Il Teorema di Napoleone per i Quadrilateri Convessi

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1 Il Teorema di Napoleone per i Quadrilateri Convessi Serena Donisi Giovanni Vincenzi Gaetano Vitale 1. Introduzione Un famoso teorema di Geometria sintetica afferma che assegnato un qulunque triangolo ABC, i baricentri dei triangoli equilateri costruiti sui lati AB, BC, e CA individuano i vertici di un triangolo equilatero. La dimostrazione di tale teorema risale al 185 ed è attribuita a Napoleone. Una dimostrazione per via analitica di questo risultato si può trovare in [1]. In questo stesso lavoro gli autori presentano anche un altro risultato connesso al teorema di Napoleone, che riguarda in generale i poligoni: Dato un poligono qualunque, se si prendono( esternamente o internamente al poligono) sugli assi dei lati segmenti direttamente proporzionali ai lati corrispondenti,a partire dal punto medio di ogni lato, il poligono che ha per vertici i rispettivi altri estremi di questi segmenti ha lo stesso baricentro del poligono dato. Ci sono in letteratura altri risultati che generalizzano il teorema di Napoleone, molti dei quali sono presentati direttamente su siti internet da vari appassionati al problema. Evidentemente la generalizzazione più naturale del Teorema di Napoleone per i quadrilateri convessi è collegata alla soluzione del seguente problema (vedi figura): Assegnato un quadrilatero Q di vertici A, B, C e D, come e fatto il quadrilatero Q 1 derivato di Q i cui vertici sono i centri dei quadrati 1 costruiti sui lati di Q? 1 Il centro di un quadrato è l intersezione delle bisettrici degli angoli 1

2 Osserviamo che se Q non è convesso, allora due dei quadrati costruiti sui lati potrebbero coincidere. Questo non accade per i quadrilateri convessi, infatti con semplici considerazioni si può verificare che se Q è un quadrilatero convesso, allora anche Q 1 lo è. Se non si assumono particolari ipotesi su Q il quadrilatero Q 1 non è detto che sia un quadrato, quindi in generale non sussiste un teorema di Napoleone per i quadrilater D altra parte se si considera un parallelogrammo, allora si prova facilmente che il suo quadrilatero derivato è un quadrato. Sorge quindi la naturale questione: 1) Si possono caratterizzare i quadrilateri convessi che ammettono come quadrilatero derivato un quadrato? Assegnato un quadrilatero convesso Q, l idea di iterare il processo, e di definire induttivamente l n-esimo quadrilatero derivato Q n di Q conduce ad una seconda questione: )La successione Q n tende ad un quadrato? Ovvero: si può affermare che per interi molto grandi gli angoli e le diagonali del quadrilatero Q n tendono ad essere congruenti? In questo lavoro proveremo due risultati che forniscono una risposta positiva per entrambi i quesiti suddett In realtá come si potrá constatare la successione Q n tende rapidamente ad un quadrato.. Dimostrazione dei risultati Nella trattazione dei problemi utilizzeremo i numeri complessi, nel senso che d ora in avanti identificheremo ogni punto P del piano con un numero complesso, denotandolo con la corrispondente lettera minuscola p. Sia dunque Q un quadrilatero convesso di vertici a, b, c e d C, e siano a 1, b 1, c 1 e d 1 i vertici del quadrilatero Q 1 derivato di Q, disposti secondo la figura precedente. Semplici calcoli provano le seguenti relazioni che intercorrono tra i vertici di Q e i vertici di Q 1 : (1) a 1 = a + b +a b i, b 1 = b + c +b c i, c 1 = c + d +c d i, d 1 = d + a Teorema.1. Sia Q un quadrilatero convesso. Sono equivalenti: (i) Q è un parallelogrammo; (ii) Q 1 è un quadrato; (iii) Q n è un quadrato per qualche intero positivo n. + d a i Dimostrazione Dalle relazioni (1) segue che a + c = b + d se e solo se a 1 + c 1 = b 1 + d 1. Questa condizione algebrica equivale a dire che le diagonali di Q si bisecano se e solo se le diagonali di Q 1 si bisecano. Allora se Q non è un parallelogrammo nè Q 1 né alcun altro Q n può esserlo. Quanto detto prova che (iii) (i). Le altre implicazioni sono ovvie. Teorema.. Sia Q un quadrilatero convesso, e sia (Q n ) la successione dei quadrilateri derivati da Q, allora Q n tende ad un quadrato. Dimostrazione Dalle relazioni (1) si ha che d 1 b 1 = (c 1 a 1 )i, quindi i vettori A 1 C 1 e B 1 D 1 sono perpendicolari e hanno lo stesso modulo. In particolare le diagonali di Q 1 sono congruenti e perpendicolar Detto questo, ai fini dello studio

3 del comportamento al limite della successione (Q n ) possiamo assumere che Q ha i vertici A, B, C e D sugli ass 3 Seguendo le notazioni della figura, abbiamo le seguenti relazioni che intercorrono tra i vertici di Q e i vertici di Q 1 : () a = a 1 + d 1 + d 1 a 1 i, b = b 1 + a 1 + a 1 b 1 i, c = c 1 + b 1 + b 1 c 1 i, d = d 1 + c 1 + c 1 d 1 Sostituendo le (1) nelle (), e ponendo Q = Q 0 di vertici a 0, b 0, c 0 e d 0 otteniamo: (3) a = a 0 + d 0 b 0 i, b = b 0 + a 0 c 0 i, c = b 0 d 0 i, d = c 0 a 0 Analogamente, per ogni intero positivo n, i vertici del quadrilatero Q n sono: (4) a n = a (n 1) + d (n 1) b (n 1) i, b n = b (n 1) + a (n 1) c (n 1) i, c n = c (n 1) + b (n 1) d (n 1) i, d n = d (n 1) + c (n 1) a (n 1) Ponendo k a = k c = a 0 c 0 + d 0 b 0 i e k b = k d = ik a si ha che: (5) a 4 = a + k a, b 4 = b + k b, c 4 = c + k c, d 4 = d + k d.

4 4 Proviamo per induzione che per ogni naturale positivo n sussistono le seguenti relazioni: (P n ) : a (n+1) = a + k a j, b (n+1) = b + k b j, c (n+1) = c + k c j, e d (n+1) = d + k d j Con n = 1 l asserto è verificato per la (5). Sia n > 1, e supponiamo l asserto vero per n 1. Per le relazioni (4) abbiamo: a (n+1) = a n + d n b n n n n i = a + k a j + (d + k d j b k b j ) 1 i n = a + k a i + d b n i + k d i( n Osserviamo che k a = d b i = k d i e 1+ j = n 1 quindi la somma precedente coincide con: n n n a + k a j + k a (1 + j ) = a + k a j + k a n 1 = a + k a j. Analogamente si provano le uguaglianze per b (n+1), c (n+1) e d (n+1). In questo modo abbiamo provato il passo induttivo. Utilizzando le relazioni (P n ) e tenendo conto che i numeri k a, k b, k c e k d hanno a lo stesso modulo, è immediato verificare che lim n n b n = 1, così come il limite del rapporto di due qualsiasi successioni scelte tra ( a n ), ( b n ), ( c n ) e ( d n ) è sempre 1. Ciò garantisce che i moduli dei vertici a n, b n, c n e d n dei quadrilateri Q n tendono ad essere coincidenti per n che tende ad infinito. Un discorso analogo si puó fare per la successione dei quadrilateri Q n+1 con n N. Osserviamo che la successione estratta pari della successione ( a n /b n ) n coincide con la successione ( a n /b n ) n, mentre l etratta dispari coincide con la successione ( a n+1 /b n+1 ) n ed entrambe tendono ad 1. Ne consegue che: a n lim n b n = 1. Ripetendo questo discorso si ottiene che i moduli dei vertici a n, b n, c n e d n del quadrilatero Q n tendono a coincidere. D altra parte le diagonali di Q n sono ortogonali, pertanto Q n tende ad un quadrato. Desideriamo ringraziare il referee per gli utili suggerimenti che ci hanno consentito una stesura del lavoro piu elegante e concisa. j ).

5 Riferimenti Bibliografici [1] A. Drivet, L. Orio, Napoleone, Steiner e Cabri, Quaderni Didattici del Dip. Mat. Università di Torino. 35 (005), 1-3. Serena DONISI Facoltà di Scienze MM.FF.NN., Università degli studi di Salerno. serenadonisi@gmail.com Giovanni VINCENZI Dipartimento di Matematica e Informatica, Università degli studi di Salerno. gvincenzi@unisa.it 5 Gaetano VITALE Facoltà di Scienze MM.FF.NN., Università degli studi di Salerno. vitale.gaetano.7@gmail.it