Entità e rappresentazioni

Transcript

1 Entità e rappresentazioni E importante istinguere il concetto i entità a quello i rappresentazione Una rappresentazione è un moo per escrivere un entità, ma non è l entità stessa Nell ambito ei sistemi numerici non bisogna confonere quella che è l entità numero o valore con la sua rappresentazione Dato il valore seici, la sua rappresentazione nel sistema ecimale è 6 mentre nel sistema binario è ; 6 e sono ue rappresentazioni ifferenti ella stessa entità I.

2 Sistemi numerici Il sistema numerico che siamo abituati a utilizzare è un sistema: ecimale: usa cifre posizionale: a ogni posizione è associato un peso, infatti esistono:» la posizione elle unità,» la posizione elle ecine,» la posizione elle centinaia,» etc. Un esempio i sistema numerico non posizionale è quello romano in cui non esistono le posizioni elle unità, ecine, centinaia, etc. Esempio Nel numero IV 4 I non è una ecina, V non è un unità (altrimenti si leggerebbe 5) I.

3 N Sistemi numerici Nei sistemi numerici posizionali un valore N può essere rappresentato nei seguenti moi: N K K, n n n n r... r r K Dove: N n i m r i i m m r rappresenta la singola cifra (igit) r è la raice o base el sistema n è il numero i cifre ella parte intera m è il numero i cifre ella parte frazionaria m I.3

4 Sistemi numerici Esempi: base ecimale 3, base binaria, Proprietà principali i un sistema numerico posizionale: ogni numero intero può essere rappresentato (rango illimitato) a ogni numero intero corrispone un solo insieme orinato i cifre (rappresentazione unica) I.4

5 Sistema ecimale Nel sistema numerico ecimale: la base r le cifre,,...,9 Un valore N si rappresenta nel S.N. ecimale come: N n n K K m Tutte le volte che si farà riferimento a un valore senza specificarne la base, lo si consiererà in base In caso contrario la base verrà specificata come peice ella cifra i peso più basso: es. m I.5

6 Sistema binario Nel sistema numerico binario: la base r le cifre, Un valore N si rappresenta nel S.N. binario come: N Esempio: n n K K m m 5 Cifra binaria: bit (binary igit) Questo sistema numerico è usato, in genere, nei calcolatori e nelle macchine numeriche I.6

7 Sistema binario Una sequenza i otto bit consecutivi è etta byte Esempio: Il bit più a sinistra è etto Most Significant Bit (MSB), mentre quello più a estra è etto Least Significant Bit (LSB) byte MSB LSB I.7

8 Sistema ottale Nel sistema numerico ottale: la base r 8 le cifre,,...,7 Un valore N si rappresenta nel S.N. ottale come: N Esempio: n 8 n 8 K K 8 m 8 7 m NOTA La sequenza i cifre 847 non può essere un valore ottale in quanto in tale sistema non esiste la cifra 8! I.8

9 Sistema esaecimale Nel sistema numerico esaecimale: la base r 6 le cifre,,...,9,a,b,c,d,e,f Un valore N si rappresenta nel S.N. esaecimale come: N Esempio: n 6 n 6 K K Spesso si usa il peice H al posto el peice 6 per inicare la base esaecimale 6 m A 6 6 A m I.9

10 Sistema esaecimale Si noti la corrisponenza: Più è grane il valore ella base, più è compatta la rappresentazione i uno stesso valore (ossia il numero risultante è composto a meno cifre): Esempio B A H B H C H D H 3 E H 4 F H 5 I.

11 Conversione tra sistemi numerici Da base qualsiasi a base Consieriamo per il momento solo valori interi (o parti intere i valori frazionari) Si può applicare irettamente la efinizione: N n n r K r Esempi: 3 ( ) 6 ( ) 8 43 ( ) 6 5 I.

12 Conversione tra sistemi numerici Un altro metoo eriva alla possibilità i riscrivere la efinizione come segue: N n n n (( K(( r ) r ) K) r ) 3 Operativamente: si prene la cifra più significativa, la si moltiplica per la base e la si somma alla cifra successiva (ossia quella i peso immeiatamente inferiore) il risultato così ottenuto lo si moltiplica nuovamente per la base sommanovi la cifra successiva si procee in questo moo fino a arrivare all ultima cifra (quella i peso zero) I.

13 Conversione tra sistemi numerici Esempi: ((( ) ) ) ((4 8 3) 8 5) ((4 5 3) 5 ) 5 6 I.3

14 Conversione tra sistemi numerici N Da base a base qualsiasi La efinizione i valore può essere riscritta come: n ( r ( r ( K r ( r ) K))) n se iviiamo il valore N per la base r si ottiene un quoziente ato a: ( r ( K r ( r ) K)) n n e un resto che è la cifra i peso inferiore (peso zero) el valore N nella base r Ripeteno il proceimento si ricavano le cifre el valore nella base esierata (i resti elle ivisioni) a partire al LSB I.4

15 Conversione tra sistemi numerici Il processo i ivisione si arresta quano il quoziente ottenuto è nullo e l ultimo resto costituisce la cifra i peso maggiore Esempio: ato il valore 6 se ne ricavi la sua rappresentazione in binario: Risultato: I.5

16 Conversione tra sistemi numerici Da base qualsiasi (N) a base qualsiasi (M) In genere conviene convertire il numero a base N a base e il risultato a base a base M Nei casi in cui sia N sia M siano potenze i, conviene passare non alla base, ma alla base : la conversione tra una base potenza i e la base è molto veloce se si consiera quanto segue I.6

17 I.7 La efinizione i numero binario N può essere riscritta nel seguente moo (in questo esempio si fanno raggruppamenti i 3 cifre): Ne consegue che, per passare alla rappresentazione in binario a quella ottale, è sufficiente raggruppare le cifre a gruppi i tre parteno a estra e convertire i singoli gruppi i cifre ottenuti (se il gruppo più a sinistra ha meno i 3 cifre completarlo a sinistra aggiungenovi gli zeri necessari) ) ( ) ( ) ( ) ( α β N N N Conversione tra sistemi numerici

18 Conversione tra sistemi numerici Esempio [ ][][] 3 8 Analogamente si può proceere per passare alla rappresentazione binaria a quella in base n, in questo caso i raggruppamenti avvengono a gruppi i n cifre Esempio: [][] [][] Chiaramente è valio anche il viceversa: a ogni cifra in base n corrisponono n bit in binario 99 H D H I.8

19 Rappresentazione i valori La rappresentabilità ei valori è legata al numero i cifre isponibili Nei sistemi i elaborazione, come in generale in tutte le applicazioni pratiche, il numero i cifre impiegate nella rappresentazione i valori numerici è limitato Si ha overflow (o trabocco) quano si è nell impossibilità i rappresentare il risultato i una operazione (a esempio una somma o una sottrazione) con il numero i cifre a isposizione I.9

20 Rappresentazione i valori Consieriamo il sistema binario Il numero i configurazioni iverse con n bit ( istribuzione con ripetizione i elementi i classe n ) è n ; quini con n bit si possono rappresentare n valori; il numero N più grane rappresentabile con n bit è: N n ( n numeri, il primo è lo ) e è costituito a tutti uno: I.

21 Rappresentazione i valori Richieono n cifre (bit) per essere rappresentati tutti i numeri interi X compresi nell intervallo: n bit X n bit ossia: n X n questa può essere scritta anche: n < X n Sommano ai termini ella isuguaglianza: n < X e passano ai logaritmi in base : n < log ( X ) n n I.

22 Rappresentazione i valori Scineno la iseguaglianza: n log ( X ) e n < log iventa ( X ) n < log ( X ) Le ue iseguaglianze e affermano che n ebba essere almeno grane quanto log ( X ), ma più piccolo ella stessa quantità Riassumeno: ove l operatore inica l arrotonamento al valore intero immeiatamente superiore (un numero intero resta invariato) n log ( X I. )

23 Rappresentazione i valori Esempi: 7,85 7, Per una generica base r vale la relazione generale: n log ( X r ) I.3

24 Rappresentazione i valori Per il sistema binario vale la seguente tabella riassuntiva: n numero i bit n numero i valori n - max valore rappresentabile I.4

25 Rappresentazione i valori Se si inica con D il numero i cifre ecimali che occorrono per rappresentare un numero N e con B il numero i bit necessari per rappresentare lo stesso numero si ha: Il rapporto: D log ( N ) B log ( N ) D B log log ( N ) ( N ) non è costante al variare i N I.5

26 Rappresentazione i valori Tuttavia, esseno 4 si può ire che il sistema binario richiee circa cifre ogni 3 cifre utilizzate nella rappresentazione el valore in base Il prefisso Kilo, nella terminologia informatica, non inica quini, bensì: 4 Il prefisso Mega inica la quantità: Il prefisso Giga inica: I.6

27 Conversione i valori frazionari Da base qualsiasi a base Data la rappresentazione in base N i un valore numerico frazionario, per ottenere la corrisponente rappresentazione ecimale si può applicare la efinizione Esempio (N):,, I.7

28 Conversione i valori frazionari Un altro moo consiste nel partire alla cifra meno significativa, ivierla per N e sommare la cifra che la precee Il proceimento continua finché non si arriva al punto ecimale Esempio (N):,, 6875 I.8

29 Conversione i valori frazionari Da base a base qualsiasi Dato un valore frazionario N <, lo si esprima in base b: N a b a b a b K si osserva che moltiplicanolo per b si ricava come valore intero la prima cifra ella parte fratta (a - ) Se si scarta la parte intera appena moltiplicata e si moltiplica la parte frazionaria restante nuovamente per b si ottiene (a - ) e così via m m I.9

30 Conversione i valori frazionari Riassumeno, per convertire un numero alla base alla base N: si moltiplica per N la parte frazionaria el numero ecimale estraeno la parte intera si ripete il proceimento sulla parte frazionaria rimasta finché il risultato ella moltiplicazione è. oppure non si raggiunge il numero i cifre che si intene utilizzare I.3

31 Conversione i valori frazionari Esempio:,6875 x,375 x,75 x,5 x, Da cui risulta:,6875, I.3

32 Conversione i valori frazionari Da base qualsiasi (N) a base qualsiasi (M) In genere conviene convertire il numero a base N a base e il risultato a base a base M Nei casi in cui sia N sia M siano potenze i, conviene passare non alla base, ma alla base Si faccia attenzione che i gruppi i n cifre evono essere ientificati a partire alla virgola e non al LSB I.3

33 Conversione i valori frazionari Esempi Si convertano in ottale e esaecimale i seguenti valori frazionari:, [],[] 4, 8 [],[] 4, H, [][],[][] 5,36 8 [],[][] D,78 H, [][],[] 3, 8 [][],[] A, H I.33

34 Conversione i valori frazionari Un valore frazionario rappresentabile con un numero finito i cifre in una base N non necessariamente è rappresentabile con un numero finito i cifre anche in una base M iversa a N Quano l operazione i conversione porta a avere un numero con infinite cifre ecimali, il calcolo termina quano si raggiunge la precisione esierata I.34

35 Conversione i valori frazionari Dato un numero N composto a n cifre opo la virgola, si efiniscono: Errore assoluto (ε ) la minima quantità rappresentabile in base b con le n cifre, in valore assoluto Quini: Errore relativo (η ) Esempi b n ε η N ε %,4 ε -, η 5 %, ε -4 η 9,9 % ε - η % I.35

36 Conversione i valori frazionari Esempio Convertire il numero,5 con un approssimazione assoluta i /3 ( -5 5 cifre opo la virgola) Quanti bit (n) i parte frazionaria occorrono per convertire un numero in base b manteneno una precisione minima assoluta almeno pari a ε? Dalla efinizione: ε b -n, poiché si ice almeno pari a si ha: a cui:,5, n ε n b log b I.36 ε

37 Conversione i valori frazionari Esempio Quanti bit occorrono per convertire con una precisione assoluta migliore i / il numero,36 in base? n log 7 Nota Si poteva proceere nel seguente moo: si vuole: > a cui: n > n : cifre ecimali 6/7/8 binarie n 6 n >? NO! n 7 n 8 8 >? OK! quini n 7 I.37

38 Conversione i valori frazionari Per convertire un numero composto a una parte intera e a una frazionaria occorre convertire separatamente le ue parti e unirle successivamente Esempio: 7,5,5, 7 7,5, I.38

39 Coici Un coice è un insieme i simboli usato per rappresentare, secono una corrisponenza biunivoca prestabilita, un informazione i qualsiasi genere (parole, numeri, eventi, etc.) I sistemi numerici (S.N.) sono un caso particolare i coice. In generale un S.N. può essere usato come coice, mentre non vale il viceversa I.39

40 Coici Coici binari Un coice è etto binario quano le parole i coice usano come simboli solo le cifre e Tra i coici binari sono molto usati i coici BCD (Binary Coe Decimal) Nei coici BCD un numero è iviso nelle cifre ecimali che lo compongono e ogni cifra è coificata separatamente alle altre su 4 bit Tra questi il più conosciuto è il coice (al peso elle sue cifre) I.4

41 Coice ASCII Un tipo particolare i coice a 7 bit molto usato nei computer è il coice ASCII (American Stanar Coe for Information Interchange) Il coice ASCII è usato per la coifica ei caratteri; a es. ogni volta che viene premuto sulla tastiera un tasto, viene inviato al computer il coice ASCII corrisponente al tasto meesimo Analogamente, quano eve essere stampato a vieo (o su un altro periferico i uscita) un carattere, viene trasmesso all unità i visualizzazione il coice ASCII el carattere I.4

42 Coice ASCII Il coice contiene: 6 6 lettere (maiuscole minuscole) cifre ecimali (a a 9) segni i interpunzione caratteri i controllo Le cifre sono orinate per valore Le lettere maiuscole sono orinate alfabeticamente Le lettere minuscole sono orinate alfabeticamente (e sono a istanza fissa alle maiuscole) Le sequenze preceenti non sono contigue (ci sono altri caratteri in mezzo) I.4

43 Esercizi Esercizio Si convertano i seguenti numeri rappresentati in base in binario puro: a) 35 b) 64 c) 48 ) 9,75 e) 37,5 f)8,34 a) I.43

44 Esercizi b) c) I.44

45 Esercizi ) 9,75, 9 75, 9 4 5,, e) 37,5, 37 8, ,, I.45

46 I.46 Esercizi f) 8,34, M ,,,,,,,

47 I.47 Esercizi Esercizio A quali valori ecimali corrisponono i seguenti numeri in binario puro? a), b), c), ), e), f), a) b) c) 3 5,5, 3 4,5, 4,875, 4 3 3

48 I.48 Esercizi ) e) f) Esercizio 3 Si convertano i seguenti numeri binari nelle rappresentazioni ottali e esaecimali: a) b) c) ) e) f) 3 5,75, 3,65, 4 3 4,565,

49 Esercizi a) b) c) ) e) f) 68 BH 38 DH 3758 FDH 478 A7H 58 AA H H Esercizio 4 Convertire i seguenti numeri in base : a) 34 5 b) 5 7 c) 3 8 ) A H e) 3 3 f) 34 I.49

50 I.5 Esercizi a) b)

51 Esercizi c) ) e) Non possibile perché 3 3 non può essere una rappresentazione in base 3 f) 38 A H I.5