ESERCIZIARIO DI CAMPI ELETTROMAGNETICI. Esercizi e soluzioni su: Linee di trasmissione Problemi di adattamento Trasferimento di potenza

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1 POLITENIO DI MILANO Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Elettronica e Informazione ESERIIARIO DI AMPI ELETTROMAGNETII Esercizi e soluzioni su: Linee di trasmissione Problemi di adattamento Trasferimento di potenza Relatore: Prof. arlo Giuseppe RIVA Elaborato di I livello di: Alberto RATTI Matr Marco SAVINO Matr Anno accademico - 3

2 INDIE Linee di trasmissione Esercizio pag. Esercizio pag. 4 Esercizio 3 pag. Esercizio 4 pag. 6 Esercizio pag. 8 Esercizio 6 pag. Esercizio 7 pag. Esercizio 8 pag. 4 Esercizio 9 pag. 6 Esercizio.. pag. 8 Esercizio.. pag. Esercizio.. pag. Esercizio 3.. pag. 4 Esercizio 4.. pag. 6 Esercizio.. pag. 8 Esercizio 6.. pag. 3 Problemi di adattamento e trasferimento di potenza per linee senza perdita Esercizio pag. 3 Esercizio pag. 38 Esercizio 3 pag. 4 Esercizio 4 pag. 4 Esercizio pag. Esercizio 6 pag. 4 Esercizio 7 pag. 7 Esercizio 8 pag. 6 Esercizio 9 pag. 63 Esercizio.. pag. 66 Esercizio.. pag. 7 Esercizio.. pag. 74 Esercizio 3.. pag. 8 Esercizio 4.. pag. 8 Esercizio.. pag. 84 Esercizio 6.. pag. 89 Esercizio 7.. pag. 9 Problemi di adattamento e trasferimento di potenza per linee con perdita Esercizio pag. 96 Esercizio pag. 98 Esercizio 3 pag. Esercizio 4 pag. 3 Esercizio pag. I

3 RIASSUNTO In questo testo sono presentati alcuni esercizi relativi alle linee di trasmissione, ai problemi di adattamento e ai bilanci di potenza sia in linee prive di perdite sia in linee con perdite. Relativamente alle strutture trasmissive sono presenti problemi di dimensionamento nel rispetto di alcuni parametri e la valutazione degli stessi per strutture già definite. Le tipologie di linee con cui si ha a che fare sono: il cavo coassiale, la linea bifilare o circuiti equivalenti e la microstriscia. Per quanto riguarda i problemi il cui obbiettivo era quello di ottenere il massimo trasferimento di potenza da un generatore a un carico, sono stati effettuati adattamenti sia con l ausilio delle più note strutture adattanti (singolo stub, 6/4 e doppio stub) sia per mezzo dell inserimento di componenti puramente reattivi. Nei casi in cui ci si è trovati a operare con circuiti in cui il generatore presentava una impedenza interna non puramente reale, oltre a perseguire l obbiettivo di massimizzazione della potenza trasferita, le strutture sopraccitate sono state usate anche per ottenere assenza di riflessione. A livello di bilanci di potenza si sono affrontate problematiche di ripartizione della stessa tra carichi, problematiche di trasferimento e riflessione di potenza in presenza di discontinuità di impedenza e, nel caso di linee con perdita, anche di dissipazione della stessa. Nella risoluzione di molti esercizi si è utilizzato come strumento di base la nota carta di Smith la quale ha permesso l applicazione della legge di trasformazione delle impedenze con un mezzo semplice di natura grafica. II

4 INTRODUIONE Lo scopo del presente testo, frutto del lavoro di stesura di un elaborato di I livello svolto dagli autori, è quello di fornire uno strumento di sostegno per i futuri studenti di ingegneria che si troveranno ad affrontare il corso di ampi Elettromagnetici. Nella vastità degli argomentati trattati nel programma di tale corso, esso focalizza l'attenzione su una ristretta branca della materia in questione e, più specificatamente, sulle linee di trasmissione, sui problemi di adattamento e sui flussi di potenza. Le conoscenze propedeutiche alla comprensione degli esercizi (supposte note e per questo non dimostrate all'interno delle soluzioni) sono le teorie alla base della propagazione delle onde TEM o quasi-tem, il funzionamento della arta di Smith, i principali tipi di adattatori (singolo stub, 6/4 e doppio stub) e i fondamenti del bilanciamento di potenza in tutte le possibili condizioni di adattamento o disadattamento. Il testo è stato suddiviso in tre sezioni, come segue: Nella prima, "Linee di trasmissione", si trovano i concetti di dimensionamento e valutazione dei parametri intriseci (impedenza caratteristica, velocità di propagazione, costante di attenuazione, ) delle seguenti strutture trasmissive: cavo coassiale, microstriscia, linea bifilare e circuiti equivalenti. Nella seconda, "Problemi di adattamento e trasferimento di potenza per linee senza perdita", si introduce la condizione di adattamento auspicabile per il massimo trasferimento di potenza e si descrivono i vari metodi per ottenerla. Si incontrano inoltre le problematiche relative alla ripartizione della potenza su più carichi e alla divisione di essa in due componenti, una assorbita e una riflessa, in prossimità di una discontinuità. La terza," Problemi di adattamento e trasferimento di potenza per linee con perdita", riprende i concetti già visti nella sezione precedente ma li estende a linee con perdite, caratterizzate cioè da una costante di attenuazione che scaturisce dalla conducibilità finita dei conduttori. Nel testo sono inclusi problemi a diversi livelli, da semplici esercizi fino a sviluppi relativamente complessi. Gli esercizi sono stati selezionati dai temi d'esame degli anni passati in maniera tale da risolvere e sviluppare tutti i problemi, inerenti agli argomenti sopra riportati, cui gli studenti sono stati sottoposti nel corso degli anni passati. Si è inoltre cercato per quanto possibile di partire da considerazioni elementari dando immagini intuitive di molte tra le soluzioni degli esercizi trattati. ertamente la trattazione analitica è una guida più sicura e la via intuitiva non è sempre la più semplice, ma poi è più facile da memorizzare. Il testo è stato redatto ovviamente da chi ha anche sostenuto l'esame di ampi Elettromagnetici per cui eventuali errori sono da imputarsi esclusivamente agli autori del testo. Infine, benché gli esercizi risolti non siano particolarmente numerosi, si spera che il testo sia comunque di aiuto per la comprensione della materia. III

5 SEIONE LINEE DI TRASMISSIONE

6 Linee di trasmissione. ESERIIO r r r r 4 a. mm b 4 mm a b Data la linea coassiale in figura, calcolare: a) l impedenza caratteristica; b) la velocità di fase; c) la costante di attenuazione, in db/km dovuta alla conducibilità finita dei conduttori (. 7 S/m) alla frequenza di GHz. SOLUIONE a) Poiché tale linea coassiale può essere vista come il parallelo di due strutture, la prima contenente il dielettrico, la seconda contenente il dielettrico, la capacità totale della linea può essere ottenuta come somma delle singole capacità. La capacità del mezzo costituito dai ¾ della struttura del coassiale contenente il dielettrico è quindi data da: πε ε r 3 ln( b / a) pf / m Analogamente, la capacità della parte rimanente del coassiale è: πε ε r ln( b / a) pf / m

7 Linee di trasmissione. Per quanto detto in precedenza la capacità totale della struttura è: pf/m Per il calcolo dell induttanza non è necessario tenere conto della presenza del dielettrico poiché questa è indipendente da esso e quindi è pari a quella in aria. L µ ε µ ε ln( b / a) 94nH m πε / A questo punto è facile calcolare l impedenza caratteristica della linea attraverso il seguente rapporto: L. 3Ω b) La velocità di fase altro non è che la velocità di propagazione dell onda nella linea coassiale che è ottenibile dalle equazioni delle linee e risulta: 8 v.7 m / s L c) Sapendo che la resistenza per unità di lunghezza r è data da: r σδp + σδ π a b dove è la conducibilità finita del conduttore, p il perimetro della sezione nel conduttore interessata dal passaggio di corrente e / lo spessore di penetrazione dato da: δ. µ m ωσµ πfσµ si ottiene una resistenza per unità di lunghezza r.9 +/m. La costante di attenuazione dovuta alla conducibilità finita dei conduttori si trova ora da: α r c.6 3 Np / m db / Km 87.6dB / Km 3

8 Linee di trasmissione. ESERIIO Si calcolino i parametri (impedenza caratteristica) e v f (velocità di fase) della linea quasi-tem in figura (trascurando gli effetti di bordo). w w w 3 h mm ε r 4 ε r ε r 4 w mm w 3 mm w 3 mm SOLUIONE La struttura in figura può essere vista come il parallelo di 3 linee a piatti piani paralleli di larghezze rispettivamente w, w e w 3 e altezza h. Per questo motivo la sua capacità è data dalla somma delle singole capacità delle 3 linee che sono: w ε ε r h pf / m w ε ε r h 3. 8 pf / m w 3 3 ε ε r 3 h pf / m La capacità totale della struttura è quindi: TOT pf / 3 m Per calcolare l impedenza caratteristica della linea occorre conoscere anche il valore dell induttanza per unità di lunghezza che essendo indipendente dal dielettrico è pari a quella in aria. µ ε h L TOT L µ 39.39nH / m w + w + w onoscendo il valore della capacità e dell induttanza per unità di lunghezza si può facilmente calcolare l impedenza caratteristica della linea dalla seguente: 3 LTOT 6. 33Ω TOT Inoltre, la conoscenza di tali valori permette il calcolo immediato della velocità di fase della linea: v.8 8 m f / sec L TOT TOT 4

9 Linee di trasmissione. ESERIIO 3 mm 3mm d 8mm Data la linea bifilare in aria di figura, calcolare, con l'approssimazione dei conduttori sottili l'impedenza caratterstica. SOLUIONE Utilizzando l'approssimazione dei conduttori sottili si può scrivere che la capacità per unità di lunghezza è data dal rapporto fra la carica per unità di lunghezza e la differenza di potenziale tra i due fili. q V ρl πε d ρl ln + R R 4.8pF / m dove R + e R - sono i raggi del conduttori. onoscendo la capacità per unità di lunghezza è possibile calcolare l'impedenza caratteristica della linea attraverso il seguente rapporto: L L µ ε Ω avendo sfruttato il fatto che per un mezzo omogeneo in aria vale la seguente relazione: v L µ ε

10 Linee di trasmissione. ESERIIO 4 r r 3 b a Data la linea coassiale disomogenea di figura, adottando le ipotesi di linea quasi-tem, si calcolino (sapendo che a 4 mm, b. mm, r, r.): a) il valore dell angolo 3 per avere c +; b) la velocità di propagazione risultante. SOLUIONE a) La misura dell angolo 3 influisce solo sulla capacità del condensatore poiché il valore dell induttanza non è condizionato dal dielettrico. Sapendo che l impedenza caratteristica è data da L Ω quello che bisogna fare è dimensionare l angolo 3 in modo da rendere vera questa uguaglianza. La capacità di questo coassiale può essere vista come la capacità di due strutture in parallelo composte ognuna da una frazione del coassiale e contenenti dielettrici diversi. La capacità totale si ottiene quindi come: Essendo l induttanza pari a: πε + ln 36 ϑ + ( ) ϑ ε r ε r a / b 36 µ ε µ ε ln( a / b) L L 96.7nH / m πε 6

11 Linee di trasmissione. e sostituendo le relazioni di capacità e induttanza nella formula relativa all impedenza caratteristica è possibile esplicitare 3 come: b) L ln( b / a) ε r πε ϑ ε ε r r Una volta dimensionato 3, avendo già calcolato il valore dell induttanza, per calcolare la velocità di propagazione è sufficiente calcolare la capacità del coassiale e quindi utilizzare la formula: v L Risultando la capacità del condensatore pari a 78.4 pf/m, si ottiene una velocità di propagazione v.. 8 m/s. 7

12 Linee di trasmissione. ESERIIO h cm d cm h cm Data la linea di trasmissione mostrata in figura, si determini l impedenza caratteristica con l approssimazione dei conduttori sottili. SOLUIONE L impedenza caratteristica di una generica linea può essere calcolata mediante: L dove L e sono rispettivamente l induttanza e la capacità per unità di lunghezza. Per la struttura in figura, ossia un cavo conduttore con piani a massa, utilizzando l approssimazione dei conduttori sottili la capacità per unità di lunghezza risulta da è in generale: ln r πε ( h r) ( H r) ( H + h r) dove con r si indica il raggio del cavo e con H e h le distanze di esso dai piani conduttori. Nel caso in esame la relazione sopraccitata si traduce nella seguente: πε.4 pf / m d h ln d d h 8

13 Linee di trasmissione. Invece, l induttanza per unità di lunghezza è relazionata alla capacità in aria, che in questo caso coincide con quella della struttura, dalla relazione: L µ ε µ ε 6.3nH m / Sostituendo le espressioni trovate nella relazione dell impedenza caratteristica si ottiene: c L µ ε 4. 8Ω 9

14 Linee di trasmissione. ESERIIO 6 w h r h 4 mm r 9 w mm Della linea a striscia mostrata in figura (sezione trasversale), trascurando gli effetti di bordo, valutare: a) l'impedenza caratteristica e la costante di fase; b) la costante di attenuazione in db/m dovuta sia ai conduttori; (conducibilità c. 7 S/m) che al dielettrico ( d -4 S/m) per f MHz. SOLUIONE a) L'impedenza caratteristica di una linea può essere trovata come: L dove L e sono rispettivamente l'impedenza e la capacità della linea per unità di lunghezza. Nel caso della striscia in esame l'induttanza e la capacità si trovano rispettivamente come: w h 7 ε ε r 99.pF / m L µ.6 H / m h w Sostituendo si ottiene:.3 + La costante di fase si ottiene dalla seguente: β ω L 6.8rad / m dove Χ &f è la pulsazione a frequenza MHz. b) L'attenuazione dovuta ai conduttore è: α c r dove r è la resistenza per unità di lunghezza.

15 Linee di trasmissione. Siccome il conduttore è costituito dalle due lamine racchiudenti il dielettrico la sua resistenza per unità di lunghezza r può essere trovata come il doppio della resistenza di una sola lamina. Una volta calcolato lo spessore di penetrazione / δ 7. µ m ωµσ la resistenza per unità di lunghezza si trova come: c r σ δ w c.68ω / m dove w è la misura del perimetro della sezione del conduttore. Sostituendo nella sopraccitata si ottiene:, c Np/m. Occorre convertire l'attenuazione specifica da Np/m a db/m e, dato che Np/m corrisponde a db si ha: L'attenuazione dovuta al dielettrico è:, c db/m.48 db/m α d g Y c dove Y c è l'ammettenza caratteristica della linea e g è l'ammettenza per unità di lunghezza data da: AreaSezione w g σ d σ d. 4 S / m h h Dunque risulta, d Np/m.4 db/m

16 Linee di trasmissione. ESERIIO 7 a mm b 4. mm a b Data la linea coassiale in figura, calcolare: a) le impedenze caratteristiche per r e per r.; b) le costanti di attenuazione corrispondenti in db/m a causa della conducibilità finita dei conduttori ( c. 7 S/m) alla frequenza di GHz. SOLUIONE a) L impedenza caratteristica della linea in esame si può trovare dal seguente rapporto: c L L L ε µ ε r dove L e sono rispettivamente l induttanza e la capacità per unità di lunghezza e avendo sfruttato la seguente relazione che vale per mezzi omogenei in aria (con L e sono indicate l induttanza e la capacità in aria): L µ ε Ovviamente nella relazione usata per trovare la permeabilità magnetica del mezzo è pari a quella in aria quindi l induttanza non viene influenzata dal mezzo. Dato che la capacità di un cavo coassiale si ottiene come: πε b ln a sostituendo ed eseguendo i conti nei due casi si ottengono i seguenti risultati: ) r 68.6 pf/m ) r. 7. pf/m b)

17 Linee di trasmissione. La costante di attenuazione dovuta alla conducibilità finita dei conduttori si trova da: r α Bisogna quindi calcolare la resistenza per unità di lunghezza r che in generale è data da: r σ δp c + σ δ π a b c dove c è la conducibilità finita del conduttore, p il perimetro della sezione nel conduttore interessata dal passaggio di corrente e / lo spessore di penetrazione. alcolando lo spessore di penetrazione nel seguente modo: δ. µ m ωσ µ πfσ µ c e sostituendolo nella precedente si ottiene una resistenza per unità di lunghezza r. +/m. L attenuazione dipende però dall impedenza caratteristica della linea ed è quindi diversa nei due casi: ) r,.. -3 Np/m db/m.9 db/m ) r,, Np/m db/m.44 db/m c 3

18 Linee di trasmissione. ESERIIO 8 l r r l l h Per la linea di trasmissione in figura, facendo opportune approssimazioni, si calcoli l'impedenza caratteristica ( r, h, r, r, l) SOLUIONE L'impedenza caratteristica è ricavabile dalla seguente: l L Ai fini del calcolo dell'impedenza caratteristica questa linea di trasmissione può essere vista come composta da strutture indipendenti disposte in parallelo. La capacità totale è, quindi, data dalla somma delle singole capacità delle strutture costituenti, ossia un coassiale e una microstriscia. La capacità del coassiale (formato dai 4 spezzoni di coassiale aventi rapporto tra i raggi r /r ) si trova come segue: πε πε coassiale 8.6 pf / m r r ln ln r r dove l'ultima uguaglianza è possibile essendo la struttura in aria ( r ). La capacità dell'insieme dei tratti di linea piatta è, invece, data da: w 4l microstris cia ε ε 7.83pF / m h h dove w e h sono rispettivamente la larghezza e l altezza della microstriscia. 4

19 Linee di trasmissione. La capacità totale è dunque: coassiale + microstriscia.9pf/m Per il calcolo dell'induttanza bisogna ricordare che questa non dipende dal mezzo dielettrico in cui è immersa la linea ed è dunque sempre uguale all'induttanza calcolata in aria, da cui: µ ε L L 73.64nH / m Sostituendo i valori di induttanza e capacità appena trovati nella formula sopra citata si ottiene un valore dell'impedenza caratteristica della linea pari a.8 +

20 Linee di trasmissione. ESERIIO 9 a 3 mm b mm r 4 a b Per la linea di trasmissione la cui sezione trasversale è mostrata in figura, la conducibilità finita dei conduttori è pari a.. 7 S/m. alcolare l attenuazione introdotta da un tratto di linea lungo m alla frequenza di lavoro f GHz. SOLUIONE L attenuazione per unità di lunghezza di una generica linea di trasmissione può essere ottenuta dalla seguente: r α dove r è la resistenza per unità di lunghezza e l impedenza caratteristica della linea. Poiché queste due grandezze sono incognite il problema si riduce nel trovare il loro valore. Per calcolare l impedenza caratteristica della linea occorre calcolare dapprima la capacità per unità di lunghezza di questa che è facilmente ottenibile osservando che la linea di trasmissione in figura è pari a /4 di coassiale. πε ε r 4 b ln( ) a 8.9 pf / m Il valore di è legato anche all induttanza per unità di lunghezza che è pari a quella in aria poiché indipendente dal dielettrico presente ed è quindi data da: µ ε 4µ b L L ln( ) 48nH / m π a 6

21 Linee di trasmissione. A questo punto è possibile valutare l impedenza caratteristica della linea dalla seguente: L 6. Ω La resistenza per unità di lunghezza della linea è invece data da: r.9ω / m σδ p dove / è lo spessore di penetrazione ottenibile come: δ 4. µ m ωδµ πfδµ e dove p è la misura del perimetro della sezione del conduttore che nel caso specifico risulta: πa πb p +. 7mm 4 4 onoscendo ora i valori della resistenza per unità di lunghezza e dell impedenza caratteristica della linea è possibile ottenere l attenuazione per unità di lunghezza per mezzo della relazione inizialmente citata. α r.4 3 Np / m L attenuazione introdotta da un tratto di lunghezza di l m è semplicemente: A α l.4 Np 7

22 Linee di trasmissione. ESERIIO w h r w 8 mm h 6 mm r 3. Della linea a striscia la cui sezione trasversa è mostrata in figura, calcolare, trascurando gli effetti di bordo: a) l'impedenza caratteristica ; b) le potenze per unità di lunghezza dissipate nei conduttori ( c.. 7 S/m) e nel dielettrico ( d. -4 S/m) per un'onda con V + V e f GHz. SOLUIONE a) L'impedenza caratteristica di una linea può essere trovata come: L dove L e sono rispettivamente l'impedenza e la capacità della linea. Nel caso della striscia in esame l'induttanza e la capacità si trovano rispettivamente come: w h ε ε r 9.97 pf / m L µ 48.88nH / m h w Sostituendo si ottiene: b) Si calcola anzitutto la resistenza per unità di lunghezza dei conduttori come: r RS.4Ω / m w dove R S è la resistenza superficiale dei conduttori ed è data da R S π fµ.9 + σ 8

23 Linee di trasmissione. Essendo noto il modulo del fasore dell'onda diretta si può facilmente calcolare la potenza associata all'onda progressiva e da questa la corrente che scorre sui conduttori della linea. + V + + P 4.66W I I 39mA Dunque, la potenza dissipata nei conduttori è data dalla seguente relazione: PdissOND I MAX r 4.mW / m dove I MAX I + poiché, essendo il carico adattato, la tensione dell onda diretta è la massima presente nella linea. Per il calcolo della potenza dissipata nel dielettrico si deve per prima cosa ricavarne la conduttanza che nel caso in esame vale: w g σ d 4 S / m h La corrente che fluisce nel dielettrico non è una corrente di conduzione ed è diversa quindi dalla I + trovata per i conduttori. Tuttavia, osservando che il modulo del fasore dell'onda diretta è a tutti gli effetti la tensione ai capi del dielettrico, si ricava la potenza in esso dissipata per unità di lunghezza come segue: P dissdiel g V.469W / m 9

24 Linee di trasmissione. ESERIIO a cm b 4 cm c 6 cm a b c Data la linea coassiale in figura, adottando l ipotesi di una linea quasi TEM, calcolare: a) l impedenza caratteristica ; b) il valore massimo H MAX del campo magnetico, indicandone la posizione, per un onda di potenza P W. SOLUIONE a) La struttura in figura è equivalente a due coassiali in serie. Pertanto la sua capacità è data da: TOT + alcolando quindi le capacità dei singoli coassiali πε 4πε 6.pF m ln( b / a) ln( b / a) / πε πε 37. pf m ln( c / b) ln( c / b) / e sostituendo si ottiene TOT 74 pf/m.

25 Linee di trasmissione. Per il calcolo dell induttanza si può considerare la struttura come un unico coassiale perché il suo valore è pari a quello in aria in quanto indipendente dal dielettrico ivi presente. Dunque L µ ε µ ε ln( c / a) 9.6nH m πε / A questo punto è possibile calcolare l impedenza caratteristica della struttura. L 4. Ω TOT b) Siccome la potenza è data da P VMAX I MAX I MAX 66mA onoscendo il valore della corrente massima è possibile, mediante la nota Legge di Ampere, calcolare il valore massimo del campo magnetico: π a H MAX I MAX H MAX 4.8A / m La posizione del massimo del campo magnetico è naturalmente in prossimità del conduttore più interno poiché è inversamente proporzionale alla distanza dall asse del coassiale.

26 Linee di trasmissione. ESERIIO Si desidera determinare la costante dielettrica di un liquido mediante una misura di coefficiente di riflessione. A tale scopo si riempie parzialmente un cavo coassiale con il liquido citato e si misura nel tratto in aria V MAX mv, V MIN.6 mv. All'estremo opposto a quello di misura, il coassiale è terminato su un carico assorbente che può essere visto come un carico adattato a qualsiasi impedenza caratteristica (quindi anche a quella del tratto di coassiale con il liquido). Ricavare la r del liquido dai dati del problema. aria liquido carico adattato! r SOLUIONE Dai dati del problema si può immediatamente ricavare il Rapporto d'onda Stazionaria che, per definizione, consiste nel rapporto tra il massimo e il minimo dell'inviluppo della tensione totale sulla linea: VMAX ROS V onoscendo il valore del ROS e sviluppando la relazione appena riportata si ottiene il coefficiente di riflessione laddove si effettua la misura: MIN ROS V V MAX MIN V V + + ( + Γ ) ( Γ ) Γ ROS.4 ROS + dove tale coefficiente è riferito all'impedenza caratteristica della linea in aria. Sulla arta di Smith al valore!.4 corrispondono solo due punti che rendono la linea a comportamento reale. Essi sono z.3 e z Tra i punti di impedenza appena trovati, si sceglie z poiché z renderebbe il valore di r minore dell'unità, il che è impossibile dato che significherebbe che nel liquido la luce viaggia più velocemente che nel vuoto!

27 Linee di trasmissione. 3 L'impedenza caratteristica per una linea coassiale è data dalla seguente formula log log r r r r r π ε η π η dove è l impedenza intrinseca del mezzo, r il raggio esterno e r quello interno. Il Rapporto d Onda Stazionaria risulta da: ROS e quindi si può concludere che la costante dielettrica relativa r nel liquido si trova dal seguente rapporto: r r z z ε ε

28 Linee di trasmissione. ESERIIO 3 Sia data una linea coassiale avente i diametri dei conduttori a mm e b. mm, riempita da dielettrico con r 3. Supponendo la linea adattata e connessa a un generatore di tensione a frequenza f con V g V, calcolare: a) il valore massimo del campo elettrico lungo la linea; b) la corrente che vi fluisce SOLUIONE a) Il campo elettrico generato dal coassiale è radiale ed è dato da: E r Q ar πε ε r r dove Q è la carica lineare sulla superficie del conduttore, è la costante dielettrica del vuoto, r è la costante dielettrica relativa del mezzo interposto tra i due conduttori, r è la distanza dall asse del coassiale e ar è il versore radiale. Sapendo che campo elettrico e potenziale sono legati dall operatore gradiente come: E r V si può ricavare l espressione del potenziale integrando tra i due raggi nell unica coordinata da cui il campo elettrico ha una dipendenza (il raggio): V b Er dr a a Q a πε ε r Q dr πε r b r ε r a ln b Esplicitando la carica rispetto al potenziale e sostituendola nella relazione del campo elettrico si ottiene: V E r a r ln b Per trovare il valore massimo del campo elettrico bisogna conoscere il valore massimo del potenziale che, essendo la linea adattata al generatore, coincide col modulo del fasore dell onda diretta: V + g VMAX V V 4

29 Linee di trasmissione. Siccome il campo elettrico è massimo sulla superficie del conduttore interno, conoscendo il valore massimo della tensione si ottiene: b) VMAX EMAX 88V / m a b ln b Per calcolare il modulo della corrente che fluisce nella linea bisogna conoscere anzitutto il valore dell impedenza caratteristica di questa che si trova come: L µ ε µ a ln 48Ω 4π ε ε b r A questo punto, il modulo della corrente massima si trova semplicemente da: I V MAX MAX 4 ma

30 Linee di trasmissione. ESERIIO 4 I + a b a. mm b mm / mm / / Data la linea bifilare in aria in figura, calcolare: a) l impedenza caratteristica (approssimazione dei conduttori sottili) e la velocità di propagazione; + b) il campo E nel punto medio P della congiungente gli assi, associato ad un onda entrante nel foglio con I + ma. SOLUIONE a) Per il calcolo dell impedenza caratteristica della linea è necessario calcolare dapprima la capacità per unità di lunghezza che, utilizzando l approssimazione dei conduttori sottili, è: πε.pf / m δ ln( ) a b onoscendo la capacità è possibile calcolare il valore dell induttanza per unità di lunghezza che è legato a questa da: µ ε L L.9µ H / m dove la prima uguaglianza sta ad indicare che il valore dell induttanza è sempre pari a quello in aria indipendentemente dal dielettrico e dove indica la capacità per unità di lunghezza in aria che in questo caso coincide con la capacità reale della linea. on i valori sopra trovati si può ricavare l impedenza caratteristica della linea dalla seguente: L 37. 6Ω 6

31 Linee di trasmissione. Per quanto riguarda la velocità di propagazione, essendo il mezzo in aria, si vede immediatamente che essa è pari alla velocità della luce. b) 8 v 3 m / s µ ε In condizioni di adattamento sulla linea si propaga solo un onda progressiva perciò la conoscenza del fasore della corrente trasportata da questa (I + ) e dell impedenza caratteristica ( ) permette di calcolare anche il fasore della tensione. V + I V Il valore del fasore dell onda diretta, che in condizioni di adattamento coincide con una costante pari a V +, rappresenta anche il potenziale sulla linea. Sapendo l espressione del potenziale generato da una linea bifilare è possibile ricavare la carica nella sezione della linea: V + Q πε δ ln( ) a b πε Q V δ ln( ) a b Sostituendo a questo punto l espressione della carica trovata nell espressione del campo elettrico valutato nel punto di interesse P si trova il suo valore: Q E( P) ax kV / m πε δ dove il fattore presente al numeratore è dovuto al fatto che i due fili generano campi concordi poiché le cariche su di essi sono uguali e contrarie e il / a denominatore rappresenta la distanza del punto P dai fili. Il versore indica che il campo elettrico ha direzione radiale dal filo di raggio a, in cui entra il fasore dell onda diretta, al filo di raggio b. 7

32 Linee di trasmissione. ESERIIO a mm b 4. mm a b Data la linea coassiale in figura, calcolare: a) la potenza associata all'onda progressiva per cui il campo elettrico massimo è pari a 3 KV/cm; b) la corrispondente potenza dissipata per unità di lunghezza a causa della conducibilità finita dei conduttori (. 7 S/m) alla frequenza di GHz. SOLUIONE a) Anzitutto si calcola l'impedenza caratteristica della linea in esame. Essa è data dal seguente rapporto: L L µ ε dove l'ultima uguaglianza è consentita essendo la linea immersa nel vuoto. Il valore della capacità per unità di lunghezza si trova dalla seguente relazione: πε πε 68. pf b b 6 ln ln a a da cui Per il calcolo della potenza associata all'onda progressiva bisogna ora conoscere la massima tensione applicabile. 8

33 Linee di trasmissione. Il campo elettrico per una linea coassiale è dato da: ρ E( r) ρ πε r a r dove < è la carica superficiale per unità di lunghezza ed r la distanza assiale. La funzione potenziale si trova come V Φ A Φ B E r) dr B A B ( A ρ ρ b πε V dr ln ρ πε r a b πε ln a Ora sfruttando l'ultima relazione e sostituendola in quella del campo elettrico si ottiene: E( r) πε V b πε r ln a V b ln a r Il campo elettrico è massimo per r a (come si può notare analiticamente dalla formula appena sopra riportata) ossia alla superficie del conduttore più interno e poiché esso vale la massima tensione applicabile è pari a: E(r) ra 3 KV/cm 3 MV/m b V MAX E( r) ln a 4866V a A questo punto è immediato trovare la potenza associata all'onda progressiva in corrispondenza del massimo campo elettrico come segue: b) P MAX MAX V Anzitutto osservo che in corrispondenza della massima potenza si ha anche la massima corrente che risulta pari a: P I KW P MAX MAX I MAX MAX Per il calcolo delle perdite si possono pensare i conduttori assimilabili a conduttori piani di lunghezza ;r. A 9

34 Linee di trasmissione. Essendo la resistenza superficiale data da: R S µπf σ Ω le resistenze per unità di lunghezza dei conduttori e sono rispettivamente R RS R.77Ω / m e R.34Ω πa πb S / Le potenze dissipate sui due conduttori sono rispettivamente per il conduttore più interno e più esterno: P LOSS I MAX R 3.KW / m P LOSS I MAX R.7KW / m Dunque, la potenza dissipata per unità di lunghezza a causa della conducibilità finita dei conduttori è P LOSS P LOSS + P LOSS.7 KW/m m 3

35 Linee di trasmissione. ESERIIO 6 l A l 3 B B' L l. m l.67 m l 3 m + f MHz B' A B l Dato il circuito di figura, sapendo che nella sezione A-A si trova il massimo della tensione e che il valore del ROS lungo la linea è pari a 3, determinare il valore dell'impedenza del carico L in termini di resistenza e induttanza (o capacità). Tutte le linee di trasmissione sono realizzate con dielettrico in "aria". SOLUIONE Sapendo che il modulo del fasore della tensione in una qualunque sezione della linea si trova come: V ( z) V + + Γ( z) ed essendo V + costante una volta fissate le condizioni al contorno per le linee senza perdite e condizionante solo l'ampiezza di V(z), il fatto che alla sezione A-A è presente un massimo di tensione altro non significa che in tale sezione il coefficiente di trasmissione è massimo e coincide con: T ( z) + Γ( z) + Γ L In altre parole, come si può notare nella figura sotto riportata il coefficiente di trasmissione è massimo quando è puramente reale e positivo, e cioè quando è puramente reale il coefficiente di riflessione nel piano di Gauss. Im! L +! L massimo Re + Γ L e [ jβ ( L z )] 3

36 Linee di trasmissione. A questo punto è possibile calcolare l'impedenza del carico vista alla sezione A-A come il rapporto, in tale sezione, fra i fasori di tensione e corrente AA V ( z) I( ) V I + + e e jβ jβz ( + Γ( z) ) ( Γ( z) ) + Γ( z) Γ( z) + Γ Γ L L ROS Ω dove le ultime uguaglianze sono consentite avendo appurato che alla sezione A-A il coefficiente di trasmissione è puramente reale e dove! L si può ricavare invertendo la definizione di Rapporto d'onda Stazionaria. Dato che la linea in figura è costituita da uno stub parallelo in corto circuito, si utilizza la arta di Smith delle ammettenze. In questo modo la soluzione dell'esercizio consiste nel muoversi dal punto y AA in senso antiorario e a modulo costante per i tratti di linea l 3 e l e tenendo conto del contributo del tratto l dello stub sulla parte immaginaria dell'ammettenza. Per prima cosa si ricava l'ammettenza normalizzata alla sezione A-A e, dopo aver calcolato la lunghezza d'onda della linea in esame, si convertono le lunghezze fisiche dei tratti di linea e dello stub in lunghezze normalizzate in modo da poter operare sulla arta di Smith. y AA / AA c/f 3 m l l /6.3 l l /6.3 l 3 l 3 /6.333 Ruotando a modulo costante e in senso antiorario dal punto y AA per un tratto di linea di lunghezza normalizzata l 3 si arriva alla sezione B-B nel punto di ammettenza normalizzata y BB (+j.) (fig. 6.). Il tratto di stub l corrisponde ad un movimento sulla arta di Smith dal cortocircuito della carta delle ammettenze al punto y STUB -j.7. Dunque risulta y B B (+j.37). Infine, per arrivare alla sezione del carico ci si muove in senso antiorario e a modulo costante a partire da y B B per un tratto di linea l e si incontra il punto y (.-j.37) che è l'ammettenza del carico L (fig.6.). Dunque, il valore dell'impedenza del carico L risulta pari a L ( 7.8+ j. 9)Ω y 3

37 Linee di trasmissione. Y BB.+.4i S y BB.+.i Im[Γ] y AA.333 Y AA.67 S.8..6 y BB y AA. Re[Γ] fig. 6. Movimento corrispondente al tratto l 3. Y L.-.8i S y L.-.4i Im[Γ] y B B.+.37i.8 Y B B.+.7i y B B Re[Γ] y L fig. 6. Movimento corrispondente al tratto l. 33

38 SEIONE PROBLEMI DI ADATTAMENTO E TRASFERIMENTO DI POTENA PER LINEE SENA PERDITE 34

39 ESERIIO Si consideri la rete di adattamento in figura, costituita interamente da linee coassiali con rapporto tra i diametri pari a.3. a) Si valutino i parametri del trasformatore in λ/4 (ε rx ed eventuale lunghezza l del tratto di neutralizzazione) per ottenere l adattamento. b) Si calcolino le lunghezze fisiche della rete (l AB e l B l) per f 3 MHz. c) Si calcoli il modulo della tensione alle sezioni A-A, B-B e - per P d W (potenza disponibile). λ/4 l ε r ε rx? ε r L + j Ω A B SOLUIONE a) Nei tratti di linea dove la costante dielettrica relativa ha valore unitario il coassiale è in aria e la sua impedenza caratteristica assume valore pari a: L µ ε µ ln( b / a) Ω ε π Il valore del carico è complesso e dato che l adattatore in 6/4 è in grado di adattare solo carichi puramente resistivi il tratto di linea l funge da neutralizzatore ossia ha lo scopo di rendere il contributo del carico alla sezione B-B reale. Partendo sulla carta di Smith dal punto z L L / (+j) si ruota sino a raggiungere l intersezione con l asse delle impedenze puramente reali. on una lunghezza normalizzata l.36 si arriva alla sezione B-B con impedenza normalizzata z BB.6, cioè BB z BB Per effettuare l adattamento alla sezione A-A bisogna quindi dimensionare l impedenza caratteristica x del tratto di linea in 6/4. L adattamento sussiste se tale valore coincide con la media geometrica delle impedenze della linea a sinistra e del carico visto a destra BB. x 8. 6Ω BB Dovendo assumere tale valore di impedenza il coassiale tra le sezioni A-A e B-B deve avere una costante dielettrica relativa di valore: 3

40 ε rx x.38 Poiché essa è minore di, valore non ammissibile, bisogna ripetere i conti dall inizio, ma piuttosto che fermarsi alla prima intersezione con l asse reale si deve raggiungere la seconda che ovviamente dista 6/4 dalla prima. Prendendo l.86 si arriva alla sezione B-B nel punto z BB.38, cioè BB z BB. 9 + (fig..). Ripetendo i conti precedenti si ottengono dei valori per l impedenza caratteristica dell adattatore e per la sua costante dielettrica relativa rispettivamente pari a: b) x ε 3. 8Ω rx BB x.64 Facendo lavorare la linea a una frequenza di 3 MHz si ha una lunghezza d onda di: c λ m f dove c è la velocità di propagazione nel vuoto ossia la velocità della luce. onoscendo 6 è ora possibile denormalizzare le lunghezze l AB e l B l B l l cm c) l λ ε r x AB λ / cm Alla sezione A-A, essendoci adattamento, si ha una impedenza uguale a quella del generatore e quindi la tensione da questo erogata si ripartisce in parti uguali tra di queste. onoscendo la potenza P d del generatore si può facilmente calcolare il modulo della tensione da questo fornita. [ ] 63. V Vg 8 Pd Re g Da qui si ricava poi il modulo della tensione alla sezione A-A: V Vg 3. AA 63 V 36

41 Sia alla sezione - sia alla sezione B-B si ha una potenza pari a quella disponibile al generatore poiché si è in condizioni di adattamento. onoscendo la potenza si è in grado di risalire facilmente al modulo delle tensioni in tali sezioni. P P P V d d BB BB Re VBB 9. 49V BB Re[ YBB ] P P P V d d z Re V V c c Re[ Yc ] L +i Ω z L.+.i Im[Γ] z BB.38-.i BB 9-i Ω z L. -.. z. BB Re[Γ] fig... Movimento corrispondente al tratto di linea l. 37

42 ESERIIO l A B R g + R g + (-j) + V V V f 3 MHz A l B Dato il circuito in figura, determinare: a) l e l (linee in aria) in modo da avere nella sezione A-A adattamento al generatore; b) la potenza reale trasferita al carico nelle condizioni di adattamento del punto a); c) la posizione e il valore dei massimi del modulo della tensione nel circuito di adattamento. SOLUIONE a) Dovendo effettuare l'adattamento con un stub parallelo in corto circuito si utilizza la carta di Smith delle ammettenze e, quindi, per prima cosa si calcolano le ammettenze normalizzate all ammettenza caratteristica della linea. z L -j3 da cui y L /z L.4+j.3 z g da cui y g. La condizione di adattamento consiste nel vedere alla sezione A-A un'ammettenza del carico pari al complesso coniugato dell'ammettenza del generatore. Dato che l'ammettenza del generatore è reale allora la condizione di adattamento corrisponde ad avere una y AA.. Il tratto di linea l serve per adattare la parte reale poiché lo stub parallelo può solo portare una variazione della parte immaginaria dell'ammettenza. Per questi motivi alla sezione A -A (sezione appena a destra dello stub) dobbiamo vedere un'ammettenza y A A.+jx. Partendo quindi sulla carta di Smith dal punto di ammettenza y L si ruota a modulo di! costante in senso orario di una lunghezza l necessaria ad arrivare al punto di intersezione con la circonferenza di parte reale uguale a.. Inserendo un tratto di linea di lunghezza l. si arriva all'ammettenza y A A.+j.4 (fig..). Essendo 6 c/f m, la lunghezza fisica del tratto di linea è l cm. 38

43 A questo punto, per completare l'adattamento, bisogna dimensionare la lunghezza dello stub in modo che la sua ammettenza compensi la parte immaginaria di y A A. y STUB y AA y A A j.4 Per avere una tale ammettenza bisogna partire dal punto rappresentante il cortocircuito e ruotare a modulo unitario in senso orario fino al punto di intersezione con la curva a parte immaginaria -j.4. Si ottiene una lunghezza normalizzata l.99 corrispondente a una lunghezza fisica l pari a 9.9 cm (fig..) b) In condizioni di adattamento la potenza trasferita al carico è uguale alla potenza disponibile. c) V PL Pd. W 8 R g La tensione in una qualsiasi sezione z della linea si trova dalla seguente: + V ( z) V + Γ( z) Siccome V + è costante, i massimi si trovano in corrispondenza dei massimi del coefficiente di trasmissione +!(z). Tali massimi vanno trovati lavorando però con la carta delle impedenze. Su tale carta, il coefficiente di trasmissione è massimo nei punti più lontani dal punto (,) che rappresenta il corto circuito. Nella linea in esame si trovano due soli massimi in corrispondenza della sezione del carico (fig..3) e della sezione A-A (massimo sullo stub) (fig..4). Poiché in tali punti le potenze sono note, i valori delle tensioni possono essere facilmente trovati con considerazioni energetiche e senza dover analizzare il valore del coefficiente di riflessione. Alla sezione A-A la potenza è: P AA P d VAA Re [ Y ] AA da cui si ottiene V AA V (risulta ovvio poiché a causa dell adattamento sulla linea si propaga la sola onda diretta). Allo stesso modo si ha alla sezione B-B e quindi sul carico: P L P d VBB Re [ Y ] L da cui V BB 9. V 39

44 Y L.3+.i S y L.4+.3i Im[Γ] y A A.+.4i.8 Y A A.+.3i S. y A A.6.4. y L Re[Γ] fig.. Movimento corrispondente al tratto di linea l. y STUB -.-.4i Y STUB -.-.3i S Im[Γ] y Re[Γ] y STUB fig.. Movimento corrispondente al tratto di stub l. 4

45 L -i Ω z L.-3.i Im[Γ] z A A.-.64i A A -3i Ω.8. T(L) z L Re[Γ] z A A fig..3 Massimo del coeff. di trasmissione sulla linea visualizzato sulla carta delle impedenze. z STUB -.+.7i STUB -+36i Ω T(A-A).6.8. Im[Γ] z STUB z.. Re[Γ] fig..4 Massimo del coeff. di trasmissione sullo stub visualizzato sulla carta delle impedenze. 4

46 ESERIIO 3 A B g L g + + L (+j7) + V g l s l a Si progetti la rete di adattamento stub serie in corto-circuito in figura alla frequenza di 6 MHz e utilizzando tratti di linea con impedenza caratteristica a + ( r ovunque). Si determinino inoltre la posizione dei massimi del modulo della tensione sul tratto di linea e sullo stub della rete adattante. SOLUIONE Poiché g è reale, l adattamento alla sezione A-A si ha imponendo: AA g, che si traduce nell imporre z AA dato che z g g / Siccome z L (+j.) per adattare si deve dimensionare il tratto di linea l a in modo da avere una z BB (+jx). Per far ciò si parte dal punto z L sulla arta di Smith e ruotando in senso orario si arriva fino ad intersecare la circonferenza avente parte reale uguale a. on un tratto di linea di lunghezza l.3, quindi di lunghezza fisica l l. 6.4 cm, si arriva alla sezione B-B con impedenza z BB (+j.87) (fig. 3.) Si noti che nel calcolo della lunghezza fisica si è utilizzata una lunghezza d onda 6 ottenuta come: c λ.336 m f ε A questo punto, per avere adattamento alla sezione A-A, bisogna dimensionare la lunghezza dello stub in modo che questo abbia impedenza: r z STUB z AA z BB j.87 Partendo dal punto (,) (cortocircuito sulla carta delle impedenze) si ruota in senso orario fino a raggiungere il punto a impedenza z STUB. on una lunghezza l s.38, cioè una lunghezza fisica l s l. 6.6 cm, si è dimensionato lo stub (fig. 3.). 4

47 Per determinare la posizione dei massimi bisogna ricordare che la tensione in una qualsiasi sezione della linea può essere ricavata mediante: V + ( z) V + Γ( z) dove V + è il modulo della tensione dell onda diretta che essendo costante non influisce sulla posizione dei massimi. La ricerca si limita quindi a valutare dove è massimo il modulo del coefficiente di trasmissione che sulla arta di Smith equivale alla distanza dal punto (,) al punto di impedenza considerato. Si vede che i massimi si trovano alla sezione B-B per la linea e ad una distanza normalizzata pari a l MAX. dal cortocircuito dello stub. L +7i Ω z L.+.i Im[Γ] z BB.+.87i.8 BB.+93.i Ω..6 z L.4. z BB Re[Γ] fig. 3. Movimento corrispondente al tratto l a. 43

48 z STUB.-.87i.-93.6i STUB Ω Im[Γ] z.. Re[Γ] z STUB fig. 3. Movimento corrispondente al tratto l s. 44

49 ESERIIO 4 Un carico di impedenza L 3-j7 Ω deve essere connesso ad una linea di trasmissione di impedenza caratteristica Ω. Si chiede di progettare una rete di adattamento con stub in corto circuito connesso in parallelo (fig.a) ed una rete di adattamento con trasformatore λ/4 (fig.b), sapendo che il circuito funzionerà a MHz. Si chiede poi di determinare quale delle due reti dia il ROS minore nel caso che vengano fatte funzionare a MHz. A B A l d l N l s A B A SOLUIONE alcoliamo anzitutto la lunghezza d onda della linea poiché essa servirà in tutta la trattazione seguente. Adattamento con stub parallelo in cortocircuito 6 c/f 3 m Dovendo lavorare con uno stub in parallelo per prima cosa si trova l ammettenza normalizzata del carico rispetto alla linea: y L / L (.86+j.7) La condizione di adattamento consiste nel dimensionare le lunghezze della linea e dello stub in modo da portare il carico nell origine della arta di Smith che coincide con l avere alla sezione A-A un ammettenza del carico uguale a quella della linea. Per prima cosa si dimensiona la lunghezza l d per adattare la parte reale del carico. Dovendo arrivare subito a destra della sezione A-A con un ammettenza pari a y A A (+jx), tale lunghezza si trova dalla arta di Smith partendo dal punto y L e ruotando sino all intersezione con la circonferenza a parte reale unitaria (rotazione in senso orario perché ci si allontana dal carico). Si misura l d.94 pari a una lunghezza fisica l d 8.3 cm cui corrisponde un ammettenza normalizzata y A A (+j.7) (fig. 4.). A questo punto bisogna dimensionare la lunghezza dello stub in modo che la sua ammettenza compensi la parte immaginaria di y A A. Dovendo essere y STUB -j.7, partendo dal cortocircuito sulla arta di Smith (y ), si trova che la sua lunghezza risulta essere l s.84 cui corrisponde una lunghezza fisica l s. cm (fig. 4.). 4

50 Se si cambia la frequenza di lavoro, quello che cambia è la lunghezza d onda e quindi i movimenti sulla arta di Smith. on una frequenza f MHz, quindi una lunghezza d onda 6. m, le lunghezze fisiche dimensionate risultano corrispondere a: l d l d / 6.3 l s l s / 6. onoscendo le nuove lunghezze normalizzate è possibile calcolare ora la nuova ammettenza alla sezione A-A necessaria per valutare il Rapporto d Onda Stazionaria (ROS). Utilizzando i nuovi valori di l d e l s si trovano la nuova y A A (.6+j.6) (fig. 4.3) e la nuova y STUB -j.3 (fig. 4.4) dalle quali segue che l ammettenza alla sezione A-A non eguaglia più quella del generatore ed è data dalla somma delle precedenti: y AA (.6+j.7). Poiché per la valutazione del ROS è necessario conoscere il coefficiente di riflessione alla sezione A-A dobbiamo denormalizzare e invertire l ammettenza in tal punto per trovarne l impedenza. AA /y AA (6.+j.8). Si calcola a questo punto il suddetto coefficiente di riflessione: Γ AA AA AA +.34 Si può quindi valutare il ROS come segue: + Γ ROS Γ AA AA.3 Adattamento con trasformatore in λ/4 Poiché l impedenza del carico normalizzata z L (.7-j.4) è complessa l adattamento con trasformatore 6/4 è possibile solo inserendo prima di esso un neutralizzatore costituito da un tratto di linea con impedenza caratteristica di lunghezza tale da far ruotare l impedenza dal punto z L fino al punto d intersezione con l asse reale z AA.. Risulta l N.64 corrispondente ad una lunghezza fisica l N 49. cm (fig. 4.). Detto questo, l adattamento si completa dimensionando l impedenza caratteristica del tratto in 6/4 alla media geometrica tra l impedenza del carico alla sezione A-A e l impedenza caratteristica della linea: X AA.9Ω dove AA z AA. Ω ambiando la frequenza di lavoro e ponendola pari a MHz la nuova lunghezza normalizzata del neutralizzatore è: l N l N /6.97 alla cui rotazione sulla arta di Smith con punto di partenza z L corrisponde una nuova impedenza alla sezione A-A z AA (.+j.) che denormalizzata vale AA (+j) + (fig. 4.6). L impedenza alla sezione B-B si trova dalla carta di Smith partendo dal punto z AA AA / x.48+j.44 e ruotando di una lunghezza normalizzata l (6/4)/6.3. Si ottiene z BB.66-j.7, che denormalizzato fornisce BB (.-j6.36) + (fig. 4.7). 46

51 Si può dunque calcolare il coefficiente di riflessione alla sezione B-B e valutarne successivamente il ROS: Γ BB BB BB Γ ROS Γ BB BB 3.77 onfrontando i risultati ottenuti nei due casi si nota che l adattatore stub parallelo in corto circuito risulta più stabile in frequenza rispetto all'adattatore in 6/4 poiché a parità di variazione di questa il ROS assume un valore inferiore. Y L.+.i S y L.9+.7i Im[Γ] y A A.+.7i.8 Y A A.+.3i S.6. y L.4. y A A Re[Γ] fig. 4. Movimento corrispondente al tratto l d dell adattatore stub parallelo a MHz. 47

52 y STUB.-.7i Y STUB.-.3i S Im[Γ] l S.m y Re[Γ] y - STUB fig. 4. Movimento corrispondente al tratto l s dell adattatore stub parallelo a MHz. Y L.+.i S y L.9+.7i Im[Γ] y A A.6+.6i.8 Y A A.3+.4i S.6. y L.4. y A A Re[Γ] fig. 4.3 Movimento corrispondente al tratto l d dell adattatore stub parallelo a MHz. 48

53 y STUB.-.3i Y STUB.-.3i S Im[Γ] l S.m y Re[Γ] y STUB fig. 4.4 Movimento corrispondente al tratto l s dell adattatore stub parallelo a MHz. L 3-7i Ω z L.7-.4i Im[Γ] z AA.+.i AA +i Ω z. AA. Re[Γ] z L fig. 4. Movimento corrispondente al tratto l N del neutralizzatore a MHz. 49

54 L 3-7i Ω z L.7-.4i Im[Γ] z AA.+.i AA +i Ω z AA -... Re[Γ] z L fig. 4.6 Movimento corrispondente al tratto l N del neutralizzatore a MHz. AA +i Ω z AA i Im[Γ] z BB.66-.7i.8 BB.-6.36i Ω z AA Re[Γ] z BB fig. 4.7 Movimento corrispondente all adattatore 6/4 a MHz.

55 ESERIIO l A B g V r l g + f 6 MHz + l (-j) + V V A l B Dato il circuito in figura, determinare: a) l e l (entrambe con r ) in modo da avere nella sezione A-A adattamento al generatore; b) la potenza reale trasferita al carico nelle condizioni di adattamento del punto a); c) il valore del modulo della tensione sulle sezioni A-A e B-B. SOLUIONE a) Per prima cosa si calcolano le ammettenze, avendo a che fare con una struttura a stub parallelo, e la lunghezza d onda della linea in figura: y g / g y / (.8+j.4) c λ.33 m f ε r La condizione di adattamento alla sezione A-A si ottiene vedendo rispettivamente a destra e a sinistra di tale sezione due ammettenze complesse coniugate. Poiché l'ammettenza del generatore è reale tale condizione diventa: y AA y g onoscendo l ammettenza alla sezione A-A e la parte reale dell ammettenza alla sezione B-B è possibile dimensionare l partendo dal punto y AA, sulla carta di Smith, e ruotando in senso antiorario fino a intersecare la circonferenza con parte reale uguale a quella di y.