Indice. 7 Indicazioni per l insegnante 10 Contenuti dell Unità didattica

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1 Indice 7 Indicazioni per l insegnante 10 Contenuti dell Unità didattica 11 Raggruppare in basi diverse 14 Operare con il cambio 18 Operare con il materiale multibase 22 Operare con l abaco 27 Leggere e scrivere i numeri in basi diverse e in base dieci 39 Operare con i numeri fino a Operare con il centinaio

2 Biblioteca di didattica La collana Biblioteca di didattica nasce dall idea di fornire un supporto meditato e calibrato in quanto sperimentato in situazioni di apprendimento agli insegnanti che ritengono che l apprendimento vada «costruendosi» nei bambini attraverso: l osservazione delle realtà che li circondano; l interazione con l ambiente e la cultura; la conoscenza e l uso di strumenti che ne permettano la spiegazione, la comprensione e la personale rielaborazione; l interazione comunicativa con i coetanei e con gli adulti in contesti diversi. Tutto questo con l obiettivo di far sì che il bambino diventi cittadino e soggetto di cultura. Ogni quaderno che la compone presenta un argomento significativo, uno snodo concettuale attraverso cui si costruiscono gli elementi primari, i fondamenti della conoscenza. Presenta una serie di indicazioni operative e metodologiche rivolte agli insegnanti (pp. 7-9) e, per facilitare la programmazione didattica, periodica e annuale, anche le abilità e i contenuti essenziali dell unità didattica (p. 10). Il testo si articola in proposte, in attività, in esercitazioni (anche ludiche, motivanti, interessanti, comunque significative), che hanno lo scopo di rinsaldare intuizioni, di approfondire relazioni e rapporti, di costruire mattone su mattone (cioè concetto su concetto) il «sapere», cementato dal collante del metodo e dalla ricorsività dei percorsi che portano il bambino a impadronirsi anche di un «metodo» di studio, cioè di un personale progetto per apprendere l arte di imparare. Imparare a imparare, sempre e per tutta la vita, è la chiave di volta della realizzazione della personalità in una società in continua e rapida ricostruzione. Gli argomenti non sono costruiti per classi di età, ognuno nasce e si sviluppa in modo autonomo. Possono, quindi, essere inseriti nel progetto educativo, ogniqualvolta l insegnante ne ravvisi l esigenza e l opportunità. Ciò non vuol dire episodicità e frammentarismo: i concetti, costruiti e sviluppati a spirale (Bruner), a livelli diversi e da diversi punti di vista per favorire la promozione delle intelligenze (Gardner), si articolano per grandi aree cognitive (matematico-scientifica, linguistica e antropologica). Ogni area ha come riferimento un simbolo (per la maggior parte, animaletti simpatici ai bambini) che ne permette, volendo, la classificazione dentro i codici canonici delle discipline di studio. Rispetto ai libri di testo, che sono pensati per classi e riportano tutti gli argomenti di studio di un intero anno, i quaderni della Biblioteca di didattica potrebbero anche assumere una funzione sostitutiva ma offrono le soluzioni più produttive se utilizzati in funzione «complementare» rispetto ai testi stessi. Essi, infatti, presentano un concetto, una informazione, una procedura osservativa, un processo di ricerca in modo esauriente, organizzato per difficoltà crescenti e, qualora sia necessario, distribuiscono le attività su una serie successiva di quaderni. Possono trovare posto anche nel Piano della Offerta Formativa, come progetto di apprendimento tematico, come paradigma per l impostazione di una attività di ricerca, come indicazione metodologica per lo sviluppo di una attività metacognitiva (nel senso di consapevolezza della procedura) seguita per apprendere un concetto o approfondire un argomento di studio. Sarà possibile, per gli insegnanti, selezionare gli argomenti che ritengono più utili alla situazione della classe e organizzare la classe stessa in modo qualora sia utile o necessario da affrontare, contemporaneamente, argomenti diversi, creando scambi e situazioni produttive di piccolo gruppo. A mano a mano che la Biblioteca di didattica si potenzierà di nuovi quaderni sarà anche possibile affrontare lo stesso argomento a livelli diversi di complessità. Si viene, così, incontro alle necessità, che si fanno sempre più pressanti, di creare l integrazione fra diverse provenienze, culture e livelli di apprendimento degli alunni. Anche chi persegue l individualizzazione dell insegnamento, magari per la presenza di bambini con diverse potenzialità e abilità, trova, nei quaderni proposte e «schede» di lavoro, utili e opportune. La Biblioteca di didattica è uno strumento di lavoro che, contrariamente alle Guide per insegnanti (che danno indicazioni per far lavorare i bambini), parte dalle attività e dagli esercizi dei bambini per far riscoprire agli insegnanti il gusto di «fare scuola». Una proposta che permette di far leva sull interesse del bambino, sulla gioia della scoperta, sull utilità degli strumenti e delle tecniche, sul potenziamento delle motivazioni e della creatività, per riscoprire la «didattica» come un modo di inventare, vivere e imparare insieme per «creare» delle «persone» che si riconoscano elementi costituenti di una società fondata sulla collaborazione e sulla solidarietà. Clotilde Pontecorvo Università degli Studi di Roma «La Sapienza»

3 Indicazioni per l insegnante Sono indubbie, documentate dai rilevamenti PISA e dalle prove INVALSI, le difficoltà degli alunni italiani rispetto alla conoscenza dell aritmetica. Tale disciplina si fonda su intuizioni e su regole che si rifanno alle capacità di astrazione e al ragionamento logico e si differenziano dagli altri apprendimenti del settore scientifico che trovano nell esperienza e nella realtà che ci circonda un terreno di verifica e, quindi, di convalida. Dimostrare che una legge scientifica funziona è molto più semplice che dimostrare la «verità» di un teorema matematico. Il primo trova riscontro nella realtà, il secondo sul ragionamento. Rendere più operativo e «concreto» l apprendimento dei fondamenti dell aritmetica potrebbe essere un «escamotage» per rendere meno complicato il loro apprendimento. Tra i concetti fondamentali dell aritmetica si pone senz altro l idea di «numerosità» come proprietà che caratterizza e distingue gruppi di elementi, qualora si passi a descriverli non dal punto di vista delle proprietà fisiche che li costituiscono, ma rispetto alla domanda «Quanti sono?» che sposta l attenzione e l interesse dalle qualità (analisi qualitativa) a una caratteristica esterna, che trova fondamento nella curiosità dell osservatore, piuttosto che nella realtà degli oggetti osservati (analisi quantitativa). Il concetto di «numero» e quello delle relazioni che intercorrono fra le diverse quantità (maggiore, minore, uguale), come le operazioni più semplici (aggiungere, togliere, ecc.), sono stati esaminati nei quaderni precedenti, a cui, per forza di cose, dobbiamo rinviare chi fosse interessato. Il presente quaderno si scontra, invece, con il problema della «comunicazione» senza la quale ogni apprendimento o scoperta resterebbe lettera morta, non conoscenza. Ogni nostra scoperta, dal primo significato dei suoni (pianto) e dei gesti in avanti, viene convalidata solo se condivisa da chi ci circonda, se viene capita (riconosciuta o respinta poco importa anche l errore ha un valore sociale). L importante è impadronirsi di un «codice comunicativo» che permetta la comunicazione, la comprensione ed, eventualmente, la condivisione. Le modalità messe in atto dall uomo per comunicare e confrontare le quantità sono le più svariate: dai sassolini che il pastore metteva nella propria bisaccia al mattino, quando le pecore uscivano dal recinto, e gettava alla sera, quando rientravano (corrispondenza biunivoca, fondamento del concetto di numerosità e confronto quantitativo), ai più sofisticati strumenti digitali oggi in funzione (calcolatori).

4 8 MatematicaImparo 9 Per la conoscenza aritmetica di base, oggi, abbiamo a disposizione nove cifre (a tutti note) e uno strano segno, lo zero che è, allo stesso tempo, numero (rappresenta la numerosità dell insieme vuoto) e segnaposto (indicatore di posizione delle cifre all interno di un numero). Ma, partendo dallo zero, forse, siamo andati troppo avanti. Per rappresentare le quantità (infinite) che possiamo incontrare nella nostra avventura scolastica e culturale abbiamo 9 cifre. Per indicare i primi nove numeri naturali le cifre a disposizione ci bastano ma poi? Ecco la fertilità di una scoperta che si perde nei secoli: se noi combiniamo fra loro le cifre e assegniamo loro un «valore» diverso a seconda del posto che occupano possiamo scrivere tanti numeri basta mettersi d accordo su come piazzare le cifre. In fin dei conti se con 21 lettere dell alfabeto possiamo scrivere tante parole se con 7 note musicali possiamo comporre infinite melodie, con 9 cifre potremo scrivere tanti numeri. Come si fa? Ripartiamo dall inizio e seguiamo passo passo la procedura. Per contare bisogna raggruppare se contiamo uno, uno, uno, non andiamo da nessuna parte. Le quantità si distinguono quando confrontiamo le proprietà di gruppi con diverse numerosità. Possiamo fare gruppi da due, da tre, e così via. Se decido di raggruppare per tre, ho bisogno di avere tre elementi unitari (che chiamo «unità»), ma siccome tre unità formano un gruppo (da tre) si trova che, raggruppando per tre, un gruppo equivale a tre unità. Quindi ho la cifra 1, che vale unità se scritta a destra e invece un gruppo da tre se scritta a sinistra della prima: perciò si scrive 1*0 in base tre. Tra tutte le molteplici modalità con le quali si possono raggruppare gli elementi, si è venuto affermando, per ragioni biologiche (10 dita) e storiche, il raggruppamento per dieci. Con questo tipo di conteggio, che è quello che usiamo comunemente, i primi nove numeri naturali sono rappresentati dalle 9 cifre che abbiamo a disposizione. Quando raggruppiamo dieci elementi, li rappresentiamo con la prima cifra (1) scritta nella seconda posizione a sinistra. Per capire che è la seconda posizione a sinistra, dobbiamo indicare con qualche segno la posizione di destra ecco allora lo zero. Le attività del quaderno ci permettono di capire la differenza tra cifra e numero: «cifre» sono i nove segni di cui disponiamo per scrivere tutti i numeri possibili. Per ottenere questi risultati è necessario avere costantemente presente il «valore posizionale» delle cifre, cioè il fatto che esse indicano valori diversi a seconda della posizione che ognuna di esse occupa all interno del numero, nonché il valore polinomiale del numero: il fatto che la posizione occupata da ogni cifra all interno del numero assume valore diverso a seconda della base scelta per raggruppare. L apprendimento operativo, cioè con molti esercizi manuali di cambio, di costruzione e decostruzione di numeri, con manipolazione di elementi per contare (gettoni, sassolini, bastoncini, figurine, domino, dadi, ecc.) è essenziale. Come materiale strutturato si consiglia l uso di materiale multibase (per il valore polinomiale del numero) e degli abachi (per il valore di posizione) che si

5 trovano nelle migliori cartolerie, ma che possono facilmente essere costruiti in classe. RAGGRUPPARE IN BASI DIVERSE (SCHEDE 1-2): Si propongono giochi e attività per consolidare il concetto di raggruppamento. OPERARE CON IL CAMBIO (SCHEDE 3-4): Gli esercizi presentati sono da considerarsi conclusivi di un percorso operativo, dove gli alunni vengono invitati a simulare situazioni di «cambio» con oggetti concreti e, perché no, anche con gli euro (una banconota da 5 euro può essere cambiata con 5 monete da 1 euro, ecc.). OPERARE CON IL MATERIALE MULTIBASE (SCHEDE 5-6): L idea di cambio si consolida attraverso l uso del materiale multibase (Blocchi Aritmetici Multibase, BAM), grazie al quale i bambini possono operare mantenendo la percezione della numerosità dei gruppi e comprendendo il valore polinomiale del numero. OPERARE CON L ABACO (SCHEDE 7-11): L abaco è lo strumento che evidenzia il valore posizionale delle cifre (una cifra assume un valore diverso a seconda della posizione che occupa all interno del numero) ed è per questo motivo che si consigliano numerosi esercizi con questo strumento, da svolgersi con regolarità, anche solo a livello operativo, e di cui si propongono nel testo solo alcuni esempi. LEGGERE E SCRIVERE I NUMERI IN BASI DIVERSE E IN BASE DIECI (SCHEDE 12-20): La padronanza del numero nei suoi aspetti semantici (comprensione della quantità), sintattici (scrittura polinomiale e valore posizionale delle cifre) e lessicali (lettura e scrittura sia in lettere sia in cifre), si raggiunge attraverso una serie di attività e di esercizi che presuppongono la base dieci come base privilegiata, ma non unica, nel conteggio e nell enumerazione. OPERARE CON I NUMERI FINO A 99 (SCHEDE 21-33): Ed ecco finalmente i numeri in base dieci, i numeri naturali, rappresentati con le 9 cifre che ben conosciamo e con lo zero: le schede propongono esercizi e giochi che presentano il numero naturale nei suoi aspetti di cardinalità e ordinalità, di misura e contrassegno. OPERARE CON IL CENTINAIO (SCHEDE 34-38): La conoscenza del numero si approfondisce con l idea di secondo cambio, dalle decine alle centinaia: i numeri oltre 99 si costruiscono riprendendo il concetto di cambio affrontato nelle prime pagine del quaderno. Fondamentale risulta anche in questo caso l uso dell abaco e del materiale multibase. Indicazioni per l insegnante 9

6 CONTENUTI DELL UNITÀ DIDATTICA Scheda Abilità 1 Il Circo Ciribò Raggruppare in basi diverse 2 I giocolieri contano i gruppi Raggruppare in basi diverse 3 Cambio di gettoni Operare con il cambio 4 La pesca di benefi cenza Operare con il cambio 5 Il regalo del mago Ciribì per giocare notte e dì Operare con il materiale multibase 6 Altri giochi divertenti per smontare raggruppamenti Operare con il materiale multibase 7 Un nuovo regalo Operare con l abaco 8 Tentar non nuoce Operare con l abaco 9 La scoperta del giocoliere Aldo Operare con l abaco 10 Al lavoro con il giocoliere Pippo Operare con l abaco 11 I giocolieri Teo e Gigi all opera Operare con l abaco 12 Il signor Tricorno Leggere e scrivere i numeri in basi diverse 13 Il signor Quattrozampe Leggere e scrivere i numeri in basi diverse 14 La signora Cinquedita Leggere e scrivere i numeri in basi diverse 15 Il signor Ragnotto Leggere e scrivere i numeri in basi diverse 16 Quantità uguali, scritte con numeri diversi Leggere e scrivere i numeri in basi diverse 17 Gli amici di Lilli danno i numeri Leggere e scrivere i numeri in basi diverse 18 La signorina Diecimarina introduce la decina Leggere e scrivere i numeri in base dieci 19 Tabelle misteriose per magie portentose Leggere e scrivere i numeri in base dieci 20 La decina Leggere e scrivere i numeri in base dieci 21 I numeri fi no a 20 Operare con i numeri fi no a I numeri fi no a 30 Operare con i numeri fi no a I numeri fi no a 40 Operare con i numeri fi no a I numeri fi no a 50 Operare con i numeri fi no a Balù Operare con i numeri fi no a Pari o dispari? Operare con i numeri fi no a Bim bum bam! Operare con i numeri fi no a I numeri fi no a 60 Operare con i numeri fi no a I numeri fi no a 70 Operare con i numeri fi no a I numeri fi no a 80 Operare con i numeri fi no a I numeri fi no a 90 Operare con i numeri fi no a I numeri fi no a 99 Operare con i numeri fi no a Numeri a confronto Operare con i numeri fi no a Ed ecco fi nalmente il numero 100! Operare con il centinaio 35 Vuoi giocare con il numero 100? Operare con il centinaio 36 Ora prova tu! Operare con il centinaio 37 Calcoli sprint per operazioni-fulmine Operare con il centinaio 38 La sfi lata Operare con il centinaio 10 MatematicaImparo 9

7 Operare con i numeri fino a 99 I NUMERI FINO A Shu-Yu è alle prese con i numeri da 21 a 30. Esegui insieme a lei. Rappresenta sul tuo quaderno i numeri fino a 30 come nell esempio da e 1 u ventuno da u Conta le palline che Shu-Yu ha disegnato sulla lavagna e scrivi il numero sia in cifre sia in lettere. Lilli deve scrivere i numeri da 20 a 30 sui cartelli che costeggiano il Viale dei Cento: aiutala tu! Scrivi il numero che precede e il numero che segue , P. Tasco, MatematicaImparo 9, Trento, Erickson

8 Operare con i numeri fino a 99 I NUMERI FINO A John sta lavorando con i numeri da 31 a 40. Esegui insieme a lui! Rappresenta sul tuo quaderno i numeri fino a 30 come nell esempio da e 1 u trentuno da u Conta le palline che John ha disegnato sulla lavagna e scrivi il numero sia in cifre sia in lettere. John deve scrivere i numeri da 30 a 40 sulle bandierine che decorano il Viale dei Cento: aiutalo tu! , P. Tasco, MatematicaImparo 9, Trento, Erickson 41

9 Operare con i numeri fino a 99 I NUMERI FINO A Anna è indaffarata con i numeri da 41 a 50. Esegui insieme a lei. Rappresenta sul quaderno i numeri fino a 50 come nell esempio da e 1 u quarantuno da u Colora le palline come indicato dal numero in cifre e completa scrivendo il numero in lettere Anna deve scrivere i numeri da 40 a 50 sui palloncini che si trovano lungo il Viale dei Cento: aiutala tu! 40 Colora di rosa i petali con il numero minore di quello al centro e di azzurro quelli con il numero maggiore , P. Tasco, MatematicaImparo 9, Trento, Erickson

10 Operare con i numeri fino a BALÙ Lilli è molto felice! Oggi arriva a Formilandia un ospite tanto atteso. Unisci i numeri nell ordine. Balù è un Scopri qual è il numero e scrivilo in cifre. 3 da 4 u 7 u 6 u 3 da 4 da 4 da 6 u 3 u 2 da 4 u 1 da 8 u 5 da 1 da 8 u 2 da 9 u 7 u 3 da 2009, P. Tasco, MatematicaImparo 9, Trento, Erickson 43