Μ ο. x Β ο. S. Chimichi

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1 Magnetizzazione trasversale e rilassamentotrasversale Sappiamo adesso come un insieme di spin (di un singolo tipo e con I = 1/2) generi una magnetizzazione, M o, dopo interazione con un campo magnetico esterno, B o. La magnetizzazione risultante è proporzionale alla differenza di popolazione di spin nei livelli a bassa e ad alta energia: essa precede con frequenza angolare ω 0 o se vogliamo, dividendo per 2π, υ 0 frequenza di Larmor. z z y Μ ο y x x Β ο Β ο

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3 Pulse sequence nomenclature. (a) Complete pulse sequence and (b) the reduced representation

4 π/2 pulse on X Vectorial representation!!

5 Sviluppo della magnetizzazione longitudinale all accensione del campo M z (t) = M z eq [1- exp{- (t-t on ) / T 1 }] magnetizzazione longitudinale di equilibrio Spin-lattice relaxation time o tempo di rilassamento longitudinale

6 Decadimento della magnetizzazione longitudinale allo spegnimento del campo M z (t) = M z eq exp{ - (t-t off ) / T 1 }

7 La magnetizzazione risultante è proporzionale alla differenza di popolazione di spin nei livelli a bassa e ad alta energia: essa precede con frequenza angolare ω 0. Al momento non accade niente. Dobbiamo agire sul sistema per osservare un segnale; cioè muoverlo dalla sua posizione e osservare come esso torna all equilibrio. Ciò significa alterare le popolazioni. Adesso supponiamo che tale vettore risultante ruoti rapidamente di π/2 radianti attorno all asse x ad opera di qualche evento esterno. Vedremo in seguito come ciò si ottenga applicando un impulso rf cioè un campo magnetico oscillante, di appropriata frequenza e durata. Per il momento, tralasciamo il meccanismo ed esaminiamo le conseguenze. Se una polarizzazione di spin (il vettore risultante) è inizialmente lungo l asse z e viene ruotato di π/2 lungo l asse x, il risultato è quello di ottenere una polarizzazione di spin lungo l asse -y: NOTE! Rotazione di π/2 di uno spin lungo l asse x (si noti la corretta convenzione di rotazione)

8 Generation of transverse magnetization by π/2 pulse

9 Poiché l impulso ruota la polarizzazione di ogni singolo spin nel campione dello stesso angolo, l impulso genera la rotazione dell intera magnetizzazione nucleare del campione. La polarizzazione netta di spin lungo l asse z viene quindi trasformata in una polarizzazione netta di spin lungo l asse y. Distribuzione della polarizzazione dopo l impulso (π/2) x. Questo momento magnetico netto perpendicolare al campo magnetico viene detto magnetizzazione trasversale.

10 ATTENZIONE: In molti esperimenti l impulso è applicato lungo l asse +x del rotating frame. Nella rappresentazione vettoriale ciò corrisponde ad una rotazione dall asse +z verso +y: Nel formalismo degli operatori prodotto di Sorensen et al. ciò corrisponde ad un operatore evoluzione allineato lungo x causante la stessa rotazione dall asse +z verso +y (o in altre parole l impulso lungo +x conduce ora su y). O.W.Sorensen, G.W.Eich, M.H.Levitt, G.Bodenhausen e R.R.Ernst, Progr. NMR Spectrosc. 16, 163 (1983)

11 Note again that,contrary to what is found in many elementary texts, the axes and the sense of precession have been defined such that a pulse about the +x axis takes M initially towards the y axis. The rate or angular frequency of precession (the nutation frequency) is given by ω 1 = -γb 1, where γ is the magnetogyric ratio of the nuclei being pulsed. The angle β through which M nutates is given by β = ω 1 t p, where t p is the pulse length. This time can be chosen to make the flip angle β equal to π/2 (a 90 pulse) if maximum excitation of transverse magnetization is required,or π (a 180 pulse) to invert the equilibrium magnetization.

12 Adesso supponiamo che l impulso venga spento e che quindi gli spins riprendano il loro moto precessionale. Poiché ogni singolo spin precede, il momento magnetico totale precede anch esso. La magnetizzazione nucleare macroscopica ruota quindi adesso nel piano xy, perpendicolare al campo magnetico principale: Precessione negativa della magnetizzazione trasversale (γ >0). La magnetizzazione trasversale decade lentamente poiché è impossibile mantenere l esatta sincronia tra i vari magneti nucleari che precedono. Dato che I campi magnetici microscopici fluttuano leggermente, i vari magneti nucleari che precedono perdono gradualmente la loro coerenza di fase.

13 Questo processo di decadimento è irreversibile. Una volta che la magnetizzazione trasversa sia svanita, essa non può essere recuperata. Questo tipo di processo è detto decadimento omogeneo La costante di tempo T 2 rende conto del decadimento omogeneo della precessione della magnetizzazione nucleare macroscopica. Essa ha vari nomi, il più comune dei quali è quello di costante di tempo del rilassamento trasversale, costante di tempo del defasamento di coerenza, costante di tempo del decadimento di coerenza e costante di tempo del rilassamento spin spin. Quest ultima è misleading poiché sembra implicare che la distruzione della magnetizzazione trasversa richieda interazioni tra gli spins nucleari, e non è questo il caso. Ciò che è richiesto è che I vari spins risentano di campi magnetici leggermente diversi, così che precedano con frequenze leggermente diverse. Ciò è sempre vero in campioni reali, indipendentemente dal fatto che gli spins interagiscano o meno tra loro.

14 Generazione di una coerenza di fase e relativa «perdita»

15 Per l NMR di piccole molecole nei liquidi, T 2 è tipicamente dello stesso ordine di grandezza del T 1 (vedi oltre, cioè vari secondi). Ciò implica che gli spins nucleari compiono svariate decine di milioni di cicli di precessione di Larmor senza perdere sincronia. In altri casi, quali grandi molecole nei liquidi, per alcuni nuclei o per i solidi, la costante di tempo di rilassamento trasversale può essere invece dell ordine dei millisecondi. Decadimento e oscillazione della magnetizzazione trasversale.

16 Le componenti della magnetizzazione macroscopica al tempo t dopo l impulso hanno quindi la forma: Il segnale NMR La magnetizzazione trasversa che precede dopo l impulso rf è molto piccola (debole). Ciononostante è rilevabile, poiché oscilla ad una ben precisa frequenza. Un momento magnetico rotante genera un campo magnetico rotante. Dalle equazioni di Maxwell sappiamo che un campo magnetico è associato ad un campo elettrico. Se la bobina è vicina al campione allora una corrente elettrica oscillante fluisce nella bobina (movimento degli elettroni). E quindi possibile rivelare questa debole corrente oscillante impiegando un detector di rf adeguatamente sensibile.

17 Induzione di un segnale NMR. Il segnale NMR è anche detto free induction decay (fid) Nota l orientazione della bobina (coil) -perpendicolare al campo magnetico

18 Si noti la geometria di questo arrangiamento: l asse di avvolgimento della bobina è perpendicolare al campo magnetico principale onde poter rivelare la magnetizzazione trasversa che precede. La corrente elettrica oscillante indotta dalla magnetizzazione nucleare trasversa che precede è detta segnale NMR o free induction decay (FID). Lo spettrometro NMR è fondamentalmente uno strumento capace di: (i) magnetizzare gli spins nucleari mediante applicazione di un forte campo magnetico; (ii) ruotare le polarizzazioni di spin mediante impulsi a rf onde generare magnetizzazione nucleare trasversa; (iii) rivelare le deboli correnti elettriche oscillanti indotte dalla magnetizzazione trasversa. In un certo senso tutto il resto è solo dettagli!

19 Sistema di Laboratorio e sistema Rotante Il sistema di coordinate che abbiamo usato nel precedente esempio (laboratory frame) è decisamente inadatto. L intero sistema ruota a ω o, e ciò rende ogni tipo di analisi impossibile. Sarebbe come tentare di leggere l etichetta di un disco che stia girando su un giradischi. (esempio vecchio, ma forse rende l idea!) La soluzione consiste nell adottare un sistema di coordinate che ruoti anch esso a ω o. E come salire sul giradischi (e quindi poter leggere l etichetta!) Ciò che effettivamente abbiamo fatto è stato rimuovere l effetto di B o.

20 z z B o x M xy ω o y x M x y y Laboratory Frame Rotating Frame In questo sistema di coordinate, M x y non si muove se siamo in condizioni di risonanza (ν di B 1 è esattamente la frequenza dei nuclei, ν o ).

21 Quindi nel nostro caso

22 A B C Static: z z y 90 x y x x z t 2 y x ω 10 8 Hz

23 A B C Rotating (ω 0 = ω B ): z ω 0 = ω B z y 90 x y x x z t 2 y x ω 10 3 Hz

24 ROTATING FRAME OF REFERENCE faster slower

25 La più semplice sequenza di impulsi Come discusso in precedenza, la FID è originata: (i) permettendo agli spins di raggiungere l equilibrio termico in un forte campo magnetico; (ii) ruotando le polarizzazioni nucleari di spin mediante un impulso di rf; e (iii) amplificando e rivelando il debole segnale di radiofrequenza (rf) emesso quando gli spins riprendono il loro moto precessionale nel campo magnetico. Questa tecnica NMR è rappresentata nei seguenti, simili, schemi:

26 Uno spettro semplice Come abbiamo già visto, le componenti della magnetizzazione trasversa dopo l impulso rf hanno la seguente forma: Entrambe le componenti oscillano alla frequenza nucleare di Larmor w 0 e decadono con la costante di tempo T 2. Supponiamo che queste due componenti M x (t) and M y (t) siano misurate in funzione del tempo, convertite in forma digitale ed immagazzinate in un computer (in realtà l esperimento non può essere condotto così per motivi tecnici). I segnali descritti dalle equazioni precedenti contengono sufficienti informazioni per determinare sia il valore della frequenza di Larmor ω 0 che costante di tempo T 2. Maggiore è la frequenza di Larmor ω 0, più velocemente oscilla la magnetizzazione e quanto maggiore è costante di tempo T 2, più lentamente decade il segnale. Il computer analizza le oscillazioni e presenta i risultati nel seguente modo:

27 L asse orizzontale è quello della frequenza angolare denotato dal simbolo ω. Il centro del picco è posto alla frequenza di Larmor degli spins ed è uguale a ω 0. In pratica, questa analisi viene effettuata mediante un operazione numerica detta Fourier transform che verrà descritta in seguito. Il grafico di figura è un semplice esempio di uno spettro NMR. La trasformata di Fourier genera una funzione matematicamente espressa nella forma:

28 Eq. A Il valore di S è massimo quando la frequenza ω è uguale alla frequenza di Larmor ω 0 poiché il termine ω ω 0 sparisce. Il valore di S è piccolo quando la frequenza ω è lontana dal centro del picco. Il parametro λ è detto costante di velocità del decadimento di coerenza ed è uguale al reciproco della costante di tempo di rilassamento trasversale T 2 : La funzione nell equazione A è detta assorbimento Lorentziano e la si incontra spesso nella teoria dell NMR. Si noti che l asse della frequenza nello spettro NMR è definito come ω, indicando così una frequenza angolare, espressa in unità di radianti per secondo.

29 Il peak shape lorentziano ha larghezza finita. Come si osserva nel grafico, la larghezza del picco a metà altezza, misurata in rad s -1, è uguale a 2/T 2 = 2λ Poiché λ è uguale all inverso di T 2, ne consegue che la larghezza del picco a metà altezza misurata in unità di radianti per secondo è uguale a 2/T 2. Nel caso ci si voglia esprimere in Hertz, si ha ovviamente 2λ/2π = λ/π cioè 1/(πT 2 ):

30 Si noti che un decadimento rapido della magnetizzazione trasversa corrisponde ad un picco spettrale largo, mentre un decadimento lento della magnetizzazione trasversa corrisponde ad un picco spettrale stretto.

31 Le due componenti della magnetizzazione trasversa nell eq. A contengono informazioni sufficienti a determinare anche il segno della frequenza di Larmor ω così come il suo valore. Si noti il diverso aspetto delle componenti, per frequenze di Larmor di segno opposto:

32 Il segno della precessione di spin è una proprietà fisica reale del nucleo, così come lo sono la massa e la carica. Poiché la frequenza di Larmor è data da ω 0 = γb 0 e il campo magnetico B 0 è sempre positivo, Il segno della frequenza di Larmor è opposto al segno del rapporto magnetogirico γ. La maggior parte degli spins nucleari hanno γ positivo e, perciò, frequenze di Larmor ω 0 negative. Nell esperimento NMR descritto in precedenza il picco spettrale per questi nuclei sarebbe apparso a frequenze negative: Spettro NMR per nuclei con γ positivo

33 Alcuni spins nucleari hanno invece γ negativi e quindi, frequenze di Larmor ω 0 positive: Spettro NMR per nuclei con γ negativo

34 Isotopologhi Consideriamo adesso un reale composto chimico e il suo (ipotetico) spettro NMR. Prendiamo ad esempio del tetrametilsilano (liquido e puro), Si(CH 3 ) 4 (TMS). Il termine isotopomero dovrebbe essere sostituito con il termine isotopologo che risulta essere di natura più generale riferendosi a qualsiasi sostituzione isotopica di un nucleo in una molecola. Gli isotopologhi sono isotopomeri se il numero totale di tutti gli isotopi è uguale. Per esempio, 13 CH 3 12 CH 2 OH and 12 CH 3 13 CH 2 OH sono isotopomeri (e anche isotopologhi), mentre 13 CH 3 12 CH 2 OH and 12 CH 3 12 CH 2 OH sono isotopologhi (ma non isotopomeri). Questo campione contiene tre elementi chimici, Si, C, H, con i corrispondenti isotopi:

35 Ne consegue che il campione è una miscela dei quattro maggiori isotopologhi: Ogni isotopologo dà luogo ad un diverso segnale NMR. Supponiamo che il campo magnetico applicato sia T, in modo che la frequenza di Larmor degli spins del protone sia esattamente ω 0 /2π = MHz. Con questo campo magnetico la frequenza di Larmor degli spins 13 C è ω 0 /2π = MHz, e la frequenza di Larmor degli spins 29 Si è ω 0 /2π = MHz. Gli isotopi 12 C, 28 Si e 30 Si sono silenziosi, poiché questi nuclei non hanno spin e non sono magnetici.

36 Lo spettro NMR totale di questo campione è: Si prenda nota accuratamente del fatto che lo spettro deriva da molecole diverse. Il picco protonico a MHz deriva principalmente dagli isotopologhi I e IV. Il picco del 29 Si a MHz, dall isotopologo II ed infine il picco del 13 C a MHz proviene principalmente dell isotopologo III.

37 Frequenze spetttrali relative: caso del rapporto magnetogirico positivo In realtà, non è possibile esaminare l intero spettro NMR in un solo esperimento. Si può solamente avere accesso ad un piccolo e limitato numero di strette bande o finestre di frequenza. Lo spettrometro NMR ha un set di canali con frequenza indipendente, ognuno dei quali può essere tunato in modo da esaminare una sola, stretta, finestra di frequenze. Per esempio, uno spettrometro a due canali-può essere usato per esaminare finestre di frequenza intorno alle frequenze di Larmor del protone e del 13 C. Nel nostro esempio del TMS avremo:

38 Se lo spettrometro ha questa configurazione, saranno visibili solo i segnali 1 H e 13 C. In pratica, la larghezza di ogni finestra è di circa 1 MHz o minore. Si ha quindi che ogni canale dello spettrometro rivela solamente i segnali NMR derivanti da una singola specie isotopica (tranne in casi molto rari). Ecco quindi perché si parla in genere di canale 1 H, o canale del protone o canale del 13 C ecc. La frequenza centrale di ogni finestra è sotto il controllo dell operatore. In questo corso la frequenza centrale di un dato canale è detta frequenza di riferimento ed è indicata con ω ref in unità di radianti per secondo. Il segno della frequenza di riferimento è lo stesso di quello della frequenza di Larmor dell isotopo per il canale in oggetto. La frequenza di riferimento in unità di hertz è ω ref /2π. Lo spettrometro NMR determina sempre frequenze relative, ottenute sottraendo la frequenza di riferimento dalla frequenza sulla coordinata. Ciò può essere pensato come uno shift (spostamento) della finestra spettrale al fine di posizionare la frequenza di riferimento nella nuova posizione di zero:

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40 Le frequenze relative sono indicate dal simbolo Ω: Per esempio, la frequenza relativa di Larmor ω 0 rispetto alla frequenza di riferimento dello spettrometro ω ref è definita come: La frequenza relativa di Larmor Ω 0 ha un segno che indica se la frequenza assoluta di Larmor ω 0 è più negativa o più positiva della frequenza di riferimento dello spettrometro, ω ref. Per esempio, supponiamo che la frequenza nucleare di Larmor per I protoni sia esattamente ω 0 /2π = MHz. Se la frequenza di riferimento della finestra dello spettrometro è posta a ω ref /2π = MHz, allora il centro del picco NMR apparirà a Ω 0 /2π = -1 khz. Se la frequenza di riferimento della finestra dello spettrometro è posta a ω ref /2π = MHz, allora il centro del picco NMR apparirà a Ω 0 /2π = +1 khz.

41 Per convenzione gli spettri NMR di spins con γ positivo (caso più comune) sono plottati con l asse di frequenza Ω/2π che aumenta da sinistra a destra. Segnali con valori negativi di Ω 0 appariranno nella parte sinistra dello spettro; Segnali con valori positivi di Ω 0 appariranno nella parte destra dello spettro. Per esempio, il caso con frequenza di riferimento ω ref /2π = MHz e frequenza di Larmor ω 0 /2π = MHz apparirà come in figura: La frequenza relativa di Larmor Ω 0 è anche nota come resonance offset o frequenza di Larmor nel rotating frame (sistema di riferimento rotante). Questo argomento verrà affrontato in seguito.

42 Nella letteratura NMR vi è molta confusione sugli assi della frequenza: molto spesso l asse della frequenza è etichettato come se le frequenze relative positive fossero a sinistra e quelle negative a destra. Ciononostante, il senso in cui lo spettro è plottato (ma non necessariamente il modo in cui l asse di frequenza è etichettato!) è sempre conforme alle convenzioni qui descritte ed usate. L asse delle frequenze relative impiegato per etichettare gli spettri in molta letteratura e in molti spettrometri commerciali corrisponde alle coordinate ω - ω ref. Ciò è uguale a Ω nel caso di γ positivo e è uguale a +Ω nel caso di γ negativo. Come detto in precedenza, questo modo di plottaggio degli spettri assicura che la scala di chemical shift aumenta sempre da destra a sinistra, secondo la convenzione universale in NMR.

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44 Il sin è una funzione dispari, ovvero,qualunque sia il suo argomento,vale la relazione: Il cos è una funzione pari, ovvero,qualunque sia il suo argomento,vale la relazione:

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