Kangourou della Matematica 2006 finale nazionale italiana Mirabilandia, 8 maggio 2006

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1 Kangourou della Matematica 2006 finale nazionale italiana Mirabilandia, 8 maggio 2006 LIVELLO ÈCOLIER E1. (5 punti ) Qual è il multiplo di 11 più vicino a 1000? Soluzione: Infatti = 990 < 1000 < 1001 = 11 91, ma =10 mentre = 1. E2. (7 punti ) Le lettere della parola MELA sono tutte distinte fra loro. Fa corrispondere ad ogni lettera di questa parola una cifra in modo tale che la parola MELA rappresenti il più piccolo numero di quattro cifre tutte distinte tra loro. Mantenendo questa scelta delle cifre, che numero è rappresentato dalla parola MALE? Soluzione: Infatti il più piccolo numero di 4 cifre con cifre tutte distinte fra loro (come le lettere di MELA) è Se MELA = 1023, allora MALE = E3. (11 punti ) Sulla vetrina di una cartoleria campeggia la scritta (composta con lettere adesive) Disegna qui sotto la scritta che vedresti guardando la vetrina dall interno del negozio. Soluzione: Per ottenere agevolmente questa immagine, puoi ricorrere a questo trucco: osservare controluce il retro del foglio con la scritta PUZZLES. E4. (14 punti ) Arturo dice sempre la verità, invece Bernardo mente sempre. Trova una affermazione che entrambi possano pronunciare. Soluzione: vi sono diverse affermazioni possibili. Alcuni esempi: "Io dico la verità", oppure " Lui mente", oppure, con la premessa che Arturo e Bernardo non siano nati nello stesso giorno e Arturo sia nato nel giorno X, la frase "Il mio compleanno è il giorno X".

2 E5. (18 punti ) Quanti sono i numeri di 3 cifre (significative, cioè la cui prima cifra non sia 0), tali che 2 di esse comunque prese non differiscano per meno di 4? Soluzione: 18. Le terne di cifre in questione sono (1,5,9) (0,4,8) (0,4,9) (0,5,9) e le disposizioni ammissibili sono 6 per la prima terna e 4 per ciascuna delle altre: si ottengono così 18 numeri di tre cifre. Possiamo elencarli: 159, 195, 519, 591, 915, 951; 408, 480, 804, 840; 409, 490, 904, 940; 509, 590, 905, 950. E6. (22 punti ) Hai a disposizione, nella quantità che desideri, mattonelle quadrate di tre misure diverse: i loro lati sono lunghi 1, 2 o 3 decimetri. Accostandole, senza sovrapporle e senza lasciare zone scoperte, puoi costruire un quadrato il cui lato misura 7 decimetri. Qual è il più piccolo numero di mattonelle che ti basta accostare e come vanno ripartite fra le diverse misure? Utilizza la quadrettatura per disegnare la figura che realizza la soluzione che hai trovato e spiega perché, secondo te, non basta un numero inferiore di mattonelle. (Puoi usare la quadrettatura sottostante anche per altri eventuali disegni che possano servire allo scopo.) Soluzione: bastano 12 mattonelle di cui 2 grandi, 7 medie e 3 piccole, disposte ad esempio come nel primo disegno a lato. Dimostriamo che 12 è il numero minimo di mattonelle sufficienti a pavimentare il quadrato di lato 7 decimetri e che la ripartizione indicata è ottimale. Se non usassimo mattonelle grandi, per coprire una superficie di 49 dm quadrati non basterebbero 12 mattonelle medie. Se usassimo una sola mattonella grande, rimarrebbe da coprire una superficie di 40 dm quadrati: dal momento che il lato del quadrato è lungo un numero dispari di decimetri, non potremmo utilizzare solo mattonelle medie, per cui ne servirebbero almeno 4 piccole, portando il totale ad almeno 14 (in realtà ne occorrerebbero di più: una configurazione possibile è indicata nel secondo disegno a lato). Usando due mattonelle grandi, come abbiamo fatto, rimane da coprire una superficie di 31 dm quadrati: questa richiede almeno 10 mattonelle, potendo essere usate al massimo 7 mattonelle medie, dunque non avremmo potuto fare meglio. D altra parte, usando almeno 3 mattonelle grandi, dal momento che il lato del quadrato è lungo 7 dm, occorrerebbero almeno 6 mattonelle piccole (infatti in ognuna delle due direzioni parallele ai lati verrebbe lasciata una striscia lunga 3 dm e larga 1): i restanti 16 dm quadrati da coprire richiederebbero non meno di 4 mattonelle (la copertura ottimale si otterrebbe con esattamente 4 mattonelle medie) portando il totale ad almeno 13 (questa costruzione è effettivamente realizzabile e una possibile configurazione è mostrata nel terzo disegno a lato).

3 Kangourou della Matematica 2006 finale nazionale italiana Mirabilandia, 8 maggio 2006 LIVELLO BENJAMIN B1. (5 punti ) Le lettere della parola MELA sono tutte distinte fra loro. Fa corrispondere ad ogni lettera di questa parola una cifra in modo tale che la parola MELA rappresenti il più piccolo numero di quattro cifre tutte distinte tra loro. Mantenendo questa scelta delle cifre, che numero è rappresentato dalla parola MALE? Soluzione: Infatti il più piccolo numero di 4 cifre con cifre tutte distinte fra loro (come le lettere di MELA) è Se MELA = 1023, allora MALE = B2. (7 punti ) Qual è la somma dei primi 40 numeri della sequenza: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5,? (La regola con cui è costruita la sequenza è la seguente: ogni numero intero positivo, a partire da 1, viene ripetuto consecutivamente tante volte quale è il suo valore.) Soluzione: 240. La somma dei primi 8 numeri interi vale 36; visto che ogni numero è rappresentato nella sequenza tante volte quanto esso vale, si deduce che gli ultimi quattro elementi della sequenza sono quattro = = = = 240 N A D B3. (11 punti ) Osserva la figura: ABCD è un quadrato, M è il punto medio di AB ed N è il punto medio di DA. I segmenti CM e BN si incrociano in Y. Quanto misura l angolo NYC? Perché? Soluzione: 90 gradi. I triangoli rettangoli NAB e MBC sono congruenti (avendo cateti a due a B C due di ugual misura): in particolare l angolo BNA misura come l angolo CMB e l angolo ABN come l angolo BCM. Il triangolo BYM è allora simile ai triangoli NAB e MBC : quindi l angolo BYM è retto e così pure l angolo NYC. M Y B4. (14 punti ) Quanti sono i numeri di 3 cifre (significative, cioè la cui prima cifra non sia 0), tali che 2 di esse comunque prese non differiscano per meno di 4? Soluzione: 18. Le terne di cifre in questione sono (1,5,9) (0,4,8) (0,4,9) (0,5,9) e le disposizioni ammissibili sono 6 per la prima terna e 4 per ciascuna delle altre: si ottengono così 18 numeri di tre cifre. Possiamo elencarli: 159, 195, 519, 591, 915, 951; 408, 480, 804, 840; 409, 490, 904, 940; 509, 590, 905, 950.

4 B5. (18 punti ) Un cerchio è stato diviso in un certo numero di spicchi (almeno 4), ad esempio come in figura. Sei stato incaricato di colorare l interno di ogni spicchio in modo che tra due spicchi di ugual colore ce ne siano sempre almeno due di colori diversi, ma non conosci il numero degli spicchi del cerchio (quello in figura è solo un esempio!). Qual è il più piccolo numero di colori che ti garantirà di riuscirci, indipendentemente dal numero degli spicchi? (Ti suggeriamo di calcolare preliminarmente il minimo numero di colori sufficiente in ciascuno dei seguenti casi: gli spicchi sono 4, gli spicchi sono 5 e così via fino a 8.) Soluzione: 5. Sia n il numero degli spicchi. Se n = 5 sono necessari 5 colori, se n è un multiplo di 3 bastano 3 colori, ordinati come se n diviso per 3 dà resto 1 (come succede con 4, 7, 10, 13, ) bastano 4 colori, ordinati come , se n diviso per 3 dà resto 2, ma è maggiore di 5 (come succede con 8, 11, 14, ) bastano 4 colori, ordinati come Il disegno illustra la situazione da n = 4 a n = 8. B6. (22 punti ) Nell operazione indicata a lato ogni lettera rappresenta una cifra: lettere uguali rappresentano cifre uguali e lettere diverse rappresentano cifre diverse; inoltre nessuna lettera rappresenta la cifra 0. Quanto vale il risultato? ORE + ORE + ORE = VIVE Soluzione: La lettera E deve rappresentare 5 (poiché nessuna altra cifra, a parte lo 0 che non è ammesso, moltiplicata per 3 dà un numero con cifra delle unità che coincide con la cifra iniziale); la lettera V deve rappresentare 1 oppure 2 (sommando tre numeri minori di 1000 si h comunque un numero più piccolo di 3000). Tenuto conto del riporto 1 che si ha dalla somma delle cifre delle unità, il numero R+R+R+1 deve avere V come cifra delle unità: se V fosse 1, 3 volte R dovrebbe valere 10 o 20: impossibile. Dunque V=2 e R+R+R=21, cioè R=7. Inoltre si ha riporto 2 e quindi 3 volte O sommato a 2 deve dare un numero più grande di 20: quindi O non può valere 6 (la somma varrebbe esattamente 20), non può valere 7 (che è il valore già impegnato per R), non può valere 9 poiché in tal caso anche I dovrebbe valere 9. Invece, se O vale 8, si ha che I vale 6 e tutte le richieste sono rispettate: = 2625 Il ragionamento illustrato dimostra che il problema ammette la sola soluzione trovata.

5 Kangourou della Matematica 2006 finale nazionale italiana Mirabilandia, 8 maggio 2006 LIVELLO CADET C1. (5 punti ) Il raggio dei due cerchi piccoli è un sesto del raggio del cerchio grande. Il raggio del cerchio di media misura è il doppio di quello dei cerchi piccoli. Quale frazione del cerchio grande è colorata in grigio? Soluzione: 5/6. Fatto pari a 1 il raggio dei cerchi piccoli, il raggio di quello medio è 2 e il raggio di quello grande è 6. Allora l area del cerchio grande (in unità quadrate) è 6 2 π, quella della regione grigia è ( )π e quindi il rapporto vale 5/6. C2. (7 punti ) Una sbarra metallica, che per semplicità supponiamo filiforme e il cui punto medio è denotato con M, è appoggiata in piedi contro un muro e aderisce ad una parete con cui il muro fa angolo. Il muro ed il pavimento sono di M marmo molto lucido, per cui lentamente la sbarra scivola, mantenendosi sempre aderente alla parete, fino ad adagiarsi sul pavimento (la figura schematizza la posizione della sbarra in un singolo istante durante il movimento: la parete è simboleggiata dal foglio). Che traiettoria descrive M sulla parete? Motiva la tua affermazione. Soluzione: un quarto di circonferenza con centro nel vertice dell angolo tra il muro e il pavimento e raggio pari a metà della lunghezza della sbarra. In ciascun istante in cui la sbarra scivola, si denoti con ABC il triangolo, rettangolo in A, evidenziato in figura. Se M è il punto medio dell ipotenusa BC, si ha AM = MB = MC (infatti BC è una delle due diagonali del rettangolo che ha in comune tre vertici con il triangolo ABC): quindi la distanza di M da A è costante durante il movimento, per cui la traiettoria descritta da M è un quarto della circonferenza con centro in A e raggio pari a metà della lunghezza della sbarra.

6 C3. (11 punti ) In figura sono rappresentati un rettangolo di base a e altezza b, ed un quadrato avente un vertice sulla diagonale del rettangolo e il vertice opposto in comune con il rettangolo. Che cosa si può dire circa i numeri che forniscono (rispetto alle opportune unità di misura) l area e il perimetro del rettangolo se il quadrato ha lato 2? Soluzione: i due numeri sono uguali. Tutti i triangoli rettangoli che compaiono in figura sono simili. In particolare a :b = (a 2) : 2, quindi a b = 2(a +b). C4. (14 punti ) Un cerchio è stato diviso in un certo numero di spicchi (almeno 4), ad esempio come in figura. Sei stato incaricato di colorare l interno di ogni spicchio in modo che tra due spicchi di ugual colore ce ne siano sempre almeno due di colore diverso, ma non conosci il numero degli spicchi del cerchio (quello in figura è solo un esempio!). Qual è il più piccolo numero di colori che ti garantirà di riuscirci, indipendentemente dal numero degli spicchi? Soluzione: 5. Sia n il numero degli spicchi. Se n = 5 sono necessari 5 colori, se n è un multiplo di 3 bastano 3 colori, ordinati come se n diviso per 3 dà resto 1 (come succede con 4, 7, 10, 13, ) bastano 4 colori, ordinati come , se n diviso per 3 dà resto 2, ma è maggiore di 5 (come succede con 8, 11, 14, ) bastano 4 colori, ordinati come Il disegno illustra la situazione da n = 4 a n = 8.

7 C5. (18 punti ) Nell operazione indicata a lato ogni lettera rappresenta una cifra: lettere uguali rappresentano cifre uguali e lettere diverse rappresentano cifre diverse; inoltre nessuna lettera rappresenta la cifra 0. Quanto vale il risultato? ORE + ORE + ORE = VIVE Soluzione: La lettera E deve rappresentare 5 (poiché nessuna altra cifra, a parte lo 0 che non è ammesso, moltiplicata per 3 dà un numero con cifra delle unità che coincide con la cifra iniziale); la lettera V deve rappresentare 1 oppure 2 (sommando tre numeri minori di 1000 si ha comunque un numero più piccolo di 3000). Tenuto conto del riporto che si ha dalla somma delle cifre delle unità, risulta R+R+R+1 = 10k+V con k = 1 oppure k = 2: se fosse V=1, si avrebbe 3R = 10k, il che è impossibile per quanto sappiamo su k. Dunque V = 2 e 3R = 21, cioè R = 7. Tenuto conto del riporto, si ha O+O+O+2 > 20: quindi O non può valere 6 (la somma varrebbe esattamente 20), non può valere 7 (che è il valore già impegnato per R), non può valere 9 poiché in tal caso anche I dovrebbe valere 9. Invece, se O vale 8, si ha che I vale 6 e tutte le richieste sono rispettate: = 2625 Il ragionamento illustrato dimostra che il problema ammette la sola soluzione trovata. C6. (22 punti ) Considera i numeri di 3 cifre le cui cifre possano essere riordinate in modo da formare terne di cifre consecutive (ad es. le cifre di 786 si possono riordinare nella terna 678, costituita da cifre consecutive). Quanti di questi numeri hanno un numero dispari di divisori (diversi fra loro)? Soluzione: due. Le terne, elencate in modo che in ciascuna le cifre appaiano in ordine crescente, sono Vogliamo appurare quanti, tra i numeri che si possono ottenere permutando le cifre di ognuna di queste terne, sono dei quadrati perfetti: infatti tutti i divisori di un numero, che non ne siano radici quadrate, si presentano a coppie di numeri distinti. Conviene quindi elencare i quadrati da 11 2 = 121 a 31 2 = 961: 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324 = 18 2 (ecco il primo!), 361, 400, 441, 484, 529, 576 = 24 2 (ecco il secondo!), 625, 676, 729, 784, 841, 900.

8 Kangourou della Matematica 2006 finale nazionale italiana Mirabilandia, 8 maggio 2006 LIVELLO JUNIOR J1. (5 punti ) Una sbarra metallica, che per semplicità supponiamo filiforme e il cui punto medio è denotato con M, è appoggiata in piedi contro un muro e aderisce ad una parete con cui il muro fa angolo. Il muro ed il pavimento sono di M marmo molto lucido, per cui lentamente la sbarra scivola, mantenendosi sempre aderente alla parete, fino ad adagiarsi sul pavimento (la figura schematizza la posizione della sbarra in un singolo istante durante il movimento: la parete è simboleggiata dal foglio). Che traiettoria descrive M sulla parete? Motiva la tua affermazione. Soluzione: un quarto di circonferenza con centro nel vertice dell angolo tra il muro e il pavimento e raggio pari a metà della lunghezza della sbarra. In ciascun istante in cui la sbarra scivola, si denoti con ABC il triangolo, rettangolo in A, evidenziato in figura. Se M è il punto medio dell ipotenusa BC, si ha AM = MB = MC (infatti BC è una delle due diagonali del rettangolo che ha in comune tre vertici con il triangolo ABC): quindi la distanza di M da A è costante durante il movimento, per cui la traiettoria descritta da M è un quarto della circonferenza con centro in A e raggio pari a metà della lunghezza della sbarra. J2. (7 punti ) Denotiamo con n un numero intero maggiore di 1 e supponiamo che n punti di una circonferenza siano numerati da 1 a n in un ordine del tutto casuale. Per ogni coppia (non ordinata) di punti adiacenti consideriamo il valore assoluto della differenza dei due numeri corrispondenti; sommiamo quindi tutti i valori assoluti così ottenuti. Quanto vale al minimo questa somma? Soluzione: 2n - 2. Il punto 1 e il punto n ripartiscono la circonferenza in due archi: per ciascuno di essi la somma dei valori assoluti che ci interessano non può essere inferiore a n - 1, quindi la somma totale non può essere minore di 2n - 2. D altra parte, questo valore viene realizzato quando la numerazione viene effettuata rispettando il verso orario o antiorario dei punti. Ci sono però casi in cui la somma risulta maggiore: ad es. se n = 4 e si assegnano ai punti i numeri 1, 3, 2, 4 in verso orario, le somme sono del tipo: (3-1) + (3-2) + (4-2) + (4-1) = 8 > 6 = 2x4-2.

9 J3. (11 punti ) Un cerchio è stato diviso in un certo numero di spicchi (almeno 4), ad esempio come in figura. Sei stato incaricato di colorare l interno di ogni spicchio in modo che tra due spicchi di ugual colore ce ne siano sempre almeno due di colore diverso, ma non conosci il numero degli spicchi del cerchio (quello in figura è solo un esempio!). Qual è il più piccolo numero di colori che ti garantirà di riuscirci, indipendentemente dal numero degli spicchi? Soluzione: 5. Sia n il numero degli spicchi. Se n = 5 sono necessari 5 colori, se n è un multiplo di 3 bastano 3 colori, ordinati come se n diviso per 3 dà resto 1 (come succede con 4, 7, 10, 13, ) bastano 4 colori, ordinati come , se n diviso per 3 dà resto 2, ma è maggiore di 5 (come succede con 8, 11, 14, ) bastano 4 colori, ordinati come Il disegno illustra la situazione da n = 4 a n = 8. J4. (14 punti ) Siano p e q due numeri primi, diversi fra loro ed entrambi diversi da 2, tali che non ci sia alcun numero primo strettamente compreso tra p e q. È vero che p + q è il prodotto di almeno tre numeri interi positivi maggiori di 1 (non necessariamente diversi tra loro)? In caso di risposta affermativa danne una motivazione, in caso di risposta negativa trova un contro-esempio. Soluzione: è vero. Nelle nostre ipotesi p + q è pari: se non potesse essere scritto come prodotto di almeno tre numeri interi positivi maggiori di 1, sarebbe della forma 2r con r numero primo. Ma allora r sarebbe un numero primo strettamente compreso tra p e q (essendone la media aritmetica).

10 J5. (18 punti ) Considera i numeri di 3 cifre le cui cifre possano essere riordinate in modo da formare terne di cifre consecutive (ad es. le cifre di 786 si possono riordinare nella terna 678, costituita da cifre consecutive). Quanti di questi numeri hanno un numero dispari di divisori (diversi fra loro)? Soluzione: due. Le terne, elencate in modo che in ciascuna le cifre appaiano in ordine crescente, sono Vogliamo appurare quanti, tra i numeri che si possono ottenere permutando le cifre di ognuna di queste terne, sono dei quadrati perfetti: infatti tutti i divisori di un numero, che non ne siano radici quadrate, si presentano a coppie di numeri distinti. Conviene quindi elencare i quadrati da 11 2 = 121 a 31 2 = 961: 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324 = 18 2 (ecco il primo!), 361, 400, 441, 484, 529, 576 = 24 2 (ecco il secondo!), 625, 676, 729, 784, 841, 900. J6. (22 punti ) Tutti i punti di un piano sono colorati o in rosso o in blu e c è almeno un punto rosso ed almeno un punto blu. Considera le due configurazioni proposte qui di seguito. a) Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente un punto blu. b) Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente due punti blu. È possibile che si verifichi a)? È possibile che si verifichi b)? Motiva le tue risposte. Soluzione: la a) non è possibile. Infatti sia B un punto blu: sulla circonferenza di centro B e raggio 1 centimetro dovrebbe trovare posto un altro punto blu, diciamo B. Allora sulla circonferenza di raggio 1 centimetro, centrata nel terzo vertice di un triangolo equilatero che ha per primi due vertici B e B, ci sarebbero almeno due punti blu: B e B. La b) invece è realizzabile. Si colorino di blu una retta fissata e tutte le rette ad essa parallele che distino 2 centimetri dalla più vicina retta blu; si colori di rosso il resto del piano. Una circonferenza di raggio 1 centimetro o ha centro equidistante da due di queste rette e quindi risulta ad esse tangente (e i punti di tangenza sono i due punti blu), oppure interseca solo una di queste rette, esattamente in due punti (che sono ovviamente i suoi unici punti blu).

11 Kangourou della Matematica 2006 finale nazionale italiana Mirabilandia, 8 maggio 2006 LIVELLO STUDENT S1. (5 punti ) Denotiamo con n un numero intero maggiore di 1 e supponiamo che n punti di una circonferenza siano numerati da 1 a n in un ordine del tutto casuale. Per ogni coppia (non ordinata) di punti adiacenti si consideri il valore assoluto della differenza dei due numeri corrispondenti; si sommino quindi tutti i valori assoluti così ottenuti. Quanto vale al minimo questa somma? Soluzione: 2n - 2. Il punto 1 e il punto n ripartiscono la circonferenza in due archi: per ciascuno di essi la somma dei valori assoluti che ci interessano non può essere inferiore a n - 1, quindi la somma totale non può essere minore di 2n - 2. D altra parte, questo valore viene realizzato quando la numerazione viene effettuata rispettando il verso orario o antiorario dei punti. Ci sono però casi in cui la somma risulta maggiore: ad es. se n = 4 e si assegnano ai punti i numeri 1, 3, 2, 4 in verso orario, le somme sono del tipo: (3-1) + (3-2) + (4-2) + (4-1) = 8 > 6 = 2x4-2. S2. (7 punti ) Siano p e q due numeri primi, diversi fra loro ed entrambi diversi da 2, tali che non ci sia alcun numero primo strettamente compreso tra p e q. È vero che p + q è il prodotto di almeno tre numeri interi positivi maggiori di 1 (non necessariamente diversi tra loro)? In caso di risposta affermativa danne una motivazione, in caso di risposta negativa trova un contro-esempio. Soluzione: è vero. Nelle nostre ipotesi p + q è pari: se non potesse essere scritto come prodotto di almeno tre numeri interi positivi maggiori di 1, sarebbe della forma 2r con r numero primo. Ma allora r sarebbe un numero primo strettamente compreso tra p e q (essendone la media aritmetica).

12 S3. (11 punti ) Considera, in un poligono regolare di 9 lati, la lunghezza delle diagonali più lunghe e quella delle diagonali più corte. Se il lato del poligono misura 1 centimetro, quanto vale la differenza di queste due lunghezze? Soluzione: 1 centimetro. A B In base alla formula sugli angoli interni di un poligono regolare, l angolo ABC misura 180 7/9 = 140 gradi (e quindi CAB ne misura 20), mentre l angolo EAB, che per motivi di simmetria è uguale all angolo DEA, misura C ( )/2 = 60 gradi. Sia ora K il punto di AE tale che AK = AC : nel triangolo isoscele KAC, l angolo ACK misura (180-40)/2 = 70 gradi. K Dunque CK è perpendicolare a BC e quindi anche a DA, che gli è parallelo. D Allora AD è asse di CK, per cui il triangolo CDK è isoscele; ne segue che i E due angoli alla base misurano entrambi 50 gradi, quello al vertice 80 gradi e quindi KDE misura 60 gradi come DEK : il triangolo DEK è dunque equilatero e la lunghezza di EK è 1 centimetro. S4. (14 punti ) Tutti i punti di un piano sono colorati o in rosso o in blu e c è almeno un punto rosso ed almeno un punto blu. Considera le due configurazioni proposte qui di seguito. a. Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente un punto blu. b. Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente due punti blu. È possibile che si verifichi a)? È possibile che si verifichi b)? Motiva le tue risposte. Soluzione: la a) non è possibile. Infatti sia B un punto blu: sulla circonferenza di centro B e raggio 1 centimetro dovrebbe trovare posto un altro punto blu, diciamo B. Allora sulla circonferenza di raggio 1 centimetro, centrata nel terzo vertice di un triangolo equilatero che ha per primi due vertici B e B, ci sarebbero almeno due punti blu: B e B. La b) invece è realizzabile. Si colorino di blu una retta fissata e tutte le rette ad essa parallele che distino 2 centimetri dalla più vicina retta blu; si colori di rosso il resto del piano. Una circonferenza di raggio 1 centimetro o ha centro equidistante da due di queste rette e quindi risulta ad esse tangente (e i punti di tangenza sono i due punti blu), oppure interseca solo una di queste rette, esattamente in due punti (che sono ovviamente i suoi unici punti blu).

13 S5. (18 punti ) Quattro numeri interi a, b, c, d, con a non nullo, sono scelti in modo che l insieme E dei numeri interi positivi n tali che an + b divide cn + d non sia finito. L insieme E può essere diverso dall insieme N dei numeri interi positivi? Motiva la risposta. Soluzione: no. Se an +b divide cn +d allora divide anche a(cn +d) e c(an +b) e quindi la loro differenza ad-bc. Se an +b divide ad - bc per infiniti n, deve risultare ad - bc = 0: deve quindi esistere un intero positivo k tale che b = ak e d = ck. Sostituendo tali espressioni nel rapporto tra cn +d e an +b, si trova che il rapporto vale costantemente c /a al variare comunque di n : quindi, se anche per un solo n tale rapporto è un intero, lo è per tutti gli n. S6. (22 punti ) Un triangolo equilatero di lato n (n intero maggiore di 1) è suddiviso in n 2 piccoli triangoli equilateri utilizzando segmenti paralleli ai lati, come suggerito dalla figura. A tutti i punti della rete (vertici dei triangoli) che viene così realizzata è inizialmente associato il numero 0, tranne ai quattro punti marcati con, cui è associato il numero 1. Vogliamo fare in modo che a tutti i suddetti punti, compresi questi ultimi quattro, finisca per essere associato il numero 0 dopo aver eseguito un numero finito di mosse, ciascuna esclusivamente del tipo seguente: sommare 1 o -1 simultaneamente a ciascuno dei numeri nei quattro vertici di un qualunque rombo che sia formato dall unione di due degli n 2 triangoli equilateri piccoli. Per quali valori di n è possibile realizzare il progetto (e con quale strategia)? Soluzione: solo per n dispari. Se n è dispari, in due mosse è possibile spostare 1 da A in A (si veda la figura); similmente si sposta 1 da B in B. Dunque in 2(n-3) mosse questi 1 passano nei vertici in basso del triangolo evidenziato in grigio e in 4 ulteriori mosse tutti gli 1 vengono concentrati nel rombo superiore. Possono quindi venire azzerati con un ultima mossa. Se invece n è pari il progetto non può essere realizzato. Infatti A coloriamo i punti della rete con i quattro colori a, b, c, d in modo che, per ogni rombo, i suoi vertici abbiano colori a due a due diversi, per esempio nel modo seguente: alterniamo i colori a e b, partendo da a, sul lato orizzontale del triangolo grande, i colori c e d sul segmento parallelo adiacente, di nuovo i colori a e b sul segmento parallelo al livello superiore e così via. Se n è pari, tutti i tre vertici A, B, C del triangolo grande di partenza vengono colorati con a, mentre il rimanente punto, cui è associato il numero 1, viene colorato con b. Complessivamente, la somma dei numeri associati ai punti colorati con a vale 3, la somma dei numeri associati ai punti colorati con b vale 1, la somma dei numeri associati ai punti colorati con c o con d vale 0. Poiché ogni mossa altera ognuna di queste somme di 1, è chiaro che le prime due somme non potranno mai essere rese uguali fra loro. A B A B C