Ponti in Corrente Alternata

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1 PONTI DI MISU... IMPEDEN, ETTN, MMETTEN, ONDUTTN, SUSETTN.... PONTI PPOTO EE... 4 Equazione generale di equilibrio dei ponti a rapporto reale... 4 Esempio :... 5 Esempio :... 5 PONTI PPOTO IMMGINIO... 5 Equazione generale di equilibrio dei ponti a rapporto immaginario... 5 Esempio :... 6 PONTI PODOTTO EE... 6 Equazione generale di equilibrio dei ponti a prodotto reale... 7 Esempio 4:... 7 Esempio 5:... 7 PONTI PODOTTO IMMGINIO... 8 Equazione generale di equilibrio dei ponti a prodotto immaginario... 8 Esempio 6:... 8 NOTE ONUSIVE... 9 MISU DI MUTU INDUTTN... 9 onsiderazioni sul fattore di bontá Q... IIOGFI:... Ponti in orrente lternata prof. leto zzani IPSI Moretto rescia 9 ottobre 995

2 PONTI DI MISU I Ponti di Misura in corrente alternata si rifanno strutturalmente al ponte di Weatstone; essi comprendono un generatore di fem alternata e sinusoidale (a frequenza di KHz), tre impedenze campioni,, ed un rivelatore di zero (Voltmetro elettronico, oscilloscopio o cuffia telefonica). Il ponte si dice in equilibrio quando la d.d.p. esistente fra i punti e è nulla. In tal caso risulta: V = V. f=khz I I Ir x I I4 V D = V. D fig. D Ponte in.. I = 0. Quando il ponte è in equilibrio l'intensità di corrente I che percorre passa pure in ; l'intensità di corrente I che percorre passa pure in x. Pertanto si potrà scrivere : I = I.4 I = I.5 dividendo membro a membro la.4 e la.5 e risolvendo rispetto a x si ottiene : =.6 I ponti vengono perciò impiegati per la misura di una impedenza incognita x per confronto con le tre impedenze campioni che si realizza quando il ponte si trova in equilibrio (condizione individuata dal rivelatore di zero posto fra i lati e ). a precisione della misura è determinata dalla precisione degli elementi campioni del ponte e dalla sensibilità del rivelatore di zero; non è quindi necessario usare come rivelatore uno strumento preciso ma è essenziale disporre di uno strumento molto sensibile. I ponti di misura in corrente alternata vengono classificati in due grandi categorie: Ponti a rapporto (reale o immaginario) Ponti a prodotto (reale o immaginario). Osservando l'espressione.6 si nota che in essa si possono individuare due diversi rapporti: e e un solo prodotto Ponti in - zzani

3 Impedenza, eattanza, mmettenza, onduttanza, Suscettanza. Y Y Y V = = I jω = j I = = = = j = j V jω ω ω V = = = j = j I jω ω ω I = = V = jω = j V = = I I = = = = G G = V e relazioni appena scritte ci inducono alle seguenti conclusioni: a) Un bipolo puramente resistivo è caratterizzato da una resistenza positiva e da una conduttanza G positiva. b) Un bipolo reattivo di tipo induttivo è caratterizzato da una reattanza positiva e da una suscettanza negativa. c) Un bipolo reattivo di tipo capacitivo è caratterizzato da una reattanza negativa e da una suscettanza positiva. Inoltre porre : = + j equivale a scomporre una impedenza nelle sue componenti serie e porre : Y = G + j equivale a scomporre una ammettenza nelle sue componenti parallelo G Ponti in - zzani

4 PONTI PPOTO EE Si dicono ponti a rapporto reale quei ponti ove è possibile porre: = k.7 Tale situazione è possibile se gli elementi e sono o due resistenze o due pure reattanze. Infatti si ha : = = k = k reale positivo.8 = jω = jω k = k reale positivo.9 = = k = k reale positivo.0 jω jω = jω = k = k reale negativo. jω ω x x x x Equazione generale di equilibrio dei ponti a rapporto reale =. se nell'equazione generale di equilibrio dei ponti. si pone: = + j. = + j.4 si ottiene : + j = k + j = k + jk fig. Possibili strutture di ponti a rapporto reale.5 da cui eguagliando separatamente le parti reali e quelle immaginarie si ottiene: = k.6 = k.7 Dalla.6 essendo le valori reali e positivi si desume che il valore di k può solo essere positivo in altri termini ponti con k reale negativo (situazione. a pag. 5 fig. ultimo a destra) non possono andare in equilibrio. a.7 ci indica che le due reattanze del ponte ed x devono essere dello stesso tipo (entrambe induttive o capacitive). In totale si possono realizzare ben sei ponti a rapporto reale ( modi per realizzare un rapporto reale positivo e per ciascuno di Ponti in - zzani 4

5 essi due modi di combinare le reattanze). Il tipo di scomposizione indicato nelle formule. e.4 porta a prendere in considerazione un circuito elettrico costituito da due elementi (resistenza e reattanza) connessi in serie. Esempio : Il ponte di fig. è del tipo a rapporto reale; in cui valgono le seguenti relazioni : k = = =.8 ω ω che sostituite nelle espressioni.6 e.7 forniscono le condizioni di equilibrio del ponte di De Sauty riportato graficamente in fig. :.9 = = Esempio : Il ponte di fig. 4 è del tipo a rapporto reale; in cui valgono le seguenti relazioni : k = = =.0 ω ω x x fig. Ponte di De Sauty x x fig. 4 Ponte a rapporto reale che sostituite nelle espressioni.6 e.7 forniscono le seguenti condizioni di equilibrio particolari :. = = PONTI PPOTO IMMGINIO Si dicono ponti a rapporto immaginario quei ponti ove è possibile porre: = jk. Tale situazione è possibile se gli elementi che determinano il rapporto sono una pura resistenza l'uno e una pura reattanza l'altro. Infatti si ha : = jω = k = rapporto immaginario negativo. ω = = k = ω rapporto immaginario positivo.4 jω Equazione generale di equilibrio dei ponti a rapporto immaginario.7 = se nell'equazione generale di equilibrio dei ponti. si pone: = + j.8 = + j.9 Ponti in - zzani 5

6 si ottiene : + j = jk + j = jk k.0 da cui eguagliando separatamente le parti reali e quelle immaginarie si ottiene: = k. = k. Dalla. essendo un valore reale e positivo si desume che il prodotto k può assumere solo valori negativi; inoltre per la. il segno di k determina il segno della reattanza incognita. Si possono prospettare quindi le seguenti situazioni: ( ) k > 0 < 0 > 0. k < 0 > 0 < 0.4 In totale si possono realizzare due ponti a rapporto immaginario (uno con rapporto positivo e uno con rapporto negativo). o scambio fra e non introduce alcun elemento di novità nei ponti a rapporto immaginario. Esempio : Il ponte di figura è del tipo a rapporto immaginario; in cui valgono le seguenti relazioni : k = ω = ω =.5 ω che sostituite nelle espressioni. e. forniscono le condizioni di equilibrio del ponte di Owen riportato in fig. 5 : =.6 = x x fig. 5 Ponte di Owen PONTI PODOTTO EE Si dicono ponti a prodotto reale i ponti ove è possibile porre: = k.7 Tale situazione è possibile se gli elementi e sono o due resistenze o due pure reattanze. Infatti si ha : = = k = prodotto reale positivo.8 = jω = jω k = ω prodotto reale negativo.9 = = k = jω jω ω prodotto reale negativo.40 = jω = k = jω prodotto reale positivo.4 Ponti in - zzani 6

7 Equazione generale di equilibrio dei ponti a prodotto reale = = ky.4 se nell'equazione generale di equilibrio dei ponti si pone: = + j.4 Y = = G + j.44 si ottiene : + j = k G + j = kg + jk.45 da cui eguagliando separatamente le parti reali e quelle immaginarie si ottiene: = kg.46 = k.47 Dalla prima delle due relazioni si desume che, essendo e G valori reali e positivi, il valore di k può solo essere positivo in altri termini ponti con k reale negativo non possono andare in equilibrio. a seconda delle due relazioni ci indica che i due elementi reattivi del ponte x e devono essere dello stesso segno. Si possono prospettare quindi le seguenti situazioni: ( ) k > 0 < 0 < 0.48 k > 0 > 0 > 0.49 In totale si possono realizzare quattro ponti a prodotto reale (due modi per realizzare un prodotto reale positivo e per ciascuno di essi due modi di combinare le reattanze). Esempio 4: Il ponte di fig. 6 è del tipo a prodotto reale; in cui valgono le seguenti relazioni : k = G = = ω = ω.50 che sostituite nelle espressioni.46 e.47 forniscono le condizioni di equilibrio del Ponte di Maxwell riportato in fig. 6 : =.5 Esempio 5: Il ponte di fig. 7 è del tipo a prodotto reale; in cui valgono le seguenti relazioni : k = G = = = ω ω.5 che sostituite nelle espressioni.46 e.47 forniscono le seguenti condizioni di equilibrio particolari : = =.5 x x fig. 6 Ponte di Maxwell x x fig. 7 Ponte a prodotto reale Ponti in - zzani 7

8 PONTI PODOTTO IMMGINIO Si dicono ponti a prodotto immaginario i ponti ove è possibile porre: = jk.54 Tale situazione è possibile se gli elementi che determinano il prodotto sono una pura resistenza l'uno e una pura reattanza l'altro. Infatti si ha : = = jω k = ω prodotto immaginario positivo.55 = = k = jω ω prodotto immaginario negativo.56 Equazione generale di equilibrio dei ponti a prodotto immaginario inario = = jky.57 se nell'equazione generale di equilibrio dei ponti si pone: = + j.58 Y = = G + j.59 si ottiene : + j = jk G + j = jkg k.60 da cui eguagliando separatamente le parti reali e quelle immaginarie si ottiene: = k.6 = kg.6 Dalla. essendo un valore reale e positivo si desume che il prodotto k può assumere solo valori negativi; inoltre per la. il segno di k determina il segno della reattanza incognita. Si possono prospettare quindi le seguenti situazioni: ( ) k > 0 < 0 > 0.6 k < 0 > 0 < 0.64 In totale si possono realizzare due ponti a rapporto immaginario (uno con rapporto positivo e uno con rapporto negativo). o scambio fra e non introduce alcun elemento di novità nei ponti a prodotto immaginario. Esempio 6: Il ponte di fig. 8 è del tipo a prodotto immaginario; in cui valgono le seguenti relazioni : k = G = = ω =.65 ω ω che sostituite nelle espressioni.6 e.6 forniscono le seguenti condizioni di equilibrio particolari : x x fig. 8 Ponte a prodotto immaginario Ponti in - zzani 8

9 = Note onclusive =.66 - I ponti in corrente alternata effettivamente impiegati per la misura di induttori o di condensatori contengono preferibilmente come elementi campioni solo esistori e ondensatori di precisione per un semplice motivo: è più facile infatti realizzare un condensatore con perdite trascurabili, piuttosto che un induttore. - Gli elementi del ponte che determinano il valore numerico del prodotto o del rapporto variano congiuntamente in modo da determinare una variazione dell'ordine di grandezza del componente (in caso di capacità si potrà passare da pf a nf e successivamente ai µf); il rimanente elemento del ponte invece varierà con continuità. - I ponti in corrente alternata effettivamente impiegati forniscono il valore del componente reattivo (x oppure x) ed il valore del fattore di bontà Q (nel caso di induttori) tgδ (nel caso di condensatori); noto il valore della frequenza f a cui viene effettuata la misura, è possibile risalire facilmente ai valori delle resistenze di perdita serie o parallelo del componente reattivo sotto misura. Misura di Mutua Induttanza Il concetto di Mutua Induzione si riferisce a circuiti elettrici fra di loro isolati che risultano magneticamente accoppiati. Quando si considerano due circuiti mutuamente accoppiati è obbligatorio indicare oltre alla convenzione di segno per V e I anche quella per il flusso Φ. a convenzione è rappresentata da un "pallino" collocato in prossimità di uno dei due conduttori che fanno capo all'induttanza. Si conviene di ritenere positivo il flusso magnetico prodotto da correnti entranti dal lato contrassegnato dal "pallino". I I VVOGIMENTO "" VVOGIMENTO "" 4 Si consideri il circuito di fig. in esso risulta : Φ = I flusso di autoinduzione prodotto dalla corrente I sull'avvolgimento Φ = I flusso di autoinduzione prodotto dalla corrente I sull'avvolgimento Φ = MI flusso di mutua induzione prodotto dalla corrente I sull'avvolgimento Φ = MI flusso di mutua induzione prodotto dalla corrente I sull'avvolgimento Pertanto si avrà: Φ = Φ + Φ = I + MI.67 Φ = Φ + Φ = I + MI fig. 9 Mutua Induzione fra due circuiti.68 Ponti in - zzani 9

10 i poniamo ora il problema di misurare M che ovviamente essendo un coefficiente di proporzionalità fra flusso Φ e intensità di corrente I si misurerà ovviamente in Henry. I I 4 Nel circuito di fig. 0 i due avvolgimenti sono stati connessi in serie ( con ) in modo tale da realizzare la condizione di "flussi concordi"; risulta quindi che : I = I.69 ΦT = Φ + Φ = I + + M.70 Φ ( M ) T = = I fig. 0 onnessione serie flussi concordi c rappresenta il valore di induttanza misurato fra i morsetti e 4 del circuito di fig. 0. I I 4 Nel circuito di fig. i due avvolgimenti sono stati connessi in serie ( con 4) in modo tale da realizzare la condizione di "flussi discordi"; risulta quindi che : I = I.7 ΦT = Φ Φ = I + M.7 D Φ ( M ) T = = +.74 I fig. onnessione serie con flussi discordi d rappresenta il valore di induttanza misurato fra i morsetti e del circuito di fig.. Sottraendo membro a membro dalla.7 la.74 risulta : M D =.75 4 Ponti in - zzani 0

11 Sul circuito di fig. 9 possono quindi essere effettuate 4 misure : Misura di fra i morsetti e lasciando aperti e 4. Misura di fra i morsetti e 4 lasciando aperti e. Misura di c fra i morsetti e 4 (vedi fig. 0), Misura di d fra i morsetti e (vedi fig. ). onsiderazioni sul fattore di bontá Q Dicesi fattore di bontà di un componente reattivo il rapporto esistente fra il modulo della potenza reattiva scambiata ed il valore della potenza attiva dissipata. Q = Potenza reattiva scambiata Potenza attiva dissipata Se la misura di viene effettuata utilizzando un ponte in corrente alternata, oltre alla misura di il ponte fornisce anche il valore del coefficiente di bontà Q. È interessante notare che la misura di c fornisce di solito un valore di Q discretamente più elevato rispetto al valore ricavato dalle misure di, e di d. Il fatto può essere spiegato riferendoci al seguente ragionamento: quando si effettua la misura di c (vedi fig. 6) a numeratore della.76 avremo i contributi di potenza reattiva dovuti a, ed M; mentre al denominatore figureranno i contributi di potenza attiva che si vengono a produrre in e. Si può dimostrare che il valore massimo teorico del coefficiente di mutua induzione M è dato dalla relazione: M M =.77 poichè M risulta:.76 0 < M M M.78 è conveniente porre : M = k M = k.79 M ovviamente k, denominato "coefficiente di accoppiamento" risulta così definito : M M k = = M M.80 0 < k.8 ibliografia: Giuseppe ingales orso di Misure Elettriche leup Padova Giometti Frascari Manuale per il aboratorio di Misure Elettroniche alderini ologna Ponti in - zzani