Dati Anagrafici. Curriculum professionale

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1 Dati Anagrafici COGNOME: De Vito NOME: Ernesto CODICE FISCALE: DVTRST67B06L219J NATO A: Torino (Prov. TO) DATA DI NASCITA: 6 Febbraio 1967 Curriculum professionale 2006: sono stato trasferito presso la Facoltà di Architettura dell Università degli Studi di Genova nel ruolo di ricercatore, settore scientifico-disciplinare MAT/06 - Probabilità e Statistica Matematica, afferendo al Dipartimento di Scienze per l Architettura. 2001: ho ricevuto il giudizio di conferma nel ruolo di ricercatore, settore scientificodisciplinare MAT/05 - Analisi matematica. 1997: ho preso servizio in qualità di ricercatore non confermato, settore scientificodisciplinare A02A - Analisi matematica, presso la Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali dell Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia, afferendo al Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata della stessa Università : sono stato borsista presso Laboratoire de Physique Theorique, Universitè de Sophia Antipolis, Nice (France). 1995: ho conseguito il titolo di Dottore di Ricerca in Fisica discutendo una tesi dal titolo Simmetrie generalizzate in sistemi quantistici relatori G. Cassinelli e V.S. Varadarajan. 1991: mi sono laureato in Fisica presso l Università di Genova con il massimo dei voti discutendo una tesi dal titolo Gruppi quantistici semisemplici relatore G. Cassinelli. Attività didattica La mia attuale attività didattica si svolge presso l Università di Genova, Facoltà di Architettura e di Scienze. Precedendemente ho tenuto corsi presso l Università di Modena e Reggio Emilia, Facoltà di Scienze ed di Ingegneria : Corso di Probabilità e Statistica per il Corso di Laurea in Informatica. Corso di Analisi III per SMID. Esercitazioni per il Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica per Matematica e SMID. Esercitazioni per il Corso di Matematica Applicata per Disegno Industriale : esercitazioni per il Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica per Matematica e SMID. Libero docente del Corso di Fondamenti Matematici dell Apprendimento Statistico per Matematica. Corso di Probabilità e Statistica per il Corso di Laurea in Informatica (Genova). Corso di ingresso per il corso di laurea in Matematica (Modena). 1

2 : esercitazioni per il Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica per Matematica e SMID. Libero docente del Corso di Fondamenti Matematici dell Apprendimento Statistico per Matematica (Genova). Corso di Analisi B per Ingegneria Ambientale e e dei Materiali; corso di ingresso per il corso di laurea in Matematica (Modena) : esercitazioni per il Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica per Matematica e SMID (Genova). Corso di Analisi B per Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni; esercitazioni di Analisi II per Matematica, Fisica ed Informatica; corso di ingresso per il corso di laurea in Matematica (Modena) : corso di Analisi B per Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni; esercitazioni di Analisi II per Matematica, Fisica ed Informatica; corso di ingresso per il corso di laurea in Matematica (Modena). Seminari di approfondimento nell ambito del corso di Apprendimento Statistico per il corso di laurea specialistica in Informatica (Genova) : corso di Analisi B per il Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni; corso di Complementi di Analisi per i corsi di Laurea in Fisica e in Chimica, corso di ingresso per il corso di laurea in Matematica (Modena) : corso di Analisi B per Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni; corso di Analisi IB per Fisica (Modena) : corso di Analisi B per Ingegneria Meccanica; corso di Analisi IB per Fisica (Modena) : esercitazioni di Analisi I per Ingegneria Meccanica e Materiali; esercitazioni di Analisi I per Ingegneria Elettronica ed Informatica; modulo di Matematica per Biologia (Modena) : esercitazioni di Analisi I per Ingegneria Meccanica e Materiali; esercitazioni di Analisi I per Ingegneria Elettronica ed Informatica (Modena) : esercitazioni di Istituzioni di Matematiche per Biologia (Modena). Nel corso degli anni sono stato relatore di numerose tesi di laurea in Matematica (Modena) e di alcune tesi di dottorato in Fisica ed Informatica (Genova).

3 Articoli e libri Pubblicazioni su riviste internazionali con referee. Il numero di citazione è stato dato utilizzando il Database ISI Web of Knowledge (alcuni articoli non sono stati trovati). (1) A. Caponnetto, De Vito E., M. Pontil, Entropy Conditions for L r -Convergence of Empirical Processes. Advances in Computational Mathematics, DOI /s (on line April 2008) Citazioni: 0 (2) L. Lo Gerfo, L. Rosasco, F. Odone., E. De Vito, A. Verri Spectral Algorithms for Supervised Learning, Neural Computation, (2008) Citazioni: 0. (3) A. Caponnetto, E. De Vito Optimal rates for regularized least-squares algorithm, Foundations Computational Mathematics (2007) Citazioni: 2 (4) E. De Vito, A. Caponetto, L. Rosasco, Discretization Error Analysis for Tikhonov regularization, Analysis and Applications (2006) (5) C. Carmeli, E. De Vito, A. Toigo, Vector Valued Reproducing Kernel Hilbert Spaces of Integrable Functions and Mercer Theorem, Analysis and Applications, (2006) (6) E. De Vito, L. Rosasco, A. Caponnetto, U. De Giovannini, F. Odone, Learning from Examples as an Inverse Problem, Journal of Machine Learning Research (2005) Citazioni: 6 (7) E. De Vito, A. Caponetto, L. Rosasco, Model selection for regularized least-squares algorithm in learning theory, Foundations Computational Mathematics (2005) Citazioni: 12 (8) E. De Vito, L. Rosasco, A. Caponetto, M. Piana, A. Verri, Some Properties of Regularized Kernel Methods, Journal of Machine Learning Research (2004) Citazioni: 4 (9) C. Carmeli, G.Cassinelli, E. De Vito, A. Toigo, B. Vacchini, A complete characterization of phase space measurements, J.Phys.A: Mathematical and General (2004) (10) L. Rosasco, E. De Vito, A. Caponetto, M. Piana, A. Verri, Are Loss Functions All the Same?, Neural Computation 16, (2004) Citazioni: 3 (11) G.Cassinelli, E. De Vito, A. Toigo, Positive operator valued measures covariant with respect to an Abelian group, J. Math. Phys (2004) Citazioni: 6 (12) G.Cassinelli, E. De Vito, A. Toigo, Positive operator valued measures covariant with respect to an irreducible representation, J. Math. Phys (2003) Citazioni: 8 (13) G.Cassinelli, E.De Vito, Square-integrability modulo a subgroup, Trans. A.M.S. 355, (2003). Citazioni: 3 (14) G.Cassinelli, E.De Vito, P.Lahti, J.-P. Pellonpää, Covariant localizations in the torus and the phase observables, J. Math. Phys (2002) Citazioni: 13 (15) G. M. D Ariano, E. De Vito, L. Maccone, SU(1, 1) tomography, Phys. Rev. A 64, (2001) Citazioni: 1 (16) P.Bush, G.Cassinelli, E.De Vito, P.Lahti, A. Levrero Teleportation and Measurement, Physics Letter A (2001) Citazioni: 0 (17) P.Aniello, G.Cassinelli, E.De Vito, A. Levrero On discrete frames associated with semidirect products, J. Fourier Anal. and Appl., (2001) Citazioni: 5 (18) G.Cassinelli, G.M. D Ariano, E.De Vito, A.Levrero, Group Theoretical Quantum Tomography, J.Math.Phys 41, (2000) Citazioni: 8

4 (19) G.Cassinelli, E.De Vito, P.Lahti, A. Levrero A theorem of Ludwig revisited, Found.Phys. 30, (2000) Citazioni: 0 (20) G.Cassinelli, E.De Vito, P.Lahti, A.Levrero, Phase Space Observables and Isotypic Spaces, J.Math. Phys 41, (2000) Citazioni: 1 (21) G.Cassinelli, E.De Vito, A.Levrero, Square-integrable imprimitivity systems, J.Math.Phys 41, (2000) Citazioni: 0 (22) G.Cassinelli, E. De Vito, A. Levrero, Galilei invariant wave equations, Rep. Math. Phys. 43, (1999) Citazioni: 0 (23) P.Aniello, G.Cassinelli, E.De Vito, A. Levrero, Frames from imprimitivity systems, J. Math. Phys (1999) Citazioni: 2 (24) P.Aniello, G.Cassinelli, E.De Vito, A.Levrero, Wavelet transforms and discrete frames associated to semidirect products, J. Math. Phys. 39, (1998) (edizione speciale sulle Wavelets) Citazioni: 10 (25) G.Cassinelli, E.De Vito, P.Lahti, A.Levrero, Symmetries of the Quantum State Space and Group Representations, Rev. Math. Phys. 10, (1998) Citazioni: 1 (26) P.Aniello, G.Cassinelli, E.De Vito, A.Levrero, Square integrability of induced representations of semidirect products, Rev. Math. Phys. 10, (1998) Citazioni: 9 (27) G.Cassinelli, E.De Vito, A.Levrero, Integrability of the Quantum Adiabatic Evolution and Geometric Phases, J. Math. Phys. 38, (1997) Citazioni: 0 (28) G.Cassinelli, E.De Vito, P.Lahti, A.Levrero, Symmetry Groups in Quantum Mechanics and the Theorem of Wigner on the Symmetry Transformations, Rev. Math. Phys. 9, (1997) Citazioni: 17 (29) G.Cassinelli, E.De Vito, A.Levrero, On the decompositions of a quantum state, J. Math. Analysis and Appl. 210, (1997). (30) G.Cassinelli, E.De Vito, P.Lahti, Properties of the Range of a State Operator, Rep.Math.Phys. 34, 211 (1994). (31) E.De Vito, A.Levrero, Pancharatnam Phase for Polarized Light, J.Mod. Opt., (1994). (32) G.Cassinelli, E.De Vito, P.Lahti, A.Levrero, Geometric Phase and Sequential Measurements in Quantum Mechanics, Phys. Rev. A 49, (1994) Citazioni: 2 (33) E.De Vito, P.Truini, Deformation of Polynomial Spaces Over Semisimple Lie Groups, Comm.Theor. Phys., 3, 73 (1994). Libri (34) G.Cassinelli, E.De Vito, P.Lahti, A.Levrero, The Theory of Symmetry Actions in Quantum Mechanics: with an application to the Galilei group, Lectures Notes in Physics, vol. 654, Springer-Verlag: Berlin (ISBN: ). Proceedings (con referee) (35) L. Rosasco, A. Caponnetto, E. De Vito, F. Odone, U. De Giovannini, Learning, Regularization and Ill-Posed Inverse Problems, Vancouver, NIPS 2004 (36) G.Cassinelli, E.De Vito, P.Truini, Classical Pairing and Quantum Group Duality, in Quantum Symmetries, Goslar 1991, World Scientific, Singapore, 373 (1993). Technical report (37) P. Albini, E. De Vito, A. Toigo Quantum homodyne tomography as an informationally complete POVM, preprint arxiv: (2008).

5 (38) C. Carmeli, E. De Vito, A. Toigo, V. Umanità, Vector valued reproducing kernel Hilbert spaces and universality, preprint arxiv: (2008) (39) De Mol, C., De Vito E. and Rosasco L. Elastic Net Regularization in Learning Theory preprint arxiv: (2008). (40) De Vito, E. and Pereverzev S. and Rosasco L. Adaptive Learning via the Balancing Principle, preprint (2007). (41) L. Rosasco, E. De Vito, A. Verri, Spectral Methods for Regularization in Learning Theory Technical report DISI-TR (42) A. Caponnetto, L. Rosasco, E. De Vito, A. Verri, Empirical Effective Dimension and Optimal Rates for Regularized Least Squares Algorithm, CBCL Paper #252/AI Memo # , MIT, Cambridge, MA, May Seminari su invito Luglio 2000: Group theoretical quantum tomography, XIII International Congress of Mathematical Physics, London, UK Novembre 2002: Statistical Learning Theory: an introduction, ASTAA Project Workshop, Fondazione Mediterraneo, Sestri Levante Aprile 2003: Representer Theorem for Regularizing Algorithms, ASTAA Project Workshop, Fondazione Mediterraneo, Sestri Levante Aprile 2003: Unitary Teleportation, Problemi attuali di Fisica Teorica, Vietri Febbraio 2004: Learning as an inverse problem, ASTAA Project Workshop, Fondazione Mediterraneo, Sestri Levante Febbraio 2004: Generalized Covariant POVM, Dipartimento di Fisica, Università di Milano Novembre 2004: Learning from Examples as an Inverse Problems, Analytic Methods in Learning Theory, Università di Genova Maggio 2005 Reproducing Kernel Hilbert Spaces of Square Integrable Functions, TTI - Chicago. Giugno 2006: From inverse problems to learning theory: a new class of algorithms, Second Workshop on Analytic Methods for Learning Theory:Learning, Regularization and Approximation, Università di Genova Febbraio 2008: Metodi Matematici per l Apprendimento Statistico, ciclo di lezioni per la scuola di dottorato in Scienze computazionali e informatiche, Università di Napoli Federico II Maggio 2008: Sparse recovery: l 1 +l 2 -minimization algorithm, XXVIII Congress in Harmonic Analysis, Perugia Attività di ricerca La mia attività di ricerca si svolge principalmente dell ambito della matematica applicata, con particolare attenzione ai metodi dell analisi armonica ed analisi funzionale. Illustro nel seguito il mio contributo, suddividendo l esposizione per argomento di ricerca. Le referenze sono all elenco delle pubblicazioni sopra riportato. Ricostruzione di segnali complessi da dati rumorosi

6 Molti problemi di interesse nell applicazioni, quali la bio-informatica, la classificazione automatica di immagini o testi, la ricostruzione di segnali complessi, possono essere descritti dal seguente modello matematico, noto come apprendimento supervisionato. Al base di tale modello, vi sono due variabili x X ed y Y. La variabile x è in generale un vettore d-dimensionale che descrive le caratteristiche significative del sistema in esame, quali ad esempio l espressione genica di una famiglia di geni in un marco-array, la matrice di livelli di grigio di un immagine digitale o le componenti di un segnale rispetto ad una famiglia di ondine. Data la complessità del fenomeno in esame, il numero di componenti è in generale molto alto (ad esempio nei macro-array il numero di geni è dell ordine di 10 4 /10 5 ). La variabile y è la risposta del sistema quando si trova nello stato descritto dal vettore x. Tale risposta può essere un valore binario in problemi di classificazione bi-classe (sano/malato, faccia/non faccia), un parametro reale in problemi di regressione scalare (la gravità della malattia, il tempo di assorbimento di una medicina) o un vettore in problemi di regressione vettoriale (ad esempio, la curva di concentrazione del ferro del fegato). La relazione che lega x ad y non è nota, se non attraverso un insieme di esempi z = ((x 1, y 1 ),..., (x n, y n )), dove x i X e y i Y. Lo scopo è quello di determinare una funzione f n,z : X Y, dipendente dall insieme di esempi z e dalla sua numerosità n, tale che f n,z (x) sia una buona stima della risposta y quando un nuovo dato di ingresso x è dato. Non si tratta, tuttavia, di un problema di interpolazione poiché le risposte y i sono affette da rumore, in generale non gaussiano, ed i vettori di stato x i sono campionati in accordo ad una distribuzione non uniforme. Per modelizzare tale situazione si assume che le coppie (x i, y i ) siano campionate in modo indipendente in accordo ad una distribuzione di probabilità ignota ρ su X Y. La misura dell errore commesso da f n,z è dato dal suo errore atteso E[f n,z ] = V (y, f(x)) dρ(x, y), X Y dove V (y, f(x)) è la funzione costo (una scelta tipica è quella quadratica V (y, f(x)) = y f(x) 2 Y ). In tale contesto, uno dei problemi centrali è quello di determinare una procedura, detta algoritmo di apprendimento, che sia consistente, cioé, per cui valga che lim P z (E[f n,z ] inf E[f] + ɛ) = 0 ɛ > 0, n dove l estremo inferiore è su tutte le funzioni misurabili f : X Y. In tale ambito, la mia attività di ricerca ha avuto come obiettivo quello di utilizzare tecniche di analisi convessa, teoria spettrale ed analisi armonica per studiare le proprietà di alcune algoritmi di apprendimento noti in letteratura e di proporre una nuova classe di algoritmi. In [10], utilizzando tecniche di analisi convessa, ho mostrato che se la funzione costo è convessa nel secondo argomento, esiste una funzione f che minimizza l errore atteso (nel caso di funzione costo quadratico è noto che f è la funzione di regressione). Inoltre ho studiato per alcuni algoritmi specifici, come la scelta di V influenzi la velocità di convergenza di f n,z ad f quando n tende all infinito. In [8] ho studiato alcune proprietà di tipo analitico per gli algoritmi della forma ( ) 1 (1) f n,z = argmin f H V (y i, f(x i )) + λ n f 2 H, n i dove H è un spazio di Hilbert a nucleo riproducente con norma H e λ n è un parametro positivo. In particolare ho ottenuto una forma esplicita per f n,z in termini del subgradiente della funzioni costo ed ho esteso tale risultato anche alla soluzione f λ ad infiniti dati f λ = argmin f H ( E[f] + λn f 2 H).

7 In [7], ho dimostrato la consistenza dell algoritmo (1) con funzione costo quadratica, determinando esplicitamente una stima per la velocità di convergenza. Il risultato è basato sull uso di tecniche di analisi funzionale, che permettono di dimostrare la consistenza sotto ipotesi molto generali su X, Y e ρ. Nei lavori [4,6,35] ho mostrato come il problema dell apprendimento statistico sia un problema inverso mal posto. Nel caso di funzione costo quadratico, il problema è lineare e l algoritmo dei minimi quadrati regolarizzati (1) è una versione discreta della regolarizzazione alla Tikhonov. Ho, quindi, studiato la velocità di convergenza della soluzione discreta a quella ideale con un approccio che permette di separare l aspetto probabilistico da quello analitico funzionale. Tali risultati si possono estendere ad altri problemi inversi, quali la discretizzazione di un operatore integrale. In [3] ho dimostrato come, nel caso dei minimi quadrati regolarizzati, sia possibile scegliere il parametro di regolarizzazione in modo da ottenere un rate di convergenza ottimale su una classe di distribuzione di probabilità caratterizzato da due parametri: il primo controlla la regolarità della funzione di regressione, mentre il secondo misura il numero di gradi di libertà effettivi definiti dal kernel e dalla distribuzione marginale delle x. L ottimalità è studiata nel senso minmax e, a tal fine, sono stati ottenuti dei lower bound per le classi di distribuzioni considerate. In [41,2] ho esteso i risultati del lavoro [4] ad algoritmi definiti da un filtro arbitrario. In particolare ho dimostrato che una larga classe di metodi di regolarizzazione usati nei problemi inversi dà luogo ad una corrispondente classe di algoritmi consistenti. In [1] ho esteso il concetto di integrale di Koltchinskii-Pollard per l entropia, la cui finitezza è condizione sufficiente per garantire la legge dei grandi numeri uniformemente su uno spazio di funzioni F, al caso in cui F è dotato di una misura di probabilità che descrive l importanza delle varie funzioni di cui stimare il valore atteso in base alla stima empirica. In [40] ho mostrato come per un ampia classe di algoritmi di apprendimento dipendenti da un parametro λ, come ad esempio l algoritmo dei minimi quadrati regolarizzati (1), si possa scegliere λ in modo da adattarsi alla proprietà (ignote) della funzione obiettivo, determinando una velocità di convergenza ottimale dell algoritmo. In [39] ho esteso l algoritmo dell elastic-net al caso di dizionari di ondine e ne ho provato la consistenza universale, sotto ipotesi molto deboli (non è necessario assumere l indipendenza lineare degli elementi del dizionario). Ho inoltre provato che il corrispondente estimatore f n,z è il punto fisso di una mappa contrattiva, per cui la soluzione può essere ottenuta tramite un algoritmo iterativo. Ho infine analizzato le proprietà di sparsità della soluzione in termini dei pesi associati alle basi wavelets. Spazi di Hilbert a nucleo riproducente Gli spazi di Hilbert a nucleo riproducente sono uno strumento fondamentale nella matematica applicata, quali l apprendimento supervisionato e la teoria dei segnali. Infatti, spesso, data una funzione f, è necessario poterla valutare in un punto arbitrario x in modo tale che piccole variazioni di f, rispetto a qualche nozione di distanza tra funzioni, producano piccole variazioni del corrispondente valore f(x). Il prototipo è lo spazio delle funzioni continue (limitate) con la norma uniforme. Tuttavia nei problemi applicativi è spesso utile avere anche una struttura di prodotto scalare. Gli spazi di Hilbert a nucleo riproducente rispondono precisamente a tale richiesta. Infatti, in un tale spazio funzionale H, per ogni x X esiste (unico) operatore lineare limitato K x : Y H tale che f(x) = K xf per ogni f H. Nel caso scalare Y = R esiste una ricca letteratura sull argomento, che tuttavia si

8 riduce a un paio di lavori molto tecnici nel caso vettoriale. In [5] ho esteso al caso vettoriale il teorema di Mercer che caratterizza la struttura dello spazio di Hilbert a nucleo riproducente in termini della decomposizione dell operatore integrale il cui kernel è il kernel riproducente K(x, t) = KxK t : Y Y. Inoltre ho studiato condizioni necessarie e sufficienti affinchè un tale spazio sia immerso (con continuità) in uno spazio L p (X, µ) rispetto ad una misura arbitraria µ. In [38] ho caratterizzato tutti i kernel vettoriali invarianti rispetti all azione di un gruppo G. In particolare, nel caso in cui G sia abeliano, i kernel invarianti sono definiti in termini di una misura finita sul gruppo duale Ĝ ed un opportuna famiglia ( ˆf i ) dimy i=1 di funzioni ˆf i : Ĝ Y a quadrato integrabile rispetto ad una misura di probabilità su Ĝ (nel caso scalare Y = C questo risultato è una conseguenza immediata del teorema di Bochner). Dizionari più che completi e frame covarianti È noto che per ricostruire un segnale f in modo stabile ed efficiente è spesso utile decomporre f rispetto ad un sistema di generatori più che completo, detto frame. Si è rivelato particolarmente fruttuoso costruire frame continui utilizzando una rappresentazione unitaria U di un gruppo G e definendo φ g = U g η dove η è un fissato vettore in H. La condizione che la famiglia di vettori (U g η) g G sia un frame è equivalente al fatto che (2) a ψ 2 (ψ, U g η) 2 dg b ψ 2, dove dg è la misura di Haar su G. Nel caso in cui U sia irriducibile, la (2) è equivalente al fatto che U sia una rappresentazione a quadrato integrabile. L idea di frame è strettamente connessa a quella di misure a valori negli operatori positivi (POVM). Dato un sottoinsieme misurabile E di G si definisce un operatore (positivo) Q(E)φ = (φ, U g η)u g η dg. E Al variare di E, Q(E) ha le stesse proprietà di una misura e codifica l intera informazione del frame. Attualmente, in collaborazione con F. De Mari, sto affrontando il problema di caratterizzare tutti i sottogruppi H del gruppo simplettico tali per cui la restrizione della rappresentazione metaplettica ad H determini un tight frame, cioè ψ = (ψ, U g η)u g η dg. H In precedenza, nel lavoro [26] ho determinato condizioni necessarie e sufficienti per la quadrato integrabilità delle rappresentazioni dei gruppi prodotto semidiretto con fattore normale abeliano. Ho, inoltre, caratterizzato esplicitamente la forma dell operatore di grado formale. In [24], data una rappresentazione a quadrato integrabile U di G, ho determinato condizioni sufficienti affinché esistano sottoinsiemi discreti (g i ) i I di G tali che (U gi v) i I sia un frame. Viceversa, in [17], ho provato, sotto deboli condizioni, che se l insieme (U gi v) i I è un frame, allora U è a quadrato integrabile. In [23,21] ho esteso la nozione di quadrato integrabilità a sistemi di imprimitività basati su spazi omogenei. In particolare ho provato l esistenza di relazioni di ortogonalità simili a quelle che si hanno per i gruppi. La nozione di sistema di imprimitività a quadrato integrabile è il contesto naturale per lo studio dell analisi di Gabor. In [13], ho esteso la nozione di quadrato-integrabilità a rappresentazioni unitarie (non necessariamente irriducibili) in cui lo spazio dei parametri che indicizza il corrispondente

9 frame è uno spazio omogeneo G/H. In questo modo si ha una completa corrispondenza tra POVM covarianti e rappresentazioni a quadrato integrabile modulo H. Applicando tale risultato, in [12] ho mostrato che, dato un gruppo G localmente compatto ed un sottogruppo centrale Z, tutte le POVM su G/Z, covarianti rispetto ad una rappresentazione irriducibile di G, sono univocamente determinate da un operatore positivo di classe traccia a traccia 1. In [11], dato un gruppo abeliano G ed un generico sottogruppo chiuso H, ho classificato tutte le POVM su G/H che sono covarianti rispetto ad una rappresentazione unitaria di G, non necessariamente irriducibile. Questo lavoro estende i risultati ottenuti in [14] per il caso di gruppi compatti abeliani. In [9] ho classificato tutte le POVM sul gruppo di Galilei G, covarianti rispetto ad una rappresentazione di G. Infine in [20] ho caratterizzato completamente le POVM covarianti nel caso in cui G sia il gruppo di Heisenberg. In [18] ho mostrato che la tomografia quantistica, tecnica di ricostruzione di una stato in ottica quantistica, può essere definita rigorosamente per mezzo di rappresentazioni unitarie continue a quadrato integrabili di opportuni gruppi di Lie. Ho considerati in dettaglio gli esempi di SU(2) e del gruppo di Weyl-Heisenberg, per cui esistono prototipi sperimentali. In [15] ho esteso tale analisi al caso del gruppo SU(1, 1), di interesse in ottica quantistica non lineare. In [37] ho mostrato come la distribuzione di probabilità congiunta di della quadrature della tomografia omodina sia realizzata da una POVM informazionalmente completa. Tale POVM permette di descrivere gli stati quantistici in termini di densità classiche su R [0, 2π]. Tale descrizione consente di utilizzare le tecniche classiche di stime di densità per ricostruire lo stato di un sistema quantistico a partire da un numero finito di quadrature. Simmetrie in meccanica quantistica L analisi armonica non commutativa è uno degli strumenti fondamentali per affrontare lo studio matematico dei gruppi di simmetria in meccanica quantistica, in cui lo spazio degli stati è uno spazio di Hilbert. Il mio lavoro di ricerca si inserisce in questo contesto e si è concretizzato nelle stesura della monografia [34] in cui viene esposto in modo sistematico ed esaustivo l idea di simmetria in meccanica quantistica con particolare attenzione alle applicazioni al gruppo di Galilei in due e tre dimensioni (spaziali). In [22], utilizzando la teoria delle distribuzioni quasi-invarianti dovuta essenzialmente a Bruhat, ho proposto una definizione di equazione d onda in termini di operatori differenziali che agiscono su distribuzioni a valori vettoriali sullo spazio-tempo. Gli stati del sistema fisico sono le soluzioni (deboli) dell equazione d onda. Le possibili equazioni d onda sono determinate dalla condizione che lo spazio degli stati fisici rechi una rappresentazione irriducibile del gruppo di simmetria. Questa tecnica viene applicata allo studio dei sistemi invarianti rispetto al gruppo di Galilei in 2 e 3 dimensioni spaziali ottenendo alcuni risultati interessanti riguardo l accoppiamento con un campo elettromagnetico esterno. Il lavoro [28] è una rassegna sul concetto di simmetria per un sistema quantistico, rispetto alle diverse strutture matematiche ad esso associate (spazio degli stati, spazio degli stati puri, spazio delle osservabili, reticolo della logica), mostrandone l equivalenza sia dal punto di vista insiemistico sia da quello topologico. In tale ambito ho prodotto una nuova dimostrazione del teorema di Wigner più semplice di quelle riportate in letteratura. Il lavoro [25] è la naturale prosecuzione di [28]. In esso ho mostrato come ad ogni gruppo di simmetria sia associata una famiglia di rappresentazioni unitarie di un gruppo piú ampio (estensione centrale universale). L uso del concetto di estensione centrale permette

10 di dedurre i risultati ottenuti da Wigner e Bargmann per il gruppo di Poincarè e di Galilei (rispettivamente) in modo più semplice e conciso. Inoltre ho chiarito in tale ambito la nozione di equivalenza fisica tra rappresentazioni (che differisce da quella unitaria) ed il ruolo delle regole di superselezione. Struttura matematica della Meccanica quantistica In meccanica quantistici, gli stati sono descritti da operatori, su uno spazio di Hilbert complesso, che sono positivi, di classe traccia a traccia 1. L insieme di tali stati ha un sorprendente numero di interessanti strutture matematiche, quali quella spettrale, quella convessa, quella simplettica e quella probabilistica. La linea guida del mio lavoro è stato quello di studiare le relazioni tra queste diverse strutture. Nei lavori [30] e [29], dato uno stato T, ho caratterizzato tutte le possibili decomposizioni convesse di T in stati puri. Per alcune di queste decomposizioni, di interesse in fisica, ne ho dato una caratterizzazione equivalente in termini di proprietà topologiche del range di T. Nel lavoro [27] ho mostrato che la presenza delle fasi geometriche può essere interpretata come condizione di integrabilità di un sistema hamiltoniano classico. Le fasi geometriche emergono naturalmente in questo contesto come periodi della 1-forma simplettica. Questo fornisce una relazione esplicita tra fasi ed operatori unitari che realizzano le porte logiche. Nell ambito dello studio delle proprietà delle fasi geometriche, sono i lavori [32], in cui ho studiato il problema della misurabilità di tali fasi, e [31], in cui ho chiarito la relazione tra le fasi geometriche quantistiche e l analogo classico (fase di Pancharatnam). In [16], ho mostrato come il processo del teletrasporto, tecnica che sfrutta struttura non locale delle correlazioni quantistiche, possa essere realizzato tramite sole trasformazioni unitarie. Usualmente questa metodologia è basata su processi di misura e sul corrispondente collasso della funzione d onda. Questo ultimo approccio non è completamente soddisfacente sotto l aspetto teorico poiché vi sono alcuni problemi interpretativi legati al collasso degli stati. Il sottoscritto ai sensi della Legge 196/03 è informato che i dati personali forniti con la presente dichiarazione potranno essere trattati per gli adempimenti connessi all espletamento delle procedure amministrative relative. Letto, confermato e sottoscritto. Genova, 25 Luglio 2008 IL DICHIARANTE