LA CORRENTE ELETTRICA Problemi di Fisica ELETTROMAGNETISMO La corrente elettrica

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1 Problemi di Fisica ELETTOMAGNETISMO La corrente elettrica

2 Un circuito alimentato da una batteria è percorso da una corrente elettrica di intensità 4 A. Calcolare il numero di elettroni di conduzione che in un ora attraversano una sezione del circuito. icaviamo la quantità di carica che attraversa la sezione del conduttore in ora partendo dalla definizione di corrente: dove: ora 3600 secondi. Q i Q i t C t Poiché la carica elettrica è quantizzata ossia, essendo la carica dell elettrone (, C) il valore più piccolo possibile, tutte le cariche elettriche sono multipli interi di questa carica elettrica fondamentale: Q n e per cui il numero di elettroni che attraversa la sezione del conduttore in un ora sarà: n Q e 4400, elettroni In un circuito sono inseriti una resistenza 3,6 Ω e due generatori, collegati in serie tra di loro, aventi ciascuno f.e.m. uguale a,0 e la stessa resistenza interna r. L intensità di corrente che percorre il circuito è,0 A. Calcolare la resistenza interna r di ciascuno dei due generatori e la tensione agli estremi della resistenza. Applichiamo la a legge di Ohm: I Poiché i generatori sono in serie, si sommano, così pure le resistenze, pertanto la legge assume la forma: + ( + r + r) I Sostituendo i dati del problema siamo in grado di ricavare l incognita r: 0, 40 4, 0 (3, 6 + r), 0 4, 0 3, 6 + r r 0,0 Ω Poiché le resistenze interne dei due generatori provocano una caduta di tensione, la tensione ai capi di sarà inferiore alla f.e.m. generata dai due generatori. Infatti, sempre applicando la a legge di Ohm, si ottiene: I 3,6,0 3,6

3 Una lampadina avente una resistenza di 8,0 Ω è alimentata da una batteria da con resistenza interna trascurabile.. Calcolare l intensità di corrente che attraversa la lampadina e la resistenza che si dovrebbe inserire in serie con la lampadina per ridurre l intensità di corrente a 0,30 A.. Quanto sarebbe l intensità di corrente attraverso la lampadina, se la stessa resistenza fosse inserita in parallelo?. Applicando la a legge di Ohm, otteniamo direttamente il valore della corrente che attraversa la lampadina: I 8,0,5 A Mentre, la resistenza che si dovrebbe inserire in serie alla lampadina per ridurre l intensità di corrente a I 0,30 A è: 9, 6 ( + ) I (8, 0 + ) 0, 30, 4 + 0, 30 3 Ω 0,30. Inserendo la resistenza in parallelo alla lampadina, otteniamo una resistenza equivalente pari a: + + 0,56 e 6, 3 Ω 8,0 3 0,6 e e quindi, la corrente che attraversa la lampadina in queste condizioni circuitali è: I,9 A 6,3 e Il circuito in figura, alimentato da un generatore da di resistenza interna trascurabile, è percorso da una corrente I,0 A. Calcolare:. la resistenza indicata con x. la tensione agli estremi delle resistenze 5 Ω e 00 Ω dove:. La resistenza, derivante dal parallelo delle resistenze e, è in serie con la resistenza X. Pertanto, la resistenza equivalente del circuito è: + e X

4 + + 0,05 0Ω ,05 Il circuito dato, allora, diventa equivalente al seguente circuito, dove la e è data da: e Ω I,0 per cui, dalla (), ricaviamo la X : X e 0 Ω. Dato che X provoca una caduta di tensione, la differenza di potenziale ai capi di e è: I,0 0 AB X X Due resistenze, 7 Ω e 3 Ω, sono collegate in parallelo e alimentate da una tensione di. Calcolare l intensità di corrente erogata dal generatore e quella che attraversa ogni singola resistenza. Per calcolare la corrente erogata dal generatore, dobbiamo prima determinare la resistenza totale. Poiché le due resistenze sono in parallelo, la resistenza totale si calcola come: + + 0, Ω T 4.5 Ω 7 3 0, T e, pertanto, il circuito sarà equivalente a quello indicato in figura. Applicando a questo circuito la legge di Ohm, si ottiene la corrente erogata dal generatore: I I 4,5 T T,7A

5 Poiché le due resistenze sono collegate in parallelo, e quindi sottoposte alla stessa differenziale di potenziale del generatore, la corrente che le attraversa sarà: I,7A I 0,9 A 7 3 Ovviamente: Questo risultato esprime il cosiddetto: I I + I PINCIPIO DI KICHHOFF - La somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti:,7a I Entranti IUscenti Infatti: I corrente entrante nel nodo A I corrente uscente dal nodo A I corrente uscente dal nodo A Oppure: I corrente entrante nel nodo B I corrente entrante nel nodo B I corrente uscente dal nodo B Nodo: punto di un circuito in cui confluiscono, o da cui si diramano, più di due rami di un circuito. Un circuito comprendente tre resistenze in serie di valore, rispettivamente, 0 Ω, 5 Ω e 0 Ω è alimentato da 0. Calcolare la d.d.p. da applicare al sistema delle tre resistenze collegate in parallelo affinché l intensità di corrente non subisca variazioni. Nel primo circuito le tre resistenze sono in serie, pertanto la resistenza totale si calcola come: T Ω

6 Applichiamo la prima legge di Ohm per calcolare la corrente erogata dal generatore : I I 0 45 T T Nel secondo circuito le tre resistenze sono in parallelo, per cui la resistenza totale si determina nel seguente modo: 4,9A , Ω T 4,5 Ω , T 3 Affinché nel secondo circuito circoli la stessa corrente del primo circuito, bisogna applicare un generatore di tensione pari a: T I 4,5 4,9 Due lampadine di 0 Ω e di 5 Ω collegate in serie sono alimentate da tre generatori di tensione inseriti in serie come in figura, aventi ciascuno un valore, rispettivamente, di 0, 3 e 7. Calcolare l intensità di corrente che attraversa il circuito. PINCIPIO DI KICHHOFF: la somma algebrica delle f.e.m. () applicate in un circuito è uguale alla somma delle cadute di tensione ( I) provocate dal passaggio della corrente nelle resistenze presenti nel circuito: I Convenzione:. Il verso della corrente nel circuito, quando sono presenti più generatori di tensione, viene fissato a piacere. Se il valore trovato è positivo, allora il verso fissato è quello giusto; se il valore trovato è negativo, allora il verso giusto sarà contrario a quello fissato.. La f.e.m. (forza elettromotrice) è positiva se la corrente la attraversa dal polo negativo al polo positivo; la f.e.m. è negativa se la corrente la attraversa dal polo positivo al polo negativo, nel qual caso si chiama f.c.e.m. (forza controelettromotrice) Applichiamo il principio di Kirchhoff: dove: ( + ) I I 0,7A

7 q q in base alla convenzione adottata, e 3 sono positive, quindi si comportano come f.e.m., e è negativa, quindi si comporta come una f.c.e.m. le due resistenze, essendo in serie, sono state sommate Poiché il valore trovato è positivo, il verso fissato alla corrente nel circuito è quello giusto. ipetiamo l esercizio con i seguenti valori delle f.e.m.: Applichiamo il principio di Kirchhoff: ( + ) I I 0,7A Poiché il valore trovato è negativo, il verso giusto della corrente nel circuito sarà contrario a quello fissato. Dato il circuito in figura con i seguenti valori: 4 0 Ω 0 Ω calcolare le correnti che attraversano i tre rami (le due resistenze ed il generatore ). Indichiamo con I e I le correnti di maglia, il cui verso viene fissato a piacere (noi lo fissiamo come in figura), ed applichiamo il principio di Kirchhoff: I I I Il sistema così ottenuto è un sistema di due equazioni in due incognite I e I. Sostituendo i valori circuitali otteniamo: 0I 4 0I I I 0,A 0,A Poiché i valori delle correnti sono positivi, il verso fissato alle correnti nel circuito è quello giusto. Le correnti I e I rappresentano le correnti nei rami AB e BD, ossia che attraversano le resistenze e. La corrente che attraversa il ramo BC, per il principio di Kirchhoff, sarà: I 3 I I 0, 0, 0

8 Sia dato il circuito in figura con i seguenti valori: Ω 0Ω 3 30 Ω q Calcolare le correnti che attraversano i tre rami AB, BC, BD. Indichiamo con I e I le correnti di maglia, il cui verso viene fissato a piacere (noi lo fissiamo come in figura), ed applichiamo il principio di Kirchhoff: I + 3(I I) I 3 I + 3(I I) Il sistema così ottenuto è un sistema di due equazioni in due incognite I e I. Sostituiamo i valori circuitali e risolviamo il sistema con il metodo di Cramer: 3 0I + 30I 30I 3 0I + 30I 30I 40I 30I 30I 50I 3 3 I A I 0, 39 A Poiché i valori delle correnti di maglia sono negativi, le correnti I e I nei rami AB e BD avranno verso opposto a quello fissato. La corrente I 3 che attraversa il ramo BC, per il principio di Kirchhoff, sarà la differenza tra la corrente I e la corrente I : I 3 I I 0, 0,39-0,7 A e, sempre per il principio di Kirchhoff, sarà una corrente uscente, infatti: I 3 Entranti IUscenti I I + I 0,39 0, + 0,7 In definitiva, la situazione è la seguente:

9 Una bobina è formata da 500 spire di filo di acciaio (ρ 0,8 Ω mm /m) di sezione 0,4 mm. Il diametro delle spire è 4 cm. Calcolare la resistenza della bobina. Poiché i dati del problema riguardano le caratteristiche fisiche e geometriche del filo di acciaio, la resistenza di una spira la calcoliamo attraverso la seconda legge di Ohm: ρ Poiché la bobina è formata da N spire, allora la resistenza complessiva sarà: L s N L ρ s dove L è la lunghezza di una spira, che ha la forma di un cerchio: L π 3,4 0,0 0,3m Pertanto: 500 0,3 0,8 8, 3 Ω 0, 4 ATTENZIONE: usare bene le giuste unità di misura. Determinare la resistenza di un filo di rame a 00 C, lungo 000 m e di sezione mm, sapendo che la resistività a 0 C è 0,07 Ω mm /m e che il coefficiente di temperatura è 3,9 0-3 C -. La resistività dipende dalla temperatura attraverso la seguente relazione: ρ 00 ρ 0 ( + α Δt) 0,07 ( + 3,9 0 3 Ω mm 80) 0,0 m dove: Δt C Pertanto la resistenza del filo di rame a 00 C vale: L 000 ρ00 0,0 Ω s

10 Poiché la resistenza di un conduttore varia con la temperatura, si possono costruire termometri a resistenza che utilizzano come proprietà termometrica la resistenza di un resistore. Ciò premesso, determinare la temperatura di un forno sapendo che un termometro a resistenza di platino (α 3,5 0-3 C - ) alla temperatura di 0 C presenta la resistenza di 50 Ω, mentre quando è posto nel forno la resistenza è 5 Ω. La resistenza dipende dalla temperatura attraverso la seguente relazione: t 0 ( + α Δt) Poiché sono noti i valori di alla temperatura t e alla temperatura di 0 C, l incognita è Δt: 5 50 ( + 3,5 0 3 In definitiva la temperatura del forno sarà: Δt) ,75Δt 0,75Δt 75 Δt 000 C Δ t t t C Il campo elettrico in un filo di rame percorso dalla corrente di A è /m. Calcolare il diametro del filo (ρ 0,07 Ω mm /m). Dall unità di misura con cui è espresso il campo elettrico nel problema, cioè volt/metro, si ricava che: Poiché: si ottiene: E da cui: E L L L I ρ I s L/ ρ I 0, 07 ρ I E L/ s 6,8mm s E Nota la sezione del filo, il calcolo del diametro è semplice: s s s π,47mm D,47,9mm π π

11 Un filo di alluminio (ρ, Ω m) lungo 49,0 m e di diametro 0,700 mm è collegato in serie con un filo di rame (ρ, Ω m) lungo 98,0 m e avente lo stesso diametro. L intensità di corrente che attraversa i fili è 3,4 A. Determinare l intensità del campo elettrico all interno dei fili. Il campo elettrico è legato alla differenza di potenziale ai capi dei fili conduttori e alla loro lunghezza dalla relazione: E Δ L per cui dobbiamo calcolare le cadute di tensione Δ causate dal filo di alluminio e di rame. Per la a legge di Ohm si ha che: Δ I dove: L 8 49,0 alluminio ρal,80 0 3,6Ω s 6 0, 38 0 con: S π π (0, ) 0, m L 8 98,0 rame ρra,70 0 4,38Ω s 6 0, con: S π π (0,350 0 ) 0,38 0 m per cui: Δ al 3,6 3,4,3 Δ ra 4,38 3,4 3, 8 In definitiva il campo elettrico all interno dei fili è:,3 3,8 E al 0,3/m E al 0, 4/m 49,0 98,0 Un milliamperometro segna ma a fondo scala e ha una resistenza interna r 5 Ω. In che modo può essere utilizzato per misurare correnti superiori a ma, per esempio I 0,5 A?

12 Collegando fra i morsetti A e B del milliamperometro una resistenza X, la corrente nel nodo A si suddivide: una parte I attraversa lo strumento, un altra I la resistenza X. Infatti, per il principio di Kirchhoff: I I + I Essendo le resistenze r e X in parallelo, si ha che: A B r I A B I Confrontando queste due relazioni: r I X I e risolvendo rispetto a X si ottiene: X I r I Il problema chiede che quando I 0,5 A, la parte che attraversa lo strumento sia I ma. Questo significa, in base al principio di Kirchhoff, che I 0,499 A. Pertanto, la resistenza X che bisogna inserire in parallelo al milliamperometro per aumentare la sua portata da ma a 0,5 A è: X 5 50, 0 Ω 0, 499 La resistenza X si chiama resistenza di shunt. Un resistore avente una resistenza di Ω è alimentato da una tensione di 0. Calcolare l intensità di corrente che percorre il resistore e l energia dissipata in un ora. L energia dissipata per effetto Joule dal resistore è data da: Q I dove il valore della corrente lo ricaviamo dalla prima legge di Ohm: Pertanto: dove: ora 3600 secondi. 0 I 0A 6 Q ,9 0 J t

13 Quanto calore sviluppa in un ora un tostapane che assorbe una corrente di 5A a 0? Applichiamo la legge di Joule per calcolare il calore sviluppato: Q I t 000Wh,kWh Un motore elettrico assorbe una potenza di 4 W se alimentato da una batteria da 8. Calcolare l energia consumata in 0 minuti e l intensità di corrente. Applichiamo la legge di Joule per calcolare l energia consumata: dove: 0 minuti 600 secondi Q P t J La corrente viene determinata partendo dalla definizione di potenza elettrica: P 4 P I I 0,5A 8 Una stufa posta in un circuito di resistenza trascurabile alimentato a 0, assorbe una potenza di 00W. Poiché in tali condizioni riscalda troppo, si inserisce una resistenza di Ω in serie con la stufa. Calcolare di quanto si riduce la potenza dissipata attraverso la stufa e l intero circuito. In base ai dati del problema, la resistenza della stufa la calcoliamo dalla definizione della potenza dissipata: P 00 P I 44 Ω I 5 dove la corrente è stata determinata dalla definizione di potenza elettrica: P 00 P I I 5A 0 Dunque, se inseriamo in serie alla stufa ( stufa 44Ω) la resistenza da Ω, la corrente che circolerà nel circuito, ovviamente, diminuirà, infatti dalla prima legge di Ohm:

14 I T 0 4A 44 + quindi la potenza dissipata dalla stufa in queste nuove condizioni si riduce a: P I W che in percentuale corrisponde a: P % 00 36% 00 Poiché anche la resistenza da Ω dissipa una potenza pari a: P I 4 76W allora l intero circuito dissiperà una potenza pari a: PT Pstufa + P W che corrisponde ad una diminuzione, rispetto al circuito con la sola stufa, pari a: P T % 0% 00 Due stufe sono poste in parallelo in un circuito alimentato da una differenza di potenziale di 0. In tali condizioni esse dissipano rispettivamente 00 W e 000 W. Calcolare la potenza complessivamente dissipata e l energia consumata dalle stufe per 5 ore di funzionamento, se vengono collegate in serie nello stesso circuito.. Calcoliamo le resistenze delle due stufe: ,0Ω 4,Ω I 5 I 9, dove le correnti le calcoliamo dalla relazione della potenza, tenendo presente che le due stufe sono in parallelo e quindi sottoposte alla stessa tensione : P P 00 P 000 I I 5,0 A P I I 9, A 0 0 A questo punto colleghiamo le due stufe in serie nello stesso circuito, per cui la resistenza equivalente è: e + 44,0+ 4, 68,Ω mentre la corrente è data da: 0 I 3,3A 68, e

15 Pertanto, la potenza complessivamente dissipata in queste condizioni è: P I 0 3,3 7W mentre l energia consumata in 5 ore di funzionamento è: E P t Wh 3,56 kw/h Un elettricista ha a disposizione tre resistenze Ω, Ω, 3 3 Ω ed una batteria da con resistenza interna i,46 Ω. In che modo deve collegare le tre resistenze alla batteria affinché sia massima/minima la potenza dissipata sulle resistenze? Poiché la potenza dissipata è data dalla relazione: () P T si capisce che la P è minima se la T è la più grande possibile. Per cui le resistenze devono essere collegate in serie. Pertanto, passando ai calcoli si ottiene: eq Ω La resistenza equivalente eq, a sua volta è in serie con la resistenza interna della batteria, per cui la resistenza totale del circuito è: T +, , 46 Ω i eq In definitiva: P min 7,46 9,3 W Se, invece, si vuole massimizzare la potenza dissipata, sempre dalla () si deduce che la T deve essere la più piccola possibile per cui le resistenze devono essere collegate in parallelo. Passando ai calcoli si ottiene: eq ,83 eq 0, 54 Ω 3,83 3 Anche in questo caso, la resistenza equivalente eq è in serie con la resistenza interna della batteria, per cui la resistenza totale del circuito è: T +,46 + 0,54 Ω i eq In definitiva: P max 7 W

16 Un elettricista inesperto connette in serie, anziché in parallelo, tre lampadine da 80 W di un lampadario che è alimentato a 0. Si calcoli:. la potenza totale del lampadario, quando la connessione è fatta in modo corretto;. la potenza totale del lampadario, quando la connessione è fatta in modo corretto; 3. se, nel caso scorretto, le lampade sono più o meno luminose che nella situazione regolare; 4. che succede se si svita una lampada?. Quando le lampade sono collegate nel modo corretto, cioè in parallelo, ossia sottoposte alla stessa d.d.p. di 0, si ha che: P 3 T P + P + P W. Analizziamo la situazione nel caso in cui le lampade siano collegate in serie. Ciascuna lampada, in questo caso, è sottoposta ad una d.d.p. pari a: 0 i 73,3 3 3 La resistenza di ciascuna lampada si può calcolare dal caso normale: i Ω P 80 i per cui, la potenza di ciascuna lampada è: mentre la potenza totale è: P i 73,3 i i 605 8,9 W P T 8,9 + 8,9 + 8,9 6,7 W 3. Nel caso scorretto la potenza di ogni lampada è talmente bassa che quasi non si accendono. 4. Poiché le lampade sono collegate in serie, se si svita una lampada si interrompe il circuito e si spengono anche le altre lampade. La resistenza di uno scaldabagno ha il valore di Ω e viene alimentata a 0 per riscaldare 50 litri di acqua alla temperatura iniziale di 5 C. Calcolare la temperatura raggiunta dall acqua in 30 minuti. Per calcolare la temperatura dell acqua dobbiamo far uso della: LEGGE FONDAMENTALE DELLA TEMOLOGIA: Q mcδt ΔT Q mc

17 dove: Q calore fornito per effetto Joule dalla resistenza alla massa m di acqua m massa di acqua c costante (calore specifico dell acqua) ΔT T finale - T iniziale Però ci manca Q, che calcoliamo attraverso la legge di Joule: 6 Q I t ,96 0 J dove: 0 I 0A Pertanto: Δ T 6 3, ,9 C dove: m 50 litri 50kg (approssimativamente) dei calori specifici delle sostanze) c 486 J/kg C (ricavato dalla tabella In definitiva: Δ T TF TI 8,9 C TF TI + 8, ,9 43,9 C Una caldaia è alimentata con una resistenza elettrica a 0. Determinare:. la potenza occorrente per portare in t 0 minuti da T 0 C a T 00 C una massa M 5 kg di acqua (calore specifico 486 J/kg C) considerato che il rendimento della caldaia sia η 80%;. la resistenza elettrica. Per scaldare la massa di acqua M occorre una quantità di calore pari a: 6 Q McΔ T ,67 0 J che otteniamo dall energia dissipata E d per effetto Joule dalla resistenza della caldaia. Pertanto, se indichiamo con P d la potenza dissipata, deve essere: E d Q P d t McΔT da cui ricaviamo che: P 6 d Q, W t 600 Poiché per definizione il rendimento è il rapporto tra la potenza dissipata P d e quella assorbita P a : η P P d a

18 ricaviamo P a, che non è altro la potenza occorrente per riscaldare la massa d acqua in questione:. Essendo la potenza elettrica: P Pd W η 0,8 a P I la corrente che circola nella resistenza è: P 3479 I 5,8 A 0 e pertanto, la resistenza elettrica della caldaia è: 0 4 Ω I 5,8 Un fornello elettrico è alimentato da una batteria che fornisce una certa differenza di potenziale. Il fornello è costituito da una resistenza elettrica 50 Ω e porta in 0 minuti all ebollizione una quantità di litri d acqua, inizialmente alla temperatura di 0 C. Calcolare la corrente che passa nella resistenza La quantità di calore Q necessaria per riscaldare la massa d acqua non è altro che l energia E J dissipata dalla resistenza per effetto Joule. Pertanto dall eguaglianza di Q ed E j ricaviamo il valore della corrente che attraversa la resistenza: mcδt Q EJ mc(t f T i) I t I 5,0 A t m litri kg t 0 min 600 s c calore specifico acqua 486 J/kg C Un resistore alimentato a 0, posto in un calorimetro contenente un miscuglio di acqua e ghiaccio, fa fondere in 3 minuti, a pressione atmosferica, 30 grammi di ghiaccio a 0 C. q Determinare la resistenza del resistore L energia dissipata nel tempo t per effetto Joule nella resistenza è data dalla relazione: E J P J t t

19 D altra parte, dalla termologia sappiamo che per sciogliere una massa m di ghiaccio alla temperatura di 0 C e alla pressione di atm c è bisogno di una quantità di calore pari a: Q ml f dove L f 3, J/kg è il calore latente di fusione del ghiaccio. Poiché deve essere: da questa equazione ricaviamo l incognita : E J Q t ml f t Ω ml 5 0,030 3,34 0 f Si abbia un forno elettrico a resistenza alimentato con una tensione continua pari a 30. Calcolare:. il valore della resistenza del forno sapendo che esso deve essere in grado di elevare da T 0 C a T 60 C la temperatura di una quantità d olio minerale pari a 50 litri nel tempo di 5 minuti. Si assuma per il forno un rendimento del η90%.. sezione e lunghezza della resistenza, nel caso in cui sia realizzata con un filo di nichelcromo a spirale (resistività a 0 C,06 Ω mm /m; coefficiente di temperatura 0 C 5, 0-5 [ C - ]; densità di corrente 9 A/mm ) Il sistema allo studio può essere rappresentato con la seguente figura: I η. Per prima cosa si deve determinare il lavoro termico necessario per realizzare il voluto riscaldamento dell olio. Come si sa dalla termologia la quantità di calore Q necessaria per riscaldare una sostanza si determina con l espressione: Q mcs(t T ) dove m [kg] è la massa della sostanza, c S [cal/( C g)] è il calore specifico della sostanza, T e T [ C] le temperature iniziale e finale della sostanza. Nel nostro caso la massa la determiniamo attraverso il volume [dm 3 ] e la densità dell olio minerale δ [kg/dm 3 ]: m δ 0, ,75kg Il calore specifico per l olio minerale vale c S 458,6 [cal/(kg C)], siamo quindi in grado di determinare il calore necessario: Q 43,75 458,6 (60 0) 80,5 0 4 cal 80, ,86 33, J

20 Considerando che detto lavoro deve essere compiuto in 5 minuti, calcoliamo la potenza calorica del forno: P Q t 33, W Naturalmente, essendo il forno non ideale ma caratterizzato da un rendimento pari al 90% ovvero pari a 0,90, la potenza elettrica della resistenza riscaldante sarà maggiore: η P P P P η , W Considerando che è nota la tensione applicata alla resistenza, mediante la legge di Joule possiamo trovare la resistenza stessa: P 30 I, 75 Ω P 448. La corrente che attraversa il filo è: I P ,03 A per cui, conoscendo la corrente I e la densità di corrente σ, la sezione del filo si calcola immediatamente dalla definizione di densità di corrente: σ I s s I σ 8,03 9 mm isto il piccolissimo valore del coefficiente di temperatura possiamo ritenere in questa applicazione trascurabile la variazione di resistività conseguente alla variazione di temperatura, e pertanto, dalla a legge di Ohm ricaviamo il valore della lunghezza della resistenza: L s,75 ρ L 4, 06 Ω s ρ,06 Dato il circuito in figura, calcolare il valore della tensione ai capi del condensatore e quello della corrente nel circuito dopo un tempo t 0, s, sia nella fase di carica che scarica. Calcolare inoltre dopo quanto tempo il condensatore si può ritenere carico o scarico completamente. Dati circuitali: kω C 40 µf LEGGE DI CAICA DEL CONDENSATOE t t τ 0 e I 0 e τ

21 dove: e,7.. numero di Nepero (numero irrazionale) τ C costante di tempo del circuito Applichiamo tali leggi per calcolare il valore della tensione ai capi del condensatore e quello della corrente, nella fase di carica, dopo un tempo t 0, s: 50 e 0, 0,8 5,4 I e 0, 0,8 3,5 0 3 A dove: τ ,8 s Il condensatore si può ritenere completamento carico dopo un tempo pari a: t 5τ 5 0,8,4s Infatti il valore della tensione e della corrente dopo un tempo pari a t,4 s sono: 50 e,4 0,8 49,7 I e,4 0, A LEGGE DI SCAICA DEL CONDENSATOE t t τ τ 0 e I 0 e dove: e,7.. numero di Nepero (numero irrazionale) τ C costante di tempo del circuito Applichiamo tali leggi per calcolare il valore della tensione ai capi del condensatore e quello della corrente, nella fase di scarica, dopo un tempo t 0, s: 50 e 0, 0,8 30,5 I e 0, 0,8 3,5 0 3 A dove: τ ,8 s Il condensatore si può ritenere completamento scarico dopo un tempo pari a: t 5τ 5 0,8,4s Infatti il valore della tensione e della corrente dopo un tempo pari a t,4 s sono: 50 e,4 0,8 0,3 I e 0, 0,8 3,5 0 3 A IMPOTANTE Nella fase di scarica il verso della corrente è contrario a quello della fase di carica. Ossia nella fase di carica la corrente parte da un valore alto positivo per poi tendere a zero; nella fase di scarica la corrente parte da un valore alto negativo per poi tendere a zero. Un condensatore di capacità C 5,0 µf possiede una carica q 0 all istante in cui inizia il processo di scarica in un circuito C. Se dopo 5,0 s la carica si riduce a q 0 /5, quanto vale la resistenza?

22 Nella fase di scarica, la carica in funzione del tempo è espressa dalla relazione: () q Ce t / τ All istante t 0, ossia all inizio della fase di scarica, dalla () si ricava che: e 0 / τ () q 0 C in quanto Dopo t 5 s la carica sulle armature del condensatore vale q 0 /5, per cui dalla () si ricava che: (3) q 0 5 Ce 5 / τ q 0 5Ce 5 / τ Confrontiamo la () e la (3): 5 / τ 5 / τ C 5Ce e si ricava che: 5e che rappresenta un equazione esponenziale la cui soluzione ci dà il valore dell incognita costante di tempo τ: 5 5 ln τ ln 5 τ 5 τ 5 5 ln 5 e 5 / τ 3, s Dalla definizione di costante di tempo ricaviamo la formula per calcolare la resistenza: τ C τ C 3, 5, ,6 0 6 Ω Un circuito C alimentato da un generatore viene utilizzato per caricare un condensatore. Calcolare il tempo, espresso in unità della costante di tempo del circuito, necessario perché la carica sulle armature del condensatore raggiunga un valore uguale ai 9/0 del valore finale. La fase di carica di un condensatore è descritta dalla seguente legge di tipo esponenziale: Il valore finale della carica è pari a: t / τ () q C ( e ) () q fin C infatti poiché: lim e t / t τ 0 la () si riduce alla () Ma la () comunque rappresenta la carica massima che si può accumulare sulle armature del condensatore in quanto in queste condizioni la differenza di potenziale tra le armature è la stessa di quella del generatore.

23 Poiché vogliamo calcolare il tempo necessario perché la carica sulle armature del condensatore raggiunga un valore uguale ai 9/0 del valore finale, deve essere: 9 q q 0 (3) fin per cui sostituendo nella (3) le relazioni () e () otteniamo: C / 9 ( e ) t τ C che rappresenta, effettuate le dovute semplificazioni, un equazione esponenziale nell incognita t: t / τ 9 t / τ t e e ln t ln τ,3 τ 0 0 τ Un condensatore inizialmente carico viene scaricato in un circuito C. Calcolare il tempo, espresso in unità della costante di tempo del circuito, dopo il quale la carica sulle armature del condensatore si riduce a /0 del valore iniziale. Nella fase di scarica, la carica in funzione del tempo è espressa dalla relazione: () q Ce t / τ All istante di tempo t 0, ossia all inizio della fase di scarica, dalla () si ricava che: e 0 / τ () q ini C in quanto come è ovvio che sia, in quanto all inizio della fase di scarica il condensatore è completamente caricato per cui la carica presente sulle armature è data proprio dalla (). Poiché vogliamo calcolare il tempo necessario perché la carica sulle armature del condensatore si riduca a /0 del valore iniziale, deve essere: q q 0 (3) ini per cui sostituendo nella (3) le relazioni () e () otteniamo: Ce / t τ che rappresenta, effettuate le dovute semplificazioni, un equazione esponenziale nell incognita t: τ t e t / ln t ln τ,3 τ 0 τ C

24 Un condensatore di capacità C 5,0 µf viene caricato a 0 e poi collegato agli estremi di un resistore da,0 kω. Determinare:. la carica sulle armature del condensatore dopo un tempo t,0 0 - s e dopo un tempo molto lungo;. l energia immagazzinata dal condensatore dopo un tempo t 3,0 0 - s nella fase di carica. Il condensatore, dopo essersi caricato, se viene collegato alla resistenza e staccato dal generatore di tensione, si scaricherà attraverso la resistenza (l energia immagazzinata viene dissipata per effetto Joule attraverso la resistenza) seguendo la legge: q C e t / τ per cui dopo un tempo t,0 0 - accumulata pari a: s sulle armature del condensatore ci sarà una carica q 5,0 0 0 e, ,8 0 6 C 6,8µ C dove 3 6 τ C,0 0 5,0 0 0 s Ovviamente, dopo un tempo molto lungo la carica sulle armature del condensatore su riduce a zero. Infatti: lim q(t) lim C t t / ( e ) t τ 0. L energia immagazzinata dal condensatore dopo un tempo t 3,0 0 - s è data da: dove q è la carica accumulata al tempo t: () U q C q C per cui la () assume il valore: 3,0 0 t / τ 6 6 ( e ) 5,0 0 0 e 0 47,5 0 C U 6 (47,5 0 5,0 0 6 ) J 0,3 0 3 J 0,3mJ In un metallo la distanza media percorsa da un elettrone fra due urti consecutivi è pari a,0 0-6 cm. Se l elettrone viene accelerato con un campo elettrico di 5,0 0 8 /m, qual è l energia cinetica da esso acquistata prima di subire un urto con conseguente perdita di energia?

25 L elettrone sottoposto al campo elettrico subisce una forza pari a: 9 8 F ee,60 0 5,0 0 8,0 0 N Il campo elettrico compie sull elettrone un lavoro dato da: 6 9 L F s 8,0 0, ,0 0 J che ritroviamo sotto forma di energia cinetica: 9 Ec 8,0 0 J 5,0 e dove: e, J Un elettrone, emesso dal filamento di un diodo, viene accelerato con una tensione di 0,0. q Determinare la velocità sull anodo sapendo che la velocità sul catodo è nulla. L energia minima ΔE necessaria per estrarre un elettrone da un metallo è data da: dove: Δ E U e E i E i energia totale posseduta dall elettrone all interno del metallo U e energia potenziale dell elettrone subito fuori dalla superficie del metallo Questa energia ΔE, chiamata energia di estrazione o lavoro di estrazione, è legata al potenziale di estrazione Δ dalla relazione: ΔE 9 9 Δ per cui: Δ E e Δ,6 0 0,0 3 0 J e Dal teorema dell energia cinetica, ΔE è uguale alla variazione di energia cinetica: Δ E ΔE c e poiché la velocità dell elettrone sul catodo è nulla, otteniamo: Δ E mv da cui ricaviamo il valore della velocità posseduta dall elettrone quando raggiunge l anodo: ΔE E C mv ΔE m 3 0 9, 0 9 3, m / s

26 I potenziali di estrazione dello zinco e del rame sono, rispettivamente, 3,4 e 4,4. q Calcolare la velocità minima che deve possedere un elettrone (e,6 0 - C; m9, kg) perché possa uscire dai metalli. Dalla definizione del potenziale di estrazione ricaviamo l energia minima (energia di estrazione o lavoro di estrazione) che è necessario fornire ai metalli in questione perché si abbia emissione di un elettrone: Δ ΔE e ΔE ΔE Cu Zn e Δ e Δ Cu Zn,6 0, ,4 7,04 0 3,4 5, J J Le energie ΔE Cu e ΔE Cu acquisite dagli elettroni non sono altro che le energie cinetiche con le quali gli elettroni vengono emessi dai due metalli, per cui dalla definizione dell energia cinetica ricaviamo la velocità minima che deve possedere un elettrone perché possa uscire dal metallo: ΔE E C m ΔE m ΔE m ΔE m Cu Zn 7,04 0 9,08 0 5,44 0 9, ,4 0 m / s 6,09 0 m / s In un diodo un elettrone, emesso dal filamento e accelerato da una differenza di potenziale, giunge sulla placca anodica con l energia di 80 e. Determinare la velocità con cui l elettrone arriva sulla placca. L energia minima fornita all elettrone consente a questo di fuoriuscire dal metallo con energia cinetica nulla. Poiché l elettrone viene accelerato con una certa d.d.p., arriverà sulla placca anodica con una energia cinetica pari a 80 e. Per cui, dalla definizione di energia cinetica ricaviamo la velocità finale: E c mv v E m c 80,60 0 9, , m / s dove: e, J

27 Al catodo di un voltametro si depositano 30,06 g di calcio, che ha una massa atomica pari a 40,08 u. Calcolare la carica elettrica che è passata nel voltametro Sapendo che la massa totale della sostanza depositata sul catodo del voltametro è data da: m n M N A da questa relazione possiamo ricavare il numero n di atomi che si sono sviluppati: NA n m M 6,0 0 30,06 40,08 3 4,5 0 3 Pertanto, in definitiva, la carica elettrica che è passata nel voltametro è pari a: q nze 4,5 0 3, ,4 0 4 C dove il numero di valenza del calcio è z. Attraverso un voltametro, contenente ioni di zinco Zn ++, passa una corrente di 5,0 A. Calcolare il tempo necessario perché al catodo si depositano 6,0 g di zinco, sapendo che la massa atomica dello zinco è 65,4 u Il numero di atomi di zinco che si sviluppano sul catodo è dato da: NA n m M 6,0 0 6,0 65,4 3 0, a cui corrisponde una quantità di corrente nel voltametro pari a: q nze 0,55 0 3,60 0 9,8 0 4 C A questo punto abbiamo tutti gli elementi per calcolare il tempo necessario affinché sul catodo si depositi la massa di zinco: q I t t q I,8 0 5,0 4 0, s 3600 s ora

28 Si vuole ricoprire di rame una sfera di raggio 40,0 mm, posta al catodo di un voltametro contenente un sale di rame attraversato dalla corrente di 0,0 A. Calcolare il tempo necessario affinché sulla sfera si depositi uno strato di rame spesso,00 mm, sapendo che il rame è bivalente e che la massa atomica e la densità sono rispettivamente 63,54 u e 8,90 g/cm 3 Calcoliamo il volume dello strato di rame depositato sulla sfera come differenza tra il volume della sfera ricoperta dallo strato di rame e il volume della sfera senza lo strato di rame: π π π( ) π(4, 4,0 ) 0,6 cm Dalla definizione di densità calcoliamo la massa di rame depositata sulla sfera: m ρ 8,90 0,6 83,3 g Nota la massa, ricaviamo il numero di atomi di rame sviluppati sulla sfera: NA n m M 6,0 0 83,3 63,54 3 7,3 0 3 a cui corrisponde una quantità di corrente nel voltametro pari a: q nze 7,3 0 3, ,4 0 4 C Infine, dalla definizione di intensità di corrente ricaviamo il tempo necessario affinché sulla sfera si depositi lo strato di mm di rame: t q I 55, , s 5,4h