Analisi della risorsa eolica. Corso di Aerodinamica e Gasdinamica A.A. 2009/2010 Docente: Prof. Renato RICCI

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1 Analisi della risorsa eolica Corso di Aerodinamica e Gasdinamica A.A. 2009/2010 Docente: Prof. Renato RICCI

2 Spettro di frequenza del vento Zona di lavoro di una torre anemometrica (tempi di campionamento adatti all individuazione della distribuzione di Weibull) Zona di interesse aerodinamico di una pala di turbina eolica (tempi di campionamento adatti all individuazione della lunghezza caratteristica di turbolenza) Van der Hoven, I. (1957)

3 Rappresentazione dei dati Anemologici Per il calcolo dell energia estratta da un aerogenaratore, è fondamentale la conoscenza dei dati anemologici del sito di installazione. Essi sono in genere prodotti da una stazione di rilevamento posta a quote standard sul terreno di 20, 30, 40 o 50 m per un arco temporale di 1 o più anni. I dati necessari sono: I valori di velocità orari ottenuti come medie di rilevamenti eseguiti in un intervallo di tempo più breve (10 min.). I valori della direzione del vento per tutti i dati di velocità ottenuti (fondamentali per il posizionamento delle macchine). Avendo a disposizione i rilevamenti anemologici del sito per un periodo sufficientemente lungo possiamo costruire la curva sperimentale: velocita -frequenza CURVA VELOCITA -FREQUENZA In essa i dati di velocità, in ascissa, sono ordinati per classi o bin (di ampiezza 1 o 0,5 m/s). In ordinata si riporta il numero di ore durante le quali la velocità del vento cade all interno della classe, normalizzato al numero di misure disponibili 3

4 Curva Velocità-Frequenza Il bin va considerato centrato nel mezzo dell intervallo e così la velocità media nel bin sarà semplicemente data dal prodotto del valore medio dell intervallo per il numero di ricorrenze associato. Il valore della velocità media sarà: u m = N N n i u i = f i i=1 n tot i=1 u i 4

5 E di grande interesse conoscere anche il numero di ore nell anno in cui la velocità è stata inferiore o uguale ad un certo valore. Questo dato è fornito dalla Frequenza Cumulativa F i. Curva Velocità-Frequenza Cumulativa La curva di frequenza cumulativa tende ovviamente ad 1. Per il loro significato fisico la curva V-F e V-FC possono essere interpretate rispettivamente come la probabilita che la velocità del vento misurata cada nell intervallo considerato e la probabilità che u sia minore o uguale del valore dell intervallo considerato. E conveniente perciò utilizzare una funzione matematica continua come modello della curva. Gli strumenti più utili a tale scopo sono ovviamente le funzioni densità di probabilità e densità di probabilità cumulativa. 5

6 La Funzione di Weibull: Significato Fisico La densità di probablità più usata come modello della curva u-f è la FUNZIONE DI WEIBULL f(u) (a 2 parametri) f (u) = k k 1 c u c exp u c k Nella funzione compaiono due parametri k e c : k>0 è il parametro di forma ed influisce sulla forma del grafico e sulla posizione del massimo. c>1 è il parametro di scala ed assume importanza nello stabilire il valore della funzione per ogni valore di velocità. La funzione di Weibull presenta il massimo (valore più frequente della distribuzione o MODA) per un valore di u minore rispetto al valore medio dello distribuzione questa caratteristica rispecchia il caso reale 6

7 La Funzione di Weibull: Significato Fisico La densità di probablità cumulativa definita come: nel modello di Weibull assume la seguente forma: Per determinare il modello che si adegua ai dati misurati di velocità del vento del sito scelto è necessario scegliere opportunamente i valori dei due parametri k e C. Il problema risiede cioè nella determinazione di k e C. Ovviamente, avendo a disposizione i dati sperimentali, si può effettuare una regressione su di essi ed ottenere di conseguenza i valori di k e c. Una prima via potrebbe passare dall uso dei valori della curva di velocità - frequenza cumulativa per ricavare graficamente i valori delle due costanti k e c: 7

8 Determinazione di k e C Metodo Grafico Passando ai logaritmi per due volte, ad ambo i membri, si ottiene : Questa espressione rappresenta un legame lineare tra: ln(u) e ln[-ln(1-f(u))] Come si vede nella figura a fianco, che rappresenta di i dati di un caso reale, nota la curva v-f dai dati sperimentali è possibile calcolare la densità di probabilità cumulativa e diagrammare il legame tra ln (u) e ln[-ln(1-f(u))]. L approssimazione lineare della curva che così si ottiene è molto buona ln[-ln(1-f(u))] R² = ln(u) 8

9 Determinazione di k e C Metodo Grafico Dalla retta di regressione così ottenuta si possono determinare i coefficienti c e k essendo k pari alla pendenza della retta e c funzione del termine noto e di k. Esistono diversi altri metodi per la stima dei valori di k e c che meglio approssimano la distribuzione reale. Tuttavia il metodo grafico è sicuramente uno dei più semplici e precisi, la sua affidabilità è fortemente sensibile all ampiezza delle classi di velocità (bin). 9

10 Determinazione di k e C Correlazioni Sperimentali Esistono in letteratura numerose correlazioni sperimentali che permettono di calcolare i parametri k e c conoscendo alcune caratteristiche della distribuzione di frequenza reale come valor medio e deviazione standard. La validità di queste correlazioni dipende dalla tipologia di sito in esame e dal numero di dati sperimentali che si hanno a disposizione k = σ u (Justus) Valida nel range [1;10] (Boweden et al.) Valida nel range [1.6;3] (Errore inferiore allo 0,01% del valore di c) (Errore compreso nell 1% del valore di c) 10

11 Determinazione di k e C Confronto dei Metodi Curva velocità frequenza ottenuta dai dati misurati Distribuzione di Weibull con k e c ottenuti mediante correlazioni Sperimentali Frequenze adimensionali Distribuzione di Weibull con k e c ottenuti mediante altro metodo (metodo grafico) Classi di Velocità [m/s] E importante non commettere grandi errori nella stima della distribuzione della velocità,poiché la potenza ottenibile per ogni valore di velocità del vento dipende dal cubo di tale valore. 11

12 Funzione Densità di potenza Per calcolare la distribuzione della potenza ideale estraibile alle varie velocità del vento è necessario pesare la densità di probabilità della velocità (Weibull) con il contenuto di potenza associato ad ogni livello di velocità, moltiplicando la f(u) per ρu 3 /2. La funzione è detta Densità di Potenza [W/m 2 ]. Essa rappresenta il numero di Watt per unità di superficie del rotore idealmente disponibili, con una distribuzione di probabilità pari a quella assunta. Poiché nel caso ideale (flusso inviscido,uniforme,macchina senza perdite, rotore con un numero infinito di pale) il contenuto di potenza sfruttabile per ogni livello di velocità è al massimo il 59,26% (limite di Betz) del valore disponibile, la densità di potenza viene scalata di un fattore pari a C pmax per ottenere la distribuzione di potenza massima sfruttabile. Nel caso di una macchina reale è necessario tenere conto della variazione del fattore di potenza con la velocità: Questo comporta non solo un abbassamento della curva ma anche una modifica della sua forma. In particolare il massimo della curva si sposta verso sinistra rispetto al caso ideale. 12

13 Funzione Densità di potenza Come si può notare la forma è diversa rispetto alla distribuzione di Weibull: in particolare il valor medio si ha per velocità del vento più grandi rispetto alla distribuzione di frequenza. La maggior parte della potenza si estrae per velocità superiori a quella media del sito. Questo è ovvio se si pensa che la potenza è legata al cubo della velocità. E opportuno nella scelta della macchina fare in modo che essa presenti il massimo valore di C P non per la velocità del vento media del sito ma per una velocità prossima al massimo della densità di potenza (alla velocità di rotazione di lavoro). Dal grafico emerge chiaramente che per velocità al di sotto di 4-5 m/s o superiori a m/s il contenuto di potenza realmente estraibile è sostanzialmente nullo. Infatti alle basse velocità il C P è in generale quasi nullo, mentre alle alte velocità (oltre all abbassamento del fattore di potenza indotto dalla regolazione) si ha una scarsa frequenza del vento. 13

14 La Curva di Potenza Nel caso di aerogeneratori reali è possibile stabilire un legame tra potenza erogata e velocità del vento che investe il rotore: La curva di Potenza P r Curva di PotenzaSperimentale Turbina 1,65 MW Tale curva è funzione della tipologia di macchina (forma del rotore, tipo di regolazione) ed è ricavata sperimentalmente dal costruttore. La curva di potenza costituisce la principale informazione tecnica riguardante la macchina. P ρ aria =1,18 [kg/m3 ] Si accettano incertezze su tale legame dell ordine del 10% legate soprattutto all errore sulla misura della velocità del vento al rotore. 0 U cut-in U r U cut-off Velocità Vento [m/s] Per poter calcolare la potenza media annua estraibile (per unità di area del rotore) e di conseguenza l energia media annua si deve ricorrere ad un modello matematico della curva di potenza: U cut-in è la velocità di cut-in o avviamento della macchina U r è la velocità nominale o rated wind speed U cut-off è la velocità di cut-out o velocità massima P r è la potenza nominale o rated power che si raggiunge quando la velocità è U r 14

15 La Curva di Potenza Dalle formule precedenti è facile ricavare i cofficienti a e b in funzione delle velocità caratteristiche (parametri cinematici) della macchina e della potenza nominale: Le velocità caratteristiche sono interdipendenti: U cut-in è legata agli attriti interni della macchina (compresa tra 0.5 U r e 0.4 U r ) U cut-out è legata al sistema di regolazione della potenza (inferiore a 2 U r ) Questo modello matematico è valido per macchine pitch controlled, negli altri casi è difficile poter ritenere costante la potenza oltre la velocità nominale. Inoltre in alcune fonti di letteratura l esponente della curva corrispondente al primo tratto viene posto pari a k. 15

16 La Curva di Potenza La differenza tra macchine regolate mediante pitch control (o active stall control) e macchine regolate mediante stall control appare evidente dalla forma delle Curve di Potenza. Nelle figure a lato sono rappresentate le curve di potenza di due macchine di potenza nominale simile ma con sistema di regolazione diverso. Nel caso della regolazione mediante pitch il taglio di potenza è molto più netto e non presenta picchi al di sopra di P n 16

17 Energia Disponibile (Ea) Nota la curva di potenza siamo in grado di legare le variazioni di potenza elettrica estratta da una macchina (caratterizzata dalla sua curva di potenza) installata nel sito alle variazioni della velocità del vento nel sito (caratterizzato dai valori di k e c). Per l eolico, come per tutte le fonti energetiche alternative, caratterizzate dalla discontinuità temporale di produzione, l energia estraibile in un periodo (T) è un parametro molto più significativo della potenza media. Detta P a la potenza idealmente disponibile nel sito per un rotore di area A, l energia estraibile dal vento durante un periodo T si può scrivere come: Nella quale u 3m è la root mean cube wind speed: Si fa notare che la potenza istantanea dipende dal cubo della velocità del vento istantanea mentre l energia media annua e quindi la potenza media non dipendono dal cubo della velocità media annua ma dalla root mean cube wind speed. 17

18 Energia Estraibile (E) La potenza della macchina si può esprimere in funzione della potenza massima ideale attraverso il parametro η (rendimento del sistema di conversione). A sua volta questo può essere ottenuto come prodotto del fattore di potenza, del rendimento meccanico e del rendimento elettrico della macchina. Si ottiene così: P = η P a = C P η m η el ρa rotu 3 2 L energia estraibile è dunque calcolabile come integrale temporale della potenza producibile dalla macchina (curva di potenza). Tuttavia, la curva di potenza è definita in due intervalli in funzione della velocità del vento: u c <u<u r e u r <u<u f quindi l integrale va spezzato in due parti determinando preliminarmente le frazioni f 1 ed f 2 del tempo T in cui u resta compresa nei diversi ranges della curva. 18

19 Energia Estraibile Range 1 (Salita) Range 2 (costante) Nelle formule precedenti f 1 ed f 2 rappresentano le probabilità che la velocità sia compresa nel range 1 o 2 della curva di potenza; f(u) è la distribuzione di Weibull e F(u) è la densità cumulativa di probabilità (probabilità che la variabile assuma un valore minore od uguale ad n). Alla luce delle relazioni scritte per f 1 ed f 2 e dell espressione analitica della curva di potenza, possiamo calcolare l integrale temporale della potenza diviso nei due ranges della curva, ottenendo: 19

20 Energia Estraibile Nella quale si è indicata con U 2m1 la root mean square wind speed nel range 1 della curva di potenza: L energia estraibile da una macchina con determinate caratteristiche in un dato sito caratterizzato dai parametri k e c della curva di Weibull, risulta funzione dei parametri cinematici della macchina, della sua potenza nominale e delle caratteristiche anemologiche del sito (attraverso i coefficienti f 1 ed f 2 ), come era logico attendersi. Attraverso il calcolo analitico di E possiamo confrontare tra loro le installazioni di tipologie di macchine diverse in siti diversi. 20

21 Fattore di Utilizzo dell Impianto (Capacity Factor) Capacity Factor o Plant Factor, CF: è il rapporto tra l energia estratta nel sito in un periodo di tempo e la massima energia estraibile nello stesso sito e nello stesso periodo dalla macchina, (capacità di sfruttamento della macchina nel sito). Il CF è un parametro puramente cinematico, dipendendo solo dalle velocità caratteristiche della macchina (oltre che naturalmente dal sito scelto). Può essere usato come parametro di confronto per macchine della stessa taglia e come indicatore di massima della fattibilità economica. Esso rappresenta infatti l energia media erogabile nel sito con macchine di una data taglia e quindi di un dato costo (proporzionale in prima approssimazione alla taglia di potenza) e consente il confronto tra macchine diverse nello stesso sito o in siti differenti. Non fornisce però alcuna indicazione sulla efficienza di conversione. 21

22 Fattore di Utilizzo dell Impianto (Capacity Factor) Il Capacity Factor viene in genere graficato in funzione del Wind Ratio = (u/u r ) Si considerano economicamente convenienti impianti che presentano un capacity factor pari almeno a

23 Rendimento Energetico Totale (Energy Efficiency) Energy Efficiency η E : è il rapporto tra l energia prodotta dalla macchina nel sito in un periodo e l energia massima ideale disponibile nel sito (livello di sfruttamento del sito) η E = E E a = η r u r 3 3 u 3m 2 f 1 (u 2m1 u 2 c ) + f u r u c L energy efficiency misura il livello di sfruttamento della risorsa eolica in un sito con una data macchina e rappresenta l efficienza di conversione dell energia cinetica del vento. Tale parametro non fornisce alcuna indicazione economica sullo sfruttamento, essendo il fluido di processo gratuito. Tuttavia permette una importante analisi costi-benefici da un punto di vista ambientale: a parità di energia massima disponibile (stessa area del rotore e stesso sito) e quindi a parità di impatto visivo della macchina avere un ηe elevato significa produrre annualmente più energia. I due parametri illustrati sono legati dalla relazione: nella quale il rendimento massimo η max rappresenta il rendimento della macchina che si ottiene per un valore della velocità pari a: 1.73u c 23

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