CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccatronica MODELLI DI SISTEMI

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccatronica MODELLI DI SISTEMI Prof. Cesare Fantuzzi Ing. Cristian Secchi Modelli di sistemi dinamici Considereremo sistemi descritti da equazioni differenziali tra derivate dei segnali di ingresso u( e derivate dei segnali di uscita y( u( Sistema y( m j= 0 a j j d y j = n j= 0 b j j d u j ModSemp -- 2 Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag.

2 Modelli di sistemi dinamici Operatore D Operatore D : Notazione simbolica D per indicare l'operazione di derivazione rispetto al tempo per semplificare la scrittura delle equazioni differenziali: Ad esempio, se x (, x 2 ( sono funzioni derivabili, e a, a 2 costanti, allora Si può dare un significato anche al simbolo /D (o D - ) ponendo in cui K è un'opportuna costante. ModSemp -- 3 Modelli di sistemi dinamici Operatore D Questa relazione costituisce una notazione convenzionale, in quanto in realtà l'operatore D non è invertibile, rappresentando una corrispondenza che non è uno a uno, ma molti a uno: tutte le funzioni che differiscono per una costante presentano la stessa derivata: Per tale ragione /D non si può applicare ai due membri di una relazione esprimente l'uguaglianza di due funzioni: D y( = D x( se è y( = x(, non è detto che sia D - y( = D - x( (solo per cond. iniziali nulle). ModSemp -- 4 Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 2

3 Circuiti elettrici Q 0 è la carica iniziale del condensatore N e N 2 sono i numeri di spire del circuito primario e secondario ModSemp -- 5 Circuiti elettrici Le unità di misura delle grandezze elettriche nel sistema SI sono: Variabili: [v] = V, Volt; [i] = A, Ampere; [Q] = C, Coulomb; Parametri: [R] = Ω, [L] = H, [C] = F, Ohm; Henry; Farad; In genere, i modelli matematici di circuiti elettrici (composizione di sistemi elementari) si ricavano applicando le leggi di Kirchhoff che esprimono il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi: ModSemp -- 6 Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 3

4 Circuiti elettrici Le leggi di Kirchhoff esprimono il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi: La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla; La somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla. v 2 i 2 i3 v v 4 v3 i i 4 v = v 2 + v 3 + v 4 i + i 2 + i 3 +i 4 = 0 ModSemp -- 7 Circuiti elettrici - Esempio Volendo ricavare, anzichè la corrente i, la tensione d'uscita v u, si può operare la sostituzione i( = C D v u (, mediante la quale si ottiene (v C ( = v u () l'equazione differenziale che mette in evidenza la relazione tra causa v i ed effetto v u. ModSemp -- 8 Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 4

5 Circuiti elettrici - Esempio i( ingresso i R equazione differenziale A i C equazione algebrica nell'operatore D condizioni iniziali nulle Kirchoff al v( nodo A i = i R + i C uscita dv( i( = v( + C R i = R v+ CDv i R = v( R dv( ic = C Sistema del ordine accumulatore di energia ModSemp -- 9 Circuiti elettrici - Esempio v i ( i( equazione differenziale v R equazione algebrica nell'operatore D v c ( Kirchoff alla maglia v i = v R + v C t vi ( = Ri() t + idτ C 0 vi = Ri + C D i Dvi = RDi + C i Se interessa v c come uscita vr = Ri t vc = idτ 0 condizioni iniziali nulle Sistema del ordine ricordando che i = i ( ) c CDv c v = RCD + v ModSemp -- 0 Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 5

6 i( () Circuiti elettrici - Esempio i L ingresso i R A i C equazione integro-differenziale condizioni iniziali nulle il = v( L Kirchoff al i R = v ( t ) v( nodo A R dv( i = i L + i R + i C ic = C uscita dv( i( = v( + v( + C L R derivando ambo i membri 2 equazione differenziale di dv d v del 2 ordine = v + + C 2 equazione algebrica nell'operatore D L R Sistema del 2 ordine 2 accumulatori di energia ModSemp -- i( Circuiti elettrici - Esempio i L ingresso i R A i C v( uscita condizioni iniziali nulle Kirchoff al nodo A i = i L + i R + i C il = v( L ir = v( R dv( ic = C Consente di ricavare l'uscita v( a partire dall'ingresso i( Se come uscita interessa la corrente nell'induttanza induttanza, ricordando che v = LDi ModSemp -- 2 Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 6

7 i( Circuiti elettrici - Esempio i L ingresso i R A i C v( uscita condizioni iniziali nulle Kirchoff al nodo A i = i L + i R + i C i i i L R C Consente di ricavare l'uscita v( a partire dall'ingresso i( = v( L = v( R dv( = C Se come uscita interessa la corrente nella resistenza, ricordando che v = Ri R ModSemp -- 3 Circuiti elettrici - Esempio A il = v( condizioni iniziali nulle L i L i R i C i( Kirchoff al ir = v ( t ) v( R nodo A dv( i = i L + i R + i C ic = C ingresso uscita Consente di ricavare l'uscita v( a partire dall'ingresso i( Se come uscita interessa la corrente nei diversi componenti, ricordando che: v = i C C D ModSemp -- 4 Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 7

8 Sistemi meccanici In generale si cerca di adottare modelli a costanti concentrate, perchè di più facile impiego, anche se spesso alquanto approssimativi e meno aderenti alla realtà di quanto non lo siano nel caso dei circuiti elettrici: ad esempio, in un modello a costanti concentrate la massa di una molla, (distribuita) è supposta trascurabile o concentrata agli estremi della molla. Si cerca di adottare modelli lineari, anche se ciò implica la limitazione dello studio a variazioni relativamente piccole delle grandezze in gioco. ModSemp -- 5 Sistemi meccanici Nella deduzione dei modelli, per semplicità si farà riferimento a moti di traslazione lungo una sola direzione e di rotazione attorno ad un solo asse. Le equazioni differenziali che descrivono il moto dei sistemi meccanici si ricavano di regola esprimendo l'equilibrio delle forze e delle coppie applicate a ciascuna delle parti in movimento. Per ottenere il modello dinamico di un sistema meccanico in moto traslatorio è fondamentale la legge di Newton: dove m è la massa concentrata, f è la risultante di tutte le forze applicate, x lo spostamento risultante ( è quindi l'accelerazione). f f 4 f 5 f 2 f 3 f ModSemp -- 6 Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 8

9 Sistemi meccanici Per un corpo in rotazione attorno ad un asse la legge di Newton si scrive essendo: J il momento d'inerzia rispetto all'asse asse di rotazione, c la risultante delle coppie, θ la rotazione del corpo. c θ ModSemp -- 7 Sistemi meccanici I sistemi meccanici in moto traslatorio si possono considerare costituiti dai componenti elementari: la massa, in cui si concentrano le forze di inerzia, f m x f 2 la molla, in cui si concentrano le forze di richiamo elastico, (se per x = 0 e x 2 = 0 la molla non è caricata) l'ammortizzatore, in cui si concentrano le forze di attrito viscoso. Si suppone che gli estremi di tali componenti meccanici siano sottoposti a moto traslatorio orizzontale. f K f x x 2 f f x B x 2 ModSemp -- 8 Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 9

10 Sistemi meccanici Analogamente per sistemi in moto rotatorio: Forze coppie Masse inerzie c(, ω( J c(, θ ( K c(, θ 2 ( c(, ω ( B c(, ω 2 ( ModSemp -- 9 Sistemi meccanici Riduttore c (, ω ( c 2 (, ω 2 ( In un riduttore ideale (senza perdite per attrito e con accoppiamento perfetto tra gli ingranaggi), la velocità viene ridotta del fattore k r Poiché in questo meccanismo la potenza entrante deve essere uguale a quella uscente la coppia risulta amplificata. ModSemp Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 0

11 Sistemi meccanici Altri elementi: Cinghia/puleggia Vite a ricircolazione di sfere Camma Biella/manovella ModSemp -- 2 Sistemi meccanici Le unità di misura delle grandezze meccaniche nel sistema SI sono: Variabili: [f] = N, Newton; [x] = m, metri; = m/sec, velocità; = m/sec 2, accelerazione. Parametri: [M] = kg, chilogrammi; [K] = N/m, coefficiente di rigidezza; [B] = N sec/m, coefficiente di attrito viscoso. Oppure (caso rotatorio) Variabili: [c] = N m; [θ]=rad; = rad/sec; = rad/sec^2. Parametri: [J] = kg\,m^2; [K] = N\,m/rad, coefficiente di rigidezza torsionale; [B] = N\,m\,sec/rad, coefficiente di attrito torsionale. ModSemp Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag.

12 Sistemi meccanici - Esempio Carrelli con attrito m 2 m u( x 2 ( x ( Applicando la legge di Newton a ciascuna massa si ottiene ModSemp Sistemi meccanici - Esempio Carrelli con attrito m 2 m u( x 2 ( x ( La variabile osservata del sistema è la velocita di m 2 e quindi Dalle due eq.ni differenziali, utilizzando l'operatore D, si ottiene: ModSemp Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 2

13 Sistemi meccanici - Esempio Da Si ricava Se si considerano per esempio per i parametri i valori numerici: si ottiene l'equazione differenziale la cui soluzione y( descrive l'andamento dell'uscita in funzione dell'ingresso u( e delle condizioni iniziali y(t_0) = ModSemp Sistemi meccanici - Esempio Le coppie applicate in questo caso sono: coppia esterna c( coppia dovuta alla molla torsionale c k ( = k θ( coppia dovuta all'attrito torsionale c b ( = B Applicando la legge di Newton si ha ModSemp Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 3

14 Effetti non lineari - Attrito Nei sistemi meccanici esistono fenomeni nonlineari che, per la discontinuità delle caratteristiche, non sono suscettibili neppure di una linearizzazione locale: il più importante di questi è l'attrito. Per rimanere nel campo dei modelli lineari si dovrebbe considerare il solo attrito viscoso. In realtà è presente anche l'attrito secco o attrito al distacco, consistente in una forza che equilibra la forza applicata, impedendo l'inizio del moto, finché questa non supera una soglia F_ d, oltre la quale inizia il movimento e la forza si annulla. Inoltre può essere presente l'attrito coulombiano, caratterizzato da una forza nulla quando il corpo è immobile, costante quando esso è in movimento e tale da opporsi al moto. L'attrito al distacco e l'attrito coulombiano sono fenomeni tipicamente nonlineari, per cui, finché l'approssimazione risulta accettabile, nei modelli matematici si considera il solo attrito viscoso. ModSemp Effetti non lineari - Saturazione Saturazione La saturazione è un fenomeno comune a tutti i processi fisici: l'uscita y del sistema è proporzionale all'ingresso x solo in un certo intervallo di valori, mentre rimane praticamente costante al di fuori di esso. ModSemp Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 4

15 Effetti non lineari Elasticita Elasticità Si fa, quando possibile, l'ipotesi che i corpi con cui si tratta siano rigidi. A causa della presenza di inevitabili elasticità strutturali, i modelli che si ricavano con le ipotesi di corpi rigidi sono validi solo in opportune bande di frequenze, che per definizione sono al di sotto delle frequenze naturali delle strutture definite da questi effetti. Se possibile, si deve prestare attenzione a non eccitare queste frequenze. Una regola di tipo empirico che si può adottare è quella di far sì che la pulsazione del sistema complessivo (con il controllo) sia inferiore di quella naturale non è semplice determinare ω 0 ModSemp Effetti non lineari Isteresi Isteresi Il sistema di attuazione (riduttore) introduce solitamente un qualche effetto di isteresi. Nel caso di riduttori, è dovuto al gioco d esistente tra gli ingranaggi. gg x: spostamento in ingresso y: spostamento in uscita ModSemp Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 5

16 Effetti non lineari - Isteresi Il movimento dell'ingranaggio pilota non si trasmette all'altro fino a quando i denti delle due ruote non sono in contatto. Se la velocità di xcambiasegno segno, allora y rimane costante per un certo tratto Ingresso Uscita (dash) Isteresi (d = 0.6) Non linearità a due valori : per ogni x vi sono 2 possibili valori di y, a seconda della storia dell'ingresso. Si possono avere instabilità o oscillazioni permanenti (cicli limite) ModSemp -- 3 Sistemi meccanici Effetti non lineari Zona morta L'uscita non risente di variazioni dell'ingresso contenute in una data banda. ModSemp Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 6

17 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccatronica Modelli di Sistemi FINE Prof. Cesare Fantuzzi Ing. Cristian Secchi Cesare Fantuzzi & Cristian Secchi Pag. 7