S.Barbarino - Appunti di Fisica II. Cap. 11. Campi magnetici nella materia: II Sorgenti del campo magnetico. Intensitá magnetica

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1 SBarbarino - Appunti di Fisica II Cap Campi magnetici nella materia: II - Sorgenti del campo magnetico Intensitá magnetica In generale, dato un pezzo di materia, in esso sono presenti correnti ordinarie o vere, misurabili in laboratorio, e correnti atomiche all interno della materia In generale, quindi: B( r) = µ J ( r r ) 4π V r r 3 d 3 r µ U ( r) + µ M( r) () La densitá di corrente J rappresenta tutte le effettive correnti dei veri trasportatori di carica, mentre l effetto delle correnti atomiche é contenuto nel vettore magnetizzazione M In generale J é un dato del problema mentre M dipende da B che a sua volta dipende da M Definiamo un vettore magnetico ausiliario, l intensitá magnetica H definita da: H = µ B M (2) Allora, la () si puó scrivere: H( r) = J ( r r ) 4π V r r 3 d 3 r U ( r) (3) L unitá di misura di H sono le stesse di M cioé A/m 2 - Le equazioni del campo Abbiamo visto che, in assenza di magnetizzazione le equazioni della magnetostatica sono: B = B = µ J (2) Vogliamo vedere, ora, come queste equazioni vengono modificate quando il campo magnetico B é dovuto anche ad un materiale magnetizzato Ricordiamo che l equazione della divergenza B = é stata ottenuta poiché B si puó esprimere come rotore della funzione vettoriale A Ma questo risultato non é limitato ai campi magnetici creati dalle correnti ordinarie Il campo creato dalla materia magnetizzata é pure ricavabile da un potenziale vettore Quindi: B = (22) anche in presenza di materia magnetizzata Nel caso dell equazione del B dobbiamo includere tutti i tipi di corrente che possono creare un campo magnetico: B = µ ( J + JM ) (23) -

2 SBarbarino - Appunti di Fisica II dove J é la densitá di corrente vera e J M é la densitá di corrente di magnetizzazione Osserviamo che J M diventerá j m nel caso di magnetizzazione uniforme La (23) si puó scrivere: ( ) B M = J µ (24) che equivale a: H = J (25) In forma integrale abbiamo: H nda = S C H d l = S J nda (26) o che é lo stesso H d l = I (27) C che rappresenta la Legge di Ampere nella forma piú generale, cioé in presenza di mezzi materiali É opportuno sottolineare che i campi E e B sono i campi fondamentali I campi ausiliari D e H sono stati introdotti per ragioni di convenienza, allo scopo di descrivere il contributo medio delle cariche e delle correnti atomiche alle distribuzioni di sorgenti ρ e J 3 - La suscettivitá e permeabilitá magnetica Nella teoria magnetica, per risolvere i problemi occorre avere una relazione fra B e H o, che é lo stesso, fra M e uno dei vettori del campo magnetico Queste relazioni dipendono dalla natura del materiale magnetico e ordinariamente si ricavano sperimentalmente Per una ampia classe di materiali esiste una relazione approssimativamente lineare fra M e H Se il materiale é isotropo, oltre che lineare, M = χm H dove la quantitá scalare adimensionale χ m é detta suscettivitá magnetica Se χ m é positivo il materiale é paramagnetico e l induzione magnetica é rafforzata dalla presenza del materiale Se χ m é negativo il materiale é diamagnetico e l induzione magnetica é indebolita dalla presenza del materiale Per quanto χ m sia una funzione della temperatura e talvolta varii moltissimo con la temperatura, si puó dire in generale che χ m per i materiali paramagnetici e diamagnetici é molto piccolo, cioé: χ m << per i materiali dia paramagnetici (3) Materiale Alluminio Bismuto χ m

3 SBarbarino - Appunti di Fisica II Rame Diamante Cloruro di Gadolino (GdCl 3 ) Oro Magnesio Mercurio Argento Sodio Titanio Tungsteno Biossido di Carbonio ( atm) Idrogeno ( atm) Azoto ( atm) Ossigeno ( atm) Una relazione lineare fra M e H comporta pure una relazione lineare fra B e H, cioé possiamo scrivere: B = µ H (32) Tenendo conto della (2) possiamo scrivere: H = µ µ H M e per la M = χ m H si ha: µ = µ ( + χ m ) (33) La quantitá µ r = µ µ (34) prede il nome di permeabilitá magnetica relativa Si puó anche scrivere: µ r = ( + χ m ) (35) 4 - Materiali ferromagnetici I materiali ferromagnetici costituiscono un altra classe di materiale magnetico Tale materiale é caratterizzato da una possibile magnetizzazione permanente e dal fatto che la sua presenza ordinariamente ha un notevole effetto sull induzione magnetica I materiali ferromagnetici non sono lineari, cosicché le equazioni M = χm H e B = µ H non sono valide, ma bisogna considerare che µ é una funzione di H cioé µ = µ( H) Consideriamo un campione non magnetizzato di materiale ferromagnetico Se la intensitá magnetica, inizialmente nulla, viene accresciuta monotonicamente, allora la relazione B H é rappresentata da una curva come in figura

4 SBarbarino - Appunti di Fisica II Curva di magnetizzazione B-H 6 5 B (Wb/m 2 ) µ r H µ r H (A m ) fig4- Questa si chiama curva di magnetizzazione del materiale La massima permeabilitá si ha nel ginocchio (punto di flesso) della curva; l esistenza di questo flesso é dovuta al fatto che nel materiale la magnetizzazione raggiunge un massimo e B che é dato da: B = µ ( H + M) (4) per valori grandi di H continua a crescere per la presenza del termine µo H Il massimo valore di H dicesi saturazione magnetica del materiale Consideriamo un campione di materiale ferromagnetico magnetizzato col procedimento suddetto Se si abbassa l intensitá magnetica H, la relazione B H non segue la curva di figura 4-, ma si muove lungo una nuova curva fino al punto r come in figura 4-2 La magnetizzazione, una volta provocata, non sparisce se si toglie H; infatti per portare la magnetizzazione a zero occorre una intensitá magnetica inversa Se H continua a crescere nel verso opposto allora M (e quindi B) aumenta anch esso nel verso opposto e la figura comincia a presentare una certa simmetria Infine quando H comincia a crescere di nuovo il vettore M segue di nuovo la curva inferiore di figura 4-2 diversa dalla curva per H decrescente Questo fenomeno dicesi isteresi, dal termine greco che significa ritardo; la magnetizzazione letteralmente rallenta il campo eccitante La curva prende il nome di ciclo di isteresi del materiale Il valore di B nel punto r dicesi induzione residua; il valore di H nel punto c dicesi forza coercitiva o coercivitá del materiale É evidente che il valore di µ é negativo nel secondo e nel quarto quadrante del diagramma La forma del - 4

5 SBarbarino - Appunti di Fisica II ciclo di isteresi dipende non solo dalla natura del materiale ferromagnetico ma anche dal massimo valore di H al quale il materiale é sottoposto Peró il ciclo di isteresi non varia se si aumenta il valore H max dove H max é il valore sufficiente a produrre la saturazione del materiale Per certe applicazioni occorre conoscere l effettiva permeabilitá di un materiale ad un piccolo campo alternato H sovrapposto ad un grande campo costante Cosí se B é la variazione nell induzione magnetica, provocata da una variazione H nell intensitá magnetica, la permeabilitá incrementale é definita da: µ increm = B H (42) ed é approssimativamente uguale alla pendenza della curva di isteresi passante attraverso il punto in questione 2 Curva B - H per un tipico acciaio duro 5 r 5 B (Wb/m 2 ) c H (A m ) fig4-2 In figura 43 sono rappresentate due tipiche curve di isteresi abbastanza diverse: una per l acciaio al tungsteno (W) giá riportato in figura 4-2 e l altra per il ferro dolce - 5

6 SBarbarino - Appunti di Fisica II I materiali ferromagnetici sono impiegati o per accrescere il flusso magnetico di un circuito di corrente o come fonte del campo magnetico (magneti permanenti) Per l impiego come magnete permanente si magnetizza dapprima il materiale sino alla saturazione ponendolo in un campo magnetico intenso cioé ponendolo fra i poli di un elettromagnete o ponendolo in un solenoide in cui si fa passare una intensa corrente 2 Curva B - H per due materiali tipici 5 B (Wb/m 2 ) 5 Acciaio al tungsteno ricotto (6% W) F erro commerciale (ricotto) H (A m ) fig

7 SBarbarino - Appunti di Fisica II 5 - Le condizioni al contorno sui vettori del campo Prima di poter risolvere i problemi magnetici anche semplici, dobbiamo conoscere come i vettori del campo B e H cambiano attraversando la superficie di separazione fra due mezzi La superficie di separazione da considerare deve essere fra due mezzi con proprietá magnetiche diverse o fra un mezzo materiale e il vuoto fig5-2 B 2 H 2 n 2 B H A B C D Consideriamo due mezzi e 2 a contatto Costruiamo la superficie S a forma di cilindretto intersecante la superficie di separazione; l altezza del cilindretto é trascurabile rispetto al diametro delle basi Applichiamo la legge: S B nda = Si ha: S B nda = S l B nda + S b B2 n 2 da + S b B n da = (5) Siccome siamo interessati alla superficie di separazione facciamo tendere l altezza del cilindretto a zero Poiché risulta n 2 = n, la (5) si puó scrivere: S b ( B2 B ) n 2 da = (52) - 7

8 SBarbarino - Appunti di Fisica II Data l arbitrarietá di S b si ha: ( B2 B ) n 2 S b = ossia B 2n B n = (53) cioé la componente normale del vettore induzione magnetica é continua sulla superficie di separazione fra due mezzi diversi Analogamente consideriamo il rettangolo che taglia la superficie di separazione ed applichiamo la legge di Ampere: γ H d l = AB H 2 d l 2 + CD Al limite per h si ha che: H d l + corrente superficiale e la (54) diventa: l S H 2 d l 2 + l BC J mda = H d l + H d l = l S DA H d l = S J mda (54) J S mda dove J S é la densitá di J S mdl (55) che si puó scrivere: ( H2t H t) l = J S m (56) Se J S = come in tutti i casi reali, risulta: H 2t H t = (57) cioé in assenza di corrente superficiale, la componente tangenziale del campo magnetico é continua sulla superficie di separazione fra due mezzi diversi - 8

9 SBarbarino - Appunti di Fisica II 6 - Problemi di condizioni al contorno di natura magnetica In assenza di correnti di conduzione, le equazioni della magnetostatica, sono: B = H = (6) Dalla (6) segue che il campo magnetico puó essere derivato da una funzione scalare che indichiamo con U, cioé: H = U (62) Pertanto, se B = µ H, ne segue B = µ U che sostituito nella prima delle (6), comporta: 2 U = (63) Ne segue che i problemi di condizioni al contorno coinvolgenti mezzi magnetici senza corrente di conduzioni si possono risolvere attraverso l equazione (63) che é una equazione di Laplace 7 - Sfera magnetica posta in campo magnetico uniforme in assenza di corrente superficiale Supponiamo di avere una sfera di materiale magnetico lineare di raggio a e permeabilitá µ, posta in una zona di campo magnetico inizialmente uniforme B Vorremmo determinare come il campo magnetico viene modificato dalla presenza della sfera ed in particolare determinare il campo nella sfera stessa Il problema della sfera, pertanto, consiste nella soluzione dell equazione di Laplace in coordinate sferiche come abbiamo fatto per il caso della sfera conduttrice posta in un campo elettrico uniforme Poniamo l origine del nostro sistema di coordinate nel centro della sfera e prendiamo l orientamento di B come asse polare L espressione del potenziale é: U(r,θ) = A +C r +A 2r cos θ+c 2 r 2 cos θ+ 2 A 3r 2 ( 3cos 2 θ ) + 2 C ( 3 3cos 2 r 3 θ ) + (7) Il campo esterno si ottiene dopo avere imposto le condizioni all infinito cioé che per r : ] B(r,θ) = B ẑ ossia U(r,θ)] r = H r cos θ + cost (72) r Il campo magnetico interno si ottiene dopo aver imposto che per r = il potenziale non diverga Pertanto, in analogia a quanto abbiamo detto nel caso della sfera conduttrice posta in un campo elettrico, dobbiamo avere: U ext = cost + C r H r cos θ + C 2 r 2 cos θ + 2 C 3r 3 ( 3cos 2 θ ) + (73) U int = A + A 2 r cos θ + 2 A 3r 2 ( 3cos 2 θ ) + (74) - 9

10 SBarbarino - Appunti di Fisica II Applichiamo le condizioni al contorno: H θint (a,θ) = H θext (a,θ) (75) B rint (a,θ) = B rext (a,θ) (76) dove naturalmente: H θ = r U θ B r = µ U r (77) U int θ = A 2 r sinθ 3A 3 r 2 cos θ sinθ + (78) U ext θ = H r sinθ C 2 r 2 sin θ 3C 3 r 3 cos θ sinθ + (79) U ext r U int r = A 2 cos θ + A 3 r ( 3cos 2 θ ) + (7) = C r 2 H cos θ 2C 2 r 3 cos θ 3 2 C ( 3 3cos 2 r 4 θ ) (7) La (75) e la (76), allora, si scrivono: che si traducono nelle: a µ Uint θ Uint r ] ] (r=a) = a (r=a) Uext θ ] (r=a) ] Uext = µ r (r=a) (72) (73) A 2 asin θ 3A 3 a 2 cos θ sin θ + = H asin θ C 2 a 2 sinθ 3C 3 a 3 cos θ sin θ + (74) µa 2 cos θ + µa 3 a(3cos 2 θ ) + = = µ C a 2 µ H cos θ 2C 2 µ a 3 cos θ 3 2 C 3 a 4 µ (75) (3cos 2 θ ) + Perché la (74) e la (75) siano verificate occorre che: A 2 a = H a C 2 a 2 (76) 3A 3 a 2 = 3C 3 a 3 (77) µa 3 a = µ C a µ C 3 a 4 (78) µa 2 = µ H 2C 2 µ a 3 (79) µa 3 a = 3 2 µ C 3 a 4 (72) -

11 SBarbarino - Appunti di Fisica II Si vede subito che la (77) é compatibile con la (72) se e solo se: A 3 = C 3 = e quindi A i = C i = per i > 3 (72) Ne segue dalla (78) che anche C = Pertanto le uniche costanti diverse da zero sono A 2 e C 2 che si possono calcolare dal sistema costituito dalla (76) e dalla (79): A 2 a = H a C 2 a 2 (722) la cui soluzione é: Ne segue, pertanto, dopo aver posto H = B µ : µa 2 = µ H 2C 2 µ a 3 (723) A 2 = 3µ H (724) µ + 2µ ( ) µ a 3 µµ C 2 = H (725) µ + 2µ ( ) U ext = cost B B a 3 µµ r cos θ + r 2 cos θ (726) µ µ + 2µ Posto µ = µ r µ si ha: U int = A 3B µ + 2µ r cos θ (727) U ext = cost B µ r cos θ + B a 3 (µ r ) µ (µ r + 2) r 2 cos θ (728) Per r = a: U int = A 3B r cos θ (729) µ (µ r + 2) U ext(r=a) = cost B acos θ + B a(µ r ) µ µ (µ r + 2) cos θ = cost 3B acos θ (73) µ (µ r + 2) U int(r=a) = A 3B acos θ (73) µ (µ r + 2) Per la continuitá del potenziale sui punti della sfera, deve essere: A = cost -

12 SBarbarino - Appunti di Fisica II Quindi, in definitiva i potenziali descriventi i campi magnetici nei punti fuori la sfera e dentro la sfera sono: U ext = cost B µ r cos θ + B a 3 (µ r ) µ (µ r + 2) r 2 cos θ (732) U int = cost 3B r cos θ (733) µ (µ r + 2) Vogliamo porre la nostra attenzione sul campo di induzione magnetica nei punti interni alla sfera: B int = µ U int (734) ossia: B rint = µ U int r B θint = µ r U int θ (735) 3B B rint = µ µ (µ r + 2) cos θ B 3B θint = µ sinθ (736) µ (µ r + 2) É utile esprimere il campo nelle componenti cartesiane: B z = B r cos θ B θ sinθ = 3B µ r µ r + 2 (737) ossia: Ne segue, quindi, che: B x = B r sin θ + B θ cos θ = (738) B int = Per il calcolo del campo esterno si ha: B rext = µ U ext r B rext = B cos θ + 2B a 3 µ r µ r + 2 3µ r µ r + 2 B ẑ (739) B ext = µ Uext (74) U ext B θext = µ r θ r 3 cos θ B θext = B sinθ + B a 3 µ r µ r + 2 Il campo esterno espresso in componenti cartesiane é: B zext = B cos 2 θ + 2B a 3 µ r µ r + 2 r 3 cos2 θ + B sin 2 θ B a 3 µ r µ r + 2 = B + B ( a r - 2 ) 3 ( µr µ r + 2 r 3 sin2 θ = ) (2cos 2 θ sin 2 θ ) (74) r 3 sin θ (742) (743)

13 SBarbarino - Appunti di Fisica II ( a ) 3 µr B xext = B cos θ sinθ + 2B cos θ sinθ r µ r + 2 ( a ) 3 µr ( a ) 3 (744) B cos θ sinθ + B r µ r + 2 cos θ sinθ = 3B µr r µ r + 2 cos θ sinθ Si osservi che per µ r abbastanza elevato µ r tende all unitá e quindi per r = a µ r + 2 B θext tende a zero; quindi nei corpi con alta permeabilitá magnetica il campo esterno é ortogonale alla superficie del corpo cioé il loro comportamento é analogo a quello dei conduttori perfetti Le linee di forza sia del campo magnetico interno che del campo magnetico esterno hanno identico comportamento di quelle relative alla sfera dielettrica posta in campo elettrostatico uniforme; in questo caso il parametro η é dato, come si evince dalle (742), dall espressione: η = µ r (745) µ r + 2-3

14 SBarbarino - Appunti di Fisica II 8 - Schermaggio magnetico: strato sferico di materiale permeabile in un campo magnetico uniforme Si supponga che in una regione di spazio vuoto esista inizialmente una induzione magnetica B Si disponga un corpo permeabile in questa regione Le linee di forza dell induzione magnetica risulteranno deformate Se la permeabilitá del corpo é molto alta ci aspettiamo che le linee di forza tendano, in prossimitá del corpo, a disporsi perpendicolarmente alla sua superficie Sviluppando ulteriormente l analogia con i corpi conduttori ci aspettiamo anche che, se il corpo é cavo, il campo all interno della cavitá risulti di intensitá minore che all esterno, tendendo a zero, al limite per µ r che tende all infinito Una tale riduzione del campo nella cavitá viene attribuita ad una azione di schermaggio magnetico esercitata dal materiale permeabile Essa é di notevole importanza pratica, in quanto spesso é necessario o desiderabile creare regioni di spazio essenzialmente senza campo a scopi di misura o per un buon funzionamento di apparecchiature elettroniche Come esempio del fenomeno dello schermaggio magnetico consideriamo uno strato sferico di raggio interno a e raggio esterno b, costituito di un materiale magnetico di permeabilitá µ, introdotto in una regione, di permeabilitá µ µ come la regione cava, in cui la induzione magnetica preesistente era B, uniforme e costante a b fig8- Vogliamo determinare il campo di induzione magnetica in tutti i punti dello spazio, ma in particolare all interno della cavitá (r < a) in funzione della permeabilitá µ dello strato Dato che non ci sono correnti, il campo magnetico H, al solito, é derivabile da un potenziale scalare: H = U Inoltre, siccome B = µ H, l equazione della divergenza B = diventa H = Dunque il potenziale U soddisfa ovunque all equazione di Laplace e il problema si riduce a trovare le appropriate soluzioni nelle diverse regioni, in modo da soddisfare le condizioni al contorno per r = a e r = b Cominciamo a scrivere la soluzione generale per il potenziale: U(r,θ)=A +C r +A 2 r cos θ+c 2 r 2 cos θ+ 2 A 3r 2( 3cos 2 θ ) + 2 C 3r 3( 3cos 2 θ ) + (8) Imponiamo le solite condizioni per le varie regioni dove si considera il campo - 4

15 SBarbarino - Appunti di Fisica II Per r > b il potenziale é: U (r>b) = cost + C r H r cos θ + C 2 r 2 cos θ + 2 C 3r 3 ( 3cos 2 θ ) + (82) Per r < a il potenziale é: U (r<a) = A + A 2 r cos θ + 2 A 3r 2 ( 3cos 2 θ ) + (83) Per a < r < b il potenziale é: U rab =A +C r +A 2r cos θ+c 2r 2 cos θ+ 2 A 3r 2( 3cos 2 θ ) + 2 C 3r 3( 3cos 2 θ ) + (84) Le condizioni al contorno sono: ) H θ(r>b) (b,θ) = H θ(rab) (b,θ) (85) 2) B r(r>b) (b,θ) = B r(rab) (b,θ) (86) 3) H θ(r<a) (a,θ) = H θ(rab) (a,θ) (87) 4) B r(r<a) (a,θ) = B r(rab) (a,θ) (88) dove: H θ(r>b) = r H θ(rab) = r H θ(r<a) = r θ U (r>b) (89) θ U (rab) (8) θ U (r<a) (8) B r(r>b) = µ r U (r>b) (82) B r(rab) = µ r U (rab) (83) che, sviluppate, diventano: B r(r<a) = µ r U (r<a) (84) H θ(r>b) = H sinθ + C 2 r 3 sinθ + 3C 3 sinθ cos θ + r4 (85) H θ(rab) = A 2 sin θ + C 2 r 3 sin θ + 3A 3r cos θ sin θ + 3C 3r 4 cos θ sinθ + (86) H θ(r<a) = A 2 sin θ + 3A 3 r cos θ sinθ + (87) - 5

16 SBarbarino - Appunti di Fisica II B r(r>b) = µ C r 2 + µ H cos θ + 2µ C 2 r 3 cos θ µ C 3 r 4 ( 3cos 2 θ ) + (88) B r(rab) = µ C r 2 µa 2 cos θ+2µc 2 r 3 cos θ µa 3r ( 3cos 2 θ ) µc 3 r 4 (3cos2 θ )+ (89) B r(r<a) = µ A 2 cos θ µ A 3 r ( 3cos 2 θ ) + (82) Allora, le condizioni al contorno (85), (86), (87), (88), si scrivono: ) H sinθ + C 2 b 3 sinθ + 3C 3 sinθ cos θ + = b4 = A 2 sinθ + C 2 b 3 sinθ + 3A 3bcos θ sin θ + 3C 3b 4 cos θ sinθ + (82) C 2) µ b 2 + µ C 2 H cos θ + 2µ b 3 cos θ µ ( C 3 3cos 2 b 4 θ ) + = = µ C b 2 µa 2 cos θ + 2µC 2 b 3 cos θ µa 3b ( 3cos 2 θ ) µc 3 b 4 (3cos2 θ ) + (822) 3) A 2 sinθ + 3A 3 acos θ sinθ + = = A 2 sinθ + C 2 a 3 sinθ + (823) 3A 3acos θ sinθ + 3C 3a 4 cos θ sinθ + 4) µ A 2 cos θ µ A 3 a ( 3cos 2 θ ) + = = µ C a 2 µa 2 cos θ + 2µC 2 a 3 cos θ µa 3a ( 3cos 2 θ ) + 3 ( 2 µc 3 3cos 2 a 4 θ ) + (824) Perché l equazione (82) sia soddisfatta occorre che: ) H + C 2 b 3 A 2 C 2 b 3 = (825) 2) Perché l equazione (822) sia soddisfatta occorre che: 3) 3C 3 b 4 3A 3b 3C 3 b 4 = (826) µ C b µ C 3 b 4 µc b 2 µa 3b µc 3 b 4 = (827) C 2 4) µ H + 2µ b 3 + µa 2 2µC 2 b 3 = (828) 9 5) 2 µ C 3 b 4 + 3µA 3b 9 2 µc 3 b 4 = (829) Perché l equazione (823) sia soddisfatta occorre che: 6) A 2 A 2 C 2 a 3 = (83) - 6

17 SBarbarino - Appunti di Fisica II 7) 3A 3 a 3A 3a 3C 3a 4 = (83) Perché l equazione (824) sia soddisfatta occorre che: 8) µ A 3 a µa 3a µc 3 a 4 µc a 2 = (832) 9) µ A 2 + µa 2 2µC 2 a 3 = (833) ) 3µ A 3 a + 3µA 3a 9 2 µc 3 a 4 = (834) Consideriamo le equazioni ), 4), 6), 9) nelle incognite A 2, A 2, C 2, C 2 che sono indipendenti dalle altre equazioni: che, ordinando, si scrivono: ) H + C 2 b 3 A 2 C 2 b 3 = (835) C 2 4) µ H + 2µ b 3 + µa 2 2µC 2 b 3 = (836) 6) A 2 A 2 C 2 a 3 = (837) 9) µ A 2 + µa 2 2µC 2 a 3 = (838) ) A 2 + C 2 b 3 C 2 b 3 = +H (839) 4) µa 2 + 2µ C 2 b 3 2µC 2 b 3 = µ H (84) Calcoliamo il determinante dei coefficienti: 6) A 2 A 2 C 2 a 3 = (84) 9) µ A 2 + µa 2 2µC 2 a 3 = (842) b 3 b 3 µ 2µ = b 3 2µ b 3 a 3 µ µ 2µ a 3-7 (843)

18 SBarbarino - Appunti di Fisica II ( = µ µ a 3 Pertanto: A 2 = A 2 = b 3 b 3 = µ 2µ b 3 2µ b 3 b 3 b 3 + µ µ 2µ µ 2µ b 3 2µ b 3 (844) a 3 a 3 2µ ) b 6 + 2µ b 6 2 µa ( 3 2µ b 3 µ ) ( b 3 µ 2µ ) b 6 + 2µ b 6 ( 2µ b 3 µ ) b 3 = (µ µ ) (µ µ) 2 b 6 + (2µ + µ ) (2µ + µ) a 3 b 3 = = ] 2 a3 a 3 b 3 b 3 (µ µ ) 2 + (2µ + µ ) (2µ + µ) H {H 2µ b 3 In definitiva: Analogamente: (845) H b 3 b 3 A 2 = µ H µ +2µ b 3 2µ b 3 (846) a 3 µ 2µ a 3 µ 2µ b 3 2µ b 3 b 3 b 3 a 3 + µ H µ 2µ a 3 (847) a 3 µ 2µ a 3 (2µ a 3 + µ a )] 3 + µ H b (2µ a µ a )]} 3 = 9µB a 3 b 3 (848) A 2 = 9µB ] (849) (2µ + µ ) (2µ + µ) 2 a3 b 3 (µ µ ) 2 H b 3 b 3 A 2 = µ H +2µ b 3 2µ b 3 a 3 µ 2µ a 3 (85) A 2 = H b 3 b 3 µ H 2µ b 3 2µ b 3 2µ a 3 + µ H b 3 b 3 µ H 2µ b 3 2µ b 3 a 3 (85) - 8

19 SBarbarino - Appunti di Fisica II A 2 = In definitiva: { 2 µa 3 2µ H b 3 + µ A 2 = ] H b 3 µ 2µ H a 3 b 3 + µ ]} H b 3 = 3B a 3 b 3 (2µ + µ ) (852) 3(2µ + µ ) B ] (853) (2µ + µ ) (2µ + µ) 2 a3 b 3 (µ µ ) 2 La costante C 2 si puó calcolare direttamente dalla equazione 6) cioé dalla (84): C 2 = a 3 (A 2 A 2) = 9µ + 3(2µ + µ )]B a 3 ] (854) (2µ + µ ) (2µ + µ) 2 a3 b 3 (µ µ ) 2 In definitiva: C 2 = 3(µ µ ) B a 3 ] (855) (2µ + µ ) (2µ + µ) 2 a3 b 3 (µ µ ) 2 Resta da calcolare C 2 H b 3 C 2 = µ µ H 2µ b 3 a 3 µ µ 2µ a 3 (856) C 2 = H b 3 µ µ H 2µ H b 3 b 3 + µ µ µ H 2µ µ 2µ b 3 (857) a 3 a 3 C 2 = ( µ 2µ H b 3 µ ) H b 3 2µ ] a 3 (µ H µh ) + + ( µ 2µ H b 3 µ ) H b 3 µ ] (858) a 3 (µ H µh ) che si puó ancora scrivere: C 2 = (µ µ ) (2µ + µ ) H = b 3 (2µ + µ ) (µ µ) H ] a 3 = ( a 3 )] b 3 = H (2µ + µ ) (µ µ ) = ( (2µ + µ ) (µ µ ) H b 3 a 3) a 3 b 3-9 (859)

20 SBarbarino - Appunti di Fisica II che, in definitiva, si scrive: C 2 = (2µ + µ ) (µ µ ) ( b 3 a 3) H ] (86) (2µ + µ ) (2µ + µ) 2 a3 b 3 (µ µ ) 2 Riassumiamo le espressioni delle costanti che abbiamo trovato: A 2 = A 2 = 9µB ] (86) (2µ + µ ) (2µ + µ) 2 a3 b 3 (µ µ ) 2 3(2µ + µ ) B ] (862) (2µ + µ ) (2µ + µ) 2 a3 b 3 (µ µ ) 2 C 2 = C 2 = (2µ + µ ) (µ µ ) ( b 3 a 3) H ] (863) (2µ + µ ) (2µ + µ) 2 a3 b 3 (µ µ ) 2 3(µ µ ) B a 3 ] (864) (2µ + µ ) (2µ + µ) 2 a3 b 3 (µ µ ) 2 Vogliamo esprimere questi quattro coefficienti in funzione della permeabilitá magnetica relativa µ r Poiché µ = µ µ r e il denominatore si puó scrivere: le formule diventano: = µ 2 (2µ r + ) (µ r + 2) 2µ 2 a 3 ] b 3 (µ r ) 2 (865) A 2 = A 2 = 9µ r B ] (866) µ (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 3(2µ r + )B ] (867) µ (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 C 2 = C 2 = (2µ r + ) (µ r ) ( b 3 a 3) H ] (868) (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 3(µ r ) B a 3 ] (869) µ (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2-2

21 SBarbarino - Appunti di Fisica II Per il calcolo degli altri coefficienti, si procede nella seguente maniera Si moltiplichi l equazione 8) per 3 e la si confronti con la ): si trova C = Analogamente moltiplicando l equazione 3) per 3, dopo aver posto C = e confrontandola con la 5) si trova C = Le equazioni restanti cioé la 2), 5), 7), ) formano un sistema omogeneo e si puó facilmente verificare che il determinante dei coefficienti é diverso da zero, per cui esso ammette la soluzione banale per A 3, A 3, C 3 e C 3, nonché per tutti gli altri coefficienti di ordine superiore a tre - 2

22 SBarbarino - Appunti di Fisica II Calcolo delle componenti dell induzione magnetica nella regione interna (regione cava, r < a) Le componenti del campo di induzione magnetica nella regione cava del sistema, che é quella di maggior importanza fisica, si ottengono dalla (87) e dalla (82) dopo l opportuna sostituzione delle costanti trovate Si ha: B r(r<a) = 9µ r B cos θ ] (87) (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 9µ r B sin θ B θ(r<a) = ] (87) (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 É interessante osservare che per µ r >>, le formule (87) e (87) si possono scrivere: B r(r<a) = 9µ rb cos θ ( ) (872) 2µ 2 r a3 b 3 In coordinate cartesiane, si ha: Ne segue: B θ(r<a) = 9µ rb sin θ ( ) (873) a3 b 3 2µ 2 r B z = B r cos θ B θ sin θ, B x = B r sinθ + B θ cos θ (874) B z(r<a) = 9B ( ), B x = (875) 2µ r a3 b 3 Il campo di induzione magnetica, nella regione interna allo strato, ha la stessa direzione e verso del campo esterno preesistente (imperturbato), ossia le linee di forza sono parallele all asse z Esso (nell ipotesi µ r >> ) risulta proporzionale a µ r Di conseguenza uno schermo costruito con materiale di alta permeabilitá µ r 3 6 riduce a valori assai piccoli il campo all interno anche se lo spessore dello schermo é relativamente piccolo Calcolo delle componenti dell induzione magnetica nella regione esterna (r > b) Le componenti del campo di induzione magnetica nella regione esterna allo strato si ottengono dalla (88) e dalla (85) dopo l opportuna sostituzione delle costanti - 22

23 SBarbarino - Appunti di Fisica II trovate Si ha: (2µ r + ) (µ r ) ( b 3 a 3) H θ(r>b) = H sinθ + ] (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 r 3 H sinθ (876) (2µ r + ) (µ r ) ( b 3 a 3) B r(r>b) = µ H cos θ + 2µ ] (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 r 3 H cos θ (877) che é conveniente scrivere nella forma: B r(r>b) = B ( + γ 2 r 3 ) cos θ (878) B θ(r>b) = B ( γ r 3 ) sinθ (879) avendo posto: γ = (2µ r + ) (µ r ) ( b 3 a 3) ] (88) (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 Calcolo delle componenti dell induzione magnetica nella regione interna allo strato (a < r < b) Le componenti del campo di induzione magnetica nella regione interna allo strato si ottengono dalla (86) e (89) dopo l opportuna sostituzione delle costanti trovate Si ha: H θ(rab) = B r(rab) = 3(2µ r + )H sinθ ] + (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 3µ(2µ r + )H cos θ ] + (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 3(µ r ) H a 3 sinθ (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 che si possono scrivere: 3µ r (2µ r + )B B θ(rab) = ] + (µ r )a 3 (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 (2µ r + )r 3 B r(rab) = 3µ r (2µ r + )B ] (µ r )2a 3 (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 (2µ r + )r 3-23 ] r 3 (88) 3µ(µ r ) H 2a 3 cos θ ] (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 r 3 (88) ] sin θ (882) ] cos θ (883)

24 SBarbarino - Appunti di Fisica II Regione esterna (r > b) Grafico delle linee di forza Poiché le equazioni delle componenti dei campi dell induzione magnetica nei punti esterni (r > b) hanno la stessa forma di quelle competenti ad una sfera perfettamente conduttrice o dielettrica, l equazione delle linee di forza relative al campo di induzione magnetica nei punti esterni (r > b) é data da: r sin θ = ξ r 3 (884) + 2γ essendo γ = (2µ r + ) (µ r ) ( b 3 a 3) ] (885) (2µ r + ) (µ r + 2) 2 a3 b 3 (µ r ) 2 Anche in questo caso il parametro ξ rappresenta l ordinata della linea di forza del campo di induzione magnetica iniziale B (imperturbato) Il valore di ξ al di sopra del quale le linee di forza del campo magnetico non toccheranno mai la sfera risulta: ξ s = b 3 + 2γ b (886) Regione interna allo strato (a < r < b) L equazione che descrive le linee di forza nella regione dello strato é: rb r dθ B θ dr = (887) Sostituendo nella (887) le espressioni (882) e (883), si ha: ) ) r ( ζ 2a3 cos θdθ = ( + ζ a3 sin θdr (888) r 3 r 3 avendo posto: L equazione (888) si puó scrivere: ζ = µ r 2µ r + (889) a 3 cos θ + ζ sin θ dθ = r 3 ζ 2a3 r 3 dr r (89) Eseguendo lo stesso procedimento effettuato nel caso di sfera conduttrice, risulta: r sin θ = ξ r 3 2ζa 3 (89) - 24

25 SBarbarino - Appunti di Fisica II Osservando che il parametro ζ = µ r 2µ r + assume, al variare di µ r fra e +, valori compresi fra e 2, risulta sempre r3 > 2ζa 3 Quindi r 3 2ζa 3 = r 3 2ζa 3 e la (89) diventa: r sinθ = ξ r 3 2ζa 3 (892) Per garantire la continuitá grafica della linea di forza interna allo strato con quella esterna occorre correlare il parametro ξ con il paramtro ξ che é quello che generalmente si fa variare Questo si ottiene imponendo che per r = b i secondi membri delle equazioni (884) e (892) siano eguali, ossia: che comporta: b ξ b 3 + 2γ = ξ b b 3 2ζa 3 (893) b b ξ = ξ 3 + 2γ b b 3 2ζa 3 (894) Come esempio grafichiamo le linee di forza nel caso in cui µ r =, a = 7 e b = Risulta: γ = 99468, ζ = 49925, ξ s = 729, ξ = 46899ξ (895) Il grafico é rappresentato in figura

26 SBarbarino - Appunti di Fisica II z Linee di forza del campo magnetico (µ r =, a = 7, b = ) x fig8-2 ξ s = b 3 +2γ b ξ= - 26

27 SBarbarino - Appunti di Fisica II Per comprendere meglio il meccanismo dello schermaggio, ossia della debole penetrazione del campo nella parte cava (r < a), vogliamo valutare il valore del parametro ξ, sia esso ξ s (i), al di sopra del quale le linee di forza non penetrano nella zona cava ma vengono guidate all interno dello strato Per questo consideriamo la (892); deve necessariamente essere: r ξ r 3 2ζa 3 (896) r La funzione r 3, per r a é decrescente all aumentare di r ed ha il valore 2ζa3 massimo per r = a Tale valore massimo vale a 2 ( 2ζ) Ne segue che per valori di ξ > a 2 ( 2ζ) la (892) é soddisfatta soltanto per valori di r > a cioé le linee di forza non toccheranno mai la sfera interna di raggio a ossia esse non penetrano nella zona cava Viceversa per valori di di ξ a 2 ( 2ζ) la (892) é soddisfatta anche per r = a e quindi le linee di forza toccheranno la sfera interna e penetrano nella zona cava Il valore ξ s = a 2 ( 2ζ) rappresenta quindi il valore di ξ al di sopra del quale le linee di forza si mantengono sempre all interno dello strato Ad esso corrisponde il valore ξ s (i) che si puó facilmente calcolare dalla formula (893) Si ha: ξ s = ξ (i) s b b 3 + 2γ b b 3 2ζa 3 da cui: ξ (i) s b b = ξ 3 2ζa 3 s b b 3 + 2γ = a 2 ( 2ζ) b b 3 2ζa 3 b b 3 + 2γ Il parametro ξ (i) s é funzione, oltre che dei raggi a e b, del parametro costitutivo µ r É - 27

28 SBarbarino - Appunti di Fisica II interessante studiare tale andamento Andamento di ξ (i) s in funzione di µ r dello strato, (a = 7, b = ) ξ (i) s µ r fig8-3 µ r γ ζ ξ (i) s Come abbiamo detto penetrano nella sfera cava soltanto le linee di forza contenute in un cilindro di raggio ξ s (i) con l asse, diretto secondo le linee di forza del campo inizialmente - 28

29 SBarbarino - Appunti di Fisica II uniforme, passante per il centro della sfera All aumentare di µ r il raggio del cilindro diminuisce e quindi soltanto una piccola porzione del campo esterno contribuisce al campo nella regione cava Le linee di forza esterne al cilindro vengono deviate e mantenute interamente all interno dello strato Per µ r, ξ s (i) e tutte le linee di forza sono all interno dello strato; nessuna linea penetra nella zona cava ed il campo di induzione magnetica interno ad essa é nullo Le figure 8-4 e 8-5 illustrano tali situazioni Alleghiamo il programma in ambiente matlab per il calcolo di ξ s (i) Programma Matlab csim delete(get(, children )); clf; a=7; b=; mu=(::5) ; gamma=(2*mu+)*(mu-)*(bˆ3-aˆ 3) /((2*mu+)*(mu+2)-2*aˆ3/bˆ 3* (mu-)ˆ2); zita=(mu-)/(2*mu+); csiis=sqrt(b/abs(bˆ3-2*zita*aˆ 3)) /sqrt(b/(bˆ3+2*gamma))*sqrt(aˆ 2* (-2*zita)); mu gamma zita csiis] plot(mu,csiis) axis(,5,,7]) Alleghiamo il programma in ambiente matlab per il grafico delle linee di forza interne allo strato Programma Matlab stratom delete(get(, children )); clf; %grafico delle linee di forza interne allo strato nel primo quadrante a=7; b=; r=b:-:a; mu=2; gamma=(2*mu+)*(mu-)*(bˆ3-aˆ 3) /((2*mu+)*(mu+2)-2*aˆ3/b ˆ 3* (mu-)ˆ2) zita=(mu-)/(2*mu+) csi=; csi=csi*sqrt(b/(bˆ 3+2*gamma)) /sqrt(b/(bˆ3-2*zita*aˆ 3)) y=csi*sqrt(r/(rˆ 3-2*zita*aˆ 3)); z=r*sqrt(-yˆ 2); x=r*y; plot(z,x) z;x] axis(,,,]) - 29

30 SBarbarino - Appunti di Fisica II %disegno del primo quadrante dello strato x=::a; z=sqrt(aˆ 2-xˆ 2); hold on zoom plot(z,x) x2=::b; z2=sqrt(bˆ 2-x2ˆ 2); hold on zoom plot(z2,x2) - 3

31 SBarbarino - Appunti di Fisica II z Linee di forza del campo magnetico (µ r = 2, a = 7, b = ) x fig8-4 ξ= ξ=25 ξ=5 ξ=75 ξ= ξ=25 ξ (i) s =6758-3

32 SBarbarino - Appunti di Fisica II z Linee di forza del campo magnetico (µ r = 2, a = 7, b = ) x fig8-5 ξ= ξ= ξ= ξ=2 ξ=3 ξ (i) s =367 ξ=7 ξ=25 ξ=65 Fine del Cap - 32