BILANCIA DI CAVENDISH

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1 BILANCIA DI CAVENDISH TEORIA FISICA Scopo dell esperienza è la misura della costante di gravitazione universale G Tra due punti materiali di massa m ed M, posti a distanza R fra di loro, si esercita una forza data da F = G mm/r 2, detta forza di gravitazione universale. Il valore comunemente accettato per G è G = ( 6,67259 ± 0,00085 ) Nm 2 / kg 2 che corrisponde alla forza fra due sfere omogenee di massa 1 kg poste a distanza di 1 metro. Il valore di G è indipendente dalle proprietà della materia di cui sono fatti i corpi, come pure non dipende da dove viene svolta l esperienza, né da quando: per questo la costante G viene detta universale. Come conseguenza, essa può essere misurata utilizzando qualsiasi coppia di masse poste a distanza nota fra di loro. La bilancia di Cavendish è costituita da un manubrio, appeso a un filo di quarzo fissato ad un sostegno metallico. Alle estremità del manubrio sono poste due piccole masse sferiche m mentre due masse molto maggiori M sono sistemate su di un asta che, quando la bilancia è scarica, risulta essere ortogonale al manubrio. Il sistema di masse descritto fa parte complessivamente di un corpo centrale di forma cilindrica nel quale, lungo un asta verticale passante per il manubrio, è fissato uno specchietto in grado di riflettere un raggio (spot) luminoso, prodotto da una sorgente stabile, posta a distanza fissa dalla bilancia. Il raggio viene proiettato su una scala graduata collocata alla distanza L dalla bilancia, in modo che gli spostamenti lungo la scala riflettano gli spostamenti angolari dell asta su cui sono fissate le masse m. La rotazione delle sferette, soggette all attrazione gravitazionale da parte delle sfere di massa maggiore, si traduce quindi in una deviazione del raggio luminoso; la misura dello spostamento del raggio luminoso costituisce così una misura indiretta della forza che ha provocato quello spostamento. Si possono utilizzare due metodi: il metodo dell accelerazione e il metodo dell oscillazione. 1

2 Il metodo dell accelerazione non è molto accurato a causa delle approssimazioni semplificatrici introdotte. Tra l'altro, sfruttando il fatto che la velocità della bilancia non è molto elevata, non si tiene conto dell attrito viscoso dell aria, che è proporzionale alla velocità stessa. Sia θ 0 l angolo di incidenza del raggio luminoso all istante iniziale t = 0 e θ l angolo di incidenza al generico istante t, in cui l asta ha ruotato di un angolo φ rispetto alla posizione di partenza, a causa dell attrazione gravitazionale fra la massa m e la massa M. Sia β l angolo di cui è ruotato il raggio riflesso incidendo sull asta graduata ad una distanza S rispetto alla posizione iniziale S 0. Sia s lo spazio percorso, all istante t, dalla massa m sotto l effetto dell attrazione gravitazionale, mentre L è la distanza fra l asta graduata e la sbarretta mobile e d la distanza fra il fulcro e la massa m. Allora, per angoli piccoli, possiamo dire che Lβ = S mentre φd = s Si può vedere anche come θ 0 θ = φ e β = θ 0 (θ φ) = 2φ, da cui s = (Sd)/(2L) Di conseguenza, la misura sperimentale di S nel tempo permette di ricavare anche s in funzione del tempo. In particolare, l accelerazione d 2 s / d t 2 è ottenibile come (d/2l)(d 2 S / d t 2 ). Nel metodo dell accelerazione si tiene conto del fatto che, in un primo momento, il moto delle sferette piccole può essere considerato come moto uniformemente accelerato (la distanza a fra sferetta grande e sferetta piccola può essere considerata costante, per cui la forza risulta anch essa costante). Il grafico delle posizioni S in funzione del tempo può essere, nella fase iniziale, interpretato come quello di una parabola secondo l espressione S = ½ a 0 t 2. Dal grafico, utilizzando un fit parabolico, si può ricavare il valore dell accelerazione a 0 = (d 2 S / d t 2 ) e da questa (d 2 s / d t 2 ) = (d/2l) a 0. La vera situazione di riposo dello strumento sarebbe con le masse M a 90 rispetto alle masse m. In realtà l esperienza inizia con le masse M ad una distanza a dalle masse m, risultato di una precedente stabilizzazione dello strumento in una situazione di equilibrio in cui il momento torcente dovuto alla forza gravitazionale è equilibrato dal momento torcente del filo. Possiamo esprimere questa situazione di equilibrio come: 2τ = 2Fd = 2dGmM/a 2 = kφ dove il fattore 2 nasce dal fatto che i momenti relativi ad ognuna delle due masse m si sommano. Dopo lo spostamento delle masse M, il sistema si mette in moto. Possiamo descrivere questo andamento attraverso la seconda equazione cardinale del moto τ = I α, considerando per il momento 2

3 solo le forze che producono il moto uniformemente accelerato descritto sperimentalmente dalla parabola. La bilancia parte da una situazione in cui la forza attrattiva della massa M è equilibrata dalla reazione del filo. Spostando le masse M, la reazione non è più equilibrata ed anzi si somma all azione attrattiva delle masse M poste ora, rispetto a prima, dal lato opposto delle masse m. l equazione del moto può quindi essere scritta come: 2Fd + kφ = I 0 (d 2 φ / d t 2 ) cioè, sostituendo il valore di kφ ricavato dall espressione all equilibrio, 4Fd = I 0 a 0 /2L dove a 0 è l accelerazione ricavata sperimentalmente dal fit della parabola, I 0 = 2md 2 è il momento di inerzia rispetto all asse perpendicolare all asta e passante per il filo ed F = GmM / a 2. Si ottiene, con alcune sostituzioni, considerando a in prima approssimazione costante G = a 2 a 0 d / 4LM Essendo a conoscenza di tutti i termini che compaiono nell espressione, si può calcolare il valore di G. Il metodo dell oscillazione è maggiormente accurato in quanto prende in considerazione gli aspetti precedentemente trascurati. In questo caso si ha: I 0 (d 2 φ / d t 2 ) = - kϕ - β(δϕ/dt ) + 2Fd dove, al secondo membro, il primo termine, kϕ,esprime il momento di richiamo elastico, il secondo, - β(δϕ/dt ), il momento associato alla forza di attrito viscoso, l ultimo termine, 2Fd, il momento relativo all interazione gravitazionale. La soluzione dell equazione differenziale ( in appendice, alcuni cenni sulla soluzione) è ϕ(t) = Ae -σt cos (ω t + ψ) + 2Fd/ k dove σ = β /2I 0, (ω ) 2 = ω 2 σ 2, con ω 2 = k/ι 0. ω e ψ sono rispettivamente la pulsazione e la fase iniziale del moto armonico. Al trascorrere del tempo, la funzione tende alla posizione di equilibrio ϕ eq = 2Fd / k. k, costante elastica del filo, è determinabile attraverso i dati; infatti, considerando il solo moto armonico, la pulsazione ω è data da (k/i 0 ) 1/2 ed il periodo da T = 2π(I 0 /k) 1/2. T si determina come media dei primi periodi e permette di calcolare k. Ricordando che il valore ϕ eq è pari a S eq /2L e che S eq si definisce come S eq = (S m S 0 )/2, (ricordiamo che la bilancia non era inizialmente scarica) dove S 0 è la posizione iniziale dello spot luminoso e S m è la media di alcuni valori massimi e minimi raggiunti dalla funzione, per sostituzione si ottiene: G = 2π 2 ds eq r 2 / LMT 2 che permette di calcolare il valore di G. Nel determinare G non si è considerata l attrazione su m della massa M più distante. In realtà su ogni massa m agirà anche una forza F * = G mm/(a 2 + 4d 2 ). 3

4 Questa forza va scomposta secondo due componenti, una parallela all asta (che non influisce perché annullata dal vincolo) e l altra perpendicolare all asta. Questa componente della forza esercitata su m dalla massa M più lontana si oppone, come verso, alla forza esercitata su m dalla massa M più vicina. La forza complessivamente applicata alla massa m diventa quindi F = F F * e la posizione di equilibrio viene modificata diventando: kϕ eq = 2Fd 2 ( F* sin β )d, dove F* è la forza agente lungo la congiungente la massa m con la massa M più lontana. Il valore di ϕ eq misurato in realtà risente anche della forza applicata dalla massa lontana, anche se, in una prima valutazione, era stato collegato alla sola azione della massa M vicina. Questo ha provocato una sottostima del valore della forza e, quindi, di G. Nel momento in cui lo stesso valore di ϕ eq viene associato alla vera espressione della forza, che è più piccola di quella valutata prima erroneamente, la valutazione di G risulta aumentata del fattore correttivo (1 - γ ) Si ottiene per G la soluzione: G(1 - γ ) = k ϕ eq r 2 / 2mMd. con γ = a 3 / ( a 2 + 4d 2 ) 3/2. Indicando con G 0 = k ϕ eq a 2 / 2Mmd il valore determinato precedentemente si ottiene il valore corretto G: G = G 0 / 1- γ. Il valore di G risulta quindi maggiore del valore G 0 ricavabile dai dati con le approssimazioni fatte inizialmente, come ci si poteva aspettare essendo F in modulo inferiore ad F. Appendice Consideriamo l equazione incompleta I 0 (d 2 φ / d t 2 ) + β(δϕ/dt ) + kϕ = 0 ed applichiamo una sostituzione del tipo ϕ = e at Il tipo di soluzione dell equazione differenziale dipende dal fatto che (β 2 4kI 0 ) sia maggiore, uguale o minore di 0. Visto il significato fisico delle grandezze da confrontare possiamo supporre di trovarci nel III caso, che comporta due soluzioni complesse e coniugate, la cui combinazione lineare darà la soluzione dell equazione differenziale. Possiamo raccogliere la parte reale, che da origine al termine e -σt con σ = β /2I 0, mentre la parte immaginaria può essere scritta attraverso le funzioni trigonometriche sen ω e cos ω, con (ω ) 2 = ω 2 σ 2, essendo ω 2 = k/ι 0 oppure come cos (ω t + ψ) dove ψ, assieme ad Α, va determinata attraverso le condizioni iniziali. La soluzione risulta quindi essere un moto armonico smorzato. I punti di massima deviazione stanno rispettivamente sulla curva di equazione A e -σt e (-A e -σt ) e l attenuazione è tanto maggiore quanto maggiore è β. Il logaritmo di due deviazioni massime successive nello stesso senso prende il nome di decremento logaritmico ed è pari a T(β/2I 0 ), essendo T il periodo del moto armonico. 4

5 Soluzione dell equazione differenziale nel caso (β 2 4kI 0 ) < 0 (oscillazioni smorzate) e nel caso particolare β = 0 (oscillazione non smorzata).(attenzione: nella figura β = µ) Soluzione dell equazione differenziale per (β 2 4kI 0 ) > 0 (caso (1)) e per (β 2 4kI 0 ) = 0 (caso (2)) 5