CAMPI ELETTRICI NELLA MATERIA. POLARIZZAZIONE NEI DIELETTRICI

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1 CAMPI ELETTRICI NELLA MATERIA. POLARIZZAZIONE NEI DIELETTRICI Abbiamo visto che i conduttori solidi (metalli) possono essere descritti in equilibrio e nel caso di correnti stazionarie in termini del comportamento delle loro cariche di conduzione o cariche libere, così dette perché si possono spostare liberamente all'interno del materiale. Nei materiali isolanti (detti anche dielettrici) le cariche elettriche non sono invece libere di muoversi (in realtà hanno sempre una certa mobilità, per quanto piccola, che noi comunqure considereremo sempre trascurabile.) Gli elettroni di valenza rimangono legati al loro atomo di origine. Anche questa è una affermazione ideale: c'è una piccolissima quantità di elettroni di conduzione, dipendente dalla resistività del materiale, e di conseguenza ci possono essere ioni positivi che si comportano a tutti gli effetti come portatori di carica positiva. Noi trascureremo questo effetto e considereremo il materiale isolante elettricamente neutro in ogni sua parte. Tuttavia un materiale isolante può avere una attività elettrica dovuta alla variazione della distribuzione delle cariche positive e negative, a livello (più che) microscopico, che origina un effetto collettivo macroscopico chiamato polarizzazione di un dielettrico. Tale effetto è in generale una risposta del materiale a un campo elettrico esterno. Per spiegare meglio questo concetto dobbiamo prima considerare il campo originato da un sistema di cariche neutro a distanza molto grande dal sistema stesso. Parliamo di nuovo di dipolo elettrico, dandogli una definizione più precisa che nelle lezioni precedenti. Tramite il concetto di dipolo elettrico possiamo dare una descrizione del comportamento di un isolante in elettrostatica. MOMENTO DI DIPOLO ELETTRICO Consideriamo un sistema qualsiasi di N cariche, {q 1,..., q N } ed esaminiamo il potenziale elettrico da esse prodotto in un punto campo molto lontano dal sistema. Molto lontano significa che valutiamo il potenziale elettrico a una distanza R dal sistema molto maggiore delle dimensioni lineari del sistema di cariche stesso. Consideriamo un sistema di riferimento Oxyz locale, in cui ogni carica q i del sistema è individuata dalla sua posizione P i O =r' i = x ' i, y' i, z ' i. Indichiamo la posizione del punto campo rispetto a l'origine O con il vettore P O =R= x, y, z La distanza dell'origine O dal punto campo P è quindi R= R = x 2 y 2 z 2 Il vettore che va da ogni carica q i (punto sorgente) al punto campo P è: r i = x x' i, y y' i, z z ' i e il suo modulo: r i = r i = x x' i 2 y y' i 2 z z ' i 2. Con queste notazioni possiamo scrivere l'espressione del potenziale elettrico del sistema: V x, y, z = 1 q i 4 r i (1) Resta sottinteso nella (1) e nelle formule seguenti che la sommatoria va da i=1 a i=n, cioè sommiamo su tutte le cariche del sistema. 1

2 z (x' i,y' i,z' i ) r i T P (x,y,z ) q i q 2 r' i q 3 R q N O y q 1 x Dal momento che R è per ipotesi molto maggiore di qualsiasi r ' i possiamo sviluppare in serie la distanza r i R, che appare al denominatore della (1), fino al primo ordine: r i = x x' i 2 y y' i 2 z z' i 2 = x 2 x' i 2 2 x x' i y 2 y ' i 2 2 y y' i z 2 z' i 2 2 z z ' i = R 2 r ' i 2 2 R r' i R 2 2 R r ' i =R 1 2 R r' i R 2 R 1 R r' i dove in parentesi abbiamo tenuto solo il termine del primo ordine in r ' i / R Sempre al primo ordine abbiamo: 1 1 = r i R 1 R r' i R 1 R 1 R r' i R 2 (2) 2 Quindi, con l'approssimazione (2) la (1) si scrive: V x, y, z = 1 4 q i r i = 1 4 q i R 1 4 R q i r ' i R 2 = Q R 3 4 R 1 p R (3) 3 4 R dove Q= q i (5) è la carica totale del sistema e p= q i r' i (6) è la definizione di momento di dipolo elettrico del sistema. Il vettore p è praticamente la media pesata delle posizioni delle cariche, pesate con il loro valore q i. In componenti: p x = q i x' i p x = q i y ' i (6') p x = q i z ' i E' una definizione che somiglia molto a quella del centro di massa di un sistema di punti materiali. Solo che, al contrario delle masse, le cariche hanno un segno, positivo o negativo. Per questo motivo la (6) dà più che altro una misura della distanza tra il centro delle cariche positive e il centro delle cariche negative. Esaminiamo il significato della (3). Il primo termine a destra (ordine zero) ci dice quello che è intuibile, cioè che a grande distanza si può approssimare un sistema di cariche con una carica puntiforme che ha come valore la somma algebrica Q delle cariche stesse. In tal caso il termine di 2

3 O O' dipolo (primo ordine) è trascurabile perché varia come come 1 R. 1 R 2 anziché Tuttavia se il sistema è neutro: Q= q i =0 (7) cioé se la somma algebrica delle cariche è zero, il primo termine non nullo della (3) è il termine di dipolo, che è quello predominante: V x, y, z = 1 p R 4 R (8) 3 In questo caso si verifica facilmente che p è indipendente dal sistema di riferimento, cioè, il momento di dipolo elettrico di un sistema di cariche è lo stesso per qualunque scelta del riferimento Oxyz. Infatti considerato un altro sistema di riferimento centrato in O' O (vedi figura sopra): p '= q i P i O' = q i P i O O O' = q i P i O q i O O' =p Q O O' (9) Ma se il sistema è neutro, per la (7), p '=p L'esempio più semplice di sistema di cariche neutro è quello già fatto in precedenza di due cariche dello stesso valore assoluto q>0, una positiva, +q e l'altra negativa -q a distanza d. In questo caso, preso un arbitrario sistema di riferimento locale Oxyz: p=qr ' 1 qr' 2 =q r' 1 r' 2 =qd (9) dove il vettore d ha direzione individuata dalla retta per le due cariche puntiformi, verso dalla carica positiva alla carica negativa e modulo pari alla distanza d =d tra le due cariche, come è evidente dalla figura seguente. r 1 ' d O r 2 ' p = qd Qualsiasi sia la distribuzione di carica quello che conta nella (8) è allora il valore del vettore p. Quindi ai fini del calcolo del potenziale possiamo sostituire una qualsiasi distribuzione di cariche con due cariche uguali e opposte, separate da una distanza d, tale che: p =q d (10) Lo stesso vale per il campo elettrico poiché il campo deriva dall'espressione (8) potenziale tramite la relazione fondamentale: E= V = ( V x, V y, V z ) Per eseguire il calcolo del gradiente conviene esprimere le derivate in coordinate cilindriche r, z,ϕ. Il calcolo è piuttosto lungo e ci limitiamo a dare l'espressione finale del campo. Derivando il primo termione della (8) si ottiene il campo di dipolo elettrico: E= V = 1 4π ε 0 ( p R p R 3 R R) 5 Si nota che il campo è inversamente proporzionale al cubo della distanza dalle sorgenti e non al quadrato come nel caso di una singola carica. 3

4 La Figura seguente mostra le linee di campo di un dipolo elettrico e le superfici equipotenziali. θ ( Il campo può essere scomposto nelle componenti radiale e perpendicolare alla direzione radiale (rosse in Figura). x u θ θ u r E r = 2 p cosθ 4π ϵ 0 R 3 E θ = p sinθ 4 π ϵ 0 R 3 θ z Dal momento che sappiamo l'andamento del campo di una coppia di cariche uguali e opposte e ne abbiamo disegnato schematicamente le linee di campo, nelle lezioni precedenti, conosciamo l'andamento qualitativo del campo di una qualsiasi distribuzione di carica neutra che ha un momento di dipolo non nullo, a grande distanza dal sistema stesso. 4

5 Per concludere questa breve trattazione osserviamo che un sistema di cariche può essere configurato in modo tale che sia neutro (Q=0) e che, contemporaneamente, sia p = 0. In tal caso i termini nella approssimazione (3) sono entrambi nulli e bisogna considerare un termine di ordine superiore nello sviluppo in serie, non indicato nella (3). Un esempio di sistema neutro con momento di dipolo elettrico nullo è quello della figura seguente. +q -q a -q a +q Noi però non considereremo mai questo caso. In più ammetteremo che i dipoli elettrici nascano sempre sotto la sollecitazione di un campo elettrico esterno. Consideriamo infatti un materiale isolante, elettricamente neutro, in cui gli elettroni sono legati al loro nucleo atomico. Facciamo l'ipotesi che la carica negativa abbia sempre una distribuzione a simmetria sferica attorno al nucleo stesso, in modo che l'atomo oltre a essere neutro non abbia alcun momento elettrico. Tuttavia, sotto l'azione di un campo elettrico esterno, che _ + + p _ E 0 denoteremo con il simbolo E 0 le cariche, pur non essendo libere di muoversi all'interno del materiale, possono subire una deformazione locale della loro distribuzione, originando un momento di dipolo elettrico. Tale fenomeno si chiama polarizzazione elettrica. Queste distribuzioni cariche, positiva e negativa, sbilanciate, sono inaccessibili, nel senso che non possiamo misurare p a livello atomico o molecolare. Tuttavia ne possiamo misurare gli effetti macroscopici, cioè il contributo globale al campo elettrico dovuto alla polarizzazione di queste cariche dette legate per distinguerle dai portatori di carica liberi (cariche libere o vere ) che abbiamo esaminato studiando i conduttori. 5

6 CAMPO DI POLARIZZAZIONE w P= p w (11) p Consideriamo un elemento di volume infinitesimo w all'interno di un dielettrico. Un infinitesimo su scala macroscopica contiene comunque un numero molto grande di atomi o molecole. Se p è il momento di dipolo risultante della distribuzione di carica nell'elemento di volume definiamo il vettore polarizzazione: V V E 0 x ε r E La polarizzazione P (momento di dipolo per unità di volume) è a tutti gli effetti un campo vettoriale come E e rappresenta la quantità macroscopica che possiamo misurare, originata dalla polarizzazione delle cariche legate, inaccessibili. Insomma, contiene tutte le informazioni sulla risposta del materiale a un campo esterno. Il campo P può variare nello spazio se la risposta del materiale al campo esterno E 0 non è uniforme. Per studiare come cambiano le leggi dell'elettrostatica a causa della presenza di P partiamo dal caso più semplice possibile. Consideriamo un campo E 0 di un condensatore a facce piane e parallele, in aria. Trascuriamo gli effetti ai bordi: il campo sarà quindi uniforme all'interno delle armature e dipenderà esclusivamente dalle cariche libere delle armature metalliche. Possiamo controllare la distribuzione di queste cariche direttamente, controllando la d.d.p. V ai capi del condensatore tramite un generatore di forza elettromotrice. Supponiamo di riempire lo spazio tra le armature con un materiale isolante. Indichiamo con E il campo elettrico nella nuova situazione. Il valore di E dipenderà naturalmente dal comportamento elettrico del materiale. Supporremo sempre che la risposta del mezzo (polarizzazione) sia isotropa (parallela al campo che la provoca), lineare (proporzionale all'intensità del campo esterno) e omogenea (cioè: tutto il volume dell'isolante si comporta allo stesso modo). Con queste ipotesi la polarizzazione P deve essere parallela a E, e uniforme su tutto il volume poiché il campo E è uniforme nello spazio tra le armature. Dividiamo il volume del dielettrico in tanti volumi infinitesimi uguali w=ds dx. A ognuno di essi corrisponde lo stesso momento di dipolo p perché la polarizzazione è uniforme. Sostituiamo, come è lecito, a ogni momento di dipolo p il dipolo equivalente (vedi figura sopra) dato da una coppia di cariche uguali e opposte q e -q distanziate di dx tali che : 6

7 p =q dx (10') E' evidente dallo schema in figura che quando la polarizzazione è costante nel volume dell'isolante i V σ 0 _ σ p σ 0 σ p x dipoli si compensano elettricamente e l'unica carica di polarizzazione efficace si trova sulla superficie. La densità di carica di polarizzazione per unità di superficie p è in valore assoluto pari a p = q ds, cioè per la (10') a p = p ds dx = P Si nota inoltre che la densità p è positiva sulla superficie affacciata alla armatura negativa del condensatore e negativa sul lato opposto. Possiamo scrivere allora : p =P n (12) Dove n è la normale esterna alla superficie del dielettrico. La relazione (12) è una equazione fondamentale che vale in generale, non solo in questo esempio semplice che ci è servito per ricavarla. E' evidente che la risposta del sistema tende a diminuire il campo imposto dall'esterno schermando le cariche libere con cariche di polarizzazione di segno opposto. Tale schermo non è però totale come nel caso di un metallo in cui le cariche superficiali annullano completamente il campo elettrico nel volume del materiale. Nel caso degli isolanti il campo risultante E è minore in valore assoluto del campo E 0, ma non è in generale nullo. L'espressione del campo risultante nel semplice esempio che stiamo considerando è il seguente (scriviamo una equazione scalare poiché tutti i vettori hanno solo la componente lungo la direzione x): E= p =E P (13) 0 Per risolvere il problema occorre una informazione sul materiale, che ci dia il valore di P. Abbiamo fatto l'ipotesi di risposta lineare, cioè abbiamo detto che la polarizzazione è legata al campo elettrico da una equazione lineare che possiamo scrivere formalmente: P= E (14) La costante 0 è detta suscettività elettrica del materiale. Combinando la (13) e la (14) abbiamo: E=E 0 E E 1 =E 0 E= E 0 1 Definendo: =1 (15) costante dielettrica relativa del materiale otteniamo infine: E= E 0 (16) Cioè 1 è una misura della diminuzione del campo elettrico nell'isolante a causa della polarizzazione. Una conseguenza immediata della (16) è che l'inserimento dell'isolante tra le armature di un condensatore provoca un aumento della capacità. Infatti, consideriamo un condensatore isolato che ha una carica Q libera e una differenza di 7

8 potenziale V 0. La sua capacità è C 0 = Q. Se inseriamo un dielettrico tra le armature del V 0 condensatore la carica Q non varia, ma il campo diminuisce di una quantità e di conseguenza anche la differenza di potenziale: V = V 0. Pertanto: C= Q V = Q = V r C 0 0 (17) La capacità di un condensatore a facce piane e parallele riempito da un dielettrico è quindi: C= A d (18) EQUAZIONI DI MAXWELL IN UN DIELETTRICO Si può dimostrare che, data una superficie chiusa orientata S che comprende almeno in parte un dielettrico: n S chiusa N Φ S (P)= S P n ds= Q p Q p = i q i p (19) Cioè, il flusso di P attraverso una superficie orientata e chiusa è uguale alla carica totale di polarizzazione racchiusa all'interno della superfice, cambiata di segno. dielettrico Non dimostriamo l'equazione 19. Ma osserviamo che essa è in accordo con la relazione 12. Infatti dalla 19 segue che attraverso una superfice di separazione tra due mezzi la componente normale del vettore polarizzazione ha una discontinuità uguale alla carica di polarizzazione presente sulla superficie stessa: P n2 P n1 = σ p (20) Mezzo 2 σ p n P 2n Mezzo 1 P 1n In particolare, nel caso in cui il mezzo 1 sia un isolante e il mezzo 2 non lo sia (potrebbe essere un conduttore o il vuoto): P n1 =σ p quindi ritroviamo la Eq. 12 Dal Teorema di Gauss sappiamo che il campo elettrico dipende da tutti i tipi di carica (libera e di polarizzazione): Φ S (E)= S E n ds= Q p +Q ϵ 0 (21) dove Q rappresenta l'eventuale carica di conduzione all'interndo della superfice di integrazione. 8

9 Definiamo adesso un nuovo campo, il campo di induzione elettrica: D=ϵ 0 E+P (22) La relazione (22) è una semplice definizione che fa uso delle quantità già note E e P, vediamo come ci può essere utile. Calcoliamo il flusso del nuovo campo utilizzando Eq. 19, 21 e 22: Φ S (D)=ϵ 0 Φ S (D)+Φ S (P)=Q p +Q Q p =Q (23) Dunque il flusso del campo di induzione elettrica dipende solo dalle cariche libere non da quelle di polarizzazione. Segue anche dalla (23) che la componente normale del campo D è sempre continua attraverso la superficie di separazione tra due dielettrici. Infatti in quel caso l'eventuale densità di carica per unità di superficie è formata esclusivamente da carica di polarizzazione e non da carica di conduzione. Il campo D per le sue poprietà può essere determinato dalla conoscenza delle sole cariche di conduzione. Una volta determinato D, le relazioni (14) e (22) permettono di determinare P e d E. P=ϵ 0 χ E D=ϵ 0 (1+χ)E=ϵ 0 ϵ r E Infine, dalla conoscenza di P, possiamo determinare le cariceh di polarizzazione tramite le equazioni (12) e (19). Per concludere il paragrafo, le Eq. Di Maxwell dell'elettrostatica, in presenza della materia sono: Φ S (D)=Q (23') E dl=0 (24) La seconda equazione di Maxwell non cambia in presenza della materia, il campo elettrostatico rimane comunque conservativo. Facciamo ora alcuni esempi dell'uso del campo D negli esercizi di elettromagnetismo. 9

10 Ai capi di un condensatore a facce piane e parallele viene mantenutta una d.d.p. costante V 0. Il condensatore è riempito da due strati di dielettrico di costante dielettrica relativa = e =k 2 e spessori d 1 e d 2 rispettivamente. Si chiede di calcolare il campo elettrico tra le armature e la corrente di polarizzazione all'interfaccia tra i due mezzi. Si chiede inoltre di calcolare la capacità del condensatore nelle condizioni dette, sapendo che l'area delle armature è A. V 0 d 1 k 2 d 2 x Per simmetria, trascurando gli effetti ai bordi, i campi sono perpendicolari alle armature. Il campo D ha come sorgenti le cariche vere e dal Teorema di Gauss (22) risulta: D=σ 0 dove con ±σ 0 indichiamo la densità di carica libera sulle armature conduttrici. Osserviamo che D è continuo all'interno del condensatore perché normale alle superfici di separazione tra i due dielettrici. Dunque non cambia da un dielettrico all'altro. Il campo elettrico dovuto a tutte le cariche (libere e di polarizzazione) è invece mezzo 1 e = D ϵ 0 k 2 nel mezzo 2. Quindi deve valere la condizione: E 1 = k 2 Inoltre sappiamo che la d.d.p totale è V 0, quindi: V 0 =E 1 d 1 d 2 Le ultime due equazioni consentono di determinare i campi in funzione dei dati noti: E 1 = k 2 V 0 d 2 k 2 d 1 = V 0 d 2 k 2 d 1 E 1 = D ϵ 0 nel Il campo dovuto alle cariche libere è quindi: D= ϵ 0 k 2 V 0 d 2 +k 2 d 1 e la densità di carica libera per unità di superficie delle armature: σ 0 =D= ϵ 0 k 2 V 0 d 2 +k 2 d 1 10

11 La densità di carica di polarizzazione all'interfaccia tra i mezzi 1 e 2 è data da due distribuzioni di carica di polarizzazione sulle superfici di contatto, in accordo con la 20: P n2 P n1 = σ p dove la normale all'interfaccia è orientata come in figura, V 0 n P 1 P 2 k 2 quindi: σ p =P 1 P 2 =ϵ 0 χ 1 E 1 ϵ 0 χ 2 =ϵ 0 (( 1) E 1 (k 2 1) )=( 1) D (k 2 1) D k 2 = =σ 0( 1 k 1 2 k 2 ) =σ k 2 0 = ϵ V (k k ) k 2 d 2 +k 2 d 1 V 0 _ V _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + _ + + k Cariche di polarizzazione C 1 C 2 d 1 d 2 Quindi la carica di polarizzazione risultante ha il segno della differenza k 2 = 1 2 Notare che la carica di polarizzazione all'interfaccia tra i mezzi 1 e 2 si può ricavare anche dalla condizione di discontinuità del campo elettrico normale alla superficie di separazione tra due mezzi: E 1 = p Infine, calcoliamo la capacità del condensatore dato. Conviene calcolare il rapporto tra d.d.p e carica sulle armature: 1 C = V 0 Q = V 0 A = V 0 d 2 k 2 d 1 = d 2 A k 2 V 0 k 2 A d 1 A = 1 1 C 1 C 2 In pratica è come se ci fossero due condensatori in serie ognuno con un dielettrico fra le armature. 11

12 Consideriamo ora il caso di un condensatore che è riempito solo parzialmente da un dielettrico, come in figura. Supponiamo che il condensatore sia isolato e quindi la carica libera totale q non possa variare. Si chiede di calcolare tutti i parametri elettrici in funzione della distanza di inserimento h del dielettrico. Si trascurano gli effetti ai bordi e quindi si suppone che i campi siano sempre normali alle armature. Notiamo allora che dato che la componente tangenziale del campo elettrico è sempre continua allora il campo di induzione elettrica deve essere discontinuo nel passaggio dal dielettrico al vuoto. Dato che D è determinato dalle cariche libere si ha che la carica per unità di superficie sarà diversa nella zona dove è presente il dielettrico tra le armature, rispetto alla zona dove non vi è nulla tra le armature stesse. La carica libera totale sarà sempre q: q=σ 1 L h+σ 2 L (L h) dove σ 1 e σ 2 sono le due distribuzioni di carica libera, che sono da determinare. Il campo di induzione elettrica è D 1 =σ 1 in presenza del + σ 1 + σ 2 dielettrico e D 2 =σ 2 senza dielettrico. Dunque per continuità del campo elettrico: k x h L d k E E E= σ 1 ϵ 0 k = σ 2 ϵ 0 si ha σ 1 =k σ 2 σ 1 - σ 2 Quindi, riassumendo: q=σ 1 L h+σ 2 L (L h) σ 1 =k σ 2 Da queste equazioni si possono trovare le distribuzioni di carica libera: k q q σ 1 = σ k L h+l( L h) 2 = da cui i campi: k L h+l (L h) k q q q D 1 = D 2 = E= k L h+ L(L h) k L h+ L(L h) ϵ 0 [k L h+l( L h)] La polarizzazione è uniforme quindi non vi può essere densità di carica di polarizzazione per unità di volume. La densità di carica di polarizzazione è solo sulla superficie del dielettrico e vale ±P P=σ p =ϵ 0 (k 1)E = q(k 1) k L h+l (L h) Infine la capacità: C= q E d = ϵ 0[k L h+l (L h)] è la capacità di due condensatori in parallelo. d Un conduttore coassiale (di raggi R 1 e R 2 ) tanto lungo da poterlo considerare indefinito, contiene un guscio dielettrico omogeneo (di raggi a e b )con costante dielettrica ε r, le altre intercapedini tra i conduttori sono riempite di aria (vedi figura). Se i conduttori sono carichi con carica ±Q Coulomb per ogni l metri di conduttore, determinare i campi E e P e la densità di carica di polarizzazione 12

13 all'interno del cavo coassiale. z Dielettrico ε r R 1 a φ r R 2 b Il sistema ha simmetria cilindrica, conviene allora usare coordinate cilindriche. Si individua un punto con la distanza r dall'asse di simmetria, la quota z e l'angolo azimutale φ Sappiamo che per simmetria i campi sono radiali e non dipendono da φ e da z. Possiamo calcolare il campo D(r) con il teorema di Gauss considerando solo la carica libera Q distribuita uniformemente sulle pareti cilindriche dei conduttori con una densità di carica per unità di superficie: 1 = Q sul conduttore interno, e 2 = Q 2 R 1 l 2 R 2 l sulla parete interna della guaina conduttrice. Il campo elettrico D nell'intercapedine è, per il teorema di Gauss: D(r)= Q 2π l r R 1 r R 2 Per r R 1 il campo D è nullo perché siamo all'interno di un conduttore in equilibrio, mentre tutto ciò che è all'esterno del cavo coassiale non influenza il campo nell'intercapedine perché il conduttore esterno costituisce uno schermo elettrostatico perfetto. Al di fuori di esso il campo elettrico è determinato da sorgenti esterne che non conosciamo e che non interessano ai fini della risoluzione del problema. Una volta determinato il campo originato dalle cariche libere è facile determinare il campo totale: E (r)= ϵ D = Q 0 2πϵ 0 l r R 1 r<a E (r)= ϵ D Q 0 ϵ = r 2πϵ 0 ϵ r l r a r b E (r)= ϵ D = Q 0 2π ϵ 0 l r b<r <R 2 Il campo E (normale) è quindi discontinuo per r=a e r=b, il che significa che sulle superfici del dielettrico c'è una densità di carica per unità di superficie che è evidentemente carica di polarizzazione (dato che E 0 è invece continuo dovunque nell'intercapedine.). Infatti sulla superficie r=a : 13

14 Q p a =P n= 1 E a = 1 2 l a mentre sulla superficie r=b Q p a =P n= 1 E b = 1 2 l b Integrando la carica sulle due superfici, si ha per ogni tratto l di cavo: Q p = 1 Q r=a Q p = 1 Q r=b Pertanto la carica sulle due superfici del dielettrico è uguale e contraria ed essendo il materiale elettricamente neutro non ci sarà carica di polarizzazione nel volume del dielettrico. Questa affermazione si può verificare calcolando il flusso di P attraverso qualunque superficie chiusa contenuta nel dielettrico. Il flusso sarà sempre nullo (perché P è radiale). Notiamo che il campo è molto attenuato nel dielettrico se 1 anche se non è mai del completamente nullo, come all'interno dei metalli Due condensatori, C 1 = 1 nf e C 2 = 200 pf, sono collegati in parallelo (vedi figura) e caricati a un 14

15 potenziale V AB = 500 V. Dopo che i condensatori sono caricati il circuito viene aperto tramite l'interruttore T. Successivamente lo spazio tra le armature di C 2 vengono riempite con un dielettrico di costante dielettrica relativa ε r =100. Calcolare la variazione di d.d.p. V AB ai capi dei condensatori, la variazione di carica ai capi di C 1 e C 2, e la variazione di energia del sistema causatadal riempimento. Consideriamo la fase in cui i condensatori si caricano. Ai capi dei condensatori alla fine del processo si stabilisce una d.d.p. V 0 = 500 V. La carica su ognuno dei condensatori è quindi: Q 1 =C 1 V 0 = C Q 2 =C 2 V 0 =10 7 C T A C C 1 2 B T V A AB =V 0 Q 1 Q 2 C 1 C 2 Alla fine del processo di carica si è raggiunto l'equilibrio e non scorre più corrente attraverso la resistenza. Quando il circuito viene aperto non avviene alcun cambiamento nei condensatori. Durante l'inserimento del dielettrico la capacità C 2 aumenta C ' 2 = C 2 =20 nf, e la carica si redistribuisce tra i due condensatori. L'unica quantità che rimane sicuramente costante è la carica totale sulle armature positive (negative): Q ' 1 Q ' 2 =Q=Q 1 Q 2 = C La d.d.p. V AB diventa allora: V = Q Allora Q ' 1 =C 1 V = Q ' 2 =C ' 2 V = C C C 1 C ' 2 =28.57 V Infine la variazione di energia potenziale elettrica nel processo di carica è data da: U = 1 2 Q V 1 2 Q V 0 = B J T V A AB =V Q' 1 Q' 2 C C' 1 2 L'energia diminuisce. Quindi il sistema compie lavoro sull'ambiente. Le forze che il campo elettrico esercita sul dielettrico sono attrattive, il condensatore attira il dielettico all'interno delle armature (come era intuitivo immaginare). B 15

16 Supponiamo di avere C 1 e C 2 con gli stessi valori iniziali dell'esercizio precedente, ma collegati in serie. Essi vengono caricati a V AB = 500 V. Alla fine del processo di carica il circuito viene aperto tramite l'interruttore T. Tra le armature di C 2 viene interposto un dielettrico di costante dielettrica ε r =100. Calcolare la variazione di energia del sistema a causa dell'inserimento e la carica di polarizzazione sulla superficie del A dielettrico. In questo caso i condensatori sono in serie. La capacità equivalente è C= C 1C 2 = C e la carica è la stessa su C 1 C 2 ambedue le armature positive (negative): Q=C V 0 = C Dopo l'inserimento del dielettrico C ' 2 = C 2 =20 nf e quindi la capacità equivalente diventa: C ' = C 1C ' 2 = C C 1 C ' 2 Anche in questo caso la carica sulle armature non cambia perché il circuito è aperto. Allora V AB diviene: V = Q C ' =87.5 V Quindi la variazione di energia del sistema durante il processo è: U = 1 2 Q V 1 2 Q V 0 = J C 1 C 2 B Nella figura abbiamo indicato con q la carica di polarizzazione che si forma sulle superfici del dielettrico. Naturalmente, trascurando gli effetti ai bordi, consideriamo il campo elettrico uniforme. Detta A l'area delle armature, il campo D risulta: D= Q A +q Il campo E: -Q E= Q - A ϵ 0 ϵ r La riduzione è dovuta alla polarizzazione del dielettrico che crea un contro-campo: P=D ϵ 0 E = q A Quindi: q A = Q A Q A Infine: q=q 1 r = 99Q 100 = C C' 2 +Q -q + V 2 Un disco di materiale dielettrico, di costante dielettrica relativa viene immerso in un campo 16

17 elettrico uniforme E 0, perpendicolare all'asse del disco. Si suppone di poter trascurare gli effetti ai bordi, cioè considerare il campo finale E diretto sempre lungo x ( vedi figura.) Si chiede di calcolare: (i) il campo E ; (ii) la densità di carica di polarizzazione che si forma nel processo. E 0 E x Trascurare gli effetti ai bordi equivale a considerare il dielettrico una lastra infinita nelle direzioni y e z. Possiamo subito stabilire che il campo D= E è lo stesso in presenza o in assenza del dielettrico. Le sorgenti di D sono le cariche libere, mentre il dielettrico contribuisce al campo elettrico solo per il formarsi al suo interno o alla superficie di cariche di polarizzazione. D= ε 0 E 0 D= ε 0 E 0 Sappiamo che, in lineare, omogeneo e isotropo, D= E un mezzo Dunque: E= E 0 all'interno del dielettrico E=E all'esterno del dielettrico r Abbiamo inteso indicare nella figura sopra la diminuzione di E, in modulo, all'interno del dielettrico, disegnando un numero minore di linee di campo all'interno della lastra. Notiamo che il campo E è discontinuo passando dal dielettrico all'esterno e viceversa. Questo, permette di determinare, tramite il teorema di Coulomb, le cariche di polarizzazione sulla superficie del dielettrico stesso. Dall'esterno al dielettrico: E 0 E 0 = p p = E 0 1 Dal dielettrico all'esterno: E 0 E 0 = p p = E 0 1 Allo stesso risultato si arriva anche applicando: p =boldnitalic P n alle superfici della lastra, con P= E= 1 E e n verosre normale esterno alla superficie considerata. Infine, poiché P è uniforme, il flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa S è nullo S P = Q p =0 Applicando questa considerazione a una superficie arbitraria all'interno del dielettrico, segue che non esiste densità di carica di polarizzazione nel volume del dielettrico, ma solo sulla superficie: p =0 - Disco S θ ε 1 ε 2 Sia data una superficie di separazione tra due mezzi di E 1

18 costante dielettrica relativa, rispettivamente, 1 =2.3 e 2 =1.4. Si conosce il campo in prossimità della superficie nella regione 1: il modulo del campo è E 1 =10 V/ cm e il campo forma un angolo =60 con la superficie (come in figura.) Si chiede di calcolare il campo, in prossimità della superficie, nella regione 2. Sappiamo che il campo D dipende solo dalle cariche libere e non da quelle di polarizzazione. Non ci sono cariche libere in un dielettrico, allora la componente normale di D è continua attraverso qualunque superficie di separazione. D 1 sin = D 2 sin ' supponendo che il mezzo sia lineare, omogeneo e isotropo: D 1 = 1 E 1 D 2 = 2 Quindi, per la componente normale alla superficie: 1 E 1 sin = 2 sin ' Se vogliamo derivare la stessa relazione dal Teorema di Coulomb dobbiamo calcolare la densità di carica di superficie che è data dalla componente normale del vettore polarizzazione. La distribuzione di carica ha una componente positiva e una negativa sulla superficie di separazione, dovute alla diversa polarizzione P nei due mezzi. 2 σ 2 P 1 n σ P 2 P = = P 2 sin '= 2 sin '= 2 1 sin ' 1 =P 2 sin = 1 E 1 sin = 1 1 E 1 sin ' Dal Teorema di Coulomb: sin ' E 1 sin = P = 2 1 = 2 1 sin ' 1 1 E 1 sin 0 quindi, abbiamo ancora 1 E 1 sin = 2 sin ' Invece, vale sempre che la componente tangenziale del campo E sia continua attraverso qualsiasi superficie di separazione: E 1 cos = cos ' Dividendo membro con membro le due relazioni trovate: 1 tan = 2 tan ' tan '= 1 tan = 2.3 3=2.84 '=1.23 rad=70 38'

19 Il modulo di si ricava allora da una qualsiasi delle due relazioni: = cos cos ' E = =15.1 V/cm 0.33 oppure: = 1 sin 2 sin ' E = =15.1 V/cm