Modulo 1. Rappresentazione e trasformazione dello spazio 3d.

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1 Modulo 1. Rappresentazione e trasformazione dello spazio 3d. Un primissimo passo nel percorso che porta dalla astrazione di una scena tridimensionale ad una sua realizzazione grafica è come rappresentare in termini matematici e successivamente di strutture dati, lo spazio del quale la scena si compone e nel quale i vari oggetti sono immersi. Le rappresentazioni grafiche comuni sono su schermi o su stampe, a due dimensioni spaziali. La convenzione accettata per noi, umani, è invece quella di un mondo con tre dimensioni spaziali. E' necessario comprendere con precisione il meccanismo della riduzione di dimensione detto proiezione. In aggiunta in grafica sono importanti per moltissime applicazioni le trasformazioni di uno spazio in uno con il medesimo numero di dimensioni ma nel quale il sistema di riferimento viene cambiato. Trasformazioni da 2D a 2D Questo tipo di trasformazioni consentono di trasferire un rettangolo del piano (in termini più informatici una finestra 2d) in un altro rettangolo (un'altra finestra). Se, per esempio, rappresento la pianta di una stanza, sarà conveniente usare come coordinate gli spigoli della stanza e come unità di misura il centimetro. La rappresentazione così ottenuta della stanza potrà essere trasferita ai pixel dello schermo trasformando il rettangolo della stanza nel rettangolo della finestra sullo schermo nel quale vogliamo disegnare la pianta. In termini tecnici il rettangolo di realtà da rappresentare è detto mondo e le sue coordinate sono dette world coordinates. Il rettangolo sullo schermo su cui disegniamo la pianta si chiama screen space e le coordinate sono le coordinate dei pixel dello schermo. Ancor più comune è il caso in cui fotografiamo una scena reale e la trasferiamo sul computer. Una prima trasformazione (proiezione) avviene dal mondo 3d al piano dei sensori della fotocamera. Questa trasformazione, analizzata meglio nel prossimo paragrafo porta dal world alla view port. Una successiva trasformazione 2d-2d porta dalla view port allo schermo. In una applicazione complessa avviene spesso che si debbono portare alla medesima view port oggetti grafici definiti in vari mondi differenti. Per esempio un architetto vorrà fondere in un unica pianta le misure della stanza e dei suoi arredi e spesso esse proverranno in scale e da contesti diversi. E' cruciale dunque per una applicazione grafica trasformare rettangoli in rettangoli. Le trasformazioni 2d-2d che generalmente interessano la Computer Grafica sono: traslazioni, rotazioni, e cambiamenti di scala. Esse potrebbero essere analizzate tipo per tipo e descritte con semplici operazioni tra vettori bidimensionali e matrici 2 x 2. Risulta invece molto più conveniente e comodo presentarle usando le coordinate proiettive. Nella rappresentazione in coordinate cartesiane standard del piano ogni punto è univocamente descritto da una coppia di numeri reali (x,y). In coordinate proiettive un punto P di coordinate cartesiane (x,y) sarà invece rappresentato da tutte le terne (x', y', t') tali che x'/t'=x e y'/t'=y. Un punto del piano ha quindi infinite triple di numeri che lo rappresentano. Tra esse quella canonica è la tripla (x,y,1). L'artificio di utilizzare triple proporzionali di numeri anziché coppie aumenta l'insieme dei punti del piano con dei punti detti punti all'infinito, essi sono i punti rappresentati dalle terne (x',y',0). Passiamo in rassegna le trasformazioni più comuni del piano e vediamo come esse sono descritte in termini di matrici 3 x 3. Prima di tutto consideriamo le trasformazioni di corpi rigidi. Esse corrispondono al movimento di una forma piana senza imporre deformazioni. Esse sono traslazione e rotazione.

2 Traslazione (x y 1) * ( 1, 0, Tx 0, 1, Ty 0, 0, 1) In questo caso Tx e Ty rappresentano di quanto si trasla nella direzione degli assi coordinati la nuova origine. Rotazione intorno all'origine di un angolo theta: (x y 1) * ( cos(theta), -sin(theta), 0 sin(theta), cos(theta), 0 0, 0, 1) Si osservi che una rotazione generale intorno ad un qualsiasi punto del piano può pensarsi come una traslazione che porti quel punto all'origine, una rotazione e una successiva traslazione che riporti il punto alla sua posizione originale. Ulteriori trasformazioni che rinunciano alla rigidità delle forme (e sono quindi fisicamente non realizzabili ma utilissimi in grafica) sono i cambiamenti di scala lungo gli assi coordinati (x y 1) * ( Sx, 0, 0 0, Sy, 0 0, 0, 1 ) Casi particolari sono le riflessioni rispetto all'asse x (Sx=1, Sy=-1), rispetto all'asse y (Sx=-1, Sy=1) e rispetto all'origine (Sx=-1, Sy=-1). La riflessione rispetto ad un punto qualunque del piano sarà ottenuta traslando quel punto all'origine, cambiando la scala e ri-traslando il punto alla sua posizione originale. La riflessione rispetto ad una retta arbitraria sarà ottenuta componendo una rotazione, una riflessione e una anti-rotazione. Un ulteriore tipo di trasformazione è lo shearing (inclinazione o deformazione) descritta dalla matrice: (x y 1) * ( 1, a, 0 b, 1, 0 0, 0, 1 ) in essa i parametri a e b sono detti parametri di deformazione. Il linguaggio delle matrici unito all'uso delle coordinate proiettive che abbiamo introdotto è estremamente utile e comodo. Sequenze di trasformazioni infatti corrispondono a sequenze di matrici. La trasformazione risultante da una sequenza di trasformazioni è descritta dal prodotto tra le matrici corrispondenti. Oltre alla eleganza formale di questo linguaggio questo permette la implementazione efficiente di sequenze arbitrarie di trasformazioni.

3 Trasformazioni da 3d a 3d La generalizzazione delle trasformazioni 2d-2d al caso 3d-3d sono immediate. Un punto in 3d sarà rappresentato in coordinate proiettive mediante tutte le infinite quadruple (x',y',z', t') che mantengano costanti i tre rapporti(x'/t', y'/t', z'/t'). Le trasformazioni come quelle elencate sopra saranno quindi rappresentate da matrici 4x4 simili a quelle viste sopra. La struttura delle matrici nei vari casi è lasciata per esercizio ed è facilmente reperibile nei libri di testo. Trasformazioni da 3d a 2d: prospettiva. Un metodo matematicamente semplice molto utilizzato per ridurre le tre dimensioni dello spazio in 2d è quello di applicare una trasformazione 3d-3d e di ignorare una delle dimensioni rimanenti. Per esempio: Se la trasformazione 3d-3d è quella identica e si decide di ignorare la dimensione z (alto-basso) si ottiene la cosiddetta vista dall'alto (TOP o BOTTOM). Se la trasformazione 3d-3d è quella identica e si decide di ignorare la dimensione y (avanti-indietro) si ottiene la cosiddetta vista frontale (FRONT o BACK). Se la trasformazione 3d-3d è quella identica e si decide di ignorare la dimensione x (sinistra-destra) si ottiene la cosiddetta vista laterale o di profilo (RIGHT o LEFT). Queste trasformazioni ortonormali canoniche sono diosponibili in tutti ipacchetti di grafica 3d e sono un modo tecnico molto utile per rappresentare, mediante l'uso di viste multiple la struttura di una scena 3d. Esse sono però differenti dalla nostra percezione comune del mondo 3d che è regolato invece da leggi complesse catturate in larga parte dalla prospettiva. La trasformazione centrale per la grafica è quindi la proiezione o prospettiva. Le leggi matematiche e geometriche della prospettiva sono state considerate una grande conquista del sapere e sono state ottenute sin dal Rinascimento. La macchina che ha ispirato il concetto di prospettiva è la camera pin-hole. Tale telecamera è poco pratica nell'uso reale ma è esattamente il tipo di telecamera che viene usato nella virtualità della Computer Grafica. U Il sistema di riferimento (X,Y,Z) tracciato con gli assi cartesiani in rosso è il sistema di riferimento del mondo. Per esprimere con formule semplici la relazione tra i punti e le proiezioni la telecamera è stata posizionata con l'osservatore all'origine e con asse ottico parallelo alla direzione Z. La distanza tra l'osservatore e il piano di proiezione è F, detta anche lunghezza focale.

4 Si noti come in grafica, a differenza che in Visione, si adotti la convenzione che il piano focale si trovi davanti all'osservatore (il pin-hole) e non dietro. Sul piano focale o piano di visione possiamo adottare un proprio sistema di riferimento, nela diagramma indicato con due assi verdi. La traccia del punto (x,y,z,1) è nelle coordinate del mondo (X,Y,F,1) e nelle coordinate del piano di visione (V,W,1). Una volta che si sia ottenuto (V,W,1) esso può essere trasformato con le trasformazioni 2d-2d illustrate prima, nelle coordinate di qualsiasi rettangolo sullo schermo. Le leggi di trasformazione che dobbiamo investigare quindi sono: A) dal punto blu nello spazio al punto rosso sul piano di visione (dal world alla view port) B) dal punto rosso espresso nel sistema di riferimento del mondo al medesimo punto espresso nel sistema di riferimento bidimensionale del piano di visione (da una view port ad un'altra view port) Trasformazione A) Nel caso esaminato in figura la trasformazione si ricava facilmente mediante l'uso dei triangoli simili come nel diagramma che segue: Essi conducono direttamente alle due proporzioni: Y:y=F:z X:x=F:z Le singole equazioni della trasformazione sono dunque: X = xf/z, Y=yF/z e Z=F Seguendo la regola adottatta per le coordinate omogenee se z è diverso da zero, il punto risultante dalla proiezione si può scrivere anche come (x, y, z, z/f). Esse si possono dunque esprimere in forma matriciale come: (X,Y,F,1) = (x,y,z,1)*( /F ) Questa rappresentazione così concisa è la vera ragione del successo secolare presso i matematici delle coordinate omogenee! Se la telecamera è posizionata lontana dall'origine e con orientamento arbitrario, si applica ai punti della scena una trasformazione che trasla l'origine nella posizione dell'osservatore e una rotazione che allinea l'asse delle z. Le coordinate così ottenute (nel riferimento solidale alla telecamera) possono poi essere passate alla trasformazione successiva descritta di seguito. Trasformazione B) Si tratta di dimenticare la coordinata F (eguale per tutti i punti che giacciono su questo piano), di cambiare l'unità di misura (scala) e di traslare di L/2, M/2 i punti (ove si assuma che il piano di visone sia largo L e alto M). Questa trasformazione si può scrivere con la matrice: (V, W,1) = (X,Y,F,1) * (a b 0 0

5 L/2 -M/2 0 1) Il punto (V,W,1) sarà infine trasformato nelle coordinate intere dei pixel dello schermo. Tale trasformazione è ancora una matrice come quelle viste sopra per passare da un 2d ad un 2d, ma implica anche una fase di arrotondamento da decimale ad intero. Questa perdita di informazione si chiama anche in grafica aliasing geometrico. Riassumendo la pipeline attraverso cui passano le coordinate di un punto del mondo per giungere alle coordinate dello schermo consiste dei seguenti passi: i) traslazione delle coordinate del mondo in modo che l'origine della telecamera coincida con l'origine del riferimento; ii) rotazioni delle coordinate del mondo in modo che l'asse ottico della telecamera coincida con l'asse Z (o della profondità) iii) proiezione prospettica iv) traduzione nel sistema di riferimento bidimensionale del piano di visione v) trasformazione dal 2d del piano di visione al 2d dello schermo. Tutti e cinque i passi sono dati da prodotti matriciali. Si osservi che data la posizione della telecamera, la dimensione del piano di visone, l'orientamento della telecamera e la distanza focale F, le matrici possono essere tutte pre-calcolate e pre-moltiplicate. Le coordinate sullo schermo di qualsiasi punto del mondo si ottengo quindi con una semplice moltiplicazione per una matrice. Questo consente di ottenere le proiezioni di milioni di punti in tempi di calcolo rapidissimi. Per noi, utenti dell'era digitale, si osservi che qualsiasi posizione e orientamento della telecamera richiede per produrre l'immagine prospettica lo stesso numero di operazioni. Nell'era pre-digitale le trasformazioni non venivano calcolate numericamente ma disegnate con complesse costruzioni grafiche. Esse erano tutte abbastanza semplici tranne quelle che dovevano riprodurre il passo ii) della pipeline. Se l'asse visuale della camera è parallelo all'asse z e ortogonale agli altri due assi (come nel caso esaminato direttamente in precedenza) si parla di prospettiva a un punto. Se l'asse visuale della camera è ortogonale a solo uno degli altri assi si parla di prospettiva a due punti. Se l'asse visuale della camera non è ortogonale a nessun asse si palra di prospettiva a tre punti. Se la distanza focale F è portata all'infinito la matrice di prospettiva perde di significato. In questo caso si parla di proiezione parallela o assonometria e si dimostra matematicamente che si ritrova la proiezione ortografica introdotta all'inizio del paragrafo.

6 Esempi grafici. Consideriamo una casetta come quelle che si disegnano da bambini. Per chiarezza essa è rappresentata solo con i suoi spigoli e con facce trasparenti (modalità di visualizzazione a fil di ferro o wire-frame). Viste ortografiche canoniche: Prospettiva a un punto. I piani in rosso rappresentano il piano ortogonali e i due paralleli alla direzione di visione della telecamera. Gli spigoli della casetta sono paralleli o ortogonali a tali piani. C'è un unico punto di fuga a cui convergono tutti gli spigoli paralleli alla direzione di visione. Gli spigoli ortogonali alla direzione di visione rimangono paralleli tra loro.

7 Prospettiva a due punti. La casetta viene ruotata rispetto al suo asse verticale. Il piano frontale della casetta non è più ortogonale alla direzione di visione. Il piano laterale della casetta non è più parallelo alla direzione di visione. Il piano orizzontale si mantiene invece parallelo alla direzione di visione, Gli spigoli non verticali tendono a due punti di fuga a seconda della loro posizione rispetto all'asse di visione. Gli spigoli verticali rimangono paralleli tra loro. Prospettiva a tre punti. La casetta viene ruotata arbitrariamente rispetto ai piani coordinati solidali con la telecamera. Tutti gli spigoli convergono a tre punti di fuga (sinistro, destro, verticale). E' questa la prospettiva più generica che si può ipotizzare.

8 Un passo avanti e un altro modo di vedere la trasformazione prospettica Il modello di telecamera che abbiamo descritto in pratica cattura tutti gli oggetti visibili contenuti dentro un tronco di piramide, con vertice il punto di osservazione e compresa tra il piano focale e un piano di fondo oltre il quale convenzionalmente gli oggetti da visualizzare vengono soggetti a clipping. La situazione è quindi come nella seguente figura a sinistra: La trasformazione prospettica si può pensare come una trasformazione in due passi. Il primo passo agisce sulle coordinate x e y e trasforma il tronco di piramide in un parallelogrammo come nella immagine precedente a destra. Il secondo passo schiaccia il parallelogrammo sul piano focale, dimenticandosi della coordinata z. Vedremo che in un rendering reale dovremmo tenere conto della profondità degli oggetti lungo l'asse z, per rispettare le relazioni di occlusione tra essi. Si giunge quindi alla situazione della seguente figura dove le due sfere sono state schiacciate sul piano focale e la configurazione camera/piano focale è ripresa da due differenti punti di vista. E' importante sapere se la sfera piccola copre oppure è coperta dall'altra sfera. In pratica quindi la matrice di proiezione vista in precedenza può essere completata con una matrice che trasformi anche la coordinata Z prima di decidere di trascurarne l'effettivo valore (fissandolo a F). La matrice avrà questa forma: (X,Y,F,1) = (x,y,z,1)*( alfa 1/F 0 0 beta 0 ) Per determinare il valore di alfa e beta debbo tenere in conto dei seguenti vincoli: a) tutti i punti che hanno coordinata affine Z=F debbono andare alla nuova coordinata affine Z'=0.

9 b) tutti i punti che hanno coordinata affine Z=B debbono andare alla nuova coordinata affine Z'=1; ove B è la distanza del piano di clipping di fondo. Semplici calcoli portano a determinare le seguenti formule: alfa= B / (F*(B-F)); beta= -B/(B-F). SOMMARIO: per una proiezione prospettica secondo il modello della telecamera pin-hole si debbono conoscere: posizione ed orientamento della telecamera, dimensioni del piano di visione, distanza del piano di visione dal centro della telecamera, numero di pixel in cui si discretizza l'immagine. Dati tutti questi valori la trasformazione dalle coordinate del mondo a quelle dello schermo avviene mendiate la moltiplicazione per una unica (complicata da calcolare ma che si calcola solo una volta) matrice. Attenzione: nel caso della Computer Vision si deve affrontare un problema INVERSO. Quale è la matrice che ha prodotto l'immagine? Se si conosce tale matrice è possibile ricostruire le coordinate del mondo degli oggetti della scena. Questo tipo di inversione non è risolubile con una sola immagine della medesima scena ed è ulteriormente complicata da effetti fisici quale l'abberrazione delle lenti usate, il rumore eccetera.