TITOLO: COME INVESTIRE

Transcript

1 TITOLO: COME INVESTIRE Classe II Liceo Scientifico Nomentano Insegnanti: De Sirena Nadia Fabrizi Angela Domande: A cosa serve la matematica? La matematica può risolvere problemi reali? A cosa serve il calcolo algebrico letterale? Comprensione durevole: Lo studente utilizzerà le nozioni teoriche e le strategie risolutive che il calcolo algebrico fornisce per risolvere problemi della vita quotidiana Obiettivi Contenuti: Abilità/ Competenze: sistemi lineari metodi risolutivi (sostituzione, confronto, riduzione.) Cognitive (1) Comprendere le richieste di un problema (2) Applicare (3) Risolvere problemi (4) Metacognitive (1) Conoscere le fasi di risoluzione di un problema (2) Utilizzare consapevolmente il metodo risolutivo (3) Verificare la soluzione Abilità di altro tipo (1) Ipotizzare (2) Lavorare in coppia (3) Connettere informazioni (4) Disposizioni della mente (1) Essere precisi e accurati (2) Perseverare nonostante le difficoltà (3) Collaborare (4) Processo di costruzione della prestazione autentica di valutazione dell apprendimento 1. LA PRESTAZIONE Risolvere un problema relativo a un investimento di capitale. 2. LA PRESTAZIONE CON ELEMENTI METACOGNITIVI Usare sistemi lineari per risolvere problemi reali 1

2 Prima di accingersi a risolvere il problema. Richiamare un problema simile già risolto, estrarne la procedura: raccogliere i dati del problema, comprendere le richieste, impostare la risoluzione, verificare la soluzione. 3. LA PRESTAZIONE CON ELEMENTI DI GRUPPO Usare sistemi lineari per risolvere problemi reali Prima di accingersi a risolvere il problema. Richiamare un problema simile già risolto, estrarne la procedura: raccogliere i dati del problema, comprendere le richieste, impostare la risoluzione, verificare la soluzione. Confrontare il lavoro svolto con il compagno di banco 4. LA PRESTAZIONE CON LE DISPOSIZIONI DELLA MENTE Usare sistemi lineari per risolvere problemi reali Prima di accingersi a risolvere il problema. Richiamare un problema simile già risolto, estrarne la procedura: raccogliere i dati del problema, comprendere le richieste, impostare la risoluzione, verificare la soluzione. Confrontare il lavoro svolto con il compagno di banco Per risolvere problemi nuovi è utile ricordare casi analoghi. 5. LA PRESTAZIONE AUTENTICA Situazione: Ruolo: Destinatario: Prodotto: Disposizioni della mente: Il sig. Mattia ha una somma da investire ed è convinto che non deve né tenerla a lungo nella speranza di avere una somma più grande, né fare grandi investimenti perché da un investimento sbagliato potrebbe rimetterci molto. Da una compra-vendita ha guadagnato Ora vuole investire subito questo piccolo capitale in due diversi prodotti finanziari per guadagnare 150 dopo un anno. Spinto dalla moglie, anche lei attenta fino all ultimo risparmio, si rivolge a te che sei il suo promotore finanziario e ti chiede di fargli delle proposte. (1) Tu gli hai detto che oggi non ci sono grandi possibilità per un investimento sicuro lui però ha accettato di dirigersi verso titoli a tasso fisso del 3,5% e dello 0,9%. (2) Tu comprendi il suo carattere, vuoi far vedere che curi i suoi interessi e gli fai due altre proposte: a) Impegnando la cifra per tre anni, potrebbe acquistare titoli a tasso medio annuo di 4,1% e 2,4% con un guadagno di 882,00. Il sig. Mattia vuol sapere se in tal caso la proposta di ripartizione sarebbe ancora uguale o diversa. b) Prevedendo di non avere nell immediato delle spese da sostenere, si potrebbe impegnare tutto il capitale per 5 anni ottenendo un guadagno di 1800,00. In questo caso, ti chiede: quale interesse viene applicato? Il sig. Mattia è un uomo timido, indeciso e insicuro, vuole pensarci qualche giorno e parlarne con la moglie. Devi formulare le proposte per iscritto documentando come otterrebbe il guadagno fornendogli dei casi diversi dal suo, ma simili su capitali che semplifichino il calcolo (ad esempio ,00 ): (1) Prima di accingerti a risolvere il problema. Ripresenta un problema simile già risolto che rafforzi la tua proposta. (2) Discuti con un compagno il caso analogo simile. (3) Presenta: La proposta per un anno La proposta per tre anni La proposta per cinque anni (1) Ricordati di essere preciso e accurato nelle tue proposte (2) Ricordati come si è proceduto nella soluzione di casi simili. 6. LA PRESTAZIONE CONTESTUALIZZATA: 2

3 COME INVESTIRE Tempo previsto : 2 ore Il sig. Mattia è un uomo timido, indeciso, insicuro e convinto che, se ha una somma da investire, non deve né tenerla a lungo nella speranza di avere una somma più grande, né fare grandi investimenti perché da un investimento sbagliato potrebbe rimetterci molto. Da una compra-vendita ha guadagnato e vorrebbe investire subito tale cifra in due diversi prodotti finanziari per guadagnare 150,00 dopo un anno. La moglie, attenta fino all ultimo risparmio, gli dice che è meglio farsi consigliare e che è possibile guadagnare di più. Il sig. Mattia, spinto dalla moglie che lo assilla, si rivolge a te che sei il suo promotore finanziario. Sebbene tu gli abbia detto che oggi non ci sono grandi possibilità per un investimento sicuro ha accettato di dirigersi verso titoli a tasso fisso al netto del 3,5% e dello 0,9%. Il sig. Mattia vuole che sia tu a ripartire la somma purché il risultato sia quello da lui desiderato. Quale proposta di ripartizione del capitale iniziale suggeriresti di fare al sig. Mattia per ottenere il guadagno richiesto? Nella sua indecisione, tuttavia, ti lascia aperte anche altre possibilità di investimento. Tu che comprendi il suo carattere e vuoi far vedere che curi i suoi interessi, gli fai due altre proposte: 1) Se impegnasse questo capitale per tre anni, potrebbe acquistare titoli a tasso medio annuo netto di 4,1% e 2,4% con un guadagno di 882,00. Anche in questo caso lui vuol sapere se la proposta di ripartizione sarebbe ancora uguale o diversa. 2) Se prevedesse di non avere nell immediato delle spese da sostenere, potrebbe impegnare tutto il capitale per 5 anni con un guadagno di 1.800,00. Ma in questo caso, il sig. Mattia chiede quale sia il tasso di interesse annuo di tale investimento finanziario e se sarebbe superiore alle altre proposte? Ricordati che il sig. Mattia vuole consigli precisi e accurati, nei momenti di difficoltà richiama come si è proceduto nella soluzione di casi simili. Rubrica di valutazione Scala di qualità Comprensione concettuale: abilità a interpretare il problema e a selezionare le informazioni per applicare una strategia per la soluzione Comprensione concettuale piena: Lo studente utilizza le informazioni in modo appropriato per risolvere il problema Lo studente è capace di tradurre il problema in appropriati concetti matematici La risposta dello studente è coerente con la domanda Comprensione concettuale piena ma non approfondita: Lo studente coglie correttamente l essenza del problema Lo studente stabilisce connessioni logiche tra i concetti La risposta è corretta ed esauriente ma non approfondita Comprensione concettuale parziale: Lo studente interpreta correttamente il testo ma è incapace di usare questa informazione per risolverla Lo studente è solo parzialmente capace di stabilire connessioni fra i concetti La soluzione non è pienamente relazionata alla domanda Lo studente comprende una parte del compito, ma non il compito completo Comprensione concettuale inadeguata: La soluzione dello studente non coerente o non è relazionata alla domanda Lo studente trasforma il problema in concetti matematici inappropriati Lo studente utilizza procedure scorrette senza comprendere i concetti relazionati al compito 3

4 Conoscenza procedurale: uso appropriato di concetti con verifica e giustificazione di procedure che usano modelli concreti Uso pieno di procedure appropriate: Lo studente utilizza i principi in modo efficace e giustifica la soluzione Lo studente utilizza la strategia risolutiva più appropriata e rapida Lo studente risolve e verifica il problema Lo studente usa principi e linguaggi matematici in modo preciso Uso corretto di procedure appropriate: Lo studente porta a termine la procedura che risolve il problema Lo studente non sceglie la procedura più rapida Lo studente non verifica pienamente la soluzione Uso parziale di procedure appropriate: Lo studente non è preciso nell uso di termini, principi o procedure matematiche Lo studente è incapace di portare a termine una procedura Il processo che lo studente utilizza per verificare la soluzione non è corretto Uso inadeguato di procedure appropriate: Lo studente usa metodi inadatti nel suo tentativo di soluzione Lo studente usa male principi o trasferisce il problema in procedure inappropriate Lo studente non riesce a verificare la soluzione Strategie e abilità di soluzione di problemi: strategie focalizzate in modo chiaro e risoluzione efficace Evidenza di uso completo di strategie: L interpretazione del problema conduce ad un uso corretto e consapevole di strategie Il lavoro dello studente è chiaro e focalizzato Le strategie sono corrette e dimostrano una riflessione intuitiva Lo studente offre possibili estensioni o generalizzazioni alla soluzione o al problema Evidenza di uso completo ma mnemonico di strategie: Lo studente utilizza strategie corrette in modo non sempre consapevole Il lavoro dello studente è corretto ma non tutti i passaggi sono completi Le strategie sono corrette ma non sempre sono le più appropriate Non offre possibili generalizzazioni della soluzione del problema Evidenza di uso mnemonico o parziale di strategie: Le strategie hanno qualche focalizzazione ma chiaramente limitata Lo studente applica una strategia che è utile solo parzialmente Le strategie non son eseguite con completezza Lo studente comincia il problema in modo appropriato ma cambia verso una focalizzazione scorretta approsimativi Evidenza limitata di strategie: Le strategie mancano di chiarezza e i dettagli sono approssimativi o non presenti Le procedure sono incomplete Le strategie sono casuali Lo studente non interpreta il problema correttamente e non individua concetti o relazioni Comunicazione: significato dato ai concetti e alle procedure, scorrevolezza nello spiegare Comunicazione completa e chiara: Lo studente offre una risposta completa con spiegazioni chiare,coerenti, non ambigue ed eleganti Lo studente comunica la sua risposta in modo chiaro Comunicazione completa ma non chiara: Lo studente offre una risposta completa con spiegazioni non sempre chiare e poco eleganti La risposta è completa ma essenziale L uso della terminologia Comunicazione parziale o incompleta : La spiegazione dello studente non è chiara, coerente o completa Lo studente usa una terminologia scorretta o non coerente Gli strumenti visivi 4 Comunicazione limitata o mancante: La spiegazione dello studente non è comprensibile o è assente Lo studente o non usa o usa male la terminologia matematica

5 I dettagli sono ben inseriti e hanno senso Un passo scorre dopo l altro e mostra organizzazione non è sempre appropriato dello studente (grafici, tabelle, diagrammi) sono inappropriati o non direttamente relazionati Lo studente non usa strumenti visivi essenziali per aumentare o chiarificare la spiegazione 7. PROGETTAZIONE DIDATTICA La progettazione didattica prevede questi apprendimenti: Esperienza per l apprendimento-1/: Dal problema alla soluzione di un sistema (metodo di sostituzione) Tempo previsto: 1 ora A) La comprensione del problema La classe è suddivisa in coppie casuali L insegnante introduce la procedura di soluzione del problema sottolineando l importanza di procedere innanzitutto alla comprensione del problema prima di procedere alla soluzione Ad ogni membro della coppia viene fornito il problema e un elenco di domande per procedere alla comprensione del problema. Ognuno risponderà prima da solo poi insieme. Problema: La tua squadra di pallavolo partecipa ad un torneo in cui riceve 2 punti per ogni partita vinta, 1 punto per ogni partita pareggiata e 0 punti per ogni partita persa. Alla fine del torneo la tua squadra ha totalizzato 20 punti. Sapendo che la tua squadra ha vinto 10 partite in più delle partite pareggiate, determina quante partite la tua squadra ha vinto e quante ne ha pareggiate. Rispondi alle seguenti domande: 1. Quali sono le grandezze da determinare? Quante incognite ha questo problema? Quale grandezza chiami x? Quale grandezza chiami y? Quali sono le equazioni che legano le due grandezze da determinare? Ciascuna di queste due equazioni quante soluzioni ammette?... Dopo aver risposto alle domande in coppia riscriveranno la comprensione che essi hanno del problema. La parafrasi dovrà evidenziare l interrogativo a cui si deve trovare la risposta e la relazione tra le informazioni (grandezze). MODELLO DI PARAFRASI DEL PROBLEMA Il problema mi chiede di determinare quante partite ha vinto una squadra di pallavolo e quante pareggiato per avere totalizzato alla fine di un torneo 20 punti sapendo che per una vinta si ottengono 2 punti, 1 per un pareggio e 0 punti per una sconfitta. Per trovare una soluzione unica che soddisfi entrambe le equazioni che avete scritto le devi collegare con un sistema lineare che in questo caso è: x = 10 + y 2x + y = 20 5

6 Le grandezze x ed y in questo problema possono assumere solo valori interi positivi o nulli, quindi appartenenti all insieme numerico N. Dopo aver riscritto il problema in coppia procederanno alla soluzione del problema seguendo queste indicazioni: METODO DI SOSTITUZIONE 1 passo: Risolvere una delle due equazioni del sistema rispetto a una incognita (scegliendo l equazione e l incognita in modo da essere condotti ai calcoli più semplici possibili); 2 passo: Sostituire l espressione trovata nell altra equazione: si ottiene così un equazione ad una sola incognita, detta equazione risolvente il sistema; 3 passo: Risolvere l equazione risolvente; 4 passo: Sostituire il valore dell incognita trovata al passo precedente nell equazione esplicitata ricavata al 1 passo. Ora ricavare il valore dell incognita ancora da determinare; 5 passo: Concludere scrivendo la soluzione del sistema dimostrando come il risultato conseguito risponde all interrogativo posto dal problema iniziale. Risolto il problema, l insegnante fornisce la PROCEDURA DI SOLUZIONE sotto riportata. Le coppie si scambieranno le soluzioni confrontandola con quella fornita dall insegnante e correggeranno le soluzioni dei compagni. 6

7 MODELLO DI PROCEDURA DI SOLUZIONE Poiché nella prima equazione la variabile x è espressa in funzione di y (x = 10+y) possiamo sostituire l espressione 10 + y al posto di... nella seconda equazione ottenendo il sistema: x = 10 + y 2( 10 + y) + y = 20 Grazie a questa sostituzione si ottiene un equazione ad una incognita che in questo caso è l equazione risolvente del sistema: 2 (10 + y) + y = 20 Risolvendo questa equazione otteniamo il valore di y: y + y = 20 3y = 0 y = 0 Questo valore trovato per y deve soddisfare anche la prima equazione del sistema iniziale. Ora si procede alla sostituzione della y con il valore trovato: x = 10 + y x = x = 10 y = 0 y = 0 y = 0 La soluzione del sistema è, quindi, la coppia ordinata (10;0). Dunque la squadra ha vinto 10 partite e ne ha pareggiate nessuna. La riprova di ciò è che se ogni partita otteneva 2 punti per la classifica, il totale del punteggio ottenuto in dieci partite è 20 come indicato dal problema. B) Gli studenti devono ora ricostruire il procedimento seguito elencando tutti i passi compiuti per risolvere il sistema di due equazioni in due incognite con il metodo di sostituzione. Gli studenti devono utilizzare il metodo individuato per risolvere i seguenti sistemi: 1) 2x y = 1 x + y = 2 2) 2x 3y = 1 2x y = 5 Negli ultimi dieci minuti di lezione gli studenti confrontano le soluzioni trovate con il compagno di banco alla ricerca di eventuali errori. Abilità/competenza: comprendere il testo, le richieste del problema e l impostazione del sistema; Individuare il metodo risolutivo (sostituzione); Applicare tale metodo Disposizione della mente: avere un atteggiamento di ricerca e di inventiva, essere accurati e perseveranti, controllare la compatibilità delle soluzioni con i dati del problema, sapere lavorare in coppia Valutazione continua: controllo dei compiti da parte dell insegnante 7

8 Esperienza per l apprendimento-2/: Alla ricerca di altri metodi risolutivi (metodo del confronto e metodo di riduzione) A) La comprensione del problema La classe è suddivisa in coppie casuali L insegnante introduce la procedura di soluzione del problema sottolineando l importanza di procedere innanzitutto alla comprensione del problema prima di procedere alla soluzione Ad ogni membro della coppia viene fornito il problema e un elenco di domande per procedere alla comprensione del problema. Ognuno risponderà prima da solo poi insieme. Tempo previsto: 2 ore Problema: Anna acquista 8 quaderni ed 1 penna e spende 17,5 euro, Paolo compra 6 quaderni ed 1 penna e spende 13,5 euro. Quanto costa una penna e quanto costa un quaderno? Indicando con x il prezzo di un quaderno e con y il prezzo di una penna, gli studenti devono impostare il sistema risolvente e ricercare una variante del metodo della sostituzione cioè il metodo del confronto. Rispondi alle seguenti domande: 1. Quali sono le grandezze da determinare? Quante incognite ha questo problema? Quale grandezza chiami x? Quale grandezza chiami y? Quali sono le equazioni che legano le due grandezze da determinare? Ciascuna di queste due equazioni quante soluzioni ammette?... Dopo aver risposto alle domande in coppia riscriveranno la comprensione che essi hanno del problema. La parafrasi dovrà evidenziare l interrogativo a cui si deve trovare la risposta e la relazione tra le informazioni (grandezze). MODELLO DI PARAFRASI DEL PROBLEMA Il problema mi chiede di determinare il prezzo di una penna e di un quaderno. Anna e Paolo sanno quanto hanno speso singolarmente per comprare quantità diverse di quaderni e penne, 8 quaderni e 1 penna Anna, 6 quaderni e 1 penna Paolo. Potrei così impostare il sistema: x = prezzo di un quaderno y = prezzo di una penna Spesa di Anna 8x+y =17,5; Spesa di Paolo 6x+y = 13,5 8x + y = 17,5 6x + y = 13,5 Le grandezze x ed y possono assumere valori positivi o nulli, interi e non interi quindi appartenenti all insieme Q

9 Dopo aver riscritto il problema in coppia leggeranno e commenteranno in coppia la soluzione del problema seguendo la soluzione proposta dall insegnante. Ad ogni passo cercheranno di descrivere la procedura che è stata eseguita e di esprimere il perché di questa operazione. MODELLO DI PROCEDURA DI SOLUZIONE 1 passo 2 passo 3 passo 4 passo 8x + y = 17,5 y = 17,5 8x 6x + y = 13,5 y = 13,5 6x 17,5 8x = 13,5 6x 8x + 6x = 13,5 17,5 2x = 4 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 y = 13,5 6 2 y = 13,5 12 y = 1,5 5 passo La coppia ordinata (2;1,5) è la soluzione del sistema. Il prezzo di un quaderno è 2. Il prezzo di una penna è 1,5. I valori ottenuti appartengono all insieme Q 0 +. Si può dimostrare la correttezza della soluzione del problema sostituendo i valori trovati nelle equazioni del sistema ,5 = 17, ,5 = 17, ,5 = 13, ,5 = 13,5 I valori ottenuti soddisfano entrambe le equazioni, risolvono quindi il problema proposto. Tra coppie si scambieranno la soluzione le risposte confrontandolo con il MODELLO DI RISPOSTA ATTESO offerto dall insegnante. Le correzioni riporteranno dei segni ROSSI come invito a correggere l errore e GIALLO per precisare meglio. MODELLO DI RISPOSTA ATTESO PER LA DESCRIZIONE DELL OPERAZIONE COMPIUTA Risposta attesa al passo-1 Si risolvono entrambe le equazioni del sistema rispetto alla stessa incognita y e uguagliare le espressioni ottenute (metodo del confronto). Risposta attesa al passo-2 Si trova l equazione risolvente. 9

10 Risposta attesa al passo-3 Si risolve l equazione. Risposta attesa al passo-4 A questo punto, per ricavare anche il valore di y, basta sostituire il valore trovato al posto di x in una delle due equazioni. Risposta attesa al passo-5 Si descrive la soluzione ottenuta e si prova che la conclusione è corretta. L insegnante ora consegna la sintesi del MODELLO DEL CONFRONTO e sempre in coppia gli studenti dovranno trovare il perché del processo. In sintesi: METODO DEL CONFRONTO 1 passo: si risolvono entrambe le equazioni del sistema rispetto alla stessa incognita (scegliendo l incognita in modo da essere condotti ai calcoli più semplici possibili); 2 passo: si costruisce l equazione risolvente uguagliando le due espressioni trovate; 3 passo: si risolve l equazione risolvente; 4 passo: si sostituisce il valore dell incognita trovata al passo precedente in una delle equazioni esplicitata ricavata al 1 passo e si ricava, così, il valore dell incognita ancora da determinare; 5 passo: si conclude scrivendo la soluzione del sistema. Terminata la riflessione tra coppie si scambieranno la soluzione le risposte confrontandolo con il MODELLO DI RISPOSTA DEL PERCHÈ offerto dall insegnante. Le correzioni riporteranno dei segni ROSSI come invito a correggere l errore e GIALLO per precisare meglio. Metodo di riduzione 10

11 METODO DI RIDUZIONE ( addizione /sottrazione) occorre rifare tutta la stessa procedura fatta per il confronto con questo altro metodo, perciò va riscritto tutto così non va bene, altrimenti non si rifà tutto ma si scrive solo il modello finale che è quello che ho riscritto MODELLO DI RISPOSTE DEL PERCHÉ Perché del 1 passo Considerando il sistema 8x + y = 17,5 6x + y = 13,5 che risolve il problema iniziale e ricordando la seguente proprietà dei numeri reali: Se A=B e C=D allora A+B = C+D e A-B = C-D gli studenti devono sottrarre dalla prima equazione la seconda. 8x + y = 17,5 6x + y = 13,5 8x + y 6x y = 17,5 13,5 Perché del 2 passo Si scrive l equazione risolvente che ora contiene una sola incognita 8 x 6 x = 17,5 13, 5 Perché del 3 passo Si risolve l equazione risolvente che è di 1 grado ad un incognita 8 x 6 x = 17,5 13, 5 2 x = - 4 x = 2 Perché del 4 passo si sostituisce il valore dell incognita trovato al passo precedente in una delle due equazioni 8* 2 + y =17,5 e si ricava il valore della seconda incognita risolvendo questa equazione 16 + y = 17,5 y = 17,5 16 y = 1,5 Perché del 5 passo: Si scrive la coppia di valori che risolve il sistema x = -2 y = 1,5 11

12 Gli studenti devono ora risolvere i seguenti sistemi applicando la procedura del MODELLO DEL CONFRONTO o di RIDUZIONE 1) 2) x + y = 3 x y = 1 x + 2y = 1 x 2y = 7 3) 4) 2x y = 2 2x + 3y = 3 3x 2y = 1 4x 5y = 1 Nota bene: Nella risoluzione dell esercizio 4) è necessario usare una variante della procedura individuata. In caso di difficoltà, il docente interviene ricordando il 2 principio di equivalenza delle equazioni, quindi possiamo moltiplicare la prima equazione per - 4 e la seconda equazione per 3 ottenendo: 4( 3x 2y = 1) ( ) 12x + 8y 4x 5y = 1 12x 15y = = x + 8y + 12x 15y = y = 7 y = 1 Ora si può sostituire tale valore in una delle due equazioni del sistema. y = 1 y = 1 y = 1 y = 1 3x 2( 1) = 1 3x 2 = 1 3x = 3 x = 1 La coppia ordinata (1;1) è la soluzione del sistema. ( 1;1 ) Abilità/competenza: comprendere modelli matematici, le richieste del problema e impostare il sistema Individuare i metodi risolutivi (confronto e riduzione) Disposizione della mente: un atteggiamento di ricerca e di inventiva, essere accurati, precisi e perseveranti. Valutazione continua: autovalutazione tra compagni. Esperienza per l apprendimento-3/: Dal modello al problema Tempo previsto: 40 minuti (studente singolo)+10 minuti (confronto a coppie) A) Prima individualmente scoprire il sistema che corrisponde al modello algebrico del problema proposto (x indica il primo numero e y il secondo) 12

13 B) In coppia confrontare e giustificare il motivo della scelta. C) Accordarsi e comprendere con convinzione il sistema corrispondete al problema. D) Risolvere il sistema individuato. 1) Il primo numero supera di 6 il secondo e quest ultimo è tre quarti del primo A B C D 2) Il triplo del primo numero, diminuito del doppio del secondo è uguale a 2, mentre il doppio del primo supera di una unità il secondo. A B C D 3) La metà della somma di due numeri è 6 e la somma del primo con il triplo del secondo è 12. A B C D Abilità/competenza: comprendere il testo e le richieste dei problemi, individuare il sistema risolvente corretto, utilizzare il metodo risolutivo più appropriato Disposizione della mente: essere accurati e perseveranti, saper lavorare in coppia Valutazione continua: controllo dei compiti da parte dell insegnante. Esperienza per l apprendimento-4/: Realtà problematica Tempo previsto 2 ore A) In ciascuno dei seguenti problemi: a) individuare i dati; b) individuare le incognite; c) impostare il sistema risolutivo; d) risolvere il sistema utilizzando il metodo più opportuno (cercare di utilizzare tutti e tre i metodi studiati): 1) Maria investe la somma di euro in parte in obbligazioni, il cui tasso d interesse annuo è del 4%, e in parte in un fondo, il cui tasso di interesse annuo è del 5%. Dopo un anno gli interessi sono complessivamente di 1600 euro. Come è stata suddivisa la quota? 2) Nella pasticceria DULCIS ci sono 2 forni che cuociono le torte create da Maria: il primo cuoce 10 pezzi all ora, il secondo 7 pezzi all ora. I 2 forni in 23 ore hanno cotto 191 torte. Determinare il numero delle torte cotte dall uno e dall altro forno. 3) Tua madre è stanca del disordine nella tua camera, compra una libreria da IKEA e ti chiede di disporre in ordine tutti i libri sugli scaffali. Se metti 8 libri su ogni scaffale ne rimane vuoto 1; se invece metti 6 libri su ogni scaffale, riempi la libreria ma ti restano fuori 2 libri. Quanti libri ti ha dato tua madre? B) Vengono assegnati 30 minuti per eseguire quanto richiesto nei punti a); b); c); 13

14 C) Poi, per circa 20 minuti, la docente commenta con gli studenti il lavoro svolto, corregge eventuali errori. D) Poi ogni studente completa il compito e negli ultimi 10 minuti si confronta con il proprio compagno di banco (Si cercherà di evitare che uno studente bravo uno debole). Viene fornita agli studenti la rubrica di valutazione. Abilità/competenza: comprendere, risolvere i sistemi lineari, utilizzare ciò che si conosce per affrontare nuovi problemi Disposizione della mente: essere accurati e perseveranti; pensare in modo interdipendente. Valutazione continua: controllo dei compiti da parte dell insegnante. Esperienza per l apprendimento-5/: Problemi incompleti Tempo previsto 1 ora A) Gli studenti sono invitati a ricostruire un problema reale a partire da un rappresentazione algebrica: B) Gli studenti in coppie casuali che cambiano per ogni caso risolveranno le richieste di ogni caso. C) La risposta sarà corretta da un altra coppia e riconsegnata agli estensori (in caso di dubbio o incertezza si chiederà aiuto all insegnante. a) Caso-1: Completa il testo del seguente problema in modo che il suo modello algebrico sia il sistema: un negoziante affitta film in videocassetta al prezzo di. euro per i film normali e al prezzo di. euro per i film per i bambini. In un giorno ha affittato.videocassette, ha incassato.euro. In quel giorno, quante videocassette ha affittato di ciascun tipo? b) Caso-2 Completa il testo del seguente problema in modo che il suo modello algebrico sia il sistema: Un test è formato da domande e problemi. Paolo risponde esattamente a. domande, svolge correttamente. problemi e ottiene.. punti. Francesca svolge correttamente....problemi e risponde esattamente a. domande e ottiene punti Quanti punti vale una domanda e quanti un problema? c) Caso-3 I due problemi sotto descritti hanno nei due modelli algebrici a) e b) presentati la corretta rappresentazione. Scrivi l abbinamento. a) b) Problema-1 Se compri 2 scatole di penne spendi 6 in più che per comprare 3 scatole di matite. Un tuo amico ha 14

15 comprato una scatola di matite e una di penne spendendo 16. Quanto costa una scatola di penne? Problema-2 Fa molto freddo e oggi la temperatura minima è un grado in meno del doppio di quella di ieri. Un simpaticone dopo aver fatto qualche calcolo ha detto che il doppio della minima di oggi è due gradi in più del triplo di quella di ieri. Sei in grado di dire quali temperature minime si sono registrate in questi due giorni? d) Caso-4: Scrivi il testo di un problema che ha come modello algebrico il seguente sistema: Dopo averlo scritto, fai risolvere il tuo problema dal compagno di banco e tu risolvi il suo. Al termine tra coppie di scambieranno i problemi e le soluzioni. Abilità/competenza: Sapere dedurre il testo di un problema dall impostazione del suo sistema risolutivo Disposizione della mente: essere accurati e precisi, perseveranti e dotati di inventiva. Valutazione continua: controllo dei compiti da parte dell insegnante Esperienza per l apprendimento-6/: La televisione: che problema! Tempo previsto: 1 ora A) Per una verifica complessiva dell apprendimento e puntualizzare le ultime difficoltà che gli studenti possono incontrare viene consegnato senza alcun suggerimento questo nuovo problema. B) Gli studenti dovranno risolverlo da soli avendo una sola possibilità di confrontarsi con un compagno Problema: La direzione della televisione LA OTTO vuole trasmettere un reality e si rivolge a te per l organizzazione : i partecipanti dovranno vivere per 50 giorni in una fattoria. Hai a disposizione per l allestimento del luogo, delle scene, per i costumi e per i viveri necessari ai partecipanti. I costi relativi al luogo, alle scene, e ai costumi ammontano al 95% del totale. Sapendo che il costo medio dei viveri che occorrono è di 20 al kg e che il fabbisogno giornaliero dei concorrenti uomini è il doppio del fabbisogno delle concorrenti donne, quanti concorrenti uomini e quante concorrenti donne dovrete selezionare ai provini? Abilità/competenza: comprendere, parafrasare, applicare e risolvere problemi Disposizione della mente: essere accurati e perseveranti, ricordare problemi simili già risolti Valutazione continua: controllo dei compiti da parte dell insegnante Esperienza per l apprendimento-7/: Che problema essere studenti del Nomentano! C) Per una verifica complessiva dell apprendimento e puntualizzare le ultime difficoltà che gli studenti possono incontrare viene consegnato senza alcun suggerimento questo nuovo problema. 15

16 D) Gli studenti dovranno risolverlo da soli non avendo alcuna possibilità di confrontarsi con un compagno. Tempo previsto 1 ora Problema: Il liceo Nomentano ha deciso anche quest anno di acquistare le magliette con il logo della scuola per tutti gli studenti. Il prezzo di una maglietta è dato dalla somma del prezzo della materia prima e del prezzo della lavorazione (confezione e stampa del logo). L anno scorso la maglietta costava 11,5 euro; quest anno il costo della materia prima è raddoppiato, mentre il costo della lavorazione è aumentato del 10%, di conseguenza quest anno la maglietta costa 14 euro. A quanto ammonta il costo della lavorazione di una maglietta quest anno? A quanto ammonta il costo della materia prima per confezionare le magliette per i 750 studenti del liceo? Abilità/competenza:comprendere il testo e le richieste del problema, usare i sistemi lineari per impostare il problema, saper risolvere i sistemi lineari Disposizione della mente: essere accurati e perseveranti, ricordare problemi simili già risolti. Valutazione continua: Autovalutazione tra compagni utilizzando la RUBRICA DI VALUTAZIONE. 16

17 LA PRESTAZIONE ZERO Tempo previsto 1 ora Alice ha ricevuto la consueta comunicazione dalla banca sulla sua situazione finanziaria. Legge attentamente e nota con disappunto che gli interessi che riceve per il suo capitale, faticosamente accumulato, di è veramente basso. Consigliata dal fratello Giorgio, viene da te, promotore finanziario, e ti chiede di farle delle proposte. 1) Tu, per ridurre i rischi dell investimento, proponi di dividere il capitale in due quote e di investirle in titoli a scadenza annuale rispettivamente al tasso fisso del 5% e del 3%. In tal caso alla fine dell anno il guadagno realizzato dalla prima quota supererà di 300 quello della seconda. Quali sono le quote investite? 2) Giorgio vuole fare una bella figura con la sorella, pertanto ti invita a fare una proposta più conveniente: a) Se Alice fosse disposta a impegnare la cifra per 5 anni, potrebbe comprare titoli a tasso medio annuo del 6 % e del 4%, con un guadagno di Lei vuole sapere se in tal caso la proposta di ripartizione sarebbe uguale o diversa. b) Se pensa di non avere grosse spese in futuro, potrebbe impegnare tutto il capitale per 7 anni ottenendo un guadagno di Ma in tal caso lei vuole sapere qual è l interesse di tale investimento. RISOLUZIONE A GRANDI LINEE DELLA PROVA AUTENTICA CONTESTUALIZZATA Quota al 3,5% = x Quota al 0,9% = y x=3000 ; y=5000 Ulteriori proposte: 1) Quota al 4,1% = x Quota al 2,4%=y x=6000 ; y=2000 2) Interesse =x x=4,5% 17