Statistica in tasca. area. Statistica descrittiva Teoria della probabilità Statistica inferenziale PK 24. Estratto della pubblicazione EDIZIONI

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1 PK 24 area Statistica......in tasca Statistica descrittiva Teoria della probabilità Statistica inferenziale EDIZIONI SIMONE Gruppo Editoriale Esselibri - Simone

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3 Copyright 2006 Esselibri S.p.A. Via F. Russo 33/D Napoli Azienda certificata dal 2003 con sistema qualità ISO : 2004 Tutti i diritti riservati È vietata la riproduzione anche parziale e con qualsiasi mezzo senza l autorizzazione scritta dell editore. Per citazioni e illustrazioni di competenza altrui, riprodotte in questo libro, l editore è a disposizione degli aventi diritto. L editore provvederà, altresì, alle opportune correzioni nel caso di errori e/o omissioni a seguito della segnalazione degli interessati. Prima edizione: aprile 2006 PK24 - Statistica ISBN Ristampe Questo volume è stato stampato presso Officina Grafica Iride Via Prov.le Arzano-Casandrino, VII Trav., 24 - Arzano (NA) Per informazioni, suggerimenti, proposte: info@simone.it A cura di: Grafica e copertina: Impaginazione e grafici: Carla Iodice Gianfranco De Angelis Pasquale Antignano

4 Presentazione Il testo consente una comprensione chiara e immediata dei principali argomenti trattati in un corso di statistica di base. Il volume è diviso in 10 capitoli: i primi sei sono dedicati alla statistica descrittiva; il settimo rappresenta una introduzione alla teoria della probabilità; i successivi tre trattano argomenti di statistica inferenziale: variabili casuali, stima, verifica di ipotesi. Ciascun capitolo è corredato, inoltre, da esempi relativi a ogni argomento trattato e da un test a risposta multipla con soluzioni commentate. Il linguaggio e le formulazioni adoperate sono state rese il più semplice possibile, così che il volume possa essere utilizzato come complemento del manuale istituzionale per testare e migliorare la propria preparazione, non solo dagli studenti universitari ma anche dagli studenti delle scuole superiori.

5 Α α alfa Β β beta Γ γ gamma Δ δ delta Ε ε epsilon Ζ ζ zeta Η η eta Θ θ ϑ theta ALFABETO GRECO Ι ι iota Κ κ kappa Λ λ lambda Μ μ mi Ν ν ni Ξ ξ xi Ο ο òmicron Π π pi Ρ ρ rho Σ σ sigma Τ τ tau Υ υ ypsilon Φ ϕ φ phi Χ χ chi Ψ ψ psi Ω ω òmega INDICE DEI SIMBOLI > maggiore < minore maggiore o uguale minore o uguale diverso da infinito tende a per ogni distribuito come circa uguale a ± più o meno exp(.) funzione esponenziale log(.) logaritmo in base 10 ln(.) logaritmo neperiano lim limite derivata parziale integrale sommatoria produttoria ABBREVIAZIONI Cov (.,.) D (.) E (.) v.c. Var (.) covarianza devianza valore medio variabile casuale varianza

6 1. L analisi statistica Di cosa parleremo La statistica è una scienza, strumentale ad altre, concernente la determinazione dei metodi scientifici da seguire per raccogliere, elaborare e valutare i dati riguardanti l essenza di particolari fenomeni di massa. Statistica descrittiva Statistica Statistica inferenziale Un carattere Due o più caratteri Variabile Mutabile Rappresentazioni Relazioni grafiche Rappresentazioni Sintesi grafiche Rappresentazioni grafiche Sintesi Rapporti statistici Indici di posizione Indici di variabilità Indici di forma 5

7 1) Statistica descrittiva e statistica inferenziale Nell ambito della metodologia statistica si distinguono, a fini puramente didattici, due filoni fondamentali: la statistica descrittiva e la statistica inferenziale. La statistica descrittiva è volta alla rappresentazione, attraverso mezzi matematici, di uno o più fenomeni reali conducendo lo studio sull intera popolazione in cui si palesa il fenomeno o i fenomeni oggetto di studio. La statistica inferenziale è volta all induzione probabilistica circa la struttura incognita di una popolazione. Questo filone della statistica si occupa di risolvere il cosiddetto problema inverso, ossia, sulla base di osservazioni su un campione di unità selezionate con date procedure dalla popolazione, perviene a soluzioni valide, entro dati livelli di probabilità, anche per la popolazione stessa. Statistica applicata Il campo di applicazione della statistica si è notevolmente esteso negli ultimi anni, comprendendo tutte le situazioni in cui sono implicati fenomeni collettivi. A seconda della materia cui la scienza statistica si applica, si possono distinguere varie specializzazioni della stessa: statistica economica, statistica demografica, statistica giudiziaria etc. 2) Fasi dell analisi statistica Si conviene, generalmente, di dividere un analisi statistica in cinque fasi: 1. La definizione degli obiettivi Si tratta di una fase alquanto delicata in cui gli obiettivi prefissati devono essere esattamente individuati delimitando la ricerca in termini spaziali e temporali. 6

8 2. La rilevazione È la fase dell analisi statistica concernente l osservazione dei caratteri relativi alle unità statistiche mediante opportune tecniche e strumenti. Essa può essere: completa (censimento) se è condotta su tutte le unità costituenti la popolazione cui si riferisce il fenomeno in esame; parziale se è condotta su un campione estratto dalla popolazione, il cui impiego si basa sull approccio induttivo (dalla parte al tutto) tipico dell inferenza statistica. Data la multiforme varietà in cui si manifestano i fenomeni collettivi oggetto dell analisi statistica, le rilevazioni non sono quasi mai effettuate sull intera popolazione, ma su un campione rappresentativo della stessa. La rilevazione dei dati può essere effettuata da enti privati (aziende, società commerciali, studi professionali etc.). In Italia l organo statistico ufficiale dello Stato è l ISTAT (Istituto Nazionale di Statistica), persona giuridica di diritto pubblico con ordinamento autonomo, sottoposta alla vigilanza della Presidenza del Consiglio dei Ministri e al controllo della Corte dei Conti. La rilevazione si esegue sulla base di modelli che consistono in formulari completi di domande e risposte, predisposti in modo da ottenere esattamente quei dati che interessano ai fini dell analisi. 3. La elaborazione dei dati In questa fase i dati rilevati sono sintetizzati allo scopo di ottenere dati più significativi. 4. La presentazione ed interpretazione dei dati Questa fase dell analisi statistica è particolarmente delicata in quanto consiste nella rappresentazione dei dati attraverso tabelle, grafici e indici, e nella spiegazione dei risultati ottenuti dall intera analisi statistica. 7

9 5. L applicazione degli esiti dell analisi La statistica trova applicazione in diversi campi; è compito dello statistico definire i criteri e i limiti all impiego degli esiti di un analisi. 3) Le unità statistiche La statistica acquisisce le informazioni su una data popolazione, non necessariamente riferita ad esseri umani. Le componenti elementari della popolazione su cui materialmente è effettuata un indagine sono denominate unità statistiche e si distinguono in: unità semplici come una singola persona, una singola abitazione etc; unità composte se sono insiemi di unità semplici simili considerate anche a prescindere dall unità composta; in questa tipologia rientra una famiglia intesa come insieme dei suoi componenti, un edificio inteso come insieme di abitazioni etc; unità complesse se sono insiemi di unità semplici diverse considerate, però, nella loro globalità; in questa tipologia rientra il rapporto coniugale di cui sono unità semplici il marito e la moglie, oppure un determinato rapporto di lavoro di cui sono unità semplici il datore di lavoro e i dipendenti etc. 4) Il carattere statistico Il fenomeno oggetto dell analisi statistica è il carattere (o caratteristica), e rappresenta l elemento che consente di descrivere una popolazione (o un campione). I valori che può assumere un carattere su un unità statistica sono denominati modalità. Un carattere può essere qualitativo o quantitativo. Carattere qualitativo Un carattere qualitativo o mutabile si manifesta nell unità statistica mediante modalità, dette attributi, e può essere indicato solo con 8

10 espressioni verbali (aggettivi, sostantivi etc.). Ad esempio, il sesso di una persona si presenta nell attributo: maschio o femmina; il tipo di lavoro svolto da un certo numero di persone può essere indicato solo con la qualifica verbale di esso: operaio, impiegato etc. A volte è possibile indicare caratteri qualitativi con simboli numerici, ad esempio, gli impiegati dello Stato sono classificati secondo categorie A, B etc. previste dalla legge sul pubblico impiego. Questi simboli numerici, tuttavia, non sono altro che delle qualifiche e restano caratteri qualitativi. Carattere quantitativo Un carattere quantitativo o variabile è indicato mediante espressioni numeriche, in altre parole, per esso è realizzabile una misurazione espressa in cifre, come il reddito delle persone, il loro peso, la loro età etc. A sua volta, una variabile può essere: continua quando può assumere come modalità un numero reale qualsiasi, come la temperatura di una stanza, la statura, l età, il peso di un individuo etc.; discreta quando può assumere come modalità solo numeri interi, come il numero dei componenti di una famiglia, il numero di addetti di un azienda etc. 5) Frequenze e intensità Il numero di volte in cui una data modalità del carattere si presenta nel collettivo è denominato frequenza assoluta. Essa è il risultato di una enumerazione. Per esempio, poiché al censimento del 2001 in Italia erano le famiglie con 3 componenti, allora è la frequenza assoluta del carattere «famiglie per numero di componenti» relativo alla modalità «3». Il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale di unità statistiche del collettivo esprime la frequenza relativa. 9

11 La frequenza cumulata rappresenta l ammontare del carattere posseduto dalle prime i modalità, ordinate in senso non decrescente. Essa è anche detta frequenza cumulata assoluta per distinguerla dalla frequenza cumulata relativa e che rappresenta la frazione del carattere posseduta complessivamente dalle prime i modalità, ordinate in senso non decrescente. L intensità è, invece, l ammontare o la misura di un carattere additivo posseduto dalle unità statistiche. Sono esempi di intensità il reddito di un individuo, il peso di una persona etc. 6) La classe di modalità La classe, o classe di modalità, è ciascuno degli intervalli di prefissata ampiezza in cui risulta suddiviso l insieme delle modalità di un carattere quantitativo X. Ad ogni classe si fa corrispondere una frequenza assoluta o relativa, che indica il numero di unità della popolazione che possiedono un valore del carattere compreso tra i suoi limiti, x i e x i + 1. Tipologie Una classe di modalità può essere: aperta sia a sinistra che a destra, in tal caso i limiti inferiore e superiore sono esclusi dalla classe; essa è del tipo: x i x i + 1 aperta a sinistra e chiusa a destra, in tal caso il limite inferiore è escluso dalla classe; essa è del tipo: x i x i + 1 chiusa a sinistra e aperta a destra, in tal caso il limite superiore è escluso dalla classe; essa è del tipo: x i x i

12 chiusa sia a sinistra che a destra, in tal caso entrambi i limiti sono inclusi nella classe; essa è del tipo: x i x i + 1 Talvolta, quando l insieme dei valori del carattere non è strettamente specificabile, si tende a non precisare il limite inferiore e il limite superiore, rispettivamente, della prima e dell ultima classe, in altre parole, la prima classe è aperta a sinistra e l ultima è aperta a destra. Valore centrale Il valore centrale di una classe è dato dalla semisomma dei limiti superiore e inferiore della classe. In simboli: x i xi = + xi +1 2 I valori centrali x sono utilizzati ai fini della determinazione di medie i e di indici di variabilità in luogo delle modalità x i quando i dati sono raggruppati in classi. Confini I confini di una classe sono gli estremi della classe: l estremo superiore di una classe si ottiene dalla semisomma del limite superiore della classe data e del limite inferiore della classe successiva; l estremo inferiore di una classe si ottiene dalla semisomma del limite inferiore della classe data e del limite superiore della classe precedente. Ampiezza L ampiezza (α i ) di una classe è la differenza tra il confine superiore e il confine inferiore della classe stessa. Essa è detta anche modulo e può essere uguale o diversa per tutte le classi. 11

13 7) Scale di misurazione dei caratteri Dopo aver scelto il carattere da rilevare, lo statistico deve occuparsi della misurazione delle modalità con cui esso si presenta nelle varie unità. A tal fine, è stata introdotta la seguente distinzione dei caratteri in funzione della scala di misurazione: Caratteri con scala nominale Sono quelli per cui non si riscontra alcun ordine di successione tra le modalità (attributi); date due osservazioni su due unità statistiche, si può stabilire se esse sono uguali o diverse. Rientrano in questa tipologia la professione, la nazionalità, il sesso, la religione, il partito politico etc. Caratteri con scala ordinale Sono quelli per cui si riscontra un ordine logico di successione delle modalità; date due osservazioni su due unità statistiche, si può stabilire una relazione d ordine, ossia se esse sono uguali o l una maggiore o minore dell altra. Rientrano in questa tipologia i giudizi scolastici, i gradi militari etc. Caratteri con scala ad intervallo Sono caratteri quantitativi per cui è possibile operare un confronto, per differenza, tra le modalità e per cui si assume una origine arbitraria e un unità di misura. Rientrano in questa tipologia la misurazione degli anni, in cui si è convenuto di fissare l anno zero come l anno di nascita di Cristo, oppure la misurazione della temperatura in gradi Celsius la cui origine arbitraria, 0, coincide con il punto di congelamento dell acqua. Caratteri con scala proporzionale Sono caratteri quantitativi per i quali si stabilisce oggettivamente un origine, il cosiddetto zero assoluto. Per tali caratteri si effettua una vera e 12

14 propria operazione di misurazione con strumenti appropriati, o una operazione di computo, ed è possibile effettuare rapporti tra le misure nel senso che si stabilisce se l una è la metà, il doppio dell altra. Rientrano in tale tipologia il numero dei componenti di una famiglia, il numero di appartamenti di un edificio, l età, il peso di un individuo etc. 8) Rappresentazione delle rilevazioni statistiche Dopo aver effettuato la rilevazione, lo statistico deve realizzare una sintesi efficace dei dati, attraverso una classificazione delle modalità del carattere (o dei caratteri) investigato, non potendole presentare sempre in forma enumerativa. A seconda dell esigenza i dati sono rappresentati in forma tabellare e in forma grafica; ciascun modo presenta dei vantaggi e degli svantaggi e l uso dell uno non esclude l altro. La distribuzione statistica è la più importante rappresentazione statistica, essa consiste nella organizzazione dei dati in forma tabellare che ad ogni modalità di un dato carattere fa corrispondere la rispettiva frequenza ed è denominata distribuzione di frequenza, oppure che ad un insieme di eventi fa corrispondere un insieme di numeri reali ed è denominata distribuzione di probabilità. La tabella seguente indica la distribuzione di frequenza (semplice) di un carattere X discreto: Tabella 1 MODALITÀ DI X FREQUENZE x 1 n 1 x 2 n 2 : : x i n i : : x r n r Totale n 13

15 La tabella seguente indica, invece, la distribuzione (semplice) di frequenza di un carattere continuo (con modalità raggruppate in classi): Tabella 2 CLASSI DI MODALITÀ DI X FREQUENZE x 1 x 2 n 1 x 2 x 3 n 2 : : x i x i+1 n i : : x r x r+1 Totale n r n Nel caso si consideri un carattere qualitativo, nella tabella, invece delle modalità, figurano gli attributi. 9) Misure sintetiche di distribuzioni statistiche L analisi statistica fornisce misure sintetiche per valutare aspetti complessi e globali di una distribuzione di un fenomeno X mediante un solo numero reale costruito in modo da disperdere al minimo le informazioni sui dati originari. In rapporto alle caratteristiche che si misurano si parla di rapporti statistici (di cui ci occuperemo nel Capitolo Terzo), indici di posizione, indici di variabilità, indici di forma (di cui ci occuperemo nel Capitolo Quarto). In rapporto alla natura, gli indici si distinguono in: indici assoluti che sono introdotti per valutare in modo sintetico un aspetto di una distribuzione e sono espressi nella stessa unità di misura del fenomeno o in sua funzione; indici relativi che non dipendono dall unità di misura del fenomeno, e si ottengono rapportando due misure assolute oppure un indice assoluto al suo massimo. 14

16 Infine, gli indici normalizzati sono indici relativi che assumono valori in un intervallo finito quasi sempre [0, 1] oppure [ 1, +1]. 10) Le serie La serie è la successione di dati ordinati secondo modalità di caratteri qualitativi. Si distinguono diverse tipologie di serie: Serie storiche Sono quelle serie in cui il fenomeno è studiato in funzione del tempo. Sono anche dette serie temporali. Le serie storiche possono essere: statiche se presuppongono la costanza (o quasi) dei loro termini nel tempo; dinamiche se descrivono un fenomeno in continuo mutamento. Esse si dicono evolutive, quando il fenomeno si modifica in senso costante, periodiche, quando i termini del fenomeno oscillano in modo irregolare. Serie territoriali Sono quelle serie in cui il fenomeno collettivo è studiato in relazione al territorio. Serie rettilinee Sono così chiamate quelle serie di termini in cui è possibile riscontrare un ordine logico naturale di successione dei termini. Esiste cioè un termine che rappresenta una modalità iniziale del fenomeno ed un altro che rappresenta una modalità finale di esso. Serie cicliche Sono così chiamate quelle serie di termini in cui non è dato stabilire quale sia il termine iniziale assoluto e quello finale assoluto della serie, pur senza un inizio ed una fine certi dell andamento del fenomeno. 15

17 Serie sconnesse Sono così chiamate quelle serie in cui non è possibile riscontrare alcun ordine di successione tra le modalità. Sono serie sconnesse quelle che rappresentano la professione, la nazionalità, la religione e il partito politico degli intervistati etc. 11) Gli errori Nell analisi statistica il concetto di errore è più ampio di quello comune. Infatti, considerato che per errore si intende la differenza tra il valore stimato e il valore vero o teorico, una prima distinzione si opera tra: errori campionari costituiti dalla differenza tra il valore stimato su un campione e il valore calcolato sulle unità statistiche della popolazione; errori extracampionari non dovuti, appunto, al campionamento e che si possono commettere nel corso di un indagine statistica. Tra gli errori non campionari si distinguono: la mancata rilevazione dei dati quando da una unità statistica non si è ottenuta l informazione cercata e può consistere nella mancata risposta al questionario oppure nella mancata risposta alla singola domanda; l errore di rilevazione che è una difformità tra la modalità rilevata e la realtà e può aversi nel caso di inadatta formulazione o cattiva comprensione della domanda, per il contesto in cui si svolge l intervista etc. Una ulteriore distinzione si opera tra: errore sistematico provocato dall utilizzo di strumenti difettosi o modalità erronee di rilevazione e può essere ridotto o eliminato; errore casuale provocato da fattori esterni è controllabile con metodi statistici, ma non eliminabile. Accade spesso che, dopo la raccolta dei dati, si presenti la necessità di correggere le cifre ottenute. 16

18 Test di verifica 1. Cos è l unità statistica? a) La componente di un gruppo che si occupa della elaborazione di un questionario. b) La componente elementare della popolazione che forma oggetto di osservazione. c) La componente di un gruppo che effettua le indagini statistiche. d) L unità di misura dei fenomeni statistici. 2. Come si chiama l insieme delle operazioni attraverso le quali i dati rilevati vengono classificati e sintetizzati al fine di ottenere dati più espressivi? a) Interpretazione. b) Elaborazione. c) Presentazione. d) Traduzione. 3. Quale delle seguenti non è una scala di misura delle manifestazioni di un carattere statistico? a) Scala nominale. b) Scala proporzionale. c) Scala ordinale. d) Scala semilogaritmica. 4. Cosa si intende per frequenza assoluta? a) Il numero di volte in cui si manifesta un assoluta mancanza di risposte ai questionari. b) Il numero di unità statistiche che presentano la stessa modalità del carattere. 17

19 c) Un numero che varia tra zero e uno. d) La misura di un carattere quantitativo. 5. La distribuzione statistica di frequenze è: a) L insieme delle modalità di uno o più caratteri e delle loro rispettive frequenze. b) L insieme dei dati disponibili prima di effettuare una rilevazione. c) La distribuzione delle sole frequenze assolute, relative e cumulate riguardanti un carattere. d) Una distribuzione di dati ordinati rispetto ad una variabile e alla differenza tra due o più variabili di minore importanza. Soluzioni e commenti 1. Risposta esatta: b). L unità statistica è la componente elementare del collettivo ed è su di essa che si acquisiscono le informazioni. 2. Risposta esatta: b). L elaborazione è quel complesso di operazioni attraverso le quali i dati ottenuti a seguito della rilevazione (dati grezzi) vengono opportunamente classificati e sintetizzati al fine di ottenere dati più espressivi (dati derivati). 3. Risposta esatta: d). La rilevazione statistica è l indicazione, secondo un opportuna scala di misura, delle manifestazioni di un carattere statistico, osservate in ogni singola unità statistica. Si distinguono quattro fondamentali scale di misura: 1) scala nominale, utilizzata quando le modalità del carattere sono definite da attributi non ordinabili se non in modo arbitrario; 2) scala ordinale, utilizzata quando le modalità del carattere sono definite da attributi ordinabili in una sequenza non arbitraria, ma oggettivamente accertabile; 18

20 3) scala intervallare, utilizzata quando ad ogni coppia di elementi adiacenti, disposti in scala ordinale, è possibile assegnare un numero atto a caratterizzare la loro distanza, senza tuttavia poter stabilire un origine obiettiva per il sistema di misure; 4) scala proporzionale, la quale, pur avendo le stesse caratteristiche di quella intervallare, può essere utilizzata per stabilire un origine oggettiva e assoluta. 4. Risposta esatta: b). La frequenza assoluta indica il numero di volte in cui una data modalità del carattere si presenta nelle unità statistiche rilevate. La frequenza relativa, invece, esprime la frazione dei casi osservati che presentano una data modalità del carattere. Essa è data dal rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale di unità del collettivo. 5. Risposta esatta: a). Le distribuzioni statistiche si distinguono in semplici e multiple a seconda che prendano in esame, rispettivamente, un solo carattere o più caratteri. 19

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22 2. Rappresentazioni grafiche Di cosa parleremo La rappresentazione grafica di uno o più fenomeni statistici non aggiunge né toglie alcuna informazione alla tabella che ne illustra la distribuzione di frequenza. I grafici non contengono dati diversi rispetto alle tabelle statistiche, anzi sono ricavati dalle stesse. Tuttavia, le rappresentazioni grafiche consentono di cogliere con evidenza visiva la struttura e l andamento di uno o più fenomeni, il confronto tra più distribuzioni. Infatti, attraverso un grafico si riescono ad evidenziare aspetti fondamentali di una distribuzione di frequenza quali: misure di tendenza centrale, variabilità (o mutabilità) e forma, eventuali outliers (o valori anomali), ossia osservazioni che presentano valori sostanzialmente diversi da quello dell insieme delle altre osservazioni. Diverse sono le rappresentazioni grafiche di cui ci occuperemo nel corso del capitolo, tutte riguardano distribuzioni semplici, ad eccezione dell ultimo paragrafo, in cui si accenna ad una particolare tipologia di rappresentazione grafica di distribuzioni doppie di frequenza: lo stereogramma. 2. Rappresentazioni grafiche 21

23 Rappresentazioni grafiche Distribuzioni semplici Diagrammi in coordinate cartesiane: caratteri quantitativi Istogrammi: caratteri quantitativi continui con modalità raggruppate in classi Diagrammi circolari: caratteri qualitativi Diagramma a segmenti: caratteri quantitativi discontinui Poligono di frequenza: caratteri quantitativi continui Areogrammi per cerchi Areogrammi per settori circolari (grafici a torta) Colonne Diagrammi a barre (ortogrammi): caratteri qualitativi Nastri Cartogrammi: serie territoriali 2. Rappresentazioni grafiche Distribuzioni doppie Ideogrammi: serie non sconnesse Stereogrammi 22

24 1) Diagrammi in coordinate cartesiane Le rappresentazioni grafiche in questione si avvalgono di un riferimento in coordinate cartesiane, in cui sono date una retta orizzontale su cui sia stata fissata un origine (O) e un verso positivo, indicato con una freccia, e una retta perpendicolare alla prima passante per l origine e sulla quale sia stato fissato il verso positivo. Le due rette così individuate formano un sistema di assi cartesiani che dividono il piano in quattro parti dette quadranti. Gli assi si chiamano, rispettivamente, asse delle ascisse, che si indica con x, e asse delle ordinate, che si indica con y. Il punto O è denominato origine degli assi. Fissata un unità di misura (u x ) per l asse delle ascisse e una unità di misura (u y ) per l asse delle ordinate (le due unità di misura possono anche coincidere), individuato un punto P del piano e le sue proiezioni A su Ox e B su Oy, l ascissa e l ordinata del punto sono, rispettivamente, la misura del segmento OA rispetto a u x e la misura del segmento OB rispetto a u y. Esse prendono il nome di coordinate del punto. II + Asse delle ordinate y I B P(x,y) u y O u x A + Asse delle ascisse x III IV (Fig. 1) 2. Rappresentazioni grafiche 23

25 In generale, si crea una corrispondenza biunivoca tra ciascun punto del piano e una coppia di numeri reali che del primo ne rappresentano, rispettivamente, l ascissa e l ordinata. Il segno delle coordinate del punto dipende dal quadrante in cui esso è situato, infatti, se il punto appartiene al: primo quadrante ha ascissa e ordinata entrambe positive; secondo quadrante ha ascissa negativa e ordinata positiva; terzo quadrante ha ascissa e ordinata entrambe negative; quarto quadrante ha ascissa positiva e ordinata negativa. L origine degli assi ha ascissa e ordinata nulle. (,+) y (+,+) (0,0) x (+, ) (, ) 2. Rappresentazioni grafiche (Fig. 2) Nell analisi statistica il quadrante generalmente impiegato è il primo, in quanto sia le modalità del carattere sia le intensità o frequenze sono quantità positive. 24