Indice. Unità 1 L insieme dei numeri relativi 1. Unità 2. Il numero. Il calcolo letterale: i monomi 53

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1 Indice Il numero Unità L insieme dei numeri relativi L insieme R Rappresentazione grafica Caratteristiche dei numeri razionali relativi Le operazioni fondamentali in Q Potenza e radice quadrata in Z e Q 8 Le espressioni con i numeri razionali relativi 0 Numeri piccoli e ordine di grandezza Le conoscenze essenziali Esercizi da pag. a pag. Unità Il calcolo letterale: i monomi Le espressioni letterali I monomi 6 Le operazioni con i monomi 8 Le conoscenze essenziali 6 Esercizi da pag. 6 a pag. 88

2 Indice VII Il numero Unità I polinomi: somme di monomi non simili 89 I polinomi 90 Le operazioni con i polinomi 9 Potenza e prodotti notevoli 9 Espressioni e problemi 98 Le conoscenze essenziali 00 Esercizi da pag. 0 a pag. 0 Per saperne di più Interpretazione geometrica dei prodotti notevoli Unità Il pensiero razionale Le equazioni Identità ed equazioni Equivalenza e principi di equivalenza Risoluzione di un equazione di grado 7 Equazioni determinate, indeterminate e impossibili 0 Equazioni di grado Le conoscenze essenziali Esercizi da pag. a pag. 0 Unità I problemi e la risoluzione algebrica La risoluzione algebrica dei problemi Problemi aritmetici Problemi geometrici 7 Problemi di fisica 60 Le conoscenze essenziali 6 Esercizi da pag. 6 a pag. 80 Lezioni animate. Significato di equazione e classificazioni. Principi di equivalenza. La risoluzione di un equazione a parte a parte RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

3 VIII Indice Geometria Unità 6 Lunghezza della circonferenza e area del cerchio 8 La lunghezza della circonferenza 8 Lunghezza di un arco di circonferenza 8 L area del cerchio 8 Area del settore e del segmento circolare 86 Le conoscenze essenziali 88 Esercizi da pag. 89 a pag. Lezioni animate. La lunghezza della circonferenza. L area del cerchio Esercizi in GeoGebra Unità 7 La geometria nello spazio Rette e piani nello spazio 6 Angoli nello spazio: i diedri 9 Glia ngoloidi Le conoscenze essenziali Esercizi da pag. a pag. 0 Unità 8 Le figure nello spazio I solidi: poliedri e solidi a superficie curva Lo sviluppo di un solido Poliedrir egolari 6 Poliedri non regolari 7 Misure relative a un solido 9 Solidie quivalenti 0 Le conoscenze essenziali Esercizi da pag. a pag. Per saperne di più I poliedri di Archimede

4 Indice IX Geometria Unità 9 La superficie dei poliedri 6 Superficie laterale e totale del prisma 7 Superficie laterale e totale del parallelepipedo 9 Superficie laterale e totale del cubo 6 Superficie laterale e totale della piramide 6 Il tronco di piramide 6 Le conoscenze essenziali 6 Esercizi da pag. 66 a pag. 8 Unità 0 La superficie dei solidi di rotazione 8 Superficie laterale e totale del cilindro 8 Superficie laterale e totale del cono 8 Il tronco di cono 87 Sfera e superficie sferica 88 Area della superficie sferica 90 Altri solidi di rotazione 9 Le conoscenze essenziali 9 Esercizi da pag. 96 a pag. Unità Il volume dei solidi 6 Volume, peso, peso specifico 7 Il volume dei prismi 9 Il volume della piramide Il volume del cilindro e del cono Il volume del tronco di piramide e del tronco di cono 6 Il volume della sfera 7 Altri solidi di rotazione 9 Le conoscenze essenziali 0 Esercizi da pag. a pag. 7 Per saperne di più Parti della sfera e della superficie sferica Area delle parti della superficie sferica Esercizi in GeoGebra Per saperne di più Superficie e volume dei poliedri regolari Lezioni animate. Il prisma. La piramide. Il cilindro. Il cono Esercizi in GeoGebra

5 Indice XDati e previsioni Unità La statistica 7 Dati statistici e loro fonti ufficiali 7 Elaborazione dati continui 77 La frequenza cumulata 80 I numeri indice 8 Le conoscenze essenziali 8 Esercizi da pag. 8 a pag. 9 Per saperne di più La curva di Gauss Lezioni animate. Indagini a variabili quantitative con dati continui Unità La probabilità 9 Eventic omposti 9 Lap robabilitàc omposta 97 Lap robabilitàc lassica 00 Lap robabilitàf requentista e soggettiva 0 Le conoscenze essenziali 0 Esercizi da pag. 0 a pag. Per saperne di più Probabilità e genetica Lezioni animate. La probabilità composta Il pensiero razionale Unità Gli insiemi Insiemi e sottoinsiemi L insieme delle parti Gli insiemi intersezione e unione Gli insiemi differenza e complementare 6 Il prodotto cartesiano 7 Partizione di un insieme 0 Le conoscenze essenziali Esercizi da pag. a pag.

6 Indice XI Il pensiero razionale Unità Elementi di logica 6 Logica e proposizioni logiche 7 Proposizioni composte e connettivi 8 La congiunzione logica 9 La disgiunzione logica 0 La negazione logica L implicazione e la deduzione logica Le conoscenze essenziali 6 Esercizi da pag. 7 a pag. 9 a parte a parte Per saperne di più Neghiamo una proposizione composta Coimplicazioni e teoremi Le relazioni Unità 6 Corrispondenze e relazioni 60 Corrispondenza fra insiemi 6 Unap articolarec orrispondenza 6 Relazioni in un insieme 6 Proprietàd eller elazioni 66 Relazionid ie quivalenza e di ordine 69 Relazioni negli insiemi numerici 7 Relazioni fra le figure geometriche 7 Le conoscenze essenziali 7 Esercizi da pag. 76 a pag. 8 Unità 7 Le funzioni e il piano cartesiano 8 Il concetto di funzione 8 Funzioninume riche:t abulazione e grafici 86 Il piano cartesiano ortogonale 87 Puntome dioed istanza fra due punti 89 Rappresentazioned if unzioni empiriche 90 Le conoscenze essenziali 9 Esercizi da pag. 9 a pag. 0 Lezioni animate. Funzioni e proporzionalità. Il piano cartesiano

7 XII Indice Le relazioni Unità 8 Elementi di geometria analitica 06 La funzione y = ax 07 Laf unzione y = mx + p 09 Rettep aralleleer ette perpendicolari 0 Laf unzione y = a/x Laf unzione y = ax Le conoscenze essenziali 6 Esercizi da pag. 7 a pag. 8 Per saperne di più Retta passante per due punti Lezioni animate. Le curve nel piano cartesiano In aula digitale, oltre a quanto indicato nell indice, troverai anche: ACCOGLIENZA LABORATORIO MATEMATICO LA MATEMATICA NELLA STORIA NON SOLO GIOCHI Glossario Tavole numeriche

8 Il numero Unità L insieme dei numeri relativi Percorso di studio L insieme dei numeri relativi L insieme R Rappresentazione grafica Potenza e radice quadrata in Z e Q Le operazioni fondamentali in Q Caratteristiche dei numeri razionali relativi Le espressioni con i numeri razionali relativi Numeri piccoli e ordine di grandezza Prerequisiti Conoscere il sistema di numerazione decimale Avere padronanza delle quattro operazioni e dei loro procedimenti di calcolo Obiettivi specifici Conoscenze: Acquisire il concetto di numero relativo Apprendere i procedimenti di calcolo fra numeri razionali relativi Apprendere la notazione esponenziale, scientifica e l ordine di grandezza dei numeri piccoli Abilità: Distinguere i vari tipi di numero che formano l insieme R Eseguire le operazioni fondamentali in Q Calcolare la potenza e la radice quadrata in Q Scrivere l ordine di grandezza dei numeri piccoli Risolvere semplici espressioni in Q

9 Il numero L insieme R Esercizi pag. Iniziamo, con questa unità, lo studio di un insieme numerico di cui abbiamo già fatto una parziale conoscenza. Studiando la sottrazione nell insieme N ci siamo trovati nell impossibilità di eseguire sottrazioni del tipo: 0 = Ricordi? È nata da questa impossibilità l esigenza di estendere l insieme dei numeri naturali a un altro insieme di numeri, i numeri con il segno o numeri relativi, che ritroviamo anche in numerose circostanze della nostra vita quotidiana. Tutti i numeri che conosciamo, naturali, razionali e irrazionali, se sono preceduti dal segno + o dal segno, formano rispettivamente: livello del ma re I numeri naturali preceduti dal segno + formano l insieme dei numeri interi positivi, Z +, quelli preceduti dal segno formano l insieme dei numeri interi negativi, Z -. Gli insiemi Z + e Z - costituiscono l insieme dei numeri interi relativi che si indica con Z Z = Z + Z -. I numeri razionali preceduti dal segno + formano l insieme dei numeri razionali positivi, Q +, quelli preceduti dal segno formano l insieme dei numeri razionali negativi, Q -. Gli insiemi Q + e Q - costituiscono l insieme dei numeri razionali relativi che si indica con Q Q = Q + Q -. I numeri irrazionali preceduti dal segno + formano l insieme dei numeri irrazionali positivi, I +, quelli preceduti dal segno formano l insieme dei numeri irrazionali negativi, I -. Gli insiemi I + e I - costituiscono l insieme dei numeri irrazionali relativi che si indica con I I = I + I Serviamo anche a questo i numeri interi relativi o solo numeri interi 7 + +, 9 0, 0 + 8,, 7 i numeri razionali relativi i numeri irrazionali relativi Esattamente diciamo che: Se consideriamo, a questo punto, l insieme formato da tutti gli insiemi numerici che abbiamo visto, otteniamo l insieme dei numeri reali relativi, o semplicemente l insieme dei numeri reali, che si indica con: R R = Q I I Q Z N R

10 . L insieme dei numeri relativi Rappresentazione grafica Esercizi pag. Rappresentiamo sulla retta orientata i numeri reali relativi analogamente a quanto abbiamo già fatto per gli altri insiemi numerici: disegniamo una retta, fissiamo su di essa un punto O, a cui facciamo corrispondere il numero 0 (zero), e consideriamo le due semirette opposte di origine O; stabiliamo il verso di percorrenza sulla retta: da O verso destra i numeri positivi e da O verso sinistra i numeri negativi; fissiamo l unità di misura e, in base ad essa, troviamo le immagini dei numeri sulla retta: per rappresentare i numeri interi, come sai, posizioniamo a sinistra dello zero i numeri negativi e a destra i numeri positivi, riportando opportunamente l unità di misura: A B C O D E F u e diciamo che i punti A, B, C, D, E ed F sono rispettivamente le immagini dei numeri 6,,, +, + e + 7; per rappresentare i numeri razionali relativi posizioniamo a sinistra i numeri negativi e a destra quelli positivi, dividendo in modo opportuno l unità di misura, come abbiamo fatto per i numeri razionali assoluti: G H e diciamo che i punti G, H, I e L sono rispettivamente le immagini dei numeri,, + e + ; per rappresentare i numeri irrazionali, ad esempio, osserviamo che tale numero è la misura dell ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele avente i cateti lunghi una unità di misura. Per cui graficamente avremo: u e diciamo che i punti P, S, T e V sono rispettivamente le immagini dei numeri,, + e +. P S T V O I + L u RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

11 Il numero Caratteristiche dei numeri razionali relativi Esaminiamo le principali caratteristiche dei numeri razionali relativi, che sono analoghe a quelle che abbiamo già visto per i numeri interi relativi. 7 Se di un numero relativo, per esempio + o, vogliamo considerare solo la parte numerica, senza il segno, parleremo di modulo o valore assoluto del numero e lo indicheremo in questo modo: =, = Numeri razionali relativi aventi tutti lo stesso segno (tutti + o tutti ) si dicono concordi, numeri aventi segno diverso tra loro si dicono discordi. Quindi: 6 + e + sono concordi; e sono concordi; e sono discordi; e + sono discordi. 7 0 Due numeri razionali relativi discordi ma con lo stesso valore assoluto, per esempio + e, si dicono opposti. 0 0 Qualsiasi numero razionale positivo è maggiore di un qualsiasi numero razionale negativo; fra due numeri discordi, quindi, è sempre maggiore il numero positivo: 8 + > 7 Lo zero è minore di un qualsiasi numero razionale positivo e maggiore di un 6 qualsiasi numero razionale negativo: 0 <+, 0 >. 9 Fra due numeri concordi positivi è maggiore quello che ha maggior valore assoluto: + >+. Fra due numeri concordi negativi è maggiore quello che ha minor valore assoluto: > 7 7. Esercizi pag. 7 Che cosa ho imparato? Verificalo eseguendo quanto richiesto.. Scrivi tre numeri interi relativi positivi e tre interi relativi negativi..... Scrivi tre numeri razionali relativi positivi e tre razionali relativi negativi..... Disegna una retta orientata e rappresenta su di essa i numeri: +,,, +,. 6

12 . L insieme dei numeri relativi Le operazioni fondamentali in Q Esercizi pag. Abbiamo già visto come eseguire le quattro operazioni fondamentali in Z; impariamo adesso come eseguirle con i numeri razionali relativi. Le regole da tener presenti sono, ovviamente, quelle che abbiamo imparato per operare con gli interi e quelle delle operazioni fra numeri razionali. Ricorda inoltre che tutte le operazioni godono delle stesse proprietà che abbiamo visto per i numeri naturali, per i numeri interi e per i numeri razionali assoluti. Rendiamocene conto con alcuni esempi. Addizione Come sai: La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo concorde ad essi avente per valore assoluto la somma dei valori assoluti. La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo concorde all addendo che ha maggior valore assoluto e avente per valore assoluto la differenza dei valori assoluti. La somma di due numeri relativi opposti è uguale a zero. Ricordando come si opera con i numeri razionali assoluti, avremo quindi: + + Come sai: Ricordando come si opera con i numeri razionali assoluti, avremo quindi: + + ( + = + ) + ( + 8) = = ( 6) ( ) = = 0 Sottrazione ( + = + 0)( + 9) = = ( ) + ( 6) 6 = = = ( 90) ( 7) = = = = = 0 La differenza fra due numeri relativi si ottiene addizionando al primo l opposto del secondo = 9 7 = = + 0 0

13 6 Il numero Somma algebrica Come sai: Si dice addizione algebrica una successione di addizioni e di sottrazioni fra numeri relativi. Il risultato si chiama somma algebrica. Per eseguire un addizione algebrica si tolgono le parentesi che racchiudono i numeri e, se si toglie il segno + di addizione, si scrive il numero con il proprio segno, se si toglie il segno di sottrazione si scrive il numero con il segno opposto. Ricordando come si opera con i numeri razionali assoluti, avremo quindi: ( ) = = = = = = = = Come sai: =+ + + = 6 6 Moltiplicazione Il prodotto di due numeri relativi è un numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti ed è positivo se i due numeri sono concordi, negativo se i due numeri sono discordi. Ricordando come si opera con i numeri razionali assoluti, avremo quindi: = = = = + per + dà + + per dà per + dà per dà + Ricorda la regola dei segni! + 8 = 7 6 =

14 . L insieme dei numeri relativi 7 Divisione Come sai: Il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo che ha come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti ed è positivo se i due numeri sono concordi, negativo se sono discordi. Ricordando come si opera con i numeri razionali assoluti, avremo quindi: = : + = diviso + dà diviso dà : = 9 9 = + diviso + dà diviso dà : + = 6 + = = + : : 7 6 = 6 = = La regola dei segni vale anche per la divisione! Che cosa ho imparato? Verificalo eseguendo quanto richiesto.. Calcola le seguenti somme algebriche Calcola il seguente prodotto Calcola il seguente quoziente : : 0 9

15 8 Il numero Potenza e radice quadrata in Z e Q In modo analogo a quanto detto per i numeri naturali, estendiamo agli insiemi Z e Q l operazione di potenza e diciamo che: Vediamo praticamente come si opera nei vari casi che si possono verificare considerando che l esponente può essere anche negativo. Potenza con esponente positivo I casi che si possono presentare sono quattro: Esercizi pag. 0 La potenza n-esima di un numero relativo è il prodotto di n fattori tutti uguali a quel numero. ) (+ ) = (+ ) (+ ) = + 9; ) (+ ) = (+ ) (+ ) (+ ) = + ; ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = + 6; + = + + = = = + 8. =. = ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = 6; =. = 8 Osserviamo i quattro esempi per ricavare la regola generale: i primi due ci dicono che, se la base è positiva, la potenza è sempre positiva; gli altri due ci dicono che, se la base è negativa, la potenza è positiva se l esponente è pari, negativa se l esponente è dispari. Per cui diremo che: La potenza che ha per base un numero relativo è un numero relativo che ha per valore assoluto la potenza del valore assoluto della base; esso è sempre positivo tranne nel caso che la base sia negativa e l esponente dispari. Potenza con esponente negativo Si voglia calcolare la potenza ; possiamo calcolarla scrivendo la nostra potenza come il risultato della seguente divisione: = :. Infatti, applicando una delle proprietà della potenza, abbiamo: : = =. Possiamo quindi scrivere: = : = = = =. Per cui diremo che: La potenza di un numero relativo (diverso da zero) con esponente negativo è il reciproco n della potenza con esponente positivo: a =. n a

16 . L insieme dei numeri relativi 9 Ricorda che le proprietà delle potenze viste in aritmetica valgono anche per i numeri relativi. Osserva = + = + = : = = = = + = 6 = + 9 = = = = = : : + = = = + = ; + =+ ;. In analogia con quanto detto in aritmetica diremo che: La radice quadrata di un numero relativo è quel numero che, elevato alla seconda, ci dà il numero dato. Esaminiamo la radice quadrata di un numero positivo: +. Qual è quel numero che moltiplicato per se stesso ci dà +? Ovviamente +, infatti (+) (+) =+, ma anche, infatti ( ) ( )=+. Scriviamo allora: + = ± (leggi: + uguale a più o meno ). Esaminiamo la radice quadrata di un numero negativo: 6. Qual è quel numero che moltiplicato per se stesso ci dà 6? Non esiste alcun numero nell insieme dei numeri interi o razionali relativi. Infatti nessun numero relativo elevato a una potenza con esponente pari dà una potenza negativa. Esempi... (+ 7) = 7 = + 9 ; + = (+ ) = +6; + = + = + 8 ; ( ) = 9 = = 8 7. ( ) = =. = = = ± 9; 9 = non esiste = ± 9 ; non esiste. =

17 0 Il numero Le espressioni con i numeri razionali relativi Anche per quanto riguarda le espressioni, valgono le regole di risoluzione viste per i numeri interi. Ricordiamole con degli esempi. ) Un espressione senza parentesi e contenente solo addizioni e sottrazioni non è altro che l addizione algebrica che abbiamo già visto: = = = ) Un espressione con le parentesi e contenente solo addizioni algebriche si può risolvere: eseguendo le varie addizioni algebriche, iniziando da quelle contenute nelle parentesi più interne: = = = = = 6 = = + + = 7 = = + = = Esercizi pag. eliminando successivamente le parentesi (nell ordine tonde, quadre e graffe) ed eseguendo poi l addizione algebrica ottenuta (eliminando le parentesi ricorda di tener conto dei segni!): = = = = = = = = = =

18 . L insieme dei numeri relativi ) Se in un espressione compaiono tutte e quattro le operazioni, eseguiremo prima le moltiplicazioni e le divisioni, nell ordine in cui sono date, e quindi le addizioni algebriche. Se vi sono parentesi si eseguono i vari calcoli incominciando sempre dalle parentesi più interne. : = 9 6 = + + : = 9 = : = = = = = = = = + = ) Se in un espressione ci sono delle potenze, queste hanno la precedenza su tutte le altre operazioni e vanno quindi eseguite per prime, poi si procede secondo le regole già viste : = 7 = : = 8 8 = + : = : = = 6 + = = 0 : : = + Che cosa Verificalo eseguendo quanto richiesto.. Calcola le seguenti potenze. + = ho imparato?. Risolvi la seguente espressione. 0 = 7 + = : :

19 Il numero Numeri piccoli e ordine di grandezza La conoscenza della potenza di un numero con esponente negativo ci permette di allargare ai numeri piccoli, anzi piccolissimi, il discorso fatto parlando di numeri grandi: la notazione esponenziale, scientifica e l ordine di grandezza. Possiamo rifare infatti lo stesso percorso per i numeri molto piccoli. Consideriamo le potenze negative di 0: 0 = = = 0, 0 = = = 0, = = = 0, = = = 0, = = = 0, Esercizi pag. In generale: 0 n per cui possiamo dire che: = = = n , 0000 Il valore di una potenza negativa di 0 con esponente n è uguale a un numero decimale in cui la cifra si trova all n esimo posto dopo la virgola: 0 n = 0,000 n cifre Possiamo quindi scrivere le unità decimali come potenze di 0 con esponente negativo: 0, = 0 0,000 = 0 0, = 0 7 0,0 = 0 0,0000 = 0 0, = 0 8 0,00 = 0 0,00000 = 0 6 ecc. Questo ci permette di scrivere in notazione esponenziale anche i numeri decimali; partendo dalla loro scrittura polinomiale, avremo:,7 = + 0, + 0, ,00 + 0,000 = = ,70 = + 7 0, + 0 0,0 + 0,00 = = ,000 = + 0 0, + 0 0, ,00 + 0,000 = = + 0 e anche: 0,000 = 0 0,00000 = 0 7

20 . L insieme dei numeri relativi Dalla notazione esponenziale, al pari di quanto abbiamo detto per i numeri molto grandi, possiamo passare alla notazione scientifica di un numero molto piccolo scrivendolo come il prodotto di un numero di una sola cifra significativa per una potenza di 0 con esponente negativo. Consideriamo gli ultimi due esempi, 0,000 = 0 e 0,00000 = 0 7, e scriviamoli quindi in notazione scientifica nel seguente modo: 0,000 = 0 =, 0 0,00000 = 0 7 =, 0 6 Scriviamo in notazione scientifica, ad esempio, i valori di alcune grandezze: Grandezza Valore Notazione scientifica Lunghezza media di un virus 0, m m Lunghezza del leptospira 0, m m Larghezza dello spironema 0, m, 0 7 m Anche per queste piccolissime dimensioni, in molte questioni di carattere scientifico, si preferisce conoscere l ordine di grandezza che, come sai, è la potenza di 0 che più si avvicina a quella dimensione o, in generale, a un numero. Scriviamo l ordine di grandezza di alcune dimensioni, ad esempio l ordine di grandezza della dimensione di un microbo e dell uovo di un verme parassita. La dimensione di un microbo è di circa 0, m. Scriviamo il nostro valore in notazione scientifica: 0, = 9, 0 6 Consideriamo le due potenze di 0 fra cui è compreso 9, 0 6 ; avremo: 0 6 < 9, 0 6 < 0 Poiché il valore che più si avvicina a 9, 0 6 è 0, diremo che 0 è l ordine di grandezza delle dimensioni di un microbo. La misura del diametro di un uovo di verme parassita è di circa 0,00009 m. Scriviamo il nostro valore in notazione scientifica: 0,00009 =,9 0 Consideriamo le due potenze di 0 fra cui è compreso,9 0 ; avremo: 0 <,9 0 < 0 Poiché il valore che più si avvicina a,9 0 è 0, diremo che 0 è l ordine di grandezza del diametro di un uovo di verme parassita.

21 Il numero Unità Le conoscenze essenziali I numeri naturali preceduti dal segno + formano l insieme dei numeri interi positivi, Z +, quelli preceduti dal segno formano l insieme dei numeri interi negativi, Z. L insieme Z + Z costituisce l insieme Z dei numeri interi relativi. I numeri razionali preceduti dal segno + formano l insieme dei numeri razionali positivi, Q +, quelli preceduti dal segno formano l insieme dei numeri razionali negativi, Q. L insieme Q + Q costituisce l insieme Q dei numeri razionali relativi. I numeri irrazionali preceduti dal segno + formano l insieme dei numeri irrazionali positivi, I +, quelli preceduti dal segno formano l insieme dei numeri irrazionali negativi, I. L insieme I + I costituisce l insieme I dei numeri irrazionali relativi. L insieme Q I costituisce l insieme R dei numeri reali. La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo concorde ad essi avente per valore assoluto la somma dei valori assoluti. La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo concorde all addendo che ha maggior valore assoluto e avente per valore assoluto la differenza dei valori assoluti. La somma di due numeri relativi opposti è uguale a zero. La differenza fra due numeri relativi si ottiene addizionando al primo l opposto del secondo. Si dice addizione algebrica una successione di addizioni e di sottrazioni fra numeri relativi. Il risultato si chiama somma algebrica. Per eseguire un addizione algebrica si tolgono le parentesi che racchiudono i numeri e, se si toglie il segno + di addizione, si scrive il numero con il proprio segno, se si toglie il segno di sottrazione si scrive il numero con il segno opposto. Il prodotto di due numeri relativi è un numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti ed è positivo se i due numeri sono concordi, negativo se i due numeri sono discordi. Il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo che ha come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti ed è positivo se i due numeri sono concordi, negativo se sono discordi. La potenza che ha per base un numero relativo è un numero relativo che ha per valore assoluto la potenza del valore assoluto della base; esso è sempre positivo tranne nel caso che la base sia negativa e l esponente dispari. La potenza di un numero relativo (diverso da zero) con esponente negativo è il reciproco della potenza con esponente positivo: n a =. n a La radice quadrata di un numero relativo è quel numero che, elevato alla seconda, ci dà il numero dato. Non esiste la radice quadrata di un numero negativo, perché nessun numero relativo elevato a una potenza con esponente pari dà una potenza negativa. L ordine di grandezza è la potenza di 0 che più si avvicina a una data dimensione o, in generale, a un numero.

22 Unità Esercizi L insieme dei numeri relativi Alla fine degli esercizi che seguono ti invitiamo a entrare nell aula digitale dove troverai due schede di autovalutazione: Controlla le tue conoscenze e Controlla le tue abilità. L insieme R Rappresentazione grafica Metti alla prova le conoscenze. Che cosa si intende per numero intero relativo? Fai alcuni esempi.. Che cosa si intende per numero razionale relativo? Fai alcuni esempi. (Teoria pagg., ). Che cosa si intende per numero irrazionale relativo? Fai alcuni esempi.. Che cosa si intende per numero reale relativo? Fai alcuni esempi.. Indica, scrivendoli al posto dei puntini, quali di questi numeri appartengono all insieme Z. 6; + ; + 9; + 0, ; ; ; 7; Indica, scrivendoli al posto dei puntini, quali di questi numeri appartengono all insieme Z. ; + 8; 0; + 6; + ; 0, 6; + ;, ; A quale insieme appartengono i seguenti numeri (Z, Q o I)? Scrivilo al posto dei puntini. 7...; +...;...; +...; Quale dei seguenti diagrammi di Eulero-Venn rappresenta in modo corretto l insieme R? Segnalo. I N Z Q Per ogni insieme A dato nei seguenti esercizi, segna la relazione esatta A = A = + 6; ; ; + ; + 7; ; + A Z A Z A Q A Q A I A I 8 0. A = 9; + ; + ; 7 A Z A Q A I I Z Q N. A = 0, ; 8 ; 0 ; + 9 A Z A Q A I N { } I Z Q RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

23 6 Il numero Esercizi Nei seguenti esercizi metti al posto dei puntini il segno o.. 7,... Q;... N;. + /8... Q; 6/... R; + 6/8... N; /... Q; N;,9... Q; /6... Z; N I;... R; 0, / 9... Q; 79 /... R;... I; /... R.. Considera la retta orientata a, i punti in essa segnati e completa le frasi. a B F D E 0 A G C u A è l immagine del numero... D è l immagine del numero... E è l immagine del numero... L immagine del numero +, è il punto... L immagine del numero 7/ è il punto... L immagine del numero è il punto... Metti alla prova le abilità 6. Inserisci nel diagramma di Eulero-Venn a fianco i seguenti numeri relativi: 6 9 ; + 6; + ;, ; + 8; + ; 6 0, 7; ; ; ;,. Z N Q I Scrivi quali numeri sono rappresentati sulle rette date nei seguenti esercizi. 7. u 9. u I H G F E 0 A B C D G F E D 0A B C 8. u 0. u E D 0 A B C D C 0 A B Sulla retta orientata data in ciascuno dei seguenti esercizi rappresenta i numeri assegnati.. + 7; ; 8; + 8; ; +,; + 9; 6;,. u O

24 Esercizi. L insieme dei numeri relativi 7. 7/; + /; + 9/; /; + /8; /8. O u. + 7/; /; + /8; 9/; + /; /. u O Scrivi su ogni retta orientata il numero relativo corrispondente a ognuno dei punti indicati.. u D B G A C E F 0. u B F G D C A E 0 6. u F C G D E A B 0 Caratteristiche dei numeri razionali relativi Metti alla prova le conoscenze (Teoria pag. ) 7. Che cosa si intende per valore assoluto di un numero relativo? 8. Completa la tabella Numero a fianco. relativo + 7 / + /6 0,9 + 7, + 0, 08 Modulo Segno +

25 8 Il numero Esercizi 9. Vero o falso? Scrivilo accanto a ciascuna affermazione. 7 = = =... + = = = Completa. Due numeri relativi si dicono concordi se... Due numeri relativi si dicono discordi se... Due numeri relativi si dicono opposti se.... Indica se le seguenti coppie sono formate da numeri concordi (C), discordi (D) od opposti (O). 7 + e +... e... + e..., e e... e , e e Vero o falso? Scrivilo accanto a ciascuna affermazione. L opposto dell opposto di un numero è uguale al numero stesso.... Gli opposti di due numeri concordi sono discordi.... L opposto di un numero negativo è negativo.... Gli opposti di due numeri discordi sono discordi..... Rispondi alle seguenti domande giustificando la risposta. Sulla retta orientata due numeri relativi concordi possono essere da parti opposte rispetto all origine? Sulla retta orientata due numeri relativi opposti da che parte stanno rispetto all origine? Dati due numeri discordi, se sulla retta orientata uno è a destra dell origine, l altro dove si trova? Dati due numeri opposti, se sulla retta orientata uno è a sinistra dell origine, l altro dove si trova?. Completa. Tra due numeri discordi è minore... Tra due numeri relativi opposti è maggiore... Tra due numeri positivi è minore... Tra due numeri negativi è maggiore... Metti alla prova le abilità. Scrivi i numeri relativi che hanno per valore assoluto: 8; ; 0,; /;. 6. Scrivi tre coppie di numeri concordi e tre coppie di numeri discordi. 7. Per ognuno dei seguenti numeri scrivine due concordi e uno discorde. + 7; ; + ; 0,; 8/; +,.

26 Esercizi. L insieme dei numeri relativi 9 8. Scrivi l opposto di ciascuno dei seguenti numeri. ; + 8; + ; + ; 0, 6; + ;, ; Scrivi l opposto di ciascuno dei seguenti numeri e rappresentali su una retta orientata. 9 ; + ; + 0, ; ; ; +,. 0. Scrivi tutti i numeri interi relativi compresi fra e il suo opposto.. Scrivi tutti i numeri interi relativi compresi fra + 6 e il suo opposto. 7. Dato l insieme A = ; + ; ; + 7; + ; + ; 07, ;, ; ; + ; + ;, scrivi per elencazione i seguenti sottoinsiemi di A: B = {x x è un numero positivo}; C = {x x è un numero negativo}; D = {x x è una coppia di numeri opposti}. Inserisci il simbolo > o < tra le coppie di numeri relativi date nei seguenti esercizi ; ; ; ; 8... ; ,7; 0,... 0, ; ; 9... ; , ,08; 0,8... 0,; + 0, ,0. Inserisci il simbolo >, < o = tra le coppie di numeri relativi date nei seguenti esercizi , ;... ; ;..., ,; ;... ; ,... ;...,; , ; Scrivi quattro numeri interi relativi maggiori di.. Scrivi quattro numeri interi relativi minori di 8. Scrivi il numero intero relativo più grande possibile che soddisfi le disuguaglianze date nei seguenti esercizi..... < 6;... <+0,6;... <,; 0, >...; +, > < ;... <+ 7 ; 7... < ; 7 6 >...; + > 7...

27 0 Il numero Esercizi Scrivi il numero intero relativo più piccolo possibile che soddisfi le disuguaglianze date nei seguenti esercizi.. + <...; 7 <...;, <...;... > 6;... >+,.....; < + <...;...; <... 7 >+ ;... 8 >. 6. Rappresenta i numeri dati sulla retta orientata e trascrivili in ordine crescente. 0; 8; + 6,;,; ; + 7; ; + 7,. 7. Rappresenta i numeri dati sulla retta orientata e trascrivili in ordine decrescente. ; +,; 0; + 6; ; +,; +,. Disponi in ordine crescente i numeri dati nei seguenti esercizi ; ; ; 0; ; + ;,; +, ; ; 6; + ; + ; 7;. Disponi in ordine decrescente i numeri dati nei seguenti esercizi ; ; ; 9; ; 7; ; + ; ; 0; ; + ;. Completa le seguenti tabelle. 6. Intero Numero Intero 6. precedente relativo successivo +,,7 + 6, 7/ Intero Numero Intero precedente relativo successivo + + / / 6. a b a > 0 b > 0 a > b a < b + 6 sì no sì no ,7 + / + / / /

28 Esercizi Le operazioni fondamentali in Q. L insieme dei numeri relativi Metti alla prova le conoscenze (Teoria pag. ) 6. Completa le seguenti frasi: La somma di due numeri relativi concordi è un numero... La somma di due numeri relativi discordi è un numero... La somma di due numeri opposti è... Nei seguenti esercizi alcune somme non sono esatte, individuale e correggile. 66. (+ 8) + (+ 9) = +; (+ 7) + ( ) = (+ 7) + (+ 0) = +7; (+ 9) + ( ) = ( ) + (+ 7) = 8; (+ 6) + ( ) =. 69. ( 8) + (+ ) = +; (+ 0) + ( ) = = ; + +. = ;. 8 = = =+ + + = 0 0 ;. 7. Come si ottiene la differenza fra due numeri relativi? Nei seguenti esercizi alcune sottrazioni non sono state eseguite in modo esatto, individuale e correggile. 7. ( ) (+ 0) = ( ) + (+ 0) = = + 0 = + 7. (+ 8) ( ) = (+ 8) + (+ ) = =+8 + = = = + = = =+ + = = = + = = + + = + = 76. ( 7) ( ) = ( 7) + ( ) = = 7 = (+ 0) (+ ) = (+ 0) + ( ) = =+0 = Che cosa si intende per addizione algebrica? 8. Completa le seguenti frasi: Il prodotto di due numeri relativi è un numero Il quoziente di due numeri relativi è un numero......

29 Il numero Esercizi Nei seguenti esercizi alcuni prodotti non sono esatti, individuali e correggili =+ + = = = Nei seguenti esercizi alcuni quozienti non sono esatti, individuali e correggili : + = : = : = 7 9. : = Metti alla prova le abilità Addizione Scrivi le addizioni rappresentate nei seguenti esercizi e calcolane il risultato. Esempio u La freccia indica uno spostamento verso sinistra di 8 unità a partire dal numero +, quindi la somma rappresentata è: (+ ) + ( 8), (+ ) + ( 8) = 9. u u 0 + Esegui le seguenti addizioni ; ; ; + ( + 8) ; ( ) + + ; + ( ) ;

30 Esercizi. L insieme dei numeri relativi 00. (+,7) + (,); (,) + ( 0,8). 0. (+,) + (,); (,) + (+ 6,). 0. (+,) + (+,); (,) + (+,). 0. (,8) + ( ); (,8) + (+,). 0. (+ 0,6) + (,8); (,) + (+,9). 0. (,6) + (,); (+,) + ( 0,). 06. (+ 0, ) + (+ 0,); ( 0,6 ) + (+ 0, ). 07. (+ 0,8 ) + ( 0, ); ( 0, ) + (+ 0,6 ). 08. (, ) + ( 0,); ( 0,) + (+ 0,6 ). 09. ( 0,06) + ( 0, ); (+ 0,8 ) + ( 0,7 ) ; ; ; ; ; ; ; ; ( ) + + ; 0 ; ;7 ;0 7 9 ; 6 ; 7. + ; ( ) ; ( ) [ ] ( ) 6 0