APPUNTI SU POLIGONI E POLIEDRI Fiammetta Battaglia

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1 APPUNTI SU POLIGONI E POLIEDRI Fiammetta Battaglia 1. DEFINIZIONI Definizioni preliminari. Le definizioni elementari sono le più difficili. Consideriamo definizioni intuitive. Poligono. Una possibile definizione: un poligono una linea poligonale piana chiusa e semplice. Linea poligonale piana è una curva piana determinata da una sequenza di vertici, la linea è costituita dai segmenti che congiungono coppie di vertici consecutivi della sequenza. La linea è semplice se i segmenti che si intersecano sono solo quelli consecutivi oppure il primo e l ultimo. Una linea è chiusa se il primo e l ultimo vertice coincidono. Poligono convesso: inviluppo convesso di un insieme finito di punti nel piano o, equivalentemente, l intersezione di un numero finito di semipiani che sia una regione limitata del piano (l equivalenza tra le due definizioni è il teorema fondamentale dei politopi in dimensione 2) Poliedro: un poliedro è un solido la cui superficie è costituita da un certo numero di facce poligonali [3]. Ovviamente una definizione intuitiva ma piuttosto lacunosa. Poliedro omeomorfo a una sfera. Deformando con continuità, senza strappi, la superficie del poliedro si può ottenere la superficie di una sfera. Poliedro convesso: inviluppo convesso di un insieme finito di punti nello spazio o, equivalentemente, l intersezione di un numero finito di semispazi che sia una regione limitata dello spazio (l equivalenza tra le due definizioni è il teorema fondamentale dei politopi in dimensione 3). Poliedro regolare: le facce sono poligoni regolari congruenti, il numero delle facce che si incontrano ad ogni vertice è costante. Prisma: un prisma un poliedro le cui basi sono due poligoni congruenti di n lati posti su piani paralleli e connessi da un ciclo di parallelogrammi (le facce laterali). Antiprisma: Un antiprisma è un poliedro le cui facce sono due poligoni regolari con n lati della stessa lunghezza, connesse da un ciclo di triangoli isosceli o equilateri. Ciascun triangolo di ciascun ciclo connette due vertici di una base e un vertice dell altra. Angolo diedro: due piani che si incontrano in una retta individuano quattro regioni dello spazio, sovrapponibili a coppie, quindi due angoli diedri. La loro misura è la quella degli angoli piani individuati su un qualunque piano ortogonale alla retta di intersezione dei due piani. Tale retta si dice spigolo del diedro. Angoloide convesso: cono poliedrale convesso (cono su un poligono). 1

2 2 2. COSTRUZIONE DI POLIGONI E POLIEDRI CON GLI ZOMES È importante costruire manualmente poligoni e poliedri, per scontrarsi con la rigidità delle figure geometriche, capirne i vincoli ma anche le possibilità. Iniziamo a lavorare con gli zomes: costruiamo poligoni e poliedri senza cercare caratteristiche specifiche. Poi costruiamo poligoni regolari, i cinque poliedri regolari, prismi, antiprismi, triacontaedro e due antiprismi pentagonali sovrapposti in modo da ottenere un poliedro non convesso, cerchiamo anche di costruire un poliedro bucato. Osservazione: poligoni e poliedri regolari sono un ottimo punto di partenza per lo studio dei gruppi di isometrie finiti. Osserviamo il fenomeno della dualità: il tetraedro è il duale di se stesso, il cubo è il duale dell ottaedro, l icosaedro è il duale del dodecaedro. Osservazione: costruiamo delle tabelle contando per ciascun poliedro il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce. Osservazione: consideriamo i poliedri costruiti e contiamo quante sono le facce triangolari, quadrangolari e così via, costruendo tabelle apposite per ogni poliedro. Sommiamo il numero degli spigoli contenuti nelle facce. Ad esempio il cubo ha 6 facce quadrate. Ogni quadrato ha 4 lati, in tutto troviamo 24 spigoli. Poi osserviamo che ogni spigolo appartiene esattamente a due facce e dunque nel conto sopra descritto viene contato due volte. Per ogni poliedro, con questo metodo, si otterrà un numero uguale al doppio del numero degli spigoli. Quindi, dividendo per 2, si troverà il numero degli spigoli. Ad esempio il numero degli spigoli di un cubo è 12. Dimostriamo, usando la tabella a pagina 13 di [1], che gli unici poliedri regolari sono i solidi platonici. Osservazione: gli unici in che classe? nella dimostrazione si utilizza il fatto che in un vertice la somma degli angoli al vertice deve essere inferiore a 2π. Dunque la classe è quella dei poliedri convessi. Notiamo che nel poliedro costituito dai due antiprismi sovrapposti concorrono, in alcuni vertici, 6 triangoli equilateri, configurazione proibita nei poliedri convessi, dato che, in questo caso, la somma degli angoli al vertice è esattamente 2π. Notiamo la relazione con la curvatura di una superficie: (1) dominio triangolare curvatura = somma degli angoli interni π dunque in un vertice, nel piano, occorrono esattamente 6 triangoli equilateri per tassellare completamente un intorno del vertice.

3 Su una sfera (superficie a curvatura positiva costante) occorrono al più 5 triangoli equilateri (esempio: icosaedro gonfiato ) per tassellare completamente un intorno di un punto. Esempio: sulla sfera con centro nell origine, i quattro triangoli con vertice al polo nord corrispondenti ai quattro quadranti sono quattro triangoli equilateri. Ognuno di questi ha angoli interni tutti di π 2 e quindi la somma degli angoli interni è 3 2 π. Su una superficie a curvatura negativa occorrono almeno 7 triangoli equilateri. NB: in generale su una superficie la somma degli angoli interni di un triangolo dipende dall area. Torniamo sul piano euclideo. Dimostriamo, con l osservazione, che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è: πn 2π = (n 2)π. 3. LA FORMULA DI EULERO: PER FARE SCOPERTE DOBBIAMO SAPERCI FARE DELLE DOMANDE I poliedri sono oggetti geometrici noti fin dall antichià. Ci sono modelli di solidi platonici risalenti a 1000 anni prima di Platone (circa 400 A.C.) quindi circa 1400 A.C. Eppure la proprietà che studiamo in questa sezione è stata scoperta solo millenni dopo da Eulero ( ), circa tremila anni dopo. Nonostante non occorresse nessuno strumento matematico particolare, solamente il numero dei vertici, delle facce e degli spigoli, questa proprietà è rimasta nascosta per millenni. Ma quello che oggi per noi è un osservazione banale non lo era nell antichità: è proprio Eulero che riesce a vedere gli spigoli. Questo fondamentale cambiamento di punto di vista è all origine di tutta la teoria matematica della combinatoria dei poliedri convessi e della teoria dei grafi. Inoltre la formula di Eulero assume un significato importante anche in topologia, e precisamente nella topologia delle superfici, nata dopo Eulero, nel diciannovesimo secolo. Attraverso delle domande sui poliedri convessi arriviamo a congetturare la formula di Eulero (argomentazione tratta da [8]). Ricordiamo che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è πn 2π = (n 2)π. Un poliedro è naturalmente la generalizzazione di poligono in dimensione 3. Quindi è naturale chiedersi se ci sia una formula simile per i poliedri. Quello che faremo inizialmente sarà cercare una qualche regolarità per la somma degli angoli diedri, ne abbiamo uno per ogni spigolo. Possiamo fare delle tabelle con delle misurazioni e vedere se arriva a un qualche tipo di invariante. Come si misurano gli angoloidi? Una definizione della misura di un angoloide si può trovare qui [2]. 3

4 4 Entrambi gli approcci sembrano molto complicati e non si ottengono risultati chiari. Concentriamoci sugli angoli interni alle facce del poliedro e aggiungiamo alle nostre tabelle la somma degli angoli interni a tutte le facce: Poliedro F Σα Tetraedro 4 4π Cubo 6 12π Ottaedro 8 8π 5-prisma 7 16π Dodecaedro 12 36π Icosaedro 20 20π Consideriamo ora i vertici. La somma degli angoli che insistono sullo stesso vertice è < 2π, quindi, indicato con V il numero dei vertici, la somma degli angoli interni a tutte le facce, che denotiamo con Σα verificherà: Σα < 2πV Prima abbiamo calcolato la somma degli angoli interni a tutte le facce. Verifichiamo se questa disuguaglianza è rispettata e calcoliamola. Scopriamo un fenomeno sorprendente, per tutti i poliedri senza buchi che abbiamo costruito: (2) 2πV Σα = 4π Abbiamo quindi una prima congettura Σα = 2πV 4π. Una congettura non è una dimostrazione. Cerchiamo un altro modo di esprimere la somma degli angoli interni alle facce: sia F il numero delle facce, numeriamole da 1 a F. Sia S i il numero degli spigoli della i-esima faccia. Calcoliamo la somma degli angoli interni alle facce del poliedro: ricaviamo Σα = (S 1 2)π + (S 2 2)π + + (S F 2)π Σα = (S 1 + S S F )π 2F π da cui, osservando, come fatto in precedenza, che ogni spigolo è stato contato due volte, otteniamo (3) Σα = 2Sπ 2F π dove S è il numero degli spigoli. Notiamo che la formula (3) è stata ottenuta utilizzando quello che abbiamo dimostrato sulla somma degli angoli interni al poligono. Quindi non è una congettura ma è dimostrata per tutti i poliedri.

5 Sostituiamo nella congettura (2) e troviamo 2πV 2Sπ + 2F π = 4π ossia: (4) V S + F = 2 Dunque le congetture (2) e (4) sono equivalenti: (2) è vera se e solo se (4) è vera. La formula (4) è la formula di Eulero per i poliedri. Per quale classe di poliedri è vera? Poliedro V E F Tetraedro Cubo Ottaedro prisma Dodecaedro Icosaedro non convesso bucato Per la nostra congettura abbiamo considerato poliedri convessi, in realtà è vera per tutti i poliedri omeomorfi a una sfera. Se ad esempio guardiamo cosa succede con un poliedro bucato (o triangolando un toro), vediamo che di V S +F = 0. Da cui possiamo intuire che la somma V S +F dipende dalla topologia della superficie. Eulero formulò la congettura nel 1750 ma non riuscì a darne una dimostrazione corretta LA DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI EULERO: ILLUSTRIAMO L ARGOMENTO DI CAUCHY CON UN ESEMPIO Consideriamo un poliedro omeomorfo a una sfera, supponiamo che la sua superficie sia gommosa e molto elastica. Vogliamo calcolare V E + F Tagliamo una delle facce, stendiamo il poliedro sul piano, la nuova figura ha un numero di vertici V e un numero di spigoli S uguali a quelli del poliedro di partenza. Mentre il numero delle facce F = F 1. Vogliamo calcolare V S + F. Triangoliamo le facce aggiungendo, in ogni faccia, un numero opportuno di diagonali. Verifichiamo che così facendo, ad ogni passo, il numero V S + F rimane invariato. Al termine ottengo una triangolazione della regione piana che sto considerando. Considero i triangoli che hanno almeno un lato sul bordo. Se hanno un solo lato sul bordo lo cancello. La somma V S + F ad ogni passo rimane invariata. Se hanno due lati sul bordo cancello entrambi i lati. La somma V S + F ad ogni passo rimane invariata.

6 6 Al termine del processo, scegliendo i passi opportunamente, rimango con un solo triangolo, e dunque V S + F = = 1 da cui V S + F = 2. In [6] vengono discusse le lacune di questa dimostrazione, ad esempio occorrerebbe dimostrare che con questo procedimento è sempre possibile ridursi a un triangolo. In bibliografia si trovano numerose dimostrazioni della formula di Eulero. 5. I SOLIDI PLATONICI SONO GLI UNICI POLIEDRI REGOLARI, NELLA CLASSE DEI POLIEDRI OMEOMORFI A UNA SFERA Si può dimostrare questo fatto utilizzando la formula di Eulero, vedere ad esempio [1, pag.14]. La classe dei poliedri omeomorfi a una sfera è decisamente più grande di quella dei poliedri convessi, comprende ad esempio tutti i poliedri stellati. 6. TEOREMA (STEINITZ, 1906) La terna (V, S, F ) in N 3 corrisponde a un qualche poliedro convesso (è il cosiddetto f-vettore di un poliedro convesso) se e solo se E = V + F 2 F 2V 4 V 2F 4 Nella figura f 0 indica V e f 2 indica F. Si vede che le uniche coppie possibili di interi che siano (V, F ) di un poliedro convesso stanno nella regione evidenziata. Il bordo inferiore dà i poliedri semplici (da ogni vertice escono tre spigoli), il bordo superiore dà i loro duali, ossia i poliedri simpliciali (tutte le facce sono triangoli). Il vertice (4, 4) corrisponde al il tetraedro, che è sia semplice che simpliciale.

7 7 7. RELAZIONE TRA V S + F E LA TOPOLOGIA DI UNA SUPERFICIE CHIUSA [3] Consideriamo una superficie chiusa orientabile (ha un interno e un esterno). Sia g il massimo numero di curve chiuse semplici che si possono disegnare sulla superficie, senza che si intersechino e che non la dividano. I numero g è il genere della superficie e indica il numero di buchi della superficie. Triangolando una sfera o un toro, con triangolazioni totalmente arbitrarie, possiamo verificare la formula V E + F = 2 2g. Su [3] troviamo illustrato un argomento intuitivo per la dimostrazione di questo risultato. REFERENCES [1] G. Audrito, U. Battisti, M. Borsero, A. Raffero, S. Tassoni, L. Testa, Esplorazione dei solidi e oltre: fare geometria con gli zometool, Ledizioni. [2] D. Barnette, The sum of the solid angles of a d-polytope, Geometriae Dedicata November 1972, Volume 1, Issue 1, pp [3] R. Courant, H. Robbins, revised by I. Stewart, What is Mathematics? Oxford University Press, 1996 [4] The Geometry Junkyard (David Eppstein) Twenty Proofs of Euler s Formula: V E + F = 2 [5] B. Grunbaum: Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra? [6] I. Lakatos, Proofs and Refutations. The Logic of Mathematical Discovery Cambridge University Press, 1976 [7] J. Malkevitch, Euler s Polyhedral Formula, Feature Column of the American Mathematical Society [8] G. Polya, La scoperta Matematica, Volume II, Feltrinelli, 1971 [9] G. Ziegler, C. Blatter, Euler s polyhedron formula- a starting point of today s polytope theory, disponibile online [10] G. Ziegler, Lectures on Polytopes, GTM 152, Springer-Verlag, 1994