Lezione VII: Competizione oligopolistica

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1 Lezione VII: Competizione oligopolistica Oligopolio: poche imprese, non così piccole da implicare che le loro decisioni non abbia- no un significativo impatto sulle rivali. Ex:1) Coca Cola vs Pepsi Cola; 2) Compaq vs Dell; 3) Tim vs Vodafone. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 1

2 Il modello di Bertrand (1883) Punti di partenza: La fissazione dei prezzi è una componente cruciale del processo decisionale di un impresa. In oligopolio, la domanda che si rivolge ad un impresa (e quindi i suoi profitti) dipende anche dai prezzi praticati dalle concorrenti. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 2

3 Nella sua versione duopolistica, il modello di Bertrand assume: 1) due imprese (1 e 2), indicate da i e j (i, j = 1,2, i j); 2) costi marginali/medi costanti e identici: C i (q i ) = cq i ; 3) prodotto omogeneo (e consumatori informati). Segue da (3) che (con D(p) domanda di mercato): 0 se p i > p j D i (p i, p j ) = D(p i )/2 se p i = p j D(p i ) se p i < p j domanda per il prodotto dell impresa i. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 3

4 La domanda per il prodotto dell impresa i, D i (p i, p j ). p i D(p): curva di domanda di mercato p j D i (p i, p j ) D(p j )/2 D(p j ) q i IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 4

5 Si supponga che le imprese debbano scegliere simultaneamente i loro prezzi. Chiaramente, la situazione descritta è quella di un gioco di strategia, in cui le decisioni di ciascuna impresa dipendono dalle congetture sul prezzo della rivale. Le funzioni di payoff rilevanti sono date, ovviamente, dal valore dei profitti: π i (p i, p j ) = p i D i (p i, p j ) C i (D i (p i, p j )) = (p i - c)d i (p i, p j ) IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 5

6 Si ragioni in termini di risposta ottima dell impresa i: se p j > p m > p i * = p m, se p m p j > c > p i * = p j - ε (cioè, appena meno, del rivale) se c p j > p i * = c (ovvero, p i * > p j, siccome il profitto è comunque nullo). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 6

7 Graficamente: p i p m 45 p i *(p j ) c Risposta ottima o curva di reazione di i c p m p j IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 7

8 Un NE del gioco di Bertrand è null altro che una coppia di prezzi (p 1, p 2 ) (detta Equilibrio di Bertrand) tale che nessuna impresa possa deviare convenientemente. Ciò richiede che debba valere: p 1 = p 1 *(p 2 ) e p 2 = p 2 *(p 1 ), ovvero che le curve di reazione si intersechino ad un NE. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 8

9 Graficamente: N = Equilibrio di Bertrand p p j *(p i ) i 45 p m Curva di reazione di j p i *(p j ) c N Curva di reazione di i c p m p j IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 9

10 Chiaramente, la coppia di prezzi (p 1N = c, p 2N = c) è l unico equilibrio di Bertrand! L aspetto cruciale è l incentivo a ribassare il prezzo della concorrente. Si supponga che p j = p > c: se p i = p j = p > π i = D(p)(p - c)/2 se p i = p - ε > π ε i = D(p - ε)(p - ε - c) con π ε i 2π i se ε è sufficientemente piccolo. nessuna coppia (p, p) può essere un NE (poiché il gioco è simmetrico è naturale che lo sia anche il suo equilibrio). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 10

11 Si noti il cosiddetto Paradosso di Bertrand: Persino con due sole imprese (al posto di un monopolio) il prezzo di equilibrio risulta (come in concorrenza perfetta) uguale al costo marginale, e dunque i profitti sono nulli (e sarebbero negativi se vi fossero dei costi fissi)! Questo risultato è contraddetto dall evidenza empirica, che suggerisce: 1) normalmente i duopolisti fanno profitti elevati; 2) l aumento del numero dei competitori diminuisce gradualmente il prezzo di mercato. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 11

12 Il paradosso di Bertrand: spiegazioni Possibili spiegazioni fanno riferimento alla possibilità che non basti un piccolo ribasso per ottenere tutta la domanda, o comunque che non sia conveniente ribassare il prezzo delle concorrenti. Ciò accade se: 1) i prodotti sono differenziati (non basta un piccolo ribasso per ottenere lo spostamento di tutti i consumatori: cap. 12); 2) l interazione è dinamica (abbiamo visto che nei giochi ripetuti occorre esaminare l effetto collegato a possibili future ritorsioni a comportamenti opportunistici : cap. 8). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 12

13 Modello di Bertrand: estensioni 1) Prima di esaminare una terza via di fuga dal paradossale risultato di Bertrand, consideriamo cosa accadrebbe in una versione oligopolistica, con n > 2 imprese simmetriche, del precedente modello di duopolio. Non è difficile capire che in tale versione l equilibrio di Nash prevede che almeno due imprese scelgano il prezzo uguale al costo marginale, mentre tutte le altre sceglieranno un qualunque prezzo non inferiore. Si conferma dunque l irrilevanza del numero di imprese (purché maggiore di 1). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 13

14 Modello di Bertrand: estensioni continuazione 2) Si consideri il caso asimmetrico in cui: C 1 (q 1 ) = c 1 > c 2 = C 2 (q 2 ). Si rammenti ora che il prezzo di monopolio di un impresa dipende dal suo costo marginale (a parità di domanda). Perciò la precedente assunzione implica anche che, in generale: p 1m > p 2m. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 14

15 Graficamente: p 1 p m 1 p m 2 N = Equilibrio di Bertrand asimmetrico p 2 *(p 1 ) 45 p 1 *(p 2 ) N c 1 c 2 c 2 c 1 p 2 m p 1 m p 2 IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 15

16 Nell equilibrio asimmetrico sopra descritto: NE: (p 1N = c 1, p 2N = c 1 - ε ) Ovvero, l impresa 2, più efficiente, spiazza l impresa 1, ribassando il costo marginale della concorrente e ottenendo il profitto: π 2N = (c 1 - ε c 2 ) D(c 1 - ε) (c 1 c 2 ) D(c 1 ) L impresa 1, meno efficiente, pratica un prezzo marginalmente superiore alla concorrente, non vende pertanto nulla e ottiene un profitto nullo. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 16

17 Duopolio di Bertrand asimmetrico: continuazione Si noti che l equilibrio asimmetrico è sostanzialmente equivalente alla coppia di prezzi: (p 1 = c 1 + ε, p 2 = c 1 ). Si noti inoltre che esso è valido se i costi marginali non sono troppo differenti (c 1 p 2m ). Se invece fosse c 1 > p 2m, allora l equilibrio sarebbe: (p 1N = c 1, p 2N = p 2m ), con π 2N = π 2m e π 1N = 0. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 17

18 Un altro modo di sfuggire al risultato di Bertrand è supporre che vi siano vincoli di capacità (Edgeworth, 1897) Ex: supponiamo che l impresa i abbia capacità produttiva k i (quindi q i k i ), i = 1,2. Ne segue che persino se fosse p i > p j l impresa i dovrebbe disporre di una domanda residuale positiva se D(p i ) > k j (data appunto da D(p i ) - k j ). E facile vedere che, in tale contesto, il risultato di Bertrand non si applica se le capacità produttive, appunto, non sono troppo grandi. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 18

19 Graficamente (P 2 (q) = P(q + k 1 ) è la curva di domanda residuale dell impresa 2): p p* p* = P 2 (k 2 ) = P(k 1 + k 2 ) R 2 (k 2 ) P(q) 0 k 1 k 2 k 1 +k 2 R 2 (q) P 2 (q) q IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 19

20 Supponiamo per semplicità che i costi marginali siano nulli (cioè C 1 (q 1 ) = C 2 (q 2 ) = 0). (p 1 = p*, p 2 = p*) è un NE del gioco di Bertrand con i vincoli di capacità indicati graficamente. Per vederlo, consideriamo l impresa 2 (per l altra impresa il ragionamento sarebbe simile), supponendo p 1 = p* : a) un prezzo p 2 < p* non sarebbe conveniente, poiché si venderebbe comunque la quantità k 2 ad un prezzo inferiore. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 20

21 Vincoli di capacità: continuazione b) un prezzo p 2 > p* non sarebbe invece conveniente perché l impresa per la quantità q 2 = k 2 ha un ricavo marginale, R 2 (k 2 ), maggiore del costo marginale, C 2 (k 2 ) = 0, e dunque vorrebbe sem- mai vendere di più (anche ad un prezzo inferiore). Q.E.D. Più in generale, se k i < D(c) il risultato di Bertrand non vale. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 21

22 Inoltre: Si può mostrare che, se le imprese decidono prima quanta capacità produttiva installare e poi quali prezzi praticare (in un gioco a due stadi), nell unico SPNE di tale gioco emerge esattamente la situazione sopra illustrata (Kreps & Sheinkman, 1983). Le imprese scelgono cioè strategicamente la capacità installata (nel lungo periodo) per rendere credibile che non abbasseranno (nel breve periodo) il prezzo sino al costo marginale, ottenendo così profitti positivi. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 22

23 Infine: Si noti che il precedente risultato con vincoli di capacità si applicherebbe anche al caso nel quale le quantità di prodotto da vendere (se non troppo elevate) venissero realizzate prima della determinazione dei prezzi. In tal caso, cioè, il prezzo di equlibrio (p i = p*) sarebbe quello in grado di far assorbire al mercato tutto l output prodotto dalle imprese (p* = P(q 1 + q 2 )). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 23

24 Il Duopolio di Cournot (1838) Il modello di Cournot si basa esattamente su quest ultima ipotesi. Ovvero, assumendo omogeneità del prodotto, immagina che le (due) imprese scelgano simultaneamente le loro quantità (piuttosto che i loro prezzi), nell ipotesi che il prezzo sarà quello che permette al mercato di assorbirle. Cioè: p = P(q 1 + q 2 ), dove P(q) è la curva (inversa) di domanda del mercato, e q = q 1 + q 2 la quantità prodotta complessivamente. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 24

25 Duopolio di Cournot: continuazione Nella forma normale del gioco di Cournot: a) le imprese 1 e 2 (simmetriche nel caso base) scelgono simultaneamente q 1 e q 2 ; b) le funzioni di payoff per ciascuna impresa sono date dal valore del loro profitto: π i (q i, q j ) = P(q 1 + q 2 )q i cq i (assumendo costi unitari costanti). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 25

26 Ancora una volta, per risolvere il gioco, si consideri la funzione di risposta ottima (o curva di reazione ) dell impresa i, q i *(q j ): Se l impresa i si aspetta la produzione della quantità q j da parte del suo concorrente, il suo compor- tamento ottimale è quello di un monopolista che abbia come curva di domanda la domanda residuale data da: P i (q i ) = P(q i + q j ), e dunque ricavo marginale pari a: R i (q i ) = P i (q i )q i + P i (q i ) = P (q)q i + P(q). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 26

27 Ex: q i * è la risposta ottimale a q j. p R i (q i ) = P (q)q i + P (q) q = q i + q j P i (q i *) c C P(q) 0 q j q i * R i (q i ) q i * + q j P i (q i ) q IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 27

28 Si notino i due casi particolari: 1) se q j = 0 q i * = q m (poiché P i (q i ) = P(q i )) 2) se q e e j = q (dove P(q ) = c) q i * = 0 (poiché P i (0) = c) Il risultato (2) dipende dall assunzione di costi marginali costanti, ed è illustrato nel prossimo grafico. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 28

29 Ex: q i * = 0 è la risposta ottimale a q j = q e. p c P i (q i ) C P(q) q i * = 0 R i (q i ) q j = q e q IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 29

30 L aumentare di q j diminuisce necessariamente la curva di domanda residuale di i. Ciò suggerisce che la funzione q i *(q j ) sia decrescente, compresa tra un valore massimo pari alla quantità di monopolio e un valore minimo nullo. Tale congettura risulta confermata nel caso, cui ora rivolgiamo la nostra attenzione, in cui anche la domanda risulti lineare. Tuttavia, se la domanda non fosse concava (e la funzione di costo non fosse convessa), tale risultato non sarebbe garantito. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 30

31 Ex: il caso lineare (P(q) = a bq, a > c) π i (q i, q j ) = R i (q i,q j ) C(q i ) = P(q i + q j )q i cq i La FOC per la massimizzazione dei profitti di i confer- ma che una sua risposta ottima alla quantità q j della concorrente deve soddisfare la condizione che il suo ricavo marginale, R i / q i = P (q)q i + P(q), sia pari al suo costo marginale, c: π i / q i = P (q)q i + P(q) c = 0. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 31

32 Il caso lineare: continuazione Sostituendo i parametri della domanda si ottiene: - bq i + a bq i bq j c = 0 q i *(q j ) = (a c)/(2b) q j /2 (si noti che la SOC 2 π i / q i2 = P (q)q i + 2P (q) = 2 R i / q i2 = - 2b < 0 è soddisfatta). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 32

33 Il caso lineare: continuazione Si noti che : dq i */dq j = - ½, q i *(0) = (a c)/(2b) = q m, q i *(q e ) = 0 (dove q e = (a c)/b). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 33

34 Il caso lineare graficamente: q i q m q i *(q j ) tg α = 1/2 0 α q e q i *(q j ) è la curva di reazione di i. q j IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 34

35 Come nel caso del modello di Bertrand, l equilibrio di Nash del gioco di Cournot può essere localizzato come intersezione delle curve di reazione. Ovvero, un Equilibrio di Cournot è costituito da una coppia di quantità (q 1, q 2 ) tali che: q 1 = q 1 *(q 2 ) e q 2 = q 2 *(q 1 ) (ovviamente, le curve di reazione saranno simmetriche se lo sono le imprese, e simmetrico sarà l equilibrio, che può pertanto essere identificato anche attraverso la condizione q in = q i *(q in ), dove l apice N indica i valori di equilibrio). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 35

36 Graficamente (caso lineare): q i q e α q j *(q i ) 45 q m q i N N q i *(q j ) tg α = 1/2 0 q N q m j α q e q j N è l Equilibrio di Nash del gioco di Cournot. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 36

37 Il caso lineare - conclusione: Risolvendo il sistema dato dalle due curve di reazione si ottiene in effetti facilmente che: q 1N = (a c)/(3b) = q 2N, q N = q 1N 2N N N + q, p = P(q ) = (a + 2c)/3. Perciò: q e > q N > q m e p m > p N > p e = c, e anche W e > W N > W m. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 37

38 Graficamente: q e > q N > q m. q i q e tgσ = 1 q m q j * q i + q j = q e N q i * q i + q j = q m 0 σ q m σ q e q j. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 38

39 I precedenti risultati suggeriscono che, dal punto di vista del benessere collettivo, il duopolio (à la Cournot) sia una forma di mercato intermedia tra il monopolio e la concorrenza perfetta. Con imprese identiche (e costi unitari costanti) tale conclusione vale in effetti in generale e non nel solo caso lineare. Nelle valutazioni di efficienza comparata occorre invece tenere conto delle differenze di costo, e della presenza di eventuali economie di scala, se le tecnologie sono differenti e/o con costi unitari variabili. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 39

40 Modello di Cournot: estensioni Il modello duopolistico sopra presentato si estende comunque facilmente al caso di imprese asimmetriche e costi marginali crescenti. Supponiamo che sia C 1 > C 2. Ciò implica che risulti: q 1m < q 2m e q 1e < q 2 e come mostriamo nel grafico seguente. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 40

41 Imprese asimmetriche: C 1 (q) > C 2 (q) C 1 C 2 R (q) P(q) 0 q 1 m q 2 m q 1 e q 2 e q IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 41

42 Modello di Cournot: estensioni Manipolando la FOC che definisce la curva di reazione si ottiene facilmente che: ovvero P (q)q i + P(q) = C i (q i ) L i (q i, q j ) = (P(q) - C i (q i ))/P(q) = -P (q)q i /P(q) = s i (q i, q j )/ε(q) dove ε è l elasticità della domanda, L i è l indice di Lerner dell impresa i e s i = q i /q è la sua quota di mercato. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 42

43 Modello di Cournot: estensioni Perciò, nell equilibrio di Cournot: L in = s in /ε N, dove L in = L i (q in, q jn ), s in = s i (q in, q jn ) e ε N = ε(q N ). Poiché il prezzo di equilibrio sul mercato è unico, ne segue che l impresa col costo marginale più elevato avrà la minore quota di mercato. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 43

44 Imprese asimmetriche il caso lineare Si noti che, nel caso lineare, ε(q) = (a - bq)/(bq). Perciò, se le imprese sono simmetriche, la precedente condizione diventa: (a bq N c)/(a bq N ) = s N i bq N /(a bq N ), ovvero (s in = ½) a bq N - c = bq N /2, e quindi q N = 2(a c)/(3b) = 2q e /3, come già sapevamo. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 44

45 Imprese asimmetriche il caso lineare continuazione Si noti che la quantità del monopolista si ottiene dalla formula precedente ponendo s in = 1. Intuitivamente, poiché se diminuisse il proprio prezzo ciascuna impresa sottrarrebbe anche clienti al competitore, tutto è come se l elasticità della domanda fosse aumentata (da ε a ε/s i ). Se ora C 1 = c 1 > c 2 = C 2, la precedente condizione si sdoppia in: e a bq N c 1 = bq 1 N a bq N c 2 = bq 2N. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 45

46 Imprese asimmetriche il caso lineare continuazione Sommando le due precedenti espressioni si ottiene facilmente: q N = (2a c 1 c 2 )/3b = 2(a (c 1 + c 2 )/2)/3b, e perciò p N = P(q N ) = (a + c 1 + c 2 )/3, q in = (a + c j 2c i )/3b, s in = (a + c j 2c i )/(2a c i c j ), L in = (a + c j 2c i )/(a + c i + c j ). con s in > s jn e L in > L jn se e solo se c i < c j. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 46

47 Imprese asimmetriche il caso lineare conclusione 1 I medesimi risultati si ottengono riderivando le curve di reazione e mettendole a sistema. In particolare, dalla FOC: π i / q i = P (q)q i + P(q) c i = 0, si ottiene immediatamente che: q i *(q j ) = (a c i )/(2b) q j /2. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 47

48 Imprese asimmetriche (caso lineare): p 2m > c 1 > c 2 q 2 q e 1 q m 2 q N 2 α q 2N > q N 1 q 1 *(q 2 ) N q 2 *(q 1 ) 45 tg α = 1/2 0 q 1 N q 1 m α q 2 e q 1 q 2m < q 1 e IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 48

49 Imprese asimmetriche il caso lineare conclusione 2 Si noti graficamente che l equilibrio fin qui descritto richiede che q 2m q 1e, ovvero: p 2m = (a + c 2 )/2 c 1. Se invece fosse c 1 > p 2m, ovvero le differenze tra i costi marginali fossero così grandi da spiazzare del tutto l impresa meno efficiente, allora si otterrebbe: q 1N = 0, q 2N = (a - c 2 )/2b = q 2 m come indicato nel grafico seguente (si rammenti che, nel caso lineare, q i *(q j ) = 0 se q j q ie ). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 49

50 Imprese asimmetriche (caso lineare): c 1 > p 2 m q 2 45 q 2N = q 2 m N tg α = 1/2 q e 1 α q 2 *(q 1 ) q 1N = 0 q 1 *(q 2 ) q 1 m α q 2 e q 1 q 2m > q 1 e IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 50

51 Bertrand (B) vs Cournot (C) Il modello di Bertrand è nato storicamente come una critica a quello di Cournot, che metteva al centro dell analisi le scelte di produzione piuttosto che quelle di prezzo. Le implicazioni dei due modelli sono in effetti molto diverse: B: p B = c q B = q e. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 51

52 Manipolando la FOC che definisce le curve di reazione si ottiene invece: C: p C = c P (q C )q ic > c q C < q e (mark up oligopolistico). Qual è il modello giusto? Dipende dal tipo di industria. Se le imprese devono scegliere oltre ai prezzi anche la loro capacità produttiva (o l effettivo livello di produzione), allora quale modello risulti più adeguato dipende dall ordine temporale delle decisioni. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 52

53 Usando un modello di gioco a due stadi: 1) se le scelte di capacità produttiva (o di output) sono più difficili (richiedono più tempo) da modificare di quelle di prezzo: LP: k, q BP: p Cournot IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 53

54 2) se invece è più facile modificare l output che i prezzi: LP: p BP: k, q Bertrand (in effetti il modello di Bertand prevede che le imprese soddisfino tutta la domanda che si rivolge loro (in assenza di vincoli di capacità produttiva)). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 54

55 Molte industri sembrano più vicine allo scenario previsto dal modello di Cournot. Ex: acciaio, automobili, computer, videogame (nel 1999 la Nintendo cambiò i suoi prezzi un ora dopo che l aveva fatto la Sony!). Per altre, comunque, l ipotesi che le quantità possano adeguarsi quasi istantaneamente non è fuori luogo. Ex: servizi bancari, assicurativi, software (si rammenti che il risultato di Bertrand richiede anche uniformità di prodotto e interazione one shot). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 55

56 Qualche applicazione dei modelli oligopolistici Il confronto tra i valori di equilibrio di un modello in corrispondenza di differenti valori delle variabili esogene è detto esercizio di statica comparata. Ex. 1: costo degli input e prezzo del prodotto. In un equilibrio (di lungo periodo) di concorrenza perfetta, se i costi di produzione aumentano nella stessa proporzione aumenta anche il prezzo del prodotto (indipendentemente dall elasticità della domanda). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 56

57 Cosa accade in oligopolio (ragionamento simile si potrebbe fare per il monopolio)? Supponiamo: 1. Duopolio à la Cournot 2. Imprese identiche, fondamentali lineari 3. Un aumento del costo marginale: C = c c = C > c IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 57

58 La curva di reazione si sposta verso il basso: p q e > q e, q m > q m c C c C P(q) R (q) 0 q m q m q e q e q IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 58

59 L equilibrio si sposta lungo la retta a 45 : q i q m 45 q i *(q j ) q m N N q i * (q j ) 0 q e q e q j q N > q N IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 59

60 Riprendendo le formule per il caso lineare a- simmetrico, si ottiene: p N = P(q N ) = (a +2c)/3 = δc, dove δ = (a/(3c) + 2/3) > 1. Perciò p N / c = 2/3, e dp N = 2/3dc. Ovvero: dp N /p N = (2/3)dc/p N = ((2/3)/δ)dc/c. Perciò l aumento del prezzo è proporzionalmente meno di 2/3 di quello del costo marginale! IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 60

61 L intuizione del risultato precedente è semplice: In duopolio il prezzo è più elevato del costo, ma il mark up dipende dall elasticità della domanda. Se l aumento del prezzo causato dall aumento del costo fa aumentare l elasticità (come nel caso lineare), allora quest ultimo viene passato solo parzialmente al prezzo, che cresce meno che proporzionalmente. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 61

62 Ex. 2: Fluttuazioni del tasso di cambio e quote di mercato. Supponiamo che un impresa statunitense e un impresa europea competano à la Cournot sul mercato USA, con fondamentali lineari. Inoltre C U = c U = 10$ e C E = c E = 10. Inizialmente, il cambio sia 1$ = 1. Supponiamo che il cambio si rivaluti successivamente a favore del dollaro del 100%, ovvero 1$ = 2 e quindi, tradotto in dollari, c E = 5$. Cosa accadrà? La curva di reazione dell impresa europea si allontanerà dall origine, mentre quella dell impresa statunitense non si muoverà. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 62

63 Graficamente, l equilibrio si sposta lungo la curva di reazione dell impresa statunitense: q E q U e q Em q U *(q E ) 45 tg α = ½ tg ι = 1 q E m N N q E * (q U ) tg ν = 2 0 ν q U m ι α q N q E e α q Ee q U q EN > q EN = q UN > q UN e q N < q N IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 63

64 Si noti che la retta di inclinazione unitaria (di e- quazione q U + q E = q N ) che passa per N e sopra il punto N dimostra che nel nuovo equilibrio la quantità complessivamente prodotta è aumentata (ovvero q N > q N ). Lo stesso risultato si ottiene riconsiderando la formula: q N = 2(a (c 1 + c 2 )/2)/3b, dalla quale si deduce che l ammontare complessivamente prodotto nell equilibrio di Cournot a- simmetrico dipende dal valore medio dei costi marginali. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 64

65 Calibrazione: Si parla di calibrazione quando i valori di equilibrio delle variabili vengono utilizzati per determinare i valori dei parametri dei fondamentali. Nel nostro esempio, se p N = 20$, allora deve esse- re: a = 3p N 2c = 40$. Perciò: s EN = ( )/( ) = 40/65 61,54% IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 65

66 Si noti che: Il dimezzamento del costo unitario dell impresa europea comporta l aumento della sua quota di mercato solo di poco più del 20% (da 0, 5 a circa 0,62). In effetti, è il caso di notare che l equilibrio di Cournot non distribuisce in maniera efficiente la produzione tra le imprese, diversamente da quanto accade in concorrenza perfetta (al fine di minimizzare il costo complessivo, tutta la produzione dovrebbe essere realizzata dall impresa europea). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 66

67 Ex. 3: Innovazione e profitti. Supponiamo che, in presenza di fondamentali lineari, le imprese duopolistiche utilizzino tecnologie di diversa an- zianità. In particolare, assumiamo: c 1 < c 2. Quale somma massima dovrebbe essere disposta a pagare l impresa 2 per accedere alla nuova tecnologia? IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 67

68 La risposta è naturalmente data dalla differenza nei profitti dell impresa 2 nelle due situazioni (con la nuova o con la vecchia tecnologia), ovvero: π 2N - π 2N. Riprendendo le formule del caso asimmetrico (che naturalmente ci dicono che l impresa più efficien- te, che produce di più con un margine di profitto unitario più elevato, farà maggiori profitti): π in = (p N - c i )q in = [(a + c j 2c i )/3][(a + c j 2c i )/(3b)] = (a + c j 2c i ) 2 /(9b). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 68

69 Innovazione e profitti: continuazione Tornando a calibrare il modello, supponiamo: p N = 20, q N = 10, c 1 =10 e c 2 = 15. Ne segue che: a = 3p N - c 1 - c 2 = 35, b = (2a - c 1 - c 2 )/(3q N ) = (70-25)/30 = 1,5. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 69

70 Innovazione e profitti: continuazione Perciò: π 2N = (a + c 1 2c 2 ) 2 /(9 1,5) = 15 2 /13,5 16,7, π 2N = (a + c 1 2c 2 ) 2 /(9 1,5) = 25 2 /13,5 46,3, π 2N - π 2N 29,6. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 70

71 Innovazione e profitti: continuazione Per evidenziare la rilevanza delle analisi di statica comparata, si considerino le due seguenti approssimazioni al risultato precedente. 1) q 2N = (a + c 1 2c 2 )/(3b) = 15/4,5 3,3 π 2 = (c 2 c 1 )q 2N 16,5 < 29,6 (qui l errore principale è che il passaggio alla nuova tecnologia fa aumentare la produzione e non solo il margine di profitto unitario). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 71

72 Innovazione e profitti: continuazione 2) q 1N = (a + c 2 2c 1 )/(3b) = 30/4,5 6,7 π 1N = (p N c 1 )q 1N (20-10)6,7 = 67 π 2 = π 1N - π 2N 50,3 > 29,6 (qui i problemi principali sono due: a) la quantità dell impresa 1 nell equilibrio iniziale era dovuta al suo vantaggio rispetto al competitore, e dunque non può essere replicata (q in = 25/45,5 5,6); b) con l adozione della nuova tecnologia da parte dell impresa 2 il mercato diviene più competitivo e il prezzo di mercato scende (p N = 55/3 18,3)). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 72

73 Innovazione e profitti: continuazione Si noti infine che la diminuzione del profitto realizzato dall impresa 1 in seguito all introduzione dell innovazione di processo da parte dell impresa 2 è data da π 1N - π 1N 67-46,3 = 20,7 Tale somma costituirebbe quella minima che l impresa 1 dovrebbe richiedere all impresa 2 se fosse lei ad aver brevettato la nuova tecnologia. Si noti che risulta inferiore a quella massima che l impresa 2 dovrebbe essere disposta a pagare, suggerendo così la possibilità di un miglioramento paretiano. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 73

74 Innovazione e profitti: continuazione Infine, notiamo che ovviamente i nostri risultati dipendono dall assunzione di competizione à la Cournot. Supponiamo invece che le imprese competano à la Bertrand. Nell equilibrio iniziale risulterebbe, come sappiamo: p 1N = c 2 < p N 2 = c 2 + ε, con π 2N = 0 e π 1N = (c 2 c 1 )D(c 2 ) = (15-10)(35-15)/1,5 66,7 IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 74

75 Innovazione e profitti: conclusione Comunque, nel caso di competizione à la Bertrand l impresa 2 non avrebbe alcun incentivo ad acquistare la medesima tecnologia dell impresa 1, perché il suo profitto resterebbe nullo! Si tratta di un altra faccia del paradosso di Bertrand. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 75

76 Una giustificazione dinamica dell equilibrio di Cournot: Riconsideriamo il grafico rappresentante le curve di reazione nel caso lineare, e supponiamo il seguente processo pseudo dinamico: al tempo 0 l impresa 1 sceglie un qualche livello di produzione per la propria impresa; al tempo 1 l impresa 2 sceglie il proprio livello ottimale di produzione dato quello scelto al tempo 0 dal suo competitore; al tempo 2 l impresa 1 sceglie il proprio livello ottimale di produzione dato quello scelto al tempo 1 dal competitore; Etc. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 76

77 La stabilità dell equilibrio di Cournot (caso lineare) q 2 q 1 *(q 2 ) q 5 2 q 3 2 N q 2 *(q 1 ) q q 1 4 q 1 2 q 1 0 q 1 IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 77

78 Si noti che: L aggiustamento dinamico descritto postula un comportamento particolarmente naive da parte delle imprese, che prendono decisioni di produzione a periodi alternati continuando a supporre che il competitore mantenga costante la propria produzione a livello del periodo precedente Si tratta a ben vedere di una pseudo dinamica che giustifica l equilibrio ma non il processo attraverso il quale esso è raggiunto. Si potrebbe naturalmente utilizzare anche per giustificare il concetto stesso di equilibrio di Nash (se il sottostante processo risultasse stabile). IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 78

79 Un altra giustificazione dell equilibrio nel duopolio di Cournot (caso lineare, simmetrico). La curva di reazione si può utilizzare per definire il seguente processo di eliminazione iterativa di strategie dominate. Si noti che, essendo il gioco simmetrico, ogni eliminazione valida per il giocatore i si applicherà a entrambi i giocatori. Passo 1: ogni scelta di produrre più della quantità di monopolio è dominata dall opzione per quest ultima quantità. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 79

80 Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot (lineare, simmetrico). Passo 2: dunque ogni scelta di produrre meno di: q m m i *(q ) = (a c)/(2b) q /2 = (a c)/(4b) = q m /2 sarà dominata da tale quantità. L argomento è illustrato nel grafico successivo. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 80

81 Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot (lineare, simmetrico). Passo 2 q i 45 q m q i *(q m ) q i *(q j ) 0 q m q e q j Intervallo rimanente : q i [q m /2, q m ] IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 81

82 Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot - continuazione Passo 3: a questo punto dunque ogni scelta di produrre più di: q m m i *(q /2) = (a c)/(2b) q /4 = 3(a c)/(8b) = 3q m /4 sarà dominata da tale quantità. L argomento è nuovamente illustrato nel grafico successivo. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 82

83 Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot (lineare, simmetrico). Passo 3 q i 45 q m q i *(q m /2) q m /2 q i *(q j ) 0 q m /2 q m q e q j Intervallo rimanente : q i [q m /2, 3q m /4] IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 83

84 Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot - continuazione Passo 4: perciò ogni scelta di produrre meno di: q i *(3q m /4) = (a c)/(2b) 3q m /8 = 5(a c)/(16b) = 5q m /8 sarà dominata da tale quantità. Si veda il grafico successivo. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 84

85 Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot (lineare, simmetrico). Passo 4 q i 45 q i *(3q m /4) q m 3q m /4 q m /2 q i *(q j ) 0 q m /2 3q m /4 q m q e q j Intervallo rimanente : q i [5q m /8, 3q m /4] IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 85

86 Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot - conclusione E facile immaginare (e si può provare) che il processo continuerà sino a ridurre l insieme delle strategie non dominate all unico valore θq m cor- rispondente ad un punto fisso della curva di reazione: θq m = q i *(θq m ) = (a c)/(2b) θq m /2, cioè θq m = (a c)/(3b) = q in, ovvero θ = 2/3. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 86

87 Eliminazione di strategie dominate nel duopolio di Cournot - conclusione L equilibrio del duopolio di Cournot è dunque anche l equilibrio in strategie dominanti dopo l iterativa eliminazione delle strategie dominate del gioco di Cournot (nel caso lineare). q in corrisponde in effetti all unica strategia di produzione non dominata. IO: VII Lezione (P. Bertoletti) 87