RSA: Calcolo della chiave privata

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "RSA: Calcolo della chiave privata"

Jacopo Alberti
6 anni fa
Visualizzazioni

1 . RSA: Calcolo della chiave privata 1

2 1. Come si cifra e come si decifra Sappiamo che RSA cifra dei numeri. Ad esempio prende il numero n e mediante il modulo di una potenza lo trasforma in c. c = n e mod m. n.. c 2. Come si cifra e come si decifra Per decifrare si usa un altro esponente E ma lo stesso modulo, questo E viene scelto in modo che possa svolgere il compito contrario; cioà da c si riottiene n: n.. c n = c E mod m 3. Come si calcola l esponente di decifratura E Come si può notare dal grafico il modulo di decifratura è lo stesso di quello della cifratura invece l esponente cambia. Ma come dunque deve essere congeniato E perchè sia abile in questo ruolo di invertitore? In breve si calcola come inverso di e modulo φ(m): e E 1 (mod φ(m)) Questo calcolo lo proveremo a fare a volte sfruttando il teorema di Eulero, a volte usando l algoritmo esteso di Euclide, a volte usando un metodo esaustivo, che poi sono i tre metodi di inversione spiegati nelle lezioni precedenti. In questo capitolo faremo esercizi dunque per il calcolo di tale esponente, nella prossima lezione spiegheremo perchè E scelto nel siffatto modo permette la decifratura. 2

3 4. Calcolo dell esponente di decifratura appoggiandosi al teorema di Eulero Determiniamo l esponente di decifratura nel seguente caso appoggiandoci al teorema di Eulero. chiave pubblica modulo m = 21 chiave pubblica esponente e = 17 E si calcola come inverso di e in modulo φ(m): e E 1 (mod φ(m)) È meglio sostituire subito nell equazione il 17 e calcolare il toziente del modulo che viene 12. L equazione dunque da risolvere diventa: 17 E 1 (mod 12) Occorre ora impostare il calcolo di E sfruttanto il teorema di Eulero: E 17 φ(12) 1 (mod 12) Ora bisogna procedere nei calcoli fino a trovare E E 17 φ(12) 1 (mod 12) E (mod 12) E 17 3 (mod 12) (mod 12) (mod 12) E (mod 12) L esponente è trovato, completo la tabella delle chiavi chiave pubblica modulo m = 21 chiave pubblica esponente e = 17 chiave privata esponente E = 5 3

4 5. Calcolo dell esponente di decifratura con il metodo esaustivo chiave pubblica modulo m = 21 chiave pubblica esponente e = 17 imposto il calcolo sostituendo i numeri nell equazione e E 1 (mod φ(m)) 17 E 1 (mod 12) procedo con i tentativi fino a trovare l inverso E Completo la tabella delle chiavi (mod 12) (mod 12) (mod 12) (mod 12) (mod 12) chiave pubblica modulo m = 21 chiave pubblica esponente e = 17 chiave privata esponente E = 5 4

5 6. Calcolo dell esponente di decifratura con il metodo esteso di Euclide chiave pubblica modulo m = 21 chiave pubblica esponente e = 17 imposto il calcolo sostituendo i numeri nell equazione e E 1 (mod φ(m)) 17 E 1 (mod 12) Procedo con l algoritmo esteso di Euclide fino a trovare E 17 = = = Sostituendo il 12 con m e 17 con a, e riversando tali lettere fino all ultima riga: a = 1m + 5 5=a m m = 2 (a m) +2 2=3m 2a a m =2 (3m 2a)+1 1=5a 7m dall ultima equazione ottenuta a destra sostituendo i valori di a ed m otteniamo 5a 1(mod m) (mod 12) Dunque l inverso moltiplicativo di 17 modulo 12 risulta E = 5. Una rapida verifica: (mod 12) 5

6 7. Altro esempio completo chiave pubblica modulo m = 221 chiave pubblica esponente e = 7 Dobbiamo determinare E che deve essere l inverso di e modulo φ(221). Determineremo ora tale inverso, e lo faremo in tre modi differenti: Con il metodo esteso di Euclide Appoggiandoci al teorema di Eulero Facendo una ricerca esaustiva dell inverso di E Nelle prossime tre pagine vengono applicati questi medoti. 6

7 8. Qui usiamo l algoritmo esteso di Euclide: chiave pubblica modulo m = 221 chiave pubblica esponente e = 7 Siccome 221 = allora φ(221) = 192. inverso di 7 modulo 192. Dobbiamo trovare dunque E come 192 = = Sostituendo il 192 con m e 7 con a, e riversando tali lettere fino all ultima riga: m = 27a + 3 3=m 27a a =2 (m 27a)+1 1=55a 2m otteniamo che 55a 1(mod 192). Dunque l inverso moltiplicativo di 55 modulo 192 risulta E = 55. Una rapida verifica: (mod 192) 7

8 9. Qui sfruttiamo il teorema di Eulero: chiave pubblica modulo m = 221 chiave pubblica esponente e = 7 Ora: E = e φ(φ(m)) 1 mod φ(m) φ(m) =192=2 6 3 φ(φ(192)) 1 = =63 Calcoliamo ora 7 63 mod 192: mod mod mod mod mod mod mod 192 Abbiamo ottenuto E = 55. 8

9 10. Qui facciamo una ricerca sistematica: Dobbiamo trovare E in modo tale che E 7 1 mod 192. Basta usare un calcolatore e provare a far crescere E da 1 fino a 192 ed arrestarsi al primo E che verifica l uguaglianza. Vediamo nella prossima pagina che appunto il primo E che verifica tale uguaglianza è proprio mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod 192 9

10 Ovviamente quest ultimo metodo di ricerca sistematica è proibitivo se m è grande nei termini richiesti da RSA. 10

11 11. Esercizi Esercizio 1. Si consideri m =3 17 = 51 ed e = 3. Si determini E nei tre metodi esposti prima. [E = 11] Esercizio 2. Verifica che se e =17em =11 13 = 143 l esponente di decifratura risulta E =

Documenti analoghi

RACCOLTA DI ALCUNI ESERCIZI TRATTI DA COMPITI D ESAME SUL SISTEMA CRITTOGRAFICO RSA

RACCOLTA DI ALCUNI ESERCIZI TRATTI DA COMPITI D ESAME SUL SISTEMA CRITTOGRAFICO RSA Attenzione: questi sono alcuni esercizi d esame, sugli argomenti di questa dispensa. Non sono una selezione di quelli