà degli Egizi ci ha lasciato alcune fra le più antiche tracce di matematica scritta I primi numeri scritti si individuano infatti su monumenti e stele databili all inizio del III millennio a.c. Si tratta di iscrizioni che impiegano il sistema geroglifico, geroglifico la scrittura pittografica egizia 16

17 I numeri nell antico Egitto 2 Nel sistema geroglifico vengono riservati ai numeri sette simboli diversi per rappresentare le potenze del 10, da 1 a 106 I geroglifici utilizzati erano: Pastoia per bestiame o giogo Rotolo di fune Bastoncino Ninfea o fiore di loto Uomo a braccia levate, simbolo del dio Heh Dito Girino o rana 17

18 I numeri nell antico Egitto 3 I numeri venivano formati raggruppando i simboli, generalmente posti in ordine dal più piccolo al più grande, da sinistra a destra (o viceversa) Il sistema di numerazione non è, tuttavia, posizionale L ordine dei simboli che definiscono le potenze del 10 può venire alterato senza cambiare il valore del numero rappresentato L ordine è una sorta di convenzione linguistica, senza significato matematico 18

19 I numeri nell antico Egitto 4 =

20 I numeri nell antica Grecia 1 Nella civiltà greca classica sono noti due principali sistemi di numerazione attico ed è per molti aspetti simile a quello in uso presso i Romani; utilizzava infatti accanto ai simboli fondamentali per l 1 e le potenze di 10 fino a 10000, un simbolo speciale per il 5, che combinato con i precedenti, dava altri simboli anche per 50, 500, 5000, Il primo, più antico, è noto come Compaiono testimonianze di questo sistema dal V al I secolo a.c. ma, a partire dal III secolo, si diffonde anche il sistema detto ionico o alfabetico 20

21 I numeri nell antica Grecia 2 Il sistema ionico si serve di ventisette simboli alfabetici (alcuni dei quali arcaici e non più usati nella Grecia classica) per indicare le unità da 1 a 9, le decine da 10 a 90, le centinaia da 100 a 900 Si usavano poi nuovamente le prime nove lettere precedute da un apice in basso per indicare i multipli di 1000, e per esprimere numeri ancora più grandi si ricorreva al simbolo M (iniziale di miriade) che indicava la moltiplicazione per del numero che seguiva Sistema di numerazione decimale additivo 21

22 I numeri nell antica Grecia 3 Ad esempio: =

23 I numeri nell antica Roma 1 Nel sistema di numerazione romano, a base decimale, ci si serviva, come è noto, anche di simboli speciali per indicare 5, 50, 500 Alcune antiche epigrafi inducono a ritenere che i segni usati fossero inizialmente segni speciali, forse di origine etrusca, che solo successivamente furono identificati con le lettere I, V, X, L, C, D, M I V X 1 L C D M

24 I numeri nell antica Roma 2 La scrittura dei numeri additivamente i segni avveniva combinando Per agevolare scrittura e lettura si diffuse più tardi un sistema sottrattivo già utilizzato, ad esempio, dagli Assiri (che ha traccia anche nelle forme verbali come ad esempio undeviginti, stessa cosa di decem et novem ) Un simbolo posto alla sinistra di un simbolo di quantità maggiore viene sottratto, così IX e VIIII indicano entrambi il numero 9 Ancora in epoca tarda, un segno che prese l aspetto di una linea orizzontale posta sopra le lettere serviva per indicarne la moltiplicazione per

25 La storia continua Per molte centinaia di anni ancora (con l unica eccezione dei Babilonesi) gli uomini hanno continuato ad utilizzare sistemi di numerazione additivi Più semplici da usare dato che la somma si fa da sé Poco adatti a rappresentare numeri grandi (che presuppongono l uso di tanti simboli posti gli uni accanto agli altri) 25

26 Dall India il sistema decimale 1 La civiltà indiana, più antica delle civiltà classiche, è già documentata dal 3000 a.c. Sebbene l uso della matematica dovesse essere ben sviluppato già in epoca arcaica, i primi testi che ci sono giunti risalgono al V secolo d.c. Non è però ancora chiaro dove e quando si sia sviluppato il sistema di notazione decimale posizionale che, in seguito, attraverso gli Arabi, Arabi si è diffuso in Europa 26

27 Dall India il sistema decimale 2 Tale sistema viene utilizzato nell opera del matematico indiano vissuto attorno al 500 d.c. Aryabhata, la più antica che ci è pervenuta (se si eccettuano frammenti sparsi di matematici anteriori), dove però manca ancora l uso di un simbolo zero Testimonianze di scritture in forma posizionale si registrano anche prima del manuale di Aryabhata, mentre per avere datazioni sicure di forme complete in cui compare anche il simbolo zero occorre arrivare al IX secolo d.c. 27

28 Dall India il sistema decimale 3 L idea di usare un numero limitato di simboli a cui dare valore diverso a seconda della posizione occupata può essere stata, secondo alcuni studiosi, sviluppata dagli Indiani per conoscenza diretta o ereditata dai Greci del sistema sessagesimale babilonese Gli Indiani avrebbero allora iniziato ad utilizzare solamente i primi 9 simboli del loro sistema decimale in caratteri Brahmi, in uso dal III secolo a.c. 28

29 Dall India il sistema decimale 4 I simboli assumono forme diverse a seconda delle zone e dei periodi, ma sono comunque quelli che gli Arabi più tardi utilizzarono e che, dalla forma araba, sono passati in Europa, fino alla forma definitiva resa uniforme dalla stampa nel XV secolo 29

30 Sistemi di numerazione posizionali Sistemi di numerazione posizionali: posizionali La base del sistema di numerazione Le cifre del sistema di numerazione Il numero è scritto specificando le cifre in ordine ed il suo valore dipende dalla posizione relativa delle cifre Esempio: Il sistema decimale (Base 10) Cifre : = Posizione:

31 Sistemi in base B La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema di numerazione La cifra di minor valore è sempre lo 0; le altre sono, nell ordine, 1,2,,B 1; se B>10 occorre introdurre B 10 simboli in aggiunta alle cifre decimali Un numero intero N si rappresenta con la scrittura (cncn 1 c2c1c0)b N = cnbn+cn 1Bn c2B2+c1B1+c0B0 cn è la cifra più significativa, significativa c0 la meno significativa Un numero frazionario N si rappresenta come (0,c1c2 cn)b N = c1b 1+c2B cnB n 31

32 Numeri interi senza segno Con n cifre in base B si rappresentano tutti i numeri interi positivi da 0 a Bn 1 (Bn numeri distinti) Esempio: base 10 2 cifre: da 0 a = 99 Esempio: base 2 2 cifre: da 0 a 22 1 = = 100 valori = 4 valori 32

33 Il sistema binario (B=2) La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione Cifre: 0 1 bit (binary digit) Esempi: Forma polinomia (101101)2 = = = (45)10 (0,0101)2 = = 0 + 0, ,0625 = (0,3125)10 (11,101)2 = = , ,125 = (3,625)10 33

34 Dal bit al byte Un byte è un insieme di 8 bit (un numero binario ad 8 cifre) b7b6b5b4b3b2b1b0 Con un byte si rappresentano i numeri interi fra 0 e 28 1 = = 256 valori distinti È l elemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del byte: 2 byte (16 bit), 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit) 34

35 Dal byte al kilobyte Potenze del 2 24 = = = = 1024 (K=Kilo) 220 = (M=Mega) 230 = (G=Giga) Cosa sono KB (Kilobyte), MB (Megabyte), GB (Gigabyte)? KB = 210 byte = 1024 byte MB = 220 byte = byte GB = 230 byte = byte TB = 240 byte = byte (Terabyte) PB = 250 byte = byte (Petabyte) 35

36 Da decimale a binario Numeri interi Si divide ripetutamente il numero intero decimale per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo; le cifre del numero binario sono i resti delle divisioni; la cifra più significativa è l ultimo resto Esempio: convertire in binario (43)10 43 : 2 = : 2 = : 2 = 5 5:2= 2 2:2= 1 1:2= resti bit più significativo (43)10 = (101011)2 36

37 Trasformazione di un numero in base 10 a numero binario /2=62 62/2=31 31/2=15 15/2=7 7/2=3 3/2=1 1/2=0 resto 1 resto 0 resto 1 resto 1 resto 1 resto 1 resto in binario è rappresenta 62 rappresenta 31 Etc.

38 Da decimale a binario Numeri razionali Si moltiplica ripetutamente il numero frazionario decimale per 2, fino ad ottenere una parte decimale nulla o, dato che la condizione potrebbe non verificarsi mai, per un numero prefissato di volte; le cifre del numero binario sono le parti intere dei prodotti successivi; la cifra più significativa è il risultato della prima moltiplicazione Esempio: convertire in binario (0,21875)10 e (0,45)10 0, ,4375 0,875 0,75 0,5 2 = 0, = 0,875 2 = 1,75 2 = 1,5 2 = 1,0 (0,21875)10 = (0,00111)2 0,45 0,90 0,80 0,60 0, = = = = = 0,9 1,8 1,6 1,2 0,4 etc. (0,45)10 (0,01110)2 38

39 Da binario a decimale Oltre all espansione esplicita in potenze del 2 forma polinomia polinomia (101011)2 = = (43)10 si può operare nel modo seguente: si raddoppia il bit più significativo e si aggiunge al secondo bit; si raddoppia la somma e si aggiunge al terzo bit si continua fino al bit meno significativo Esempio: convertire in decimale (101011)2 bit più significativo 1x2= 2x2= 5x2= 10 x 2 = 21 x 2 = = 43 (101011)2 = (43)10 39

40 Esercizi Si verifichino le seguenti corrispondenze: (110010)2=(50)10 ( )2=(102)10 (1111)2=(17)10 (11011)2=(27)10 (100001)2=(39)10 40

41 Sistema esadecimale La base 16 è molto usata in campo informatico Cifre: A B C D E F La corrispondenza in decimale delle cifre oltre il 9 è Esempio: A = (10)10 B = (11)10 C = (12)10 D = (13)10 E = (14)10 F = (15)10 (3A2F)16 = = = (14895)10 41

42 Da binario a esadecimale Una cifra esadecimale corrisponde a 4 bit 0 corrisponde a 4 bit a A B C D E F F corrisponde a 4 bit a 1 Si possono rappresentare numeri binari lunghi con poche cifre (1/4) La conversione da binario ad esadecimale è immediata, raggruppando le cifre binarie in gruppi di 4 (da destra) e sostituendole con le cifre esadecimali secondo la tabella precedente 42

43 Dal bit all hex Un numero binario di 4n bit corrisponde a un numero esadecimale di n cifre Esempio: 32 bit corrispondono a 8 cifre esadecimali D 9 1 B F (D91B437F)16 Esempio: 16 bit corrispondono a 4 cifre esadecimali F F (00FF)16 43

44 Da esadecimale a binario La conversione da esadecimale a binario si ottiene espandendo ciascuna cifra con i 4 bit corrispondenti Esempio: convertire in binario il numero esadecimale 0x0c8f 0x Notazione usata in molti linguaggi di programmazione (es. C e Java) per rappresentare numeri esadecimali 0 c 8 f Il numero binario ha 4 4=16 bit 44

45 Esempi 1 In qualsiasi base, l essere il sistema di numerazione posizionale impone che combinazioni diverse di cifre uguali rappresentino numeri diversi; ad esempio: (319)10 (193)10 (152)6 (512)6, infatti... (152)6= = =(68)10 (512)6= = =(188)10 Numeri che hanno identica rappresentazione, in basi diverse, hanno valori diversi: (234)10 (234)8, infatti... (234)8 = = = = (156)10 Osservazione: più piccola è la base, minore è il valore del numero rappresentato dalla stessa sequenza di cifre 45

46 Esempi 2 La notazione posizionale si applica anche per il calcolo del valore dei numeri frazionari, infatti... (0,872)10 = = 8/10 + 7/ /1000 = 0,8 + 0,07 + 0,002 Quante cifre occorreranno per rappresentare il numero decimale 36 in base 2? Sappiamo che con n cifre si rappresentano i numeri da 0 a 2n 1, quindi... per n=1 (con una cifra) si rappresentano ,1 per n=2: per n=3: per n=4: per n=5: per n=6: Effettivamente possiamo verificare che (100100)2=(36)10, infatti = = = 36 con 6 cifre necessarie per la codifica del numero in base 2 46

47 Esempi 3 Quesito: Per quale base B risulterà vera l uguaglianza = 102? Se i numeri sono rappresentati in base B, sappiamo che: (17)B = 1 B1+7 B0 = B+7 (41)B = 4 B1+1 B0 = 4B+1 (22)B = 2 B1+2 B0 = 2B+2 (102)B = 1 B2+0 B1+2 B0 = B2+2 da cui... B+7+4B+1+2B+2 = 7B+10 = B2+2 Si ottiene un equazione di 2 grado: B2 7B 8 = 0 È la soluzione! (7+9)/2 = 8 Risolvendo: = = 81 B = (7 ± )/2 = (7 9)/2 = 1 Non può essere una base 47

48 La rappresentazione dei dati e l aritmetica degli elaboratori 48

49 Numeri interi positivi I numeri interi positivi sono rappresentati all interno dell elaboratore utilizzando un multiplo del byte (generalmente 8 byte) Se l intero si rappresenta con un numero di cifre minore, vengono aggiunti zeri nelle cifre più significative Esempio: 12 viene rappresentato in un byte come

50 Numeri con segno Per rappresentare numeri con segno, occorre utilizzare un bit per definire il segno del numero Si possono usare tre tecniche di codifica Modulo e segno Complemento a 2 Complemento a 1 50

51 Modulo e segno Il bit più significativo rappresenta il segno: 0 per i numeri positivi, 1 per quelli negativi Esiste uno zero positivo (00 0) e uno zero negativo (10 0) Se si utilizzano n bit si rappresentano tutti i numeri compresi fra (2n 1 1) e +2n 1 1 Esempio: con 4 bit si rappresentano i numeri fra 7 ( (23 1)) e +7 (23 1) positivi negativi

52 1) Bit e segno Con tale decodifica non si può utilizzare il metodo di somma per colonna (es con 3 bit: =??) Ci sono due modi per rappresentare lo zero (es con 3 bit: 000 e 100)

53 1) Complemento a uno Primo bit riservato per il segno (0 se positivo, 1 se negativo) I numeri non negativi sono quelli rapprentabili utilizzando n-1 bit. Per rappresentare I negativi complementiamo la parte positiva a 2 n - 1

54 2) Complemento a uno Esempio utilizzando 6 bit rappresentiamo -20 2n-1 = = = = (43 10)

55 2) Complemento a uno Anche in questo caso due rappresentazioni per lo 0 Esempio utilizzando 6 bit 26-1 = =

56 3) Complemento a due Rappresentazione che permette di eseguire le operazioni in modo semplice Rappresentazione univoca dello zero

57 Complemento a 2 Il complemento a 2 di un numero binario (N)2 a n cifre è il numero { 2n (N)2 = 10 0 (N)2 Il complemento a 2 si calcola n zeri Effettuando il complemento a 1 del numero di partenza (negazione di ogni cifra): si trasforma ogni 0 in 1 e ogni 1 in 0 Aggiungendo 1 al numero ottenuto Oppure: a partire da destra, lasciando invariate tutte le cifre fino al primo 1 compreso, quindi invertendo il valore delle rimanenti complemento a N 28 1 N 28 1 N+1 57

58 Interi in complemento a 2 I numeri positivi sono rappresentati (come) in modulo e segno I numeri negativi sono rappresentati in complemento a 2 la cifra più significativa ha sempre valore 1 Lo zero è rappresentato come numero positivo (con una sequenza di n zeri) Il campo dei numeri rappresentabili varia da 2n 1 a +2n 1 1 Esempio: numeri a 4 cifre Nota:

59 3) Complemento a due Primo bit per il segno (0 se positivo, 1 se negativo) I numeri negativi rappresentabili sono quindi quelli rappresentabili con n-1 bit, cioè nell'intervallo [0,2-1] e ottenibili complementando il numero a (2n). n-1 Esempio con 6 bit: (2n)=(26)=64 20= = Bit di overflow che viene scaricato

60 3) Complemento a due Somma per colonna: (esempio con 6 bit) =

61 Complemento a due: decodifica Se bit di segno =0 positivo, altrimenti negativo Se positivo, basta leggere gli altri bit Se negativo, scrivere gli stessi bit da destra a sinistra fino al primo 1, poi complementare, e poi leggere Es.: 1010 e negativo, rappresenta 110 (6), quindi -6

62 Metodo alternativo: codifica e decodifica Intero positivo x complemento a due su n bit: se x 2n-1-1 scrivo (x)2, altrimenti non e rappresentabile Esempio: n=4, x=5, (5)2=0101, x=8>23-1=7 Intero negativo x complemento a due su n bit: se x -2n-1 calcolo 2n+(-x)=y e scrivo (y)2 Esempio: n=4, x=-3 y=24-3=16-3=13 (13)2=1101 Compl. a due positivo (0 = bit + significativo) decimale: decodifica dal binario Esempio: n=4, 0111=(7)2 Compl. a due negativo (1 = bit + significativo) decimale: decodifico dal binario a decimale, ottengo y e poi sottraggo y-2n Esempio 1010 = (10) =-6

63 Interi a 16 bit Numeri interi rappresentati su 16 bit in complemento a 2: Il numero intero positivo più grande è 215 1=(32767) x 7 F F F Il numero intero negativo più piccolo è 215=( 32768) x Il numero intero 1 è rappresentato come x F F F F

64 Addizione binaria Le regole per l addizione di due bit sono = = = = con riporto di 1 L ultima regola è (1)2+(1)2 = (10)2 (1+1=2)10!! Esempio riporti = =

65 Sottrazione binaria 1 Le regole per la sottrazione di due bit sono Esempio = = = = con prestito di 1 dalla cifra precedente a sinistra = = 20 La sottrazione può divenire complicata: quando si ha una richiesta sulla cifra precedente a sinistra, che è uno 0, l operazione si propaga a sinistra fino alla prima cifra ad 1 del sottraendo 65

66 Sottrazione binaria 2 Utilizzando la rappresentazione in complemento a 2, addizione e sottrazione sono trattate come un unica operazione { N1 N2 = N1+(2n N2) 2n si trascura il bit n +1 complemento a 2 di N2: rappresentazione di ( N2) Si calcola il complemento a 2 di N2 Si somma N1 con il complemento a 2 di N2 Si trascura il bit più significativo del risultato Esempio: (010001)2 (000101)2 = (17)10 (5) (12)10 66

67 Rappresentazioni in complemento Sono utili perché l operazione di somma algebrica può essere realizzata non curandosi del bit di segno In complemento a 1 (più semplice da calcolare) Zero ha due rappresentazioni: e La somma bit a bit funziona quasi sempre (6) ( 6) = ( 10) = ( 5) ( 4) ( 12) In complemento a 2 Zero ha una sola rappresentazione La somma bit a bit funziona sempre 67

68 Overflow L overflow si ha quando il risultato di un operazione non è rappresentabile correttamente con n bit Esempio: 5 bit [ 16,+15] = = = = Per evitare l overflow occorre aumentare il numero di bit utilizzati per rappresentare gli operandi C è overflow se c è riporto al di fuori del bit di segno e non sul bit di segno, o se c è riporto sul bit di segno, ma non al di fuori 68

69 Errore di overflow Si può dimostrare che una somma di due numeri di n cifre in complemento a 2 dà (errore di) overflow se e solo se i riporti in colonna n e n +1 sono diversi

70 Moltiplicazione binaria Le regole per la moltiplicazione di due bit sono Esempio = = = = Moltiplicare per 2n corrisponde ad aggiungere n zeri in coda al moltiplicando = =

71 Numeri in virgola mobile La rappresentazione dei numeri in virgola mobile è in relazione con la notazione scientifica (es =120) La IEEE ha previsto uno rappresentazione in virgola mobile la 0 8 bit Segno Esponente (o Caratteristica) Caratteristica 23 bit Mantissa ( 1)S 1.M 2E 127 se E 0 ( 1)S 0.M se E=0 per singola precisione (32 bit = 4 byte) doppia precisione (64 bit = 8 byte) quadrupla precisione (128 bit = 16 byte) Singola precisione Il valore è standard Eccesso: vale 2t 1 1, se t è il numero di cifre riservate alla caratteristica rappresentazione interna dell esponente sempre positiva 71

72 Rappresentazione normalizzata Solitamente si usa la rappresentazione normalizzata in cui la parte intera ha un'unica cifra diversa da zero: es 1,859* 10 1

73 Analogamente per i binari: = = = Rappresentazione normalizzata = = La rappresentazione in virgola mobile normalizzata ha sempre parte intera uguale a 1

74 Per registrare un numero reale x in memoria si adotta la rappresentazione binaria in virgola mobile normalizzata: x = s(+/-) 2e 1.b b b b Naturalmente non e` possibile memorizzare la sequenza possibilmente infinita di bit della parte frazionaria ma si memorizzano soltanto i primi bit. Anche per l esponente si utilizzano un numero finito di bit. Generalmente per rappresentare un numero reale si usano 4 byte nel modo Seguente: +/- eeee eeee 1 bit 8 bit Segno Esponente bbbb b-21b-22b bit Mantissa (parte frazionaria del Numero nella rap. normalizzata)

75 Rappresentazione in virgola mobile ESPONENTE Gli otto bit dell esponente sono numeri interi con segno (l esponente può avere segno positivo o negativo), perciò è possibile utilizzare le diverse notazioni per rappresentarli (bit e segno, complemento a uno, complemento a due). Tuttavia, per consentire un confronto più agevole dei numeri reali, lo standard attualmente utilizzato è lo IEEE 754, ufficialmente: IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std ) o anche IEC 60559:1989, Binary floating-point arithmetic for microprocessor systems). Lo standard prevede di rappresentare l esponente come un intero positivo (escludendo le sequenze di bit e , che sono riservate) e di sotrarre 127 all intero positivo rappresentato. Esponente e= e8e7e6e5e4e3e2e1-127 Gli interi rappresentabili sono allora contenuti nel range: ( )=(1-127)=-126 e ( )=( )=127.

76 Singola precisione Il numero più grande rappresentabile è 2128 (2 2 23) Il più piccolo numero positivo è = In totale si rappresentano 232 numeri distinti, metà positivi, metà negativi Circa metà dei numeri sono compresi fra 1 e 1 (E 127<0) 223 valori 223 valori valori 223 valori

77 Rappresentazione in v. mobile s 1 e* 8 N= s 2 e* x 1.m m 23

78 Esempi = 131, quindi esponente = = 4. Quindi = = = =

79 Esercizio Fornire la rappresentazione in virgola mobile normalizzata del valore avendo a disposizione 8 bit per l esponente e 8 per la mantissa. (1) Rappresentiamo 10 in binario 10 = = (1010)2 (2) Rappresentiamo in binario = = = = = = Quindi: = ( )2

80 (3) Riassumendo: = ( )2 (4) Rappresentazione normalizzata = (5) Rappresentiamo l'esponente 3: e=3=e*-127, quindi e*= = ( )2 Quindi

81 Rappresentazione in virgola mobile Cosa viene rappresentato nel campo esponente con le sequenze di bit (0) e (255)? Categoria esponente mantissa zeri 0 0 Numeri subnormalizzati 0 Non zero Numeri normalizzati qualunque Infiniti NAN (not a number) 255 Non zero I numeri subnormalizzati sono i numeri reali piccoli, ovvero minori in valore assoluto del più piccolo numero rappresentabile utilizzando la notazione normalizzata: N = s 2 1.m Per un numero denormalizzato: N = s 2 0.m Per un numero normalizzato: e* Es div di 0 per 0

82 Standard IEEE-754 La rappresentazione dell'esponente in eccesso 127 consente una maggior facilità di progettazione dei circuiti della ALU: il confronto avviene, a parte il segno, confrontando semplicemente il resto del numero lessicograficamente. es: il primo numero è più piccolo del secondo 12.34E-03 = E-02 =

83 L aritmetica degli elaboratori 1 L aritmetica interna degli elaboratori notevolmente dall aritmetica classica differisce Sebbene le stesse operazioni possano essere realizzate secondo modalità diverse su elaboratori diversi, si riscontrano alcune caratteristiche comuni: Rappresentazione binaria dei numeri Rango finito dei numeri rappresentabili Precisione finita dei numeri Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici 83

84 L aritmetica degli elaboratori 2 Rango finito dei numeri rappresentabili Qualunque sia la codifica utilizzata, esistono sempre il più grande ed il più piccolo numero rappresentabile I limiti inferiore e superiore del rango di rappresentazione dipendono sia dal tipo di codifica, sia dal numero di bit utilizzati Se il risultato di un operazione non appartiene al rango dei numeri rappresentabili, si dice che si è verificato un overflow (un underflow, underflow più precisamente, se il risultato è più piccolo del più piccolo numero rappresentabile) 84

85 L aritmetica degli elaboratori 3 Precisione finita dei numeri La precisione della rappresentazione di un numero frazionario è una misura di quanto essa corrisponda al numero che deve essere rappresentato Negli elaboratori, i numeri frazionari sono rappresentati in virgola mobile (floating point), floating point utilizzando un numero finito di bit È plausibile che un numero reale non ammetta una rappresentazione finita, quindi dovrà essere codificato in maniera approssimata Negli elaboratori si rappresentano soltanto numeri razionali (fino ad una data precisione) 85

86 L aritmetica degli elaboratori 4 Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici La maggior parte degli elaboratori non possiede circuiti in grado di eseguire direttamente tutte le operazioni: La sottrazione si realizza per mezzo di una complementazione e di un addizione La moltiplicazione si realizza per mezzo di una successione di addizioni e di shift (traslazioni) La divisione si realizza per mezzo di una successione di shift e sottrazioni Le operazioni più semplici sono eseguite direttamente da appositi circuiti (in hardware); hardware le operazioni più complesse sono realizzate mediante l esecuzione di successioni di operazioni più semplici, sotto il controllo di programmi appositamente realizzati, e generalmente memorizzati permanentemente (in firmware) firmware 86

87 Codifica dei caratteri alfabetici 1 Oltre ai numeri, molte applicazioni elaborano caratteri (simboli) Gli elaboratori elettronici trattano numeri informatiche Si codificano i caratteri e i simboli per mezzo di numeri Per poter scambiare dati (testi) in modo corretto, occorre definire uno standard di codifica A $

88 Codifica dei caratteri alfabetici 2 Ovvero quando si scambiano dati, deve essere noto il tipo di codifica utilizzato La codifica deve prevedere le lettere dell alfabeto, le cifre numeriche, i simboli, la punteggiatura, i caratteri speciali per certe lingue (æ, ã, ë, è, ) Lo standard di codifica più diffuso è il codice ASCII, ASCII per American Standard Code for Information Interchange 88

89 Codifica ASCII Definisce una tabella di corrispondenza fra ciascun carattere e un codice a 7 bit (128 caratteri) I caratteri, in genere, sono rappresentati con 1 byte (8 bit); i caratteri con il bit più significativo a 1 (quelli con codice dal 128 al 255) rappresentano un estensione della codifica La tabella comprende sia caratteri di controllo (codici da 0 a 31) che caratteri stampabili I caratteri alfabetici/numerici hanno codici ordinati secondo l ordine alfabetico/numerico cifre A 65 B 66. Y 89 Z 90 maiuscole a 97 b 98. y 121 z 122 minuscole 89

90 Caratteri di controllo ASCII I caratteri di controllo (codice da 0 a 31) hanno funzioni speciali Si ottengono o con tasti specifici o con una sequenza Ctrl+carattere Ctrl ^@ ^A Dec 0 1 Hex 0 1 Code NULL SOH Nota carattere nullo partenza blocco ^G ^H ^I ^J ^K ^L ^M ^Z ^[ ^_ A B C D 1A 1B 1F BEL BS HT LF VT FF CR EOF ESC US beep backspace tabulazione orizzontale line feed (cambio linea) tabulazione verticale form feed (alim. carta) carriage return (a capo) fine file escape separatore di unità 90

91 Caratteri stampabili Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr SPACE P ` p 33 21! A Q a q B R b r # C S c s $ D T d t % E U e u & F V f v G W g w ( H X h Nota: il valore numerico di una cifra può essere calcolato come differenza del x suo 57 codice rispetto al codice ASCII 0 (es ) 39 ASCII I 89della 59 cifra Y 69=i53 48 = 5) y Anno accademico 42 2A * A : 74 4A J 90 5A Z 106 6A j 91

92 Tabella ASCII estesa I codici oltre il 127 non sono compresi nello standard originario 92

93 La codifica delle immagini 1 Le immagini vengono anch esse codificate come una sequenza di bit: il processo di traduzione da un immagine ad una sequenza binaria prende il nome di digitalizzazione picture element ) e ciascun punto viene codificato con un numero, che corrisponde ad un colore o ad un particolare tono di grigio L immagine è suddivisa in punti o pixel (per Si utilizzano un numero di colori o di sfumature che sia una potenza del 2, in modo da codificare l informazione legata a ciascun pixel con un opportuno numero di bit 93

94 La codifica delle immagini 2 Le immagini vengono memorizzate come lunghe sequenze di bit: per interpretarle è necessario conoscere......le dimensioni dell immagine (base ed altezza in numero di pixel), detta anche risoluzione...il numero di colori (o toni di grigio) disponibili per ogni pixel Se un immagine viene codificata ad una data risoluzione, potrà comunque essere presentata su un dispositivo a più bassa risoluzione, a patto di ignorare parte dell informazione 94

95 La codifica delle immagini 3 Come è avvenuto per i caratteri, anche per le immagini sono stati definiti standard di codifica, che assicurano la compatibilità fra sistemi diversi, per quanto concerne la trasmissione e la visualizzazione delle immagini TIFF Tagged Image File Format JPEG PNG Portable Network Graphics Per ridurre lo spazio necessario per memorizzare le immagini si utilizzano tecniche di compressione (utili anche per la trasmissione su rete Internet) 95

96 La codifica delle immagini 4 Le tecniche di compressione si dividono in Tecniche lossless: non provocano perdita di informazione, sono adatte a codificare immagini in cui sono presenti ampie aree monocromatiche si codificano in maniera compatta insiemi di pixel aventi le stesse caratteristiche Tecniche lossly: provocano perdita di informazione, facendo decadere la qualità dell immagine Normalmente ai formati JPEG e PNG, molto diffusi per lo scambio di immagini su Internet, si applicano metodi di compressione lossly 96