Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana nell'ambito dell'azione regionale di sistema. Laboratori del Sapere Scientifico

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1 Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana nell'ambito dell'azione regionale di sistema Laboratori del Sapere Scientifico

2 LABORATORIO DEL SAPERE SCIENTIFICO I.C. BORSELLINO Alla scoperta dello spazio geometrico Anno Scolastico Classe 3D Scuola secondaria I grado L. Russo Docente: Rossella Battolla

3 Obiettivi di apprendimento Riconoscimento della congruenza di policubi disposti diversamente nello spazio Determinazione dell area della superficie di diversi policubi mediante conteggio delle facce dei cubetti unitari Consolidamento dei concetti di area Scoperta del volume del solido Relazione tra area e volume Analisi di solidi di rotazione e costruzione del concetto di volume e area della superficie attraverso la costruzione di un "vestito " per gli oggetti di uso comune

4 Obiettivi di apprendimento Risoluzione di problemi in contesti diversi Riproduzione di figure e disegni geometrici, utilizzando in modo opportuno gli strumenti di misura Costruzione di poliedri e di piramidi Scoperta dell'angoloide e dei limiti di costruibilità attraverso l'utilizzo di materiale strutturato (Polidron)

5 Materiale utilizzato Carta quadrettata da 1 cm Cartoncino Riga e squadre Cubetti con spigolo 2cm Polydrom Materiale vario di cancelleria: penna, lapis, gomma, forbici,.

6 \ Approccio metodologico L approccio metodologico è di tipo laboratoriale; l'insegnante è mediatore e promotore della scoperta attraverso domande stimolanti. La classe è suddivisa in piccoli gruppi. Ciascun alunno può proporre ipotesi,verificarne la validità con l esperienza, e sostenere le proprie idee argomentando le scelte fatte. L obiettivo è favorire l'attivazione di strategie per la costruzione di competenze condivise. Confronto "peer to peer" per permettere il trasferimento e la condivisione delle conoscenze/ competenze. Le attività si sono svolte in classe e nel laboratorio di Scienze in un clima stimolante e favorevole all'apprendimento. Al termine delle attività gli allievi riportano e argomentano i risultati, scrivono riflessioni sui loro quaderni.

7 Elementi salienti dell approccio metodologico Sperimentare concetti geometrici: osservazione, manipolazione, costruzione, disegno. Modelli dinamici Risolvere problemi reali Verbalizzare l esperienza vissuta Condividere con i compagni le conoscenze/competenze acquisite

8 Tempo impiegato: Per la progettazione specifica e dettagliata nella classe: 6 ore Tempo-scuola: Un mese e mezzo per un totale di 12 ore; Per la documentazione: 10 ore Per la messa a punto preliminare nel Gruppo LSS: 8 ore

9 Se nella geometria del piano non è facile cogliere la nozione di area che spesso viene confusa con quella di perimetro, è ancora più difficile, nella geometria dello spazio, rendersi conto del concetto di volume e superficie di un solido Secondo Piaget una causa sta nel fatto che nella nozione di volume si crea una confusione tra la quantità di materia, che è qualcosa di concreto, e il volume fisico, cioè lo spazio occupato.

10 Per favorire l'acquisizione del concetto di superficie e di volume di un solido dovremmo fare due tipi di esperienza: Costruire solidi di ugual volume e superficie diversa Costruire solidi di uguale superficie e volume diverso

11 Affinché gli alunni facessero esperienza con il materiale ho fornito ai ragazzi cubetti incastrabili di spigolo 2cm ed ho lasciato che iniziassero a combinarli tra loro liberamente costruendo solidi diversi.

12 I ragazzi hanno incominciato a dare un nome agli oggetti e alle parti di questi, riflettendo sulla diversità tra il linguaggio specifico e quello ingenuo (vertice- spigolo, latospigolo).

13 La consegna è di costruire tutti i solidi composti da due cubetti. Le figure ottenute sono tutte uguali? La risposta è sì perché è sempre possibile portare un solido al posto di un altro con un movimento rigido

14 Quante e quali diverse configurazioni si possono ottenere incastrando tre cubetti?

15 Ai ragazzi viene ora chiesto di costruire un cubo di spigolo 3 utilizzando le configurazioni ottenute unendo tre cubetti: a) solo conformazione a trenino b) trenini e solidi angolari c) solo solidi angolari

16 Questo tipo di attività ha dato la possibilità di lavorare con il calcolo combinatorio, e ha spinto gli studenti ad una prima introduzione del linguaggio algebrico dopo aver stabilito l associazioni tra l oggetto reale e la sua rappresentazione.

17 Quante configurazioni è possibile ottenere con quattro cubetti? Utilizzando il materiale hanno potuto comporre tutte le diverse configurazioni. Con quattro cubetti i ragazzi si sono trovati nella situazione di considerare due solidi congruenti perché si corrispondono in una simmetria speculare, ma che non è possibile portare uno al posto dell altro con un movimento rigido.

18 La proposta di lavoro successiva è stata: Ciascuno dei solidi costruiti è formato da 4 cubetti. Si possono formare cubi di spigolo due unendone due alla volta? Sara afferma: Sì, si possono costruire ma solo con le composizioni angolari o con quelle costituite da parallelepipedi (2,2,1)

19 È possibile costruire un cubo di spigolo 3 utilizzando policubi costituiti da quattro cubetti? La risposta, sebbene intuitiva, non è stata immediata e dopo un tentativo di costruzione che non ha dato esito, c è stata una riflessione: Sara:.ho dedotto che ciò non è possibile perché in questo cubo ho 27 cubetti. 27:4= 6,75 che non è un numero intero. Quindi 4 non è divisore di 27 In un altro contesto, puramente teorico l allieva non avrebbe avuto bisogno di riflettere e di dedurre ma avrebbe risposto automaticamente. L attività pratica ha portato il problema a livello metacognitivo, da un percorso altrimenti automatico.

20 Per migliorare la visione di un solido, ho proposto alcuni esercizi in cui era necessario ricostruirne uno, partendo dalla sua rappresentazione sul piano dai diversi punti di vista (di lato, di fronte, dall alto). Questa attività introduce inoltre, anche se in modo non esplicito, le tre dimensioni di un solido.

21 In questa attività l obiettivo era consolidare l idea che un parallelepipedo, sebbene composto dallo stesso numero di cubetti, potesse avere forma diversa, e quindi dimensioni diverse.

22 Le domande a cui hanno dovuto rispondere i ragazzi sono state: Quanti e quali sono i parallelepipedi che si possono costruire con 27 cubetti? L area della superficie cambia nei diversi parallelepipedi? Come? E con 19 cubetti? Immediatamente hanno risposto all ultimo quesito dicendo che se ne poteva costruire uno solo perché 19 è un numero primo e si ottiene un solido (19,1,1).

23 Più interessante è stato il lavoro che hanno fatto per rispondere al primo gruppo di domande; intanto hanno costruito una tabella in cui riassumere tutte le possibili combinazioni. Si sono confrontati sul fatto che una delle combinazioni (3,3,3) corrispondesse ad un cubo e alcuni sollevato il dubbio questo fosse un parallelepipedo. Hanno detto che come il quadrato è un rettangolo particolare anche il cubo doveva essere un caso particolare. Alcuni hanno avuto la necessità di approfondire e hanno dato al cubo il nome di solido platonico.

24 Ancora una volta analizzando la tabella,come fatto per il solido composto da 24 cubetti, i ragazzi si accorgono che, pur restando costante il volume, l area della superficie varia da un massimo ad un minimo e che questo ultimo coincide con l area del cubo. Evidenziano essi stessi un parallelismo con il quadrato che tra i rettangoli equiestesi ha il perimetro minore.

25 Mentre nell attività precedente avevano ottenuto il valore dell area contando il numero di facce del solido costruito con 24 cubetti(4,3,2), ora devono ottenere una formula generale da poter utilizzare tutte le volte che hanno un solido di questo tipo. Come si può vedere nell immagine a lato e in quella successiva, l alunna procede indicando i tentativi per raggiungere l obiettivo. Interessante è leggere come giustifica il suo percorso, fatto insieme ai compagni.

26 È molto interessante che l alunna analizzi quale sia stata la sua difficoltà iniziale e come abbia cercato una soluzione per indicare nel modo più efficace le aree delle diverse superfici. Riconosce alla scrittura algebrica un valore fondamentale per tenere sotto controllo tutti i passaggi. Al termine dichiara di essere, alla fine, riuscita a passare da una formula grossolana ad una formula sintetica e chiara.

27 Questo allievo, sempre del solito solido, ne fa lo sviluppo sul quaderno. Dall uso della pagina si capisce che non ha idea di quanto sarà grande e sviluppa il disegno sfruttando in modo inadeguato la pagina a disposizione. Usa però le lettere in modo corretto anche se non immediatamente come racconta il ragazzo nell argomentazione successiva.

28 Anche lui descrive il percorso fatto: prima capisce che per trovare l area della superficie basta calcolare l area di tre facce, sommarla e raddoppiarla. Dice di aver messo però da parte questo procedimento non appena ha dato il nome alle tre dimensioni chiamandole a,b,c. Si è reso conto che l area del parallelepipedo non è altro che la somma di due rettangoli più grandi che si vedono nello sviluppo meno il rettangolo che hanno in comune.

29 L alunno passa quindi ad una scrittura algebrica sviluppando una formula iniziale, operando semplificazioni, utilizzando un linguaggio personale, chiamando l area di base area basilare. Per verificare la bontà della formula calcola l area di solidi con spigoli scelti a suo piacere.

30 Lo scopo dell attività successiva è quella di favorire la formalizzazione di procedure partendo da situazioni problematiche. Ho fornito ai ragazzi, divisi in gruppi, un solido tra quelli presenti nel nostro laboratorio di Scienze e ho chiesto di calcolarne l area della superficie. Ho chiesto inoltre che provassero a scrivere una formula generale.

31 Hanno cominciato a misurare gli oggetti per poterli rappresentare sul quaderno, ma per alcuni di questi oggetti non era facile rappresentarne lo sviluppo. Ho quindi suggerito di fare il vestito del solido con la carta che avevano a disposizione

32 Matteo affronta il problema considerando i singoli triangoli ma nello sviluppare le formule, relative all altezza della faccia del tetraedro, inizia introducendo la lettera l per indicare il lato del triangolo equilatero e nel passaggio successivo compare al posto di l la lettera s(per spigolo?). Arriva alla formalizzazione del procedimento ma sebbene sia stato uno dei più precoci nell uso della simbologia algebrica e nel pensiero astratto dimostra ancora difficoltà a gestire la nomenclatura dei solidi.

33 L alunna traccia sul vestito del tetraedro le quattro facce del solido e per ciascuna di loro ne disegna l altezza. Si rende conto che lo sviluppo è un triangolo equilatero in cui il lato corrisponde al doppio dello spigolo del tetraedro e che anche l altezza è il doppio dell altezza di ogni singola faccia e arriva ad una formalizzazione personale

34 Giungere invece alla formula relativa all area di un cilindro è stato più intuitivo rispetto al caso del parallelepipedo. Più allievi, anche se il disegno non è molto curato, hanno ottenuto il prodotto finale. In uno dei due esempi la studentessa padroneggia la proprietà distributiva e mette a fattore 2π dimostrando di saper utilizzare il linguaggio algebrico.

35 Introdurre il tetraedro, caso particolare di piramide, ci porta ad esplorare questo tipo di solido, caratterizzato da una sola base e dall angoloide vertice del solido. Ho fornito ai ragazzi triangoli equilateri, isosceli (α 40 )e isosceli rettangoli, per far scoprire quali sono le condizioni necessarie affinché dall intersezione di piani(rappresentati dai triangoli) si possano costruire diedri e angoloidi.

36 Unendo sei triangoli equilateri ottengono un esagono regolare appartenente al piano E se uniscono degli esagoni regolari nuovamente non ottengono un angoloide ma una tassellazione del piano. Concludono che la somma degli angoli, al fine di costruire un angoloide, deve essere minore di 360.

37 È subito chiaro che con triangoli rettangoli possiamo avere un solo caso e che il numero massimo di triangoli e minimo coincidono. L ampiezza dell angoloide sarà quindi 270.

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39 Un allievo inizia a combinare insieme dei quadrati e dopo aver osservato che ha ottenuto metà cubo a voce alta dichiara, quasi sorpreso: Ma allora ogni vertice di un solido è un angoloide.

40 Verifica finale Negli esempi di tre alunni diversi si evidenzia uno stile che precedentemente non c era: l uso di rappresentazioni dei vari casi strategie per la risoluzione argomentazione scritta per giustificare la risoluzione di problemi.

41 Verifica degli apprendimenti Discussione all interno dei gruppi e condivisione di quanto appreso. Argomentazione scritta delle scelte fatte Problem solving Questionario in itinere Questionario finale

42 Risultati ottenuti L attività proposta ha stimolato l interesse e la motivazione alla partecipazione di tutti gli alunni, e spesso nei gruppi con allievi in difficoltà si sono avuti i migliori risultati. Allo stesso tempo ha dato loro l opportunità di parlare di geometria e di riflettere sulla geometria. La necessità di argomentare le loro osservazioni e sostenere le loro ipotesi li ha avvicinati al linguaggio algebrico, che si è rivelato uno strumento potente per formalizzare le idee. L uso del materiale strutturato e non, ha favorito il comprendere il diverso punto di vista dell osservatore e quindi la necessità di utilizzare un linguaggio condiviso che non generi fraintendimenti.