Frattali, disordine, caos, Verso una geometria della natura

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1 Frattali, disordine, caos, Verso una geometria della natura

2 INTRODUZIONE La geometria frattale è una recente branca della matematica; parte dall osservazione che alcune forme presenti in natura (coste, rami di un albero, fiocchi di neve, ecc ) sono ben lontane dalle figure regolari della geometria euclidea, e quindi si propone di usare enti geometrici non convenzionali per leggere e descrivere proprio le forme di irregolarità presenti in natura. Galileo Galilei, che è universalmente considerato il padre del metodo scientifico, sintetizzava magistralmente suo pensiero: Il libro della natura è scritto in lingua matematica ed i suoi caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto. A più di tre secoli di distanza Benoit Mandelbrot scrive: La geometria euclidea è incapace di descrivere la natura nella sua complessità, in quanto si limita a descrivere tutto ciò che è regolare. Tutti gli oggetti che hanno una forma perfettamente sferica, oppure mentre osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono dei cerchi, ma sono oggetti geometricamente molto complessi. (da Les objects fractals 1975 ) Nascono i frattali, modelli atti ad imprigionare in formule matematiche quelle forme della natura come fiori, alberi, fulmini, fiocchi di neve, cristalli, che fin ora non erano state considerate riproducibili con regole matematiche. La geometria frattale (dal latino frangere cioè spezzare) è lo studio di forme ripetitive di base che ci consentono di trovare le regole per generare alcune strutture presenti in natura. In questo modo Mandelbrot introduce la geometria frattale, che nasce come un nuovo linguaggio di descrizione delle forme complesse della natura; ma, mentre gli elementi della geometria (linee, cerchi,triangoli, ) si possono visualizzare facilmente, quelli del nuovo linguaggio non si prestano all osservazione diretta; essi sono algoritmi, processi che possono essere trasformati in forme e strutture solo con l aiuto di un computer. E proprio ciò che oggi avviene nelle produzioni cinematografiche, nelle quali interi paesaggi vengono ricostruiti al calcolatore, come se fossero reali, utilizzando costruzioni iterative.

3 Le figure fondamentali della geometria elementare possono facilmente evocare immagini e fenomeni familiari: I raggi di sole attraverso gli alberi di una foresta Sono un fascio proprio di rette

4 Le figure fondamentali della geometria elementare possono facilmente evocare immagini e fenomeni familiari: La pioggia che bagna due amanti È ovviamente un fascio improprio

5 Le figure fondamentali della geometria elementare possono facilmente evocare immagini e fenomeni familiari: Il getto di una fontana Segue un arco di parabola

6 Le figure fondamentali della geometria elementare possono facilmente evocare immagini e fenomeni familiari: La luna piena È un cerchio quasi perfetto

7 Per moltissimi oggetti e fenomeni naturali però le cose vanno in modo molto diverso: O un albero? E i Che broccoli forma E una romani? ha foglia? il fulmine?

8 2. Che cos è un frattale Figura geometrica o oggetto naturale con una parte della sua forma o struttura che si ripete a scala differente, con forma estremamente irregolare interrotta e frammentata a qualsiasi scala e con elementi distinti di molte dimensioni differenti". Benoit Mandelbrot (Les objects fractales,1975) I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa è la definizione più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa: l'atteggiamento corrente è quello di considerare frattale un insieme F che abbia proprietà simili alle quattro elencate qui di seguito:

9 1. Autosimilitudine: F è l unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è l unione di copie di sé stesso a scale differenti. Ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizzerà ancora un insieme ricco di particolari e complesso come il precedente. Da tale proprietà scaturiscono due caratteristiche: a. le curve frattali pur essendo continue non ammettono un unica tangente in un punto; sono cioè curve ovunque continue e mai derivabili; b. presi due punti della curva, anche se vicini tra loro, la loro distanza è sempre infinita; vuol dire che la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitivamente, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale, anzi se si pensa al frattale finale, la sua lunghezza è infinita.

10 Frattale di Mandelbrot: la figura a) si ritrova, simile a se stessa nei successivi ingrandimenti; addirittura ingrandendo la sottile linea orizzontale contenuta nelle prime tre immagini, già in d) si percepisce un piccolo nodo, che, ingrandito ancora, diventa l immagine f), la quale contiene ancora l immagine a).

11 2. Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento. 3. Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche. La funzione è ricorsiva F = {Z Z = f(f(f(...)))} applicata cioè rimettendo ogni volta in input, l output del passo precedente (vedremo di seguito cosa si intende per Ricorsione) 4. Dimensioni frazionarie: la caratteristica di queste figure, caratteristica dalla quale deriva il loro nome, è che, sebbene esse possano essere rappresentate (se non si pretende di rappresentare tutte le infinite iterazioni) in uno spazio a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera (vedremo di seguito cosa si intende per Dimensione frazionaria).

12 Invarianza di scala (Struttura fine) Questi e molti altri esempi illustrano un concetto spesso rappresentato nei fenomeni e negli oggetti naturali: l invarianza di scala Ogni parte della figura appare simile ad un suo particolare, a tutte le scale

13 Un singolo particolare del broccolo contiene una sua replica in scala ridotta, che contiene una sua replica in scala ridotta, che contiene una sua replica in scala ridotta, che

14 Ricorsione I procedimenti iterativi, o meglio ricorsivi, sono lo strumento base per lo studio delle immagini frattali. Siamo soliti considerare funzioni y=f(x) usando nomi diversi per la variabile indipendente x (nel dominio) e per la variabile y dipendente (nel codominio); dominio e codominio, anche quando sono lo stesso insieme, vengono considerati insiemi distinti. Indichiamo invece con Z=f(z) una funzione ricorsiva usando la stessa lettera z, perché dominio e codominio sono lo stesso insieme; in questo caso, uno stesso numero, trovato come output, ritorna come input della funzione stessa: c è un continuo passaggio di valori dal dominio al codominio e viceversa, a

15 x = f(x ); x = f(x ); x = f(x ); x = f(x ) Una legge ricorsiva può sembrare qualcosa di magico: quando in un fenomeno si coglie la ricorsione tutto si semplifica e si illumina. Per esempio, quante sono le strette di mano fra n persone? Non lo so, ma se n persone si sono già salutate tutte con S n strette ed arriva il signor n+1, questi deve salutare tutti gli altri: S n + 1 = S n + n. Poiché S 2 =1 il gioco è fatto. Qualcuno può obiettare che la legge ricorsiva è più debole di quella funzionale: bastava, nell esempio precedente, contare le combinazioni di classe 2 su n elementi per evitare di dover calcolare tutti gli stadi fino ad n, ma aver colto il germe per passare da n ad n+1, fa dimenticare la complessità del problema e fa risolvere situazioni dove non è possibile trovare l equivalente

16 Dimensione frattale Per capire cosa si intende per dimensione frattale (frazionaria), cerchiamo prima di comprendere il significato di dimensione intera, intesa nel senso che comunemente gli attribuiamo. Cosa vuol dire che un segmento ha dimensione 1, un quadrato ha dimensione 2 e un cubo ha dimensione 3? La definizione è collegata con il numero minimo di oggetti che servono per ricoprire l oggetto iniziale. Esempi Prendiamo un segmento (dimensione 1) Dividiamolo in 2 parti (usando il fattore di divisione F d =2) Osserviamo che ci vogliono 2 copie ridotte dello stesso segmento per rifare il segmento di partenza; sintetizziamo questa osservazione notando che, per DIM = 1 si verifica che è 2=2 DIM

17 Prendiamo un quadrato (DIM=2) Dividiamo il lato a metà (usando il fattore di divisione F d =2) Ci vogliono 4 copie ridotte dello stesso quadrato per rifare il quadrato di partenza; in questo caso è DIM = 2 e 4=2 DIM Prendiamo un cubo (DIM=3) Dividiamo il lato a metà (usando il fattore di divisione F d =2) Ci vogliono 8 copie ridotte dello stesso cubo per rifare il cubo di partenza quindi: DIM = 3 e 8=2 DIM Possiamo dedurne una generalizzazione: ponendo N c =numero di copie; F d = fattore di divisione; dim= dimensione, si ha che N c F dim d dim log F N dim log log N F

18 Gli oggetti dunque che contengono copie di se stessi a tutte le scale si chiamano frattali, ed hanno dato il nome ad una nuovissima branca della geometria: la geometria dei Frattali. La geometria dei Frattali è un nuovo linguaggio che ha rivoluzionato il modo in cui gli scienziati studiano ed esplorano il mondo. Essa descrive le forme apparentemente casuali della natura come i fiumi, i profili delle coste, gli alberi, il corpo umano.

19 Cominciamo a studiare quello che forse è il primo oggetto frattale studiato dai matematici: la polvere di Cantor Prendiamo un segmento, dividiamolo in tre parti, e poi togliamo la parte centrale Poi, ogni segmento ottenuto dividiamolo ancora in tre parti, e togliamo le parti centrali E così via All infinito

20 Ovviamente, ogni singolo segmento si trasforma in una figura simile a tutto l insieme nel suo complesso

21 I frattali, e fra questi la polvere di Cantor, hanno interessanti proprietà concernenti la loro misura Insomma, si capisce che alla fine la misura della polvere di Cantor è esattamente zero, nulla. 1 1/3 + 1/3 =2/3=0,666 4/9=0,444 log N c log 2 dim /27=0,296 log Fd log 3 16/81=0,197 32/243=0,131 64/729=0, /2187=0,0582

22 Triangolo di Sierpinski Come l insieme di Cantor, il triangolo di Sierpinski è generato da una successione infinita di rimozioni, iterando il procedimento: Dato un triangolo equilatero pieno, lo si divida in 4 triangoli equilateri e si rimuova il triangolo centrale rivolto verso il basso. Rimangono 3 triangoli: ad ognuno di essi si applichi lo stesso procedimento all infinito. Dopo 3 iterazioni, ecco come appare il triangolo: Dimensione del triangolo di Sierpinsky log dim log N F c d log log 2

23 Con un procedimento analogo si può costruire un altra figura frattale, la curva di Koch

24 Curva di Koch (Fiocco di neve) Generazione della curva di Koch La generazione della curva di Koch avviene grazie all'esecuzione ripetuta di un programma di istruzioni o procedura ricorsiva: è una procedura perché precisamente definita da un numero finito di passi E ricorsiva perché viene ripetuta meccanicamente. L'algoritmo della curva di Koch è molto semplice: consiste in una ripetizione del ciclo seguente. Partendo da un segmento di determinata lunghezza: 1. dividere il segmento originale in tre segmenti uguali; 2. cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero; 3. tornare al punto 1 per ognuno degli attuali segmenti.

25 Ciascun lato del triangolo originale viene scomposto in 4 segmenti (N c = 4) e l ingrandimento richiesto è 3 (F d = 3) dim log log N F c d log log

26 La lunghezza della curva di Koch, al contrario di quella della polvere di Cantor, non è zero: I numeri successivi sono 4,214 5,619 7,491 Una successione che tende all infinito. L n 4 3 n L 8 S A T 1. 6 A T 5

27 A fronte di un perimetro infinito, l area racchiusa dalla curva di Koch non è L area è: affatto infinita: Un area finita racchiusa da un perimetro infinito.

28 Se questo sembra strano, non è ancora niente in confronto ad un area nulla racchiusa da un perimetro infinito: È il cosiddetto tappeto di Sierpinsky

29 Si può fare qualcosa di analogo con una figura in tre dimensioni: Si ottiene in questo modo una spugna di Menger Una superficie infinita che racchiude un volume nullo

30 Dimensione = 0.63 Dimensione = 1.26 Dimensione = 1.89 (Tappeto di Sierpinski) Questa dimensione, per puro caso è intera (2)

31 Allora la matematica era così del tutto priva di collegamenti col mondo reale e Mandelbrot fece questo collegamento. E stato un passaggio molto difficile da compiere. Furono in pochi a dargli ragione. Certi studi come questo sono importanti non tanto per il quadro storico nel quale sono stati svolti ma perché hanno una ricaduta a lungo termine su svariate discipline. Questi oggetti esistevano come costrutto teorico paradossale, artificioso perciò non venivano presi sul serio. I pochi matematici che li conoscevano ci giocarono un po' e poi se ne dimenticarono. Mandelbrot riprese questi oggetti e si rese conto che la natura li ha scelti per portare a compimento tutti i suoi progetti. Mandelbrot lo capì molto chiaramente. Questo fù il grande merito di Mandelbrot. Ci voleva un bel salto concettuale per capire che questi oggetti hanno tutti qualcosa in comune con la natura. Ora grazie ai suoi studi sappiamo che queste somiglianze sono davvero numerose. Questi oggetti sono intimamente connessi alla struttura e alle forme irregolari della natura.

32 Frattali e arte: Julia e Mandelbrot Con la funzione F ( z) : Z z 2 c z, c C si ottengono i due tipi di frattali di Julia e Mandelbrot che inoltre sono i più noti. I frattali di Julia differiscono da quelli di Mandelbrot a causa delle diverse condizioni iniziali: come vedremo in seguito, in quelli di Julia si mantiene fisso il parametro c mentre in quelli di Mandelbrot invece si varia c e si parte con il punto z 0 = 0.

33 Esempio di frattale di Julia

34 Quando si passa ad analizzare i frattali di Mandelbrot e di Julia, si esce dall ambito strettamente matematico e si arriva a forme d arte che andrebbero sicuramente analizzate con i loro colori originali, sicuramente non in bianco e nero: tutto ruota proprio sui colori e le formule matematiche si intrecciano e si ripetono ricorsivamente per generare vere opere d arte.

35 Insieme di Julia Nell analisi di una funzione del tipo F ( z) z esistono anche punti la cui orbita tende all infinito. I punti che non scappano all infinito né sono attratti da un ciclo iterativo appartengono alla regione di confine del bacino di attrazione quindi all insieme di Julia. Per segnare l insieme di Julia si colorerà con un colore variabile i punti la cui orbita tende all infinito e di un colore fissato quelli che non scappano all infinito. L insieme di Julia sarà così rappresentato dal confine fra queste due regioni. 2

36 Cerchiamo ora di capire come si costruiscono e come si colorano: stiamo nel piano dei numeri complessi e supponiamo di considerare una piccola porzione attorno all origine: un quadrato di lato 4 centrato nell origine.

37 1. Scegliamo un numero complesso c assegnando valori arbitrari alla sua parte reale e a quella immaginaria. 2. Come funzione generatrice usiamo la seguente: Z z 2 c 3. Per dare colore ad un punto z 0 del piano, applichiamo la funzione in modo ricorsivo, cioè ogni volta rimettendo in input, l output del passo precedente a partire dal punto iniziale z Contiamo quante iterazioni servono per ottenere il primo punto che esce dal cerchio di raggio 2: sia n tale numero. 5. Associamo ad ogni n un colore diverso ed accendiamo il pixel associato al punto di partenza (z 0 ) di quel colore.

38 Vi sono infiniti insiemi di Julia poiché la scelta di c non deve sottostare a nessuna restrizione sebbene buoni risultati si ottengono assegnando parte reale e parte immaginaria compresa fra 0 e 1 ( c <=2). Esplorando l insieme di Julia si ottengono immagini inaspettate, semplicemente facendo degli zoom in punti particolarmente interessanti dell insieme:

39 L insieme di Mandelbrot La precedente sequenza e la funzione generatrice rimangono inalterate anche per generare il frattale di Mandelbrot. L unica differenza è che le coordinate complesse del punto del piano che vogliamo colorare vengono sostituite non a z, inizialmente sempre azzerato, ma a c, che non è più una costante definita all inizio dell elaborazione. Anche in questo caso esplorando l insieme di Mandelbrot si ottengono immagini inaspettate, semplicemente facendo degli zoom in punti particolarmente interessanti dell insieme. Essendo la stessa semplicissima formula generatrice a produrre tali meraviglie, con diverse condizioni iniziali, è chiaro che tra i due insiemi ci sia una forte relazione. Per ogni punto del frattale di Mandelbrot, esiste un insieme di Julia, cioè prendendo un punto qualsiasi del piano di Gauss come punto iniziale z 0 dell iterazione si genera una diversa immagine

40 Esempio di frattale di Mandelbrot

41 Questo frattale si chiama Escher questo frattale: pur essendo il risultato di formule matematiche iterate da un computer, la forma richiama vagamente lo stile di un quadro di Escher.

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43 Applicazioni dei fattali Oggi i frattali sono usati per studiare gli organismi marini, i terremoti, la percolazione (il lento movimento di un fluido attraverso un materiale poroso.) e l aggregazione nella ricerca sul petrolio e la formazione dei fulmini. Ci sono molte strutture frattali in natura. Dall inizio degli anni 80 i ricercatori fanno in modo di capire qualè l origine fisica di questa strutture frattali, vale a dire quali sono i meccanismi fisici che portano alla formazione di strutture frattali. Una di queste è il fulmine: Il fulmine presenta una modalità di propagazione simile a quella dell acqua che passa attraverso le roccie soggette ad erosione come l arenaria. La simulazione al computer ha dato risultati decisamente realistici Il fisico Luciano Pietronero ha formulato il modello di propagazione frattale del fulmine. In seguito a questa ricerca Mandelbrot si interessò alla questione dell aggregazione a diffusione limitata del fulmine. La geometria frattale si sta rivelando promettente in diversi campi come l ingegneria civile, la compressione video, la progettazione di navi più stabili ed ha già ottenuto successi nell imaging medical.

44 Per esempio la struttura geometrica della vena porta che si trova nel fegato è quella di un albero frattale.

45 La struttura suddivide il fegato in diversi lobi. Ogni lobo è irrorato da una specifica ramificazione della vena porta. Uno di questi rami irrora un'area particolare del fegato che ha dei confini molto netti perciò se c'è un tumore si potrebbe individuare in quale specifico lobo si è formato. In tal modo si può asportare chirurgicamente solo la parte malata. In altri termini se un albero ha un ramo malato si elimina solo quello senza danneggiare il resto della pianta.

46 Con questo metodo il paziente viene sottoposto alla TAC. Successivamente utilizzando vari strumenti di calcolo della geometria frattale a partire dalla versione ridotta della vena porta si può risalire alla sua versione complessiva. In tal modo si ottiene un'immagine completa dei diversi lobi del fegato.

47 La figura qui sotto non è un disegno al calcolatore ma rappresenta il calco di un polmone Il sistema dei bronchi e dei bronchioli si dirama in modo sempre più profondo Conferendo al sistema una struttura frattale

48 Si ritiene che in qualche modo i frattali abbiano delle corrispondenze con la struttura della mente umana. E per questo che la gente li trova così familiari. Questa familiarità è ancora un mistero e più si approfondisce l'argomento più il mistero aumenta. Per esempio su alcuni templi indiani alla base del progetto c è un frattale.

49 Da alcune minuziose ricerche è emerso che nella storia della pittura ma soprattutto dell'architettura sono presenti frattali ovunque. Non ha inventato Mandelbrot la geometria frattale. Il merito di Mandelbrot è stato quello di avere reso coerente e sviluppato una serie di spunti ma alcuni principi erano già stati formulati un secolo prima. A dire la verità i frattali c'erano già da millenni e ne sono ricche le decorazioni dei templi egizi di quelli persiani, di quell'indù.

50 Più ancora delle proprietà metriche dei frattali, sono interessanti le loro proprietà dimensionali: Un modo pratico per distinguere un oggetto unidimensionale (per esempio una linea curva) da uno bidimensionale (per esempio la parte di piano racchiusa da un ellisse) potrebbe essere il seguente

51 Si disegna intorno all oggetto una griglia con N. N quadretti Si contano i quadretti toccati dalla figura Se, prendendo N via via più grande, il numero di quadretti toccati è proporzionale a N 1, allora la dimensione è 1 N N

52 Se invece è proporzionale a N 2, allora la dimensione è 2 N N 104

53 I frattali si comportano in modo diverso sia dalla linea che dall ellisse: Per esempio, la polvere di Cantor occupa, per N grande, un numero di quadrettini proporzionale a N 0.63 Quindi la polvere di Cantor ha dimensione 0.63, inferiore a quella di una linea (1) ma superiore a quella di un punto (0)

54 Fino a questo momento i frattali sono stati presi come modello di geometrie statiche Alcune delle applicazioni più interessanti della geometria però si riferiscono a strutture dinamiche Esistono strutture dinamiche che, invece di essere descritte da oggetti della geometria elementare, hanno una struttura frattale

55 Supponiamo di riscaldare un recipiente pieno di un liquido (acqua, per esempio) dal basso Quale sarà la direzione e la velocità di rotazione delle celle convettive? Supponiamo poi che il riscaldamento sia abbastanza uniforme

56 Il problema è analogo al seguente Disponiamo su una ruota girevole dei secchi bucati Poi apriamo un rubinetto in corrispondenza del più alto di essi Infine chiediamoci, da che parte gira la ruota? Per quanto tempo? Con che velocità?

57 E.Lorenz, nel 1963, ha definito la legge oraria di un moto di questo genere, ed ha trovato un risultato stranissimo La traiettoria è una curva infinitamente avvolta su se stessa, che non ripete mai due configurazioni perfettamente uguali e che Lorenz chiamò attrattore strano

58 Straordinariamente, l attrattore strano di Lorenz dimostrò di avere una dimensione frattale, un po più grande di 1 ma un po più piccola di 2

59 Quando la traiettoria di un corpo ha una dimensione frattale, il moto si dice caotico Il sistema di Lorenz descrive il primo caso studiato di caos deterministico

60 Sfortunatamente, l attrattore di Lorenz è anche un oggetto molto complicato da studiare e da capire Fortunatamente, esistono sistemi che hanno un comportamento caotico ma che sono molto più semplici da studiare

61 Fino a quando continueranno ad aumentare tutti questi conigli? Supponiamo di collocare, in un grande campo recintato, una giovane coppia di conigli Dopo un anno, ci aspettiamo naturalmente che i conigli siano diventati, per esempio, 6 Dopo due anni, 18 Alcuni degli esempi più tipici vengono dalla dinamica delle popolazioni

62 È assai probabile, quindi, che se un certo anno ci sono 40 conigli, l anno dopo la popolazione registri un crollo Il fatto è che, per quanto grande sia il prato, l erba alla fine non basterà per tutti, i nuovi nati cominceranno a soffrire la denutrizione, e saranno più esposti alle malattie Sarà anche triste, ma è così!

63 Allora, sull asse x mettiamo i conigli in un certo anno sulle y i conigli l anno dopo Sopra la bisettrice= natalità>mortalità Sotto la bisettrice= mortalità>natalità Proviamo a descrivere questo fatto da un punto di vista matematico

64 Chiediamoci: esiste una popolazione d equilibrio? anno La popolazione converge verso il suo attrattore che in questo caso è semplicemente Un punto sulla bisettrice Dopo tanti anni

65 Le cose potrebbero andare anche in modo diverso: Supponiamo di incrementare la fertilità dei conigli: L attrattore, invece di essere un punto, potrebbe essere un ciclo Un anno pochi Un anno tanti conigli

66 Uhm questo è il tipico problema che si potrebbe affidare ad un computer:

67 Come si sarà notato, all aumentare della fertilità, il sistema passa attraverso una serie di biforcazioni sempre più vicine Ciclo Ciclo di ordine ordine 16 2 Ciclo di ordine 84 Fino ad un regime caotico, senza periodicità

68 In che modo c entrano i frattali? Andiamo a studiare come sono distribuite queste biforcazioni:

69 Le biforcazioni, come si vede, seguono un albero binario con struttura frattale Compaiono il ciclo di ordine 2, 4, 8, 16 Poi il caos

70 Nella regione caotica, per la verità, permangono alcune isole di ordine La più estesa corrisponde ad un ciclo di ordine 3

71 Sono, Come come si vede, si usa ai due dire estremi le due della vie al isola di ordine, caos : il caos viene l intermittenza raggiunto in e due le biforcazioni modi diversi: Hopf O con un nuovo fenomeno chiamato intermittenza con la consueta successione di biforcazioni

72 ? d 3 d 2 d 1 d d 1 2 d 2 d 3... d d 3 4 Costante di Feigenbaum

73 Conclusioni: sembra quasi in tutto questo che il Creatore cerchi di manifestare le sue leggi con molto pallore ma che al tempo stesso le faccia conoscere piano piano per fare conoscere la bellezza di ciò che ha creato e la potenza con cui lo ha fatto. Apparentemente volte a fini assolutamente giochevoli perché la matematica questo è per chi ci gioca. Adopera di volta in volta degli autori che sappiano riassumere la sua Opera e ne fa luce. Molto da scoprire ancora ma è straordinario come vengano messi sulla terra ogni tanto delle persone che facciano un po di luce sulla natura e sul mondo in cui viviamo.