Dispense di Microeconomia Avanzata Modulo A. Fabio Cerina

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1 Dispense di Microeconomia Avanzata Modulo A Fabio Cerina

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3 Indice I Teoria del Consumatore 1 1 Teoria delle preferenze e dell utilità Introduzione L insieme di consumo: merci come alternative Preferenze e utilità La relazione di preferenza Implicazioni della razionalità e rappresentazione grafica La funzione di utilità Ulteriori proprietà delle preferenze Continuità e teorema di rappresentazione Restrizioni alla funzione di utilità derivanti dagli assiomi sulle preferenze Differenziabilità: utilità marginale e saggio marginale di sostituzione 31 2 Il problema del consumatore: massimizzare l utilità Enunciazione problema e insieme delle possibilità Prezzi, Insieme e vincolo di bilancio Il problema di massimizzazione dell utilità Soluzione come funzione di p e w: funzioni di domanda marshalliane Esistenza della soluzione Unicità della soluzione Legge di Walras Omogeneità di grado zero e assenza di illusione monetaria Analisi grafica per n = Ottimizzazione con Lagrange: condizioni di prim ordine Condizioni di second ordine Il ruolo del moltiplicatore di Lagrange Esempio CES o CD Funzione di utilità indiretta Value Function e Envelope Theorem Proprietà della funzione di utilità indiretta Minimizzazione della spesa Enunciazione del problema e relazioni con UMP Funzione di domanda hicksiana o compensata iii

4 iv INDICE 3.3 Funzione di spesa Esempio CES Dualità Statica comparata: effetti di reddito e di sostituzione La domanda al variare della ricchezza La domanda al variare del prezzo Un approfondimento: dotazioni nel vincolo di bilancio Offerta di lavoro II Scelta in condizioni di incertezza 95 5 Utilità attesa Introduzione Teoria dell utilità attesa Alternative rischiose come lotterie Preferenze su lotterie Funzione di utilità attesa o di Von Neumann-Morgenstern Il teorema dell utilità attesa Utilità attesa: discussione Lotterie monetarie e avversione al rischio Introduzione Avversione al rischio Equivalente certo e premio per il rischio Misurazione dell avversione al rischio Confronti tra individui per stesso valore di w Confronti fra diversi valori di w per uno stesso individuo Esempi Composizione del portafoglio titoli La decisione di assicurarsi contro i rischi Probabilità soggettiva Il paradosso di Ellsberg III Teoria della produzione Tecnologia Introduzione Tecnologia e piani di produzione Proprietà degli insiemi di produzione La funzione di produzione Prodotto marginale, isoquanto e saggio marginale di sostituzione Rendimenti di scala e a proporzioni variabili

5 INDICE v 8 Minimizzazione Costi Introduzione Esempio CES Lungo periodo e breve periodo Massimizzazione del profitto Introduzione Il problema dell impresa concorrenziale Massimizzazione del profitto Profitto e costi La funzione di profitto Profitto di lungo e breve periodo

6 vi INDICE

7 Introduzione Una caratterististica fondamentale della teoria microeconomica è il suo obiettivo di modellizzare l attività economica in termini di interazione fra agenti economici che perseguono il proprio interesse privato. E quindi opportuno iniziare lo studio della microeconomia con l analisi delle decisioni individuali. Proseguendo con gli studi della scienza economica vi accorgerete quanto centrale sia questa teoria nel modo di pensare dell economista. L eco della teoria del consumatore risuonerà virtualmente in qualsiasi filone della disciplina. Prima di iniziare a sviluppare la nostra teoria, vale la pena di spendere qualche parola riguardo al ruolo giocato in essa dalla matematica. La matematica è il linguaggio attraverso cui vengono espressi gli enunciati della teoria microeconomica. Il linguaggio matematico ha fatto il suo ingresso nell economia più o meno intorno alla metà dell 800 con i lavori di Stanley Jevons e, soprattutto, Leon Walras (l inventore dell equilibrio economico generale). Costoro più di altri, introducendo il concetto di utilità marginale, aprivano di fatto la strada per l utilizzo massiccio del calcolo infinitesimale nella teoria microeconomica. Da allora il processo di matematizzazione della microeconomia ha fatto passi da gigante. In effetti, gran parte dei progressi scientifici della teoria microeconomia possono essere visti come l ottenimento di una maggiore grado di precisione, rigore e generalità negli enunciati. Un esempio classico è la nozione di curva di domanda decrescente che Marshall, nel 1920, ancora considerava come una caratteristica intrinseca dell agire economico e un fondamento della teoria microeconomica. Oggi non è più così e sappiamo che la curva di domanda di un bene non è necessariamente decrescente se non sotto determinate condizioni che possono essere ricondotte, in ultima analisi, alle preferenze dell individuo - veri elementi primitivi della teoria microeconomica moderna. Il ragionamento in termini di modelli matematici ci aiuta proprio a svelare in maniera chiara quali siano le condizioni alla base di questi risultati Tuttavia, nonostante i suoi servigi, non sono rare le critiche nei confronti dell utilizzo spregiudicato della matematica nell economia, l accusa di scarso realismo delle assunzioni e quindi la poca rilevanza pratica dei risultati. Questo tipo di critiche, solo raramente motivate, sono forse collegate ad una supposta malafede scientifica degli autori della teoria stessa i quali, pur di ottenere risultati degni di clamore e rilevanza politico-idelogica (ad vii

8 viii INDICE esempio l esistenza dell equilibrio generale in una economia di mercato) introdurrebbero in un modo che talvolta viene ritenuto volutamente superficiale e quasi subdolo, assunzioni in alcuni casi difficilmente giustificabili e prive di significatività empirica (ad esempio la completezza delle preferenze), minimizzando le loro vere implicazioni e la perdita di generalità della teoria che esse determinano. In realtà, chi capisce bene il ruolo della matematica nella microeconomia, si accorge che il servigio da essa svolto è davvero prezioso. Essa ci consente infatti di definire con estrema chiarezza le condizioni che stanno alla base di tutti i risultati della teoria. Da questo punto di vista, la matematica risulta estremamente sincera, onesta e trasparente perchè consente di svelare il ruolo che tutte le assunzioni (le quali possono essere ritenute più o meno plausibili a seconda dei diversi casi, ma questo è tutt altro discorso) giocano nel determinare la verità degli enunciati teorici. E, come tale, rende la vita molto più facile ai nemici della teoria i quali sono messi nelle condizioni migliori per poterla quindi attaccare nell unico lato veramente attaccabile: l adeguatezza delle premesse alla base dato il problema pratico cui il modello si intende applicare. In generale, quindi, l atteggiamento aprioristicamente ostile nei confronti dell utilizzo dei modelli matematici è privo di significato. Ogniqualvolta cerchiamo di risolvere e di trarre insegnamenti generali da casi particolari ragioniamo inevitabilmente per modelli. I modelli altro non sono che esempi, metafore, parabole o mondi artificiali che ci aiutano a decontestualizzare un problema particolare, a inquadrarlo in una classe più generale di problemi, ad astrarre dagli elementi che riteniamo non rilevanti nella descrizione del problema e a concentrarci su quelli che riteniamo essere gli aspetti e i meccanismi più rilevanti. I modelli matematici della teoria microeconomica, anche se molto talvolta molto sofisticati, complessi e nient affatto immediati, sono proprio questo, niente di più niente di meno. E come tali devono essere giudicati

9 Parte I Teoria del Consumatore 1

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11 Capitolo 1 Teoria delle preferenze e dell utilità 1.1 Introduzione Sono 4 i pilastri fondanti in ciascun modello di scelta del consumatore. 1. L insieme delle alternative 2. La relazione di preferenza 3. L insieme delle possibilità 4. L assunzione comportamentale Ciascuno di essi è concettualmente distinto dall altro. La struttura di base è estremamente generale e quindi molto flessibile. Si tratta di un problema astratto e quindi facilmente adattabile a diverse situazioni. Specificando la forma che ciascuno di questi pilastri assume in un dato problema, possono essere formalmente descritte e analizzate molte diverse situazioni che comportano una qualche scelta. La nozione delle alternative è immediata. Esso rappresenta l insieme di tutte le alternative (nel nostro caso saranno panieri consumo) che il decisore può concepire, siano essi effettivamente realizzabili o meno. Questo insieme è chiamato spesso anche insieme di scelta. La relazione di preferenza incarna il ruolo del decisore nella teoria. Un decisore, di fatto, viene identificato con la sua particolare relazione di preferenza che gli permette, entro certi limiti dettati dalle assunzioni più o meno restrittive sulla struttura di questa relazione, di esprimere giudizi di convenienza sulle diverse alternative. L insieme delle possibilità chiama in causa i vincoli economici cui il decisore deve far fronte. Egli, di solito, viene considerato come dotato di un certo ammontare di risorse monetarie che deve allocare tra le diversi usi. Queste alternative sono scarse e la misura 3

12 4 CAPITOLO 1. TEORIA DELLE PREFERENZE E DELL UTILITÀ della loro scarsità è data dai prezzi. Tendenzialmente, maggiori i prezzi, maggiori i vincoli economici del consumatore, più ridotto sarà il suo insieme delle possibiltà. Al contrario, maggiori le sue risorse monetarie, meno stringenti i suoi vincoli economici e più ampio sarà il suo insieme delle possibilità. Infine, l assunzione comportamentale chiude il modello. Essa esprime il principio guida che il consumatore utilizza nel processo di scelta e, di fatto, identifica gli obiettivi ultimi della scelta. L assunzione è quella secondo cui il consumatore cerchi di identificare e selezionare, fra quelle disponibili, l alternativa da lui preferita alla luce dei suoi personali gusti. Ora siamo pronti per andare più a fondo. 1.2 L insieme di consumo: merci come alternative Se il nostro scopo fosse quello di studiare il problema di scelta di un individuo generico all interno di un altrettanto generico insieme di alternative X (azioni, stili di vita, stati del mondo, etc.), avremmo qualche difficoltà nel conferire una qualche struttura matematicoalgebrica a questo insieme. Gli elementi dell insieme, infatti, sarebbero caratterizzati da aspetti qualitativi che sono difficilmente trattabili con strumenti matematici, se non con rilevanti forzature. Il fatto di voler studiare invece il comportamento razionale di un consumatore e non di un individuo generico, ci viene in un certo senso in aiuto rendendo tali forzature meno rilevanti. Identifichiamo il problema decisionale di un consumatore in un economia di mercato nello scegliere i livelli di consumo dei diversi beni e servizi che sono disponibili sul mercato. Chiamiamo questi beni e servizi merci e assumiamo che essi siano in numero finito pari a n (indicizzati con i = 1, 2,...n) e possano essere misurati in qualche unità infinitamente divisibile. E proprio la nozione di misurabilità la differenza principale tra un insieme di consumo e un generico insieme di alternative. Tale nozione è ovviamente fondamentale per lo sviluppo della teoria del consumatore. Un vettore di merci o un paniere di consumo o un piano di consumo può quindi essere visto come un punto x R n appartenente allo spazio euclideo n dimensionale, che in questo caso corrisponde allo spazio delle merci. Sebbene merci consumate in periodi diversi possano essere considerate a rigore come merci distinte, in pratica ciascun modello economico comporta un certo grado di aggregazione temporale e spaziale. Pertanto una merce può essere data da maialetti consumati in Sardegna nel mese di febbraio sebbene, in teoria, i maialetti consumati in ciascun istante del mese di febbraio e in ciascun millimetro quadrato della Sardegna debbano essere considerati come merci a sè. La

13 1.2. L INSIEME DI CONSUMO: MERCI COME ALTERNATIVE 5 principale motivazione per questa aggregazione è che i dati cui i modelli vengono applicati si presentano sempre in qualche forma aggregata. La speranza del modellizzatore è quella secondo cui le merci aggregate siano sufficientemente simili da rendere la perdita di informazioni poco rilevante. E tuttavia importante comprendere che la struttura del modello è così flessibile da poter essere applicata a qualsiasi livello di aggregazione. Le scelte di consumo sono tipicamente limitate da un certo numero di vincoli fisici. L esempio più comune è quello secondo cui un individuo sia impossibilitato a consumare una quantità negativa di una merce come pane o acqua. 1 Formalmente, l insieme di consumo è un sottoinsieme dello spazio delle merci R n, denotato con X R n, i cui elementi sono i panieri di consumo che l individuo può ipoteticamente consumare dati i vincoli fisici determinati dall ambiente. Si considerino a proposito i seguenti 4 esempi per n = 2: 1. Fig. 1.1: possibili combinazioni di pane e tempo libero in un giorno. Entrambi i livelli devono essere non-negativi e, in aggiunta, il consumo di più di 24 ore al giorno di tempo libero è escluso. 2. Fig. 1.2: una situazione in cui il primo bene è perfettamente divisibile mentre il secondo è disponibile solo in quantità intere non-negative. 3. Fig. 1.3: cattura il fatto secondo cui sia impossibile mangiare pane nello stesso istante a Cagliari e a Sassari. 4. Fig. 1.4: rappresenta una situazione dove il consumatore richiede almeno 4 fette di pane al giorno per sopravvivere e ci sono due tipi di pane, bianco e nero. Nei 4 esempi, i vincoli sono fisici nel senso letterale del termine. Ma i vincoli che incorporiamo nell insieme di consumo possono anche essere di tipo istituzionale. Per esempio, una legge secondo cui viene impedito di lavorare più di 16 ore al giorno cambierebbe l insieme di consumo della fig. 1.1 in quello della figura 1.5. Per non complicare troppo le cose, svilupperemo la nostra discussione assumendo il più semplice degli insiemi di consumo: l ortante positivo dello spazio euclideo R n X = R n + = {x R n : x i 0 per i = 1,...n} vale a dire l insieme di tutti i panieri di consumo non-negativi. Tale insieme è rappresentato nella fig. 1.6 per n = 2. Una caratteristica di R n + è che si tratta di un insieme 1 Gli elementi negativi di solito vengono interpretati come debiti oppure, nel caso della teoria dell impresa, rappresentano i fattori di produzione utili a produrre una certa merce (elemento positivo).

14 6 CAPITOLO 1. TEORIA DELLE PREFERENZE E DELL UTILITÀ Figura 1.1: Un qualsiasi Set di consumo Figura 1.2: Un Set di consumo dove due Beni sono consumati in quantit intere

15 1.2. L INSIEME DI CONSUMO: MERCI COME ALTERNATIVE 7 Figura 1.3: Un Set di consumo dove un solo Bene pu essere consumato Figura 1.4: Un Set di consumo che rappresenta un livello minimo di sopravvivenza

16 8 CAPITOLO 1. TEORIA DELLE PREFERENZE E DELL UTILITÀ Figura 1.5: Un Set di consumo che riflette un limite legale di ore lavorate Figura 1.6: Il set di consumo R L +

17 1.3. PREFERENZE E UTILITÀ 9 convesso. Vale a dire, se due panieri di consumo x e x sono entrrambi elementi di R n +, allora anche il paniere x = αx + (1 α) x, che rappresenta un mix tra i due panieri, è un elemento di R n + per ogni α [0, 1]. Gli insiemi di consumo in fig. 1.1, 1.4, 1.5 e 1.6 sono convessi, mentre non lo sono quelli in fig. 1.2 e 1.3. Gran parte della teoria sviluppata si applica a insiemi di consumo convessi come R n +. Alcuni risultati, ma non tutti, sopravvivono tuttavia anche senza l assunzione di convessità. Del resto, un certo grado di aggregazione spaziale o temporale delle merci può essere utile a convessificare l insieme di consumo. Ad esempio, l insieme di consumo in fig. 1.3 può ragionevolmente diventare convesso se negli assi venisse riportato il consumo di pane lungo il periodo di un mese. Un altra caratteristica di questo insieme, importanti ai fini matematici dell esistenza di punti di massimo, è che si tratta di un insieme chiuso, vale a dire, un insieme che contiene la propria frontiera 2. In questo caso, la frontiera dell insieme R n + è caratterizzata dagli n assi cartesiani. In ogni asse i-esimo, il consumo del bene i è nullo. Per questo motivo, la chiusura del nostro insieme di consumo X corrisponde ad ammettere che si possano consumare quantità nulle di ciascun bene. 1.3 Preferenze e utilità In questa sezione, diamo inizio all analisi del secondo pilastro della teoria del consumatore, la relazione di preferenza, ed esploriamo il suo legame con il moderno utilizzo del termine utilità. Prima di partire, tuttavia, alcune parole sull evoluzione del pensiero degli economisti ci aiuterà a situare ciò che segue nel contesto più opportuno. Nel passato, la cosiddetta legge di domanda era basata su alcune assunzioni estremamente forti. Nella teoria di Edgeworth (1881), Mill e altri esponenti della scuola filosofica dell utilitarismo, si riteneva che l utilità fosse un concetto sostanziale. Piacere e dolore erano considerate entità ben definite e come tali si riteneva potessero essere misurate e confrontate fra individui. In aggiunta, il Principio dell Utilità Marginale Decrescente era comunemente accettato come una vera e propria legge psicologica e i primi enunciati della legge della domanda dipendevano crucialmente da esso. Queste assunzioni sono considerate oggi estremamente restrittive. La storia recente della teoria del consumatore è stata caratterizzata dal tentativo di rendere i suoi fondamenti il più possibile generali. L intento degli economisti è stato quello di cercare di fare a meno del maggior numero di assunzioni tradizionali e, al contempo, non rinunciare ad una teoria coerente e con potere predittivo rilevante. A Pareto (1896) 2 Per una chiara, utile ed esauriente esposizione degli strumenti matematici utilizzati nel corso riferirsi all appendice di JR.

18 10 CAPITOLO 1. TEORIA DELLE PREFERENZE E DELL UTILITÀ occorre indubbiamente riconoscere il merito di aver messo in dubbio la credenza secondo cui l idea di utilità misurabile fosse essenziale per la teoria della domanda. Slutsky (1915) intraprese la prima sistematica analisi della teoria della domanda senza il concetto di utilità misurabile. Hicks (1939) dimostro come il principio dell utilità marginale decrescente non fosse nè necessario nè sufficiente per la validità della teoria della domanda. Infine, Debreu (1959) completò e sintetizz la costruzione della teoria standard del consumatore a ciò che studiamo oggi. Da quel momento, i fondamenti della teoria standard non hanno fatto particolari passi in avanti La relazione di preferenza La relazione di preferenza gioca un ruolo cruciale in qualsiasi modello che studia la scelta individuale. Tale relazione è caratterizzata in termini assiomatici. Tramite questo metodo di analisi, viene introdotto il minor numero di assunzioni necessarie per caratterizzare la struttura e la proprietà delle preferenze. Il resto della teoria viene costruita basandosi logicamente su questi assiomi e le predizioni del comportamento del consumatore vengono sviluppate attraverso un processo di deduzione logica. Questi assiomi vengono introdotti con il fine di conferire una espressione matematica agli aspetti fondamentali del comportamento del consumatore e alle sue attitudini nei confronti degli oggetti della scelta. Insieme, essi formalizzano la visione secondo cui il consumatore può scegliere e le sue scelte sono coerenti in un certo particolare modo. Ovviamente, ciascun assioma o ciascun simbolo ha una sua propria interpretazione economica ed è questo che distingue la teoria microeconomica dalla matematica pura: di fatto, la prima può essere considerata un applicazione della seconda. Tuttavia, la correttezza logica dei ragionamenti e il modo in cui le assunzioni sono legate alle conclusioni dei teoremi, vanno al di là del signifficato economico. Questo può essere per certi versi disorientante in quanto tende ad allontanare la teoria da una sua diretta applicazione alla realtà. Ma la stessa cosa deve anche rassicurarci in quanto l applicazione del ragionamento matematico e il contesto assiomatico della teoria garantiscono la correttezza delle nostre conclusioni. Poichè applicando il metodo assionatico le implicazioni logiche delle assunzioni non possono che essere corrette, l unica critica sensata che è possibile muovere alla teoria è appunto l appropriatezza delle assunzioni alla base. Tale appropriatezza non è facile da valutare in quanto non esistono criteri oggettivi per farlo. In particolare, tale appropriatezza varia da contesto a contesto: un dato modello, e quindi un dato set di assunzioni, può risultare appropriato per spiegare un certo evento ma non altri. Formalmente, rappresentiamo le preferenze del consumatore tramite una relazione binaria che chiamiamo, definita su un insieme delle alternative X. Questa relazione

19 1.3. PREFERENZE E UTILITÀ 11 binaria è tale da permettere la comparazione fra coppie di alternative x, y X. base, per sviluppare una teoria generale della scelta, non sarebbe necessario conferire a X alcuna particolare struttura 3. Tuttavia, poichè come già detto il nostro scopo è quello di sviluppare una teoria del consumatore, il nostro insieme generico delle alternative corrisponderà con l insieme di consumo X = R n +. Leggiamo x y come y non è preferito a x oppure come x è buono almeno tanto quanto y. Il fatto che si utilizzi una relazione binaria per rappresentare le preferenze del consumatore necessita di una riflessione. Occorre sottolineare come, già dall inizio, la nostra teoria richiede di sapere veramente poco sul consumatore. Ci basta che il consumatore possa effettuare comparazioni binarie, cioè, che egli possa confrontare due piani di consumo alla volta e attuare una decisione riguardo ad essi. Da possiamo ottenere altre due importanti relazioni su X 1. La relazione di preferenza stretta che denotiamo con, definita da e che si legge x è preferito a y x y x y ma non y x 2. La relazione di indifferenza che denotiamo con, definita da e che si legge x è indifferente a y x y x y e y x Poichè il nostro fine è quello di sviluppare una teoria della scelta individuale razionale, è necessario definire tali criteri di razionalità. La seguente definizione introduce i due assiomi principali che definiscono i criteri cui la scelta (definita dalle comparazioni binarie di cui sopra) deve conformarsi se vuole essere definita razionale. Definizione 1 (Preferenze razionali) La relazione di preferenza è razionale se possiede le seguenti proprietà 4 : 1. Completezza: x, y X, abbiamo x y o y x o entrambe 2. Transitività: x, y, z X, se x y e y z, allora x z 3 Si veda Fishburn (1970). 4 Alcuni testi (Varian, 1984) elencano, tra i requisiti per considerare razionale una certa relazione di preferenza, anche la proprietà di riflessività per : per ogni x vale x x. In realtà, la proprietà di riflessività è una conseguenza della completezza e, come tale, è ridondante. Sapreste dimostrarlo? Di

20 12 CAPITOLO 1. TEORIA DELLE PREFERENZE E DELL UTILITÀ L assunzione di razionalità su ha delle implicazioni su e su. In particolare, possiamo enunciare la seguente proposizione, la cui dimostrazione è lasciata a voi come esercizio Proposizione 2 se è razionale allora: 1. è sia irriflessiva (x x non vale mai) e transitiva (se x y e y z allora x z) 2. è riflessiva (x x per ogni x), transitiva (se x y e y z allora x z) e simmetrica (se x y allora y x) 3. se x y z allora x z Vale la pena di soffermarsi a riflettere sul significato delle due assunzioni che definiscono la proprietà di razionalità. L assunzione secondo cui è completa ci dice che l individuo ha delle preferenze ben definite su qualsiasi coppia di alternative. In altre parole, egli è in grado di esprimere una preferenza (in senso debole) tra ciascuna coppia di alternative. Questo assicura che non ci siano buchi nell ordinamento di preferenza e, di fatto, esclude casi di indecidibilità. E opportuno non sottostimare la restrittività dell ipotesi di completezza. L introspezione ci rivela velocemente come sia difficile valutare alternative che raramente vengono interessate dall esperienza quotidiana. In realtà, sappiamo che per poter capire cosa preferiamo e cosa non preferiamo è necessario un duro lavoro e una seria riflessione sui nostri gusti. Assumere completezza delle preferenze vuol dire assumere che il nostro individuo abbia compiuto questo compito: egli compie solo scelte meditate. 5 Anche l ipotesi di transitività è molto forte e ci conduce dritti al cuore del concetto di razionalità. La transitività esclude la possibilità di cicli nelle preferenze. Sebbene si richieda che gli individui confrontino solo due alternative alla volta, l ipotesi di transitività permette di legare queste comparazioni in un modo coerente. Rispetto alla completezza è una assunzione ancora più fondamentale nel senso che gran parte della teoria economica non rimarrebbe in piedi se non si assumessero preferenze transitive. A prima vista sembrerebbe un requisito ovvio di razionalità, tuttavia potrebbe essere difficilmente soddisfatta quando si valutano alternative lontane dalla comune sperienza. In realtà molti esperimenti hanno dimostrato che in varie situazioni, le scelte degli esseri umano non sono sempre transitive. Ecco alcuni esempi 5 Esiste una vasta letteratura sull ipotesi di completezza e su quanto la teoria economica si può spingere avanti facendo a meno di essa. Si veda ad esempio Aumann (1961), Gay (1993) e Maccheroni (2004). Si tratta di un ottimo argomento per una tesi.

21 1.3. PREFERENZE E UTILITÀ 13 Just perceptible differences. Se chiediamo ad un individuo di scegliere tra due gradazioni di azzurro molto simili per dipingere la sua stanza, potrebbe essere difficile per lui stabilire una differenza tra i colori e sarebbe quindi indifferente tra i due. Si assuma ora che gli venga offerta una scelta tra il più chiaro dei due azzurri e una gradazione ancora leggermente più chiara. Potrebbe ancora essere impossibilitato a scegliere. Se continuamo in questa direzione, lasciando che la gradazione di azzurro diventi progressivamente più chiara in ciascuna scelta binaria, il nostro individuo potrebbe esprimere indifferenza ad ogni passo. Tuttavia, se ad un certo punto gli presentassimo la scelta tra l azzurro originale (il più scuro) e l azzurro finale (quasi bianco), potrebbe essere in grado di distinguerli e quindi di preferire uno all altro. Questo, tuttavia, viola la transitività. Infatti, avremmo una situazione in cui x 1 x 2 x 3... x n ma x 1 x n. Questo e tanti altri paradossi sono il risultato di un certo grado di vaghezza insita nelle nostre percezioni. Per venire incontro a queste difficoltà, è stato creato uno strumento in grado di far fronte alla problematica, la cosiddetta fuzzy logic 6. Tale strumento ha delle importanti ed interessanti applicazioni nella microeconomia. Un altro potenziale problema si verifica con riferimento al modo in cui le alternative vengono presentate. Si parla in tal caso di framing problem. Si consideri il seguente esempio, preso in prestito da Kahneman e Tversky (1984): si immagini di acquistare uno stereo per 125 dollari e una calcolatrice per 15 dollari. Il venditore ti dice che la calcolatrice è in offerta per 5 dollari in meno nell altra filiale del negozio, lontana 20 minuti a piedi. Lo stereo viene venduto allo stesso presso. Saresti disposto a fare il viaggio verso l altro negozio? Risulta che la frazione degli intervistati che si recherebbero all altro negozio è nettamente maggiore rispetto alla frazione di coloro che sarebbero disposti a recarsi all altro negozio quando lo sconto di 5 dollari viene applicato allo stereo. Ciò succede anche se, in ultima analisi, il risparmio totale 7 ottenuto ricorrendo all inconveniente del viaggio è il medesimo in entrambe le situazioni. In realtà ci è naturale aspettarsi indifferenza (e quindi la risposta negativa) alla seguente domanda : A causa di una carenza di merce dovrai recarti all altro negozio per acquistare i due oggetti ma riceverai 5 dollari come compensazione. Può la decisione di applicare 6 Si veda set per una prima infarinatura sul tema e il paper seminale di Zadeh (1965). Per applicazioni all economia si veda Fuzzy Sets and Economics: Applications of Fuzzy Mathematics to Non- Cooperative Oligopoly di Yusuf M. Mansur edito da Edward Elgar (1995). Da questo tema si possono estrarre argomenti interessantissimi per una tesi. 7 Kahneman e Tversky attribuiscono questo risultato al fatto che gli individui tengono dei conti mentali nei quali i risparmi vengono confrontati con il prezzo dell oggetto al quale sono applicati.

22 14 CAPITOLO 1. TEORIA DELLE PREFERENZE E DELL UTILITÀ lo sconto su uno degli oggetti o sull altro influenzare la tua decisione di recarti al negozio? In tal caso, tuttavia, le preferenze dell individuo violano la transitività. Per rendersi conto di ciò chiamiamo x = recarsi all altro negozio e ottenere 5 dollari di sconto sul calcolatore, y = recarsi all altro negozio e ottenere 5 dollari di sconto sullo stereo, z = acquistare entrambi gli oggetti al primo negozio. Secondo i risultati precedenti abbiamo che x z e z y. Vale a dire, gli individui manifestano di volersi recare all altro negozio solo nel caso in cui lo sconto venga applicato sul calcolatore. Tuttavia ha senso aspettarsi che x y. Molti problemi di framing si presentano quando gli individui affrontano scelte tra alternative che hanno un risultato. Kahneman e Tversky (1984) e altri lavori forniscono una serie di altri interessanti esempi. 8 Intransitività come risultato dell aggregazione di diverse relazioni di preferenza individuali razionali (e quindi transitive). Si consideri il seguente esempio. Una famiglia formata da mamma (M), papà (P) e figlio (F) prende le decisioni secondo la regola della maggioranza. La decisione riguarda cosa fare venerdì pomeriggio e abbiamo tre alternative: andare al teatro lirico (T), andare al Sant Elia per vedere il Cagliari (C) oppure andare alla giostra (G). Si assuma che le preferenze (razionali) dei soggetti siano le seguenti: T M G M C M, C P T P G P, G F C F T F dove M, P e F sono le relazioni di preferenza stretta individuali e transitive. Ora immaginiamo che vengano effettuate votazioni sulle tre scelte binarie: T contro G, G contro C e C contro T. I risultati di queste scelte sarebbero i seguenti: T G (solo il figlio preferisce andare alla giostra), G C (solo il padre preferisce andare al Sant Elia) e C T (solo la madre preferisce andare a teatro). Il risultato dell aggregazione di preferenze individuali (razionali) sarebbe quindi una preferenza intransitiva. L intransitività illustrata è un caso del famoso paradosso di Condorcet che rappresenta un problema centrale nella teoria delle decisioni di gruppo. incontreremo nelle ultime lezioni. 9 Decisioni intransitive possono talvolta essere viste come la manifestazione di cambiamenti di gusti. Per esempio, qualcuno potrebbe preferire fumare una o due sigarette al giorno piuttosto che non fumare e potrebbe preferire non fumare a fumare molto. Tuttavia, una volta deciso di fumare una sigaretta al 8 Anche questo è un ottimo argomento tesi. 9 Altro argomento tesi. Lo

23 1.3. PREFERENZE E UTILITÀ 15 giorno, i suoi gusti potrebbero cambiare e, colto dal vizio, potrebbe voler aumentare il numero delle sigarette giornaliere. Formalmente, sia y = astinenza, x = 1 sigaretta al giorno, z = 20 sigarette al giorno. Le sue preferenze iniziali sarebbero x y z, ma una volta scelto x le sue preferenze diverrebbero z x y. Quindi, abbiamo una apparente intransitività: z x z. Questo cambiamento di gusti ha importanti conseguenze teoriche nell analisi del comportamento di dipendenza 10. Inoltre esso solleva questioni interessantissime riguardo al commitment nelle decisioni (Schelling 1979, Barro-Gordon 1984, Kydland-Prescott 1977). Un decisore razionale anticiperebbe la possibilità di cambiamento dei suoi gusti indotto e quindi cercherebbe di legarsi le mani alla situazione iniziale (così come Ulisse si lega all albero quando si avvicina all isola delle sirene) Implicazioni della razionalità e rappresentazione grafica L ipotesi di razionalità e l introduzione delle relazioni di preferenza stretta e di indifferenza ci permettono di stabilire qualcosa di molto concreto riguardo al modo in cui il consumatore classifica due alternative qualsiasi. Per ciascuna coppia x e y, solo una delle seguenti opzioni (mutuamente escludibili) è possibile di volta in volta: x y, y x, x y. Questo risultato rende molto più agevole la rappresentazione grafica delle preferenze. A tal fine, utilizzeremo la relazione di preferenza per definire una serie di insiemi che ci risulteranno molto utili più avanti. Questi insiemi vengono definiti con riferimento ad un unica alternativa nell insieme di consumo ed esaminano il posizionamento di tutte le altre alternative relativamente alla prima Definizione 3 Insiemi in X derivati dalla relazione di preferenza. Sia x 0 un punto qualsiasi nell insieme di consumo X. Relativamente a questo punto, possiamo definire i seguenti sottoinsiemi di X : 1. (x 0 ) {x x X, x x 0 } chiamato insieme dei debolmente preferiti o dei non peggiori 2. (x 0 ) {x x X, x x 0 } chiamato insieme dei non preferiti 3. (x 0 ) {x x X, x x 0 } chiamato insieme di indifferenza 4. (x 0 ) {x x X, x x 0 } chiamato insieme dei preferiti 5. (x 0 ) {x x X, x x 0 } chiamato insieme dei peggiori. 10 Altro argomento tesi molto interessante. Si veda, ad esempio, Gruber e Köszegi (1991).

24 16 CAPITOLO 1. TEORIA DELLE PREFERENZE E DELL UTILITÀ Figura 1.7: Preferenze Razionali sui due Beni Un esempio di tali insiemi, per una preferenza che soddisfa i due assiomi di transitività e completezza, viene presentato nella fig. 1.7 per X = R 2 +. Ciascun punto nell insieme di consumo, come x 0 = (x 0 1, x 0 2), rappresenta un insieme di consumo con un certo ammontare x 0 1 della merce 1 e un certo ammontare x 0 2 della merce 2. Sotto l assioma di completezza, il consumatore è in grado di confrontare x 0 con qualsiasi altro piano di consumo in X e decidere se quest ultimo è almeno tanto buono quanto x 0 o viceversa, o entrambi. Inoltre, grazie all ipotesi di transitività, viene esclusa la possibilità di intersezioni fra insiemi di indifferenza: in altre parole, il consumatore posiziona ogni punto di X relativamente a x 0 in una delle tre categorie mutuamente escludentesi: i panieri preferiti a x 0, i panieri peggiori di x 0, i panieri indifferenti a x 0. Pertanto, per ciascun paniere x 0, i tre insiemi (x 0 ), (x 0 ) e (x 0 ) rappresentano una partizione dell insieme di consumo La funzione di utilità Prima di proseguire il discorso sulle preferenze, introduciamo ora un concetto cardine nella teoria del consumatore: la funzione di utilità. Nella teoria moderna, la funzione di utilità è semplicemente uno strumento utile a sintetizzare le informazioni contenute 11 Vale infatti: 1. ( x 0) ( x 0) ( x 0) = X 2. ( x 0) ( x 0) ( x 0) =

25 1.3. PREFERENZE E UTILITÀ 17 nella relazione di preferenza. Non di più, non di meno. Alcuni teorici moderni sono così sensibili alla potenziale confusione tra l uso moderno del termine funzione di utilità e la classica nozione utilitaria di utilità come quantità misurabile di piacere o dolore che rifiutano tout court questa terminologia considerata anacronistica e semplicemente preferiscono parlare di relazione di preferenze e di funzione che le rappresenta. Alcune volte è più facile (oltre che più elegante e più generale) lavorare direttamente con la relazione di preferenza e gli insiemi ad essa associati. Altre volte, specialmente quando l ìntenzione è quella di implementare il calcolo differenziale (teoria dell ottimizzazione dinamica e statica, teoria della crescita, etc.), è indispensabile lavorare con una funzione di utilità. Nella teoria moderna è la relazione di preferenza, non la funzione di utilità, il primo fondamento della caratterizzazione dei gusti dell individuo. La funzione di utilità è una mera rappresentazione delle informazioni contenute nelle preferenze. Una funzione di utilità è definita come segue: Definizione 4 (Funzione di utilità) Una funzione a valori reali u : X R è chiamata funzione di utilità rappresentante la relazione di preferenza se, per ogni x, y X vale x y u (x) u (y) Pertanto una funzione di utilità rappresenta le preferenze dei consumatori se assegna un valore numerico più alto ai panieri migliori. Si noti che non esiste un unica funzione di utilità capace di rappresentare. Per ciascuna funzione crescente f : R R, v (x) = f (v (x)) è una nuova funzione di utilità rappresentante le medesime preferenze di u ( ) (lo si dimostri per esercizio). Le proprietà della funzione di utilità che sono invarianti rispetto a qualsiasi trasformazione strettamente crescente vengono chiamate ordinali. Le proprietà cardinali sono invece quelle che non vengono preservate in seguito a tali trasformazioni. Pertanto, la relazione di preferenza associata ad una funzione di utilità è una proprietà ordinale. D altra parte, i particolari valori numerici associati a ciascuna alternativa in X, e quindi la magnitudine di qualsiasi differenza tra le misure dell utilità di diverse alternative, sono proprietà cardinali in quanto non vengono generalmente preservate in seguito a trasformazioni strettamente crescenti. La possibilità di rappresentare le preferenze per mezzo di una funzione di utilità è strettamente connessa all assunzione di razionalità. Enunciamo, a tal proposito, questa importante proposizione Proposizione 5 Una relazione di preferenza può essere rappresentata da una funzione di utilità solo se è razionale

26 18 CAPITOLO 1. TEORIA DELLE PREFERENZE E DELL UTILITÀ Dimostrazione. Per provare questa proposizione dimostriamo che se esiste una funzione di utilità che rappresenta, allora deve essere completa e transitiva. Completezza. Poichè u ( ) è una funzione a valori reali definita su X, per ogni x, y X deve valere u (x) u (y) oppure u (y) u (x). Ma poichè si assume che u ( ) rappresenti, ciò implica che deve valere x y oppure y x. Pertanto deve essere completa. Transitività. Si assuma x y e y z. Poichè u ( ) rappresenta, dobbiamo avere u (x) u (y) e u (y) u (z). Ma poichè u ( ) rappresenta dobbiamo anche avere x z. Pertanto x y e y z implicano x z quindi deve essere transitiva. Si noti bene che la precedente proposizione ci dice unicamente che completezza e transitività sono condizioni necessarie affinchè esista una funzione di utilità che rappresenti. Nulla è detto riguardo al fatto se tali proprietà siano anche sufficienti per una tale rappresentazione. Ha quindi senso chiedersi: può qualsiasi preferenza razionale essere descritta da una qualche funzione di utilità? In altre parole, il requisito di razionalità delle preferenze è anche una condizione sufficiente per garantire l esistenza di una funzione di utilità che le rappresenti? La risposta è, in generale, no. Analizzeremo presto un importante controesempio di preferenze razionali che non possono essere rappresentate da alcuna funzione di utilità. Al fine di garantire l esistenza di una funzione di utilità che rappresenti definita sull ortante positivo dello spazio euclideo è necessario introdurre una proprietà addizionale alle preferenze 12. Torneremo in seguito su questi argomenti. Ora riprendiamo il discorso sulle preferenze e presentiamo ulteriori proprietà che spesso vengono applicate alla relazione di preferenza Ulteriori proprietà delle preferenze Le preferenze rappresentate in fig. 1.7 possono apparire un pò strane. In effetti possiedono molta poca struttura poichè ad esse è richiesto unicamente di soddisfare il requisito minimo della razionalità. Nulla di quanto ipotizzato finora consente di escludere le irregolarità che troviamo nella figura come le aree di indifferenza, gli intervalli e le curve nell insieme (x 0 ). Queste irregolarità, che spesso comportano dei problemi per lo sviluppo della teoria, possono essere eliminate solamente imponendo requisiti addizionali sulle preferenze. Introdurremo ora una serie di nuove assunzioni sulle preferenze. Alcune di queste vi saranno molto familiari. Tali assunzioni devono essere selezionate a seconda della loro 12 Un caso in cui possiamo sempre rappresentare una relazione di preferenza razionale con una funzione di utilità è quello in cui X è un insieme finito. Se qualcuno è così coraggioso da dimostrarlo ci provi. Suggerimento: considerate prima il caso in cui il ranking di un individuo fra ciascuna coppia di alternative di X è stretto (vale a dire, non vi è mai indifferenza) e si costruisca una funzione di utilità che rappresenti tali preferenze; in seguito estendete il vostro argomento al caso generale.

27 1.3. PREFERENZE E UTILITÀ 19 appropriatezza al particolare problema di scelta che si intende analizzare. Considereremo una serie di assunzioni chiave che sono imposte nella teoria standard del consumatore e cercheremo di capire il loro contributo alla struttura delle preferenza. All interno di ciascuna classe di preferenza procediamo dalla meno restrittiva a quella più restrittiva. E, generalmente, adotteremo la versione più restrittiva (e, generalmente, più comoda dal punto di vista matematico). Non-sazietà locale e monotonicità La prima classe di assunzioni riguarda la desiderabilità. Quando rappresentiamo preferenze su beni di consumo ordinari, è spesso utile esprimere la visione fondamentale secondo cui i desideri sono essenzialmente illimitati. Vogliamo in altre parole escludere la possibilità che il consumatore sia mai saturo (o sazio) dei suoi consumi. Ci preme quindi fare in modo che il nostro consumatore non sia mai soddisfatto. Informalmente, potremmo esprimere questo requisito dicendo che esiste sempre un qualche aggiustamento nella composizione del piano di consumo che il consumatore può percepire come migliore rispetto a quello effettivamente sperimentato. Questo aggiustamento potrebbe comportare acquisire una quantità maggiore di alcune merci e minore di altre, maggiore di tutte le merci o anche minore di tutte le merci. Attraverso questa assunzione intendiamo escludere la possibilità che il consumatore possa mai neanche immaginare di avere i suoi desideri completamente soddisfatti. Formalmente, se definiamo con B ε (x 0 ) una palla 13 in R n + di raggio ε e con centro in x 0 possiamo dare la seguente definizione Definizione 6 (Non-sazietà locale) Per ogni x 0 X e per ogni ε > 0, esiste qualche x B ε (x 0 ) tale che x x 0. La proprietà di non-sazietà locale ci dice che in un intorno di un dato punto x 0, non importa quanto piccolo sia questo intorno, ci sarà sempre almeno un paniere x che il consumatore preferisce a x 0. Il suo effetto sulla struttura degli insiemi di indifferenza è 13 Una palla aperta con centro in x 0 e raggio ε R ++ è il sottoinsieme dei punti in R n tale che ( B ε x 0 ) { x R n : d ( x 0, x ) < ε } Dove d ( x 0, x ) è la metrica euclidea definita da d ( x 0, x ) = n (x 0 i x i) 2 ( La palla B ) ε x 0 è aperta perchè la diseguaglianza ( è stretta e quindi essa non contiene la propria frontiera. Una palla chiusa è invece data da B ) ε x 0 { x R n : d ( x 0, x ) ε }. Per questi e altri elementi di topologia si consulti la chiarissima appendice di JR (pagg ). i

28 20 CAPITOLO 1. TEORIA DELLE PREFERENZE E DELL UTILITÀ Figura 1.8: Monotonicità Stretta importante. Esclude infatti possibilità di zone di indifferenza come quelle che circondano x 0 nella fig Per accorgersi di ciò, si noti che è sempre possibile trovare qualche ε > 0 e qualche B ε (x 0 ) contenente solo punti indifferenti a x 0. Ciò ovviamente viola l assioma di non-sazietà locale, poichè esso richiede che ci sia sempre almeno un punto strettamente preferito a x 0, non importa quanto piccolo sia questo intorno. Le preferenze rappresentate in fig. 1.8 soddisfano invece tale assioma, oltre che ovviamente il requisito minimo di razionalità. Si noti che l assioma di non-sazietà locale ammette che il consumatore preferisca a x 0 anche panieri che contengono una quantità di merci strettamente minore rispetto a x 0. Tuttavia, quando X = R n + la non-sazietà locale esclude situazioni estreme in cui tutte le merci sono mali, poichè in tal caso il punto x = 0 sarebbe un punto di sazietà. Sebbene la non-sazietà locale sia spesso sufficiente per garantire gran parte dei risultati della teoria, una visione più restrittiva dei bisogni e dei desideri viene comunemente accettata. Secondo questa visione, maggiori quantità di merci sono preferite a minori quantità. Si tratta ovviamente di un caso particolare di non-sazietà locale e pertanto meno generale. Quando il consumatore preferisce sempre piani di consumo caratterizzati da quantità maggiori di merci si dice che le sue preferenze sono strettamente monotoniche. Formalmente, possiamo enunciare la seguente definizione 14 In parole povere, l ipotesi di non-sazietà locale è quella che ci permette di chiamare gli insiemi di indifferenza curve di indifferenza. Tecnicamente, grazie all ipotesi di non sazietà locale, gli insiemi di indifferenza sono una varietà di dimensione (n 1) nello spazio R n.

29 1.3. PREFERENZE E UTILITÀ 21 Figura 1.9: Preferenze Razionali e Strettamente Monotoniche Definizione 7 (monotonicità stretta) La relazione di preferenza è strettamente monotonica se per ogni x, y X y x implica y x e se y >> x implica y x. La monotonicità ci dice che se un paniere contiene almeno lo stesso quantitativo di ciascuna merce rispetto ad un altro paniere, allore il primo è non peggiore del secondo. Inoltre, esso è strettamente preferito se contiene una quantità strettamente maggiore di ciascuna merce (y >> x). Ancora una volta, l impatto sulla struttura degli insiemi di indifferenza è rilevante. Innanzitutto, deve essere chiaro che la monotonicità implica la non-sazietà locale (dimostrarlo!) pertanto preferenze monotoniche sono anche non saturabili localmente. Quindi gli insiemi di indifferenza devono avere gli stessi requisiti di quelli descritti in precedenza, più alcuni altri requisiti aggiuntivi. In particolare, la monotonicità elimina la possibilità che gli insiemi di indifferenza in R 2 + contengano dei segmenti con inclinazione positiva. Richiede inoltre che gli insiemi dei preferiti stiano sopra l insieme di indifferenza e che gli insiemi dei peggiori stiano invece sotto. Come si evince dalla fig. 1.9, se vale la monotonicità, nessun punto a nord-est o a sud-ovest di x 0 può appartenere al medesimo insieme di indifferenza. Ciascun punto a nord-est, deve essere strettamente preferito a x 0. Allo stesso modo, ciascun punto nel quadrante a sud-ovest, deve essere strettamente peggiore di x 0. Per ogni x 0, ciascun punto a nord-est dell insieme di indifferenza sarà contenuto in (x 0 ) mentre ciascun punto a sud-ovest sarò contenuto in (x 0 ). La figura 1.10 presenta un insieme di indifferenza che soddisfa finora tutte le assunzioni finora introdotte.

30 22 CAPITOLO 1. TEORIA DELLE PREFERENZE E DELL UTILITÀ Figura 1.10: Preferenze Razionali, Strettamente Monotoniche e Strettamente Convesse Convessità Senza dubbio, l insieme di indifferenza disegnato in fig è quanto finora risulta più vicino agli insiemi di indifferenza che avete incontrato nei corsi precedenti. Esso tuttavia differisce per un aspetto rilevante: tipicamente, la regione di non-convessità a nord-est di x 0 viene spesso esplicitamente esclusa. E ciò che si ottiene introducendo l ipotesi di convessità che presentiamo in due differenti versioni. Definizione 8 (convessità) La relazione di preferenza è convessa se, per ogni x 0 X, l insieme dei preferiti (x 0 ) è convesso. Vale a dire, se x x 0, allora αx + (1 α) x 0 x 0 per ogni α [0, 1] Definizione 9 (convessità stretta) La relazione di preferenza è strettamente convessa se per ogni x 0 X l insieme dei preferiti (x 0 ) è strettamente convesso. Vale a dire, se x x 0 e x x 0, allora αx + (1 α) x 0 x 0 per ogni α (0, 1). Si noti innanzitutto che sia il primo che il secondo assioma escludono i segmenti degli insiemi di indifferenza che risultano concavi rispetto all origine. Questo perchè, in tal caso, gli insiemi dei preferiti non risultano convessi, nè tanto meno strettamente convessi. Per gli scopi della teoria del consumatore, l assioma di convessità può essere introdotto senza particolare perdita di generalità. Esso viene introdotto per garantire l esistenza di soluzioni in alcuni problemi. Tuttavia, molto spesso le predizioni della teoria non cambierebbero se si facesse a meno di questo assioma. Le cose sono leggermente diverse