PROGRAMMA di MATEMATICA SVOLTO. Docente: prof. Giordani. classe 3 O. Anno Scolastico 2017/2018 PROGRAMMA. 1) GEOMETRIA ANALITICA volume 3A

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1 PROGRAMMA di MATEMATICA SVOLTO Docente: prof. Giordani Classe 3 O Anno Scolastico 2017/2018 PROGRAMMA 1) GEOMETRIA ANALITICA volume 3A CAPITOLO 1 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Ripasso di disequazioni fratte, disequazioni di 2 grado e superiore con scomposizione in fattori, sistemi di disequazioni. Ripasso delle equazioni e delle disequazioni con valori assoluti; ripasso delle equazioni e delle disequazioni irrazionali. CAPITOLO 2 LE FUNZIONI Definizione di funzione, classificazione delle funzioni, forma esplicita ed implicita dell'equazione, grafico di una funzione. Funzioni definite a tratti e loro grafico. Dominio e codominio, zeri di una funzione, segno di una funzione. Utilizzo delle disequazioni per il calcolo del dominio di una funzione e per lo studio del segno di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive; funzioni crescenti e decrescenti; funzioni pari e dispari; funzioni periodiche. La funzione inversa: equazione e grafico; le funzioni composte. Le trasformazioni geometriche e i grafici: traslazioni, simmetrie, valori assoluti; grafico del quadrato di una funzione di cui si conosce il grafico; grafico della radice quadrata di una funzione di cui si conosce il grafico. CAPITOLO 4 LA RETTA Ripasso: le coordinate di un punto su un piano, distanza fra due punti, coordinate del punto medio di un segmento, coordinate del baricentro di un triangolo; l'equazione di una retta, condizione di allineamento di tre punti, retta passante per due punti, forma esplicita ed implicita dell'equazione di una retta, coefficiente angolare note le coordinate di due punti, l'equazione di una retta passante per un punto e di coefficiente angolare noto, equazioni delle bisettrici dei quadranti; le rette parallele e le rette perpendicolari, posizione reciproca di due rette, la distanza di un punto da una retta. Luoghi geometrici, l'equazione dell'asse di un segmento, le equazioni delle bisettrici di un angolo. I fasci di rette: il fascio proprio ed il fascio improprio. Fasci generati dalla combinazione lineare delle equazioni di due rette: fasci propri ed impropri; la retta esclusa; lo studio di un fascio di rette. Grafici di funzioni lineari definite a tratti o tramite valori assoluti; dal grafico alla funzione. CAPITOLO 6 LA CIRCONFERENZA La circonferenza come luogo geometrico, l'equazione della circonferenza dato il centro ed il raggio, l'equazione normale di una circonferenza: formule delle coordinate del centro e formula del raggio; dall'equazione al grafico e viceversa. Posizioni reciproche retta-circonferenza, i loro punti di intersezione, rette tangenti ad una circonferenza: 1 metodo DELTA=0; 2 metodo distanza retta-centro uguale al raggio; 3 metodo retta tangente in P come perpendicolare al raggio PC. Determinare l'equazione di una circonferenza. La posizione di due circonferenze, i fasci di circonferenze: circonferenze generatrici, circonferenza esclusa, asse radicale, asse centrale, punti base, circonferenze degeneri; determinare particolari fasci di circonferenze, lo studio di un fascio di circonferenze. classe 3 O PAG.1/3

2 CAPITOLO 5 LA PARABOLA La parabola come luogo geometrico: fuoco, direttrice, asse, vertice; equazioni delle parabole con asse di simmetria parallelo all'asse y e all'asse x: coordinate di vertice e fuoco, concavità ed apertura della parabola, equazioni dell'asse di simmetria e della direttrice; dall'equazione al grafico. La posizione di una retta rispetto a una parabola; le rette tangenti ad una parabola. Come determinare l'equazione di una parabola. I grafici che contengono archi di parabola: rappresentazione di funzioni definite a tratti o con valori assoluti; dal grafico all'equazione. La rappresentazione nel piano cartesiano di funzioni irrazionali; la risoluzione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali. Risoluzione parallela di equazioni e disequazioni irrazionali con il metodo algebrico e con il metodo grafico. I fasci di parabole: generatrici, punti base, parabole degeneri, lo studio di un fascio di parabole, come trovare l'equazione di un fascio di parabole. CAPITOLO 7 L'ELLISSE L'ellisse come luogo geometrico; l'equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse x o sull'asse y: le simmetrie, i vertici, gli assi, il grafico dell'ellisse, le coordinate dei fuochi, l'eccentricità. Le posizioni di una retta rispetto ad un'ellisse; le equazioni delle rette tangenti ad un'ellisse; la formula di sdoppiamento. Come determinare l'equazione di un'ellisse. L'ellisse traslata; il metodo del completamento del quadrato. Rappresentazione di funzioni irrazionali con archi di ellisse; risoluzione di equazioni e disequazioni irrazionali per via grafica. CAPITOLO 8 e 9 L'IPERBOLE L'iperbole come luogo geometrico; l'equazione dell'iperbole con i fuochi appartenenti all'asse x e all'asse y: le simmetrie, i vertici reali e non, l'asse trasverso e l'asse non trasverso, gli asintoti e le loro equazioni, il grafico, le coordinate dei fuochi, l'eccentricità. Le posizioni di una retta rispetto ad un'iperbole; le equazioni delle rette tangenti ad un'iperbole; la formula di sdoppiamento. Come determinare l'equazione di un'iperbole. L'iperbole traslata: coordinate dei fuochi ed equazioni degli asintoti; il metodo del completamento del quadrato. L'iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria; l'iperbole equilatera riferita agli asintoti: equazione, grafico, asintoti, coordinate del fuoco, eccentricità; la funzione omografica: centro dell'iperbole e suo grafico. Rappresentazione di funzioni irrazionali con archi di iperbole; risoluzione di equazioni e disequazioni irrazionali per via grafica. 2) GONIOMETRIA volume 3B CAPITOLO 12 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE La misura degli angoli: dai gradi sessagesimali ai gradi sessadecimali e viceversa; le operazioni fra angoli espressi in gradi; la misura in radianti; dai gradi sessagesimali ai radianti e viceversa; gli angoli orientati. Le funzioni seno e coseno, le loro caratteristiche, loro dominio e codominio, il loro periodo, le loro variazioni e i loro grafici, la prima relazione fondamentale della goniometria. Le funzioni tangente e cotangente: la loro definizione, la seconda definizione geometrica, dominio e codominio, il loro periodo, il loro segno, le loro variazioni e la costruzione dei loro grafici, gli asintoti verticali. Il significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta. classe 3 O PAG.2/3

3 Le funzioni goniometriche di angoli particolari (30, 45, 60 ). Le funzioni secante e cosecante. Le funzioni goniometriche di angoli associati: angoli opposti, angoli complementari, angoli supplementari. Le funzioni goniometriche inverse: definizione di arcseno, di arccoseno, di arctangente, di arccotangente, il loro dominio e il loro codominio. Verifica di identità goniometriche. Le funzioni goniometriche e le trasformazioni geometriche: traslazioni verticali ed orizzontali, simmetrie, valore assoluto, dilatazioni e contrazioni verticali ed orizzontali, le funzioni sinusoidali: ampiezza, fase, pulsazione e costruzione del grafico trasformato. CAPITOLO 13 LE FORMULE GONIOMETRICHE Le formule di addizione e sottrazione per il seno ed il coseno con dimostrazione. Le formule di duplicazione per il seno ed il coseno con dimostrazione; le formule di bisezione per il seno ed il coseno con dimostrazione; cenni alle formule parametriche, alle formule di prostaferesi e alle formule di Werner. Verifica di identità, semplificazione di espressioni, risoluzione di problemi. CAPITOLO 14 LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Le identità goniometriche; le equazioni goniometriche elementari, equazioni riconducibili ad equazioni elementari; le equazioni risolte con l'utilizzo delle formule goniometriche. Disequazioni goniometriche elementari e non elementari, disequazioni fratte o sotto forma di prodotto. CAPITOLO 15 LA TRIGONOMETRIA I teoremi sui triangoli rettangoli: loro dimostrazioni e risoluzione di problemi. L'area di un triangolo qualsiasi in funzione del seno dell'angolo compreso tra due lati con dimostrazione. Il teorema della corda con dimostrazione; il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo. Il teorema dei seni con dimostrazione; il teorema del coseno con dimostrazione. Risoluzione esatta ( tramite l'utilizzo degli angoli associati e la considerazione che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180 ) dei triangoli qualsiasi attraverso il teorema del coseno ed il teorema dei seni: noti due angoli e un lato; noti due lati e l'angolo compreso; noti due lati e l'angolo opposto; noti tre lati. Risoluzione di problemi. Utilizzo della calcolatrice scientifica: funzioni goniometriche, loro inverse, impostazione in DEG ed in RAD. Nell'arco dell'anno si sono utilizzati strumenti informatici e il software geogebra per visualizzare quello che l'allievo stava studiando. Siena, 8 giugno 2018 La docente: prof. Giordani classe 3 O PAG.3/3

4 PROGRAMMA di MATEMATICA SVOLTO Docente: prof. Giordani Classe 4 S Anno Scolastico 2017/2018 PROGRAMMA VOLUME 4 A CAPITOLO 10 ESPONENZIALI Potenze ad esponente reale: definizione e proprietà. La funzione esponenziale: dominio, codominio, monotonia, caratteristiche, grafico per base >1, grafico per 0<base<1; trasformazioni geometriche del grafico, dominio di funzioni contenenti funzioni esponenziali. Le equazioni esponenziali; le disequazioni esponenziali; sistemi con disequazioni esponenziali. CAPITOLO 11 LOGARITMI Logaritmi: definizione, base 10, base e; proprietà dei logaritmi con dimostrazione, la formula del cambiamento di base. La funzione logaritmica: dominio, codominio, monotonia, caratteristiche, grafico per base >1, grafico per 0<base<1; trasformazioni geometriche del grafico, dominio di funzioni contenenti funzioni logaritmiche. Le equazioni logaritmiche; le disequazioni logaritmiche; sistemi con disequazioni logaritmiche; le equazioni e le disequazioni esponenziali risolubili con i logaritmi. La risoluzione grafica di equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Modelli di crescita esponenziale; risoluzione di problemi con funzioni esponenziali/logaritmiche; problemi con modelli di decrescita esponenziale. CAPITOLO ALFA 1 IL CALCOLO COMBINATORIO Ripasso di calcolo combinatorio: principio fondamentale del calcolo combinatorio, disposizioni semplici, permutazioni semplici, combinazioni semplici, il fattoriale. Disposizioni con ripetizione, permutazioni con ripetizione, combinazioni con ripetizione, coefficienti binomiali, binomio di Newton. CAPITOLO ALFA 2 IL CALCOLO DELLE PROBABILITA' Ripasso della definizione classica di probabilità; strumenti per i conteggi: grafici ad albero e tabelle a doppia entrata; definizione statistica e soggettiva di probabilità; impostazione assiomatica della probabilità. Eventi compatibili ed incompatibili; lemma e teorema della somma logica di eventi compatibili; la probabilità della somma logica di eventi; probabilità condizionata; eventi dipendenti ed indipendenti; probabilità del prodotto logico di eventi. Problema delle prove ripetute. Formula di disintegrazione e teorema di Bayes. CAPITOLO 19 GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO Posizioni reciproche retta-retta, retta-piano, piano-piano; definizione di retta perpendicolare ad un piano, proiezione ortogonale di un punto/retta su un piano; distanza punto-piano; distanza fra retta e piano paralleli, distanza tra due rette sghembe, teorema di Talete nello spazio. Diedro e sua ampiezza; piani perpendicolari; angolo tra retta incidente e piano. Poliedro e suoi elementi, prisma, prisma retto, l'angoloide e la somma degli angoli delle sue facce; piramide, piramide retta e sua apotema, piramide regolare, tronco di piramide; i poliedri regolari. Solidi di rotazione; le parti della superficie di una sfera; le parti di una sfera. Aree di solidi e risoluzione di problemi geometria solida. Il volume di un solido; il principio di Cavalieri; il teorema di equivalenza di prismi con dimostrazione; il teorema di equivalenza piamide-prisma con dimostrazione; l'anticlessidra. Volumi di solidi e risoluzione di problemi di geometria solida. classe 4 S PAG.1/3

5 VOLUME 4 B CAPITOLO 20 LA GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO Le coordinate cartesiane di un punto nello spazio; formula della distanza tra due punti; coordinate del punto medio di un segmento. I vettori nello spazio: i versori, le componenti cartesiane di un vettore, la somma tra vettori, il prodotto di uno scalare e di un vettore, il prodotto scalare tra due vettori; condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra vettori. Equazione di un piano, giacitura di un piano, equazioni dei piani coordinati e dei piani ad essi paralleli; equazioni degli assi coordinati; condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra piani; la distanza di un punto da un piano. La retta: il vettore direzione di una retta, le equazioni parametriche, le equazioni cartesiane e la retta scritta come intersezione tra due piani; modi per passare da una forma ad un'altra. Retta passante per due punti, condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra rette; condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra retta e piano. Superficie sferica e sfera: equazione/disequazione in funzione delle coordinate del centro e del raggio; equazione con i parametri a, b, c, d: formule delle coordinate del centro e formula del raggio; piano tangente ad un punto di una sfera. CAPITOLO 21 LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETA' Definizione di funzione, classificazione delle funzioni, forma esplicita ed implicita dell'equazione, grafico di una funzione. Funzioni definite a tratti e loro grafico. Dominio e codominio, zeri di una funzione, segno di una funzione. Utilizzo delle disequazioni per il calcolo del dominio di una funzione e per lo studio del segno di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive; funzioni crescenti, decrescenti e monotone; funzioni pari e dispari; funzioni periodiche. La funzione inversa: equazione e grafico; le funzioni composte. Le trasformazioni geometriche e i grafici: traslazione, simmetrie, valori assoluti; dilatazioni e contrazioni; funzione y=f(x)^2, funzione radice quadrata, funzione reciproca. CAPITOLO 22 I LIMITI DELLE FUNZIONI La topologia della retta: intorno completo di un punto, intorno destro e intorno sinistro; gli intorni di infinito. Gli insiemi numerici limitati ed illimitati; i punti isolati e i punti di accumulazione di un insieme numerico. Definizione di limite con gli intorni, limite destro e limite sinistro. Definizione e semplici verifiche di limite per l=numero ed x0=numero, interpretazione dei grafici; approfondimento sulle disequazioni e il passaggio ai reciproci. Funzione continua in un punto; funzioni continue nel proprio dominio; verifica della continuità della funzione in un punto. Definizione e semplici verifiche di limite per l=infinito ed x0=numero, asintoto verticale; interpretazione dei grafici. Limite con x0=infinito ed l=numero: definizione e semplici verifiche, asintoto orizzontale e interpretazione del grafico. Limite con x0=infinito ed l=infinito: definizione e semplici verifiche, interpretazione del grafico. Rappresentazione grafica, cartacea e digitale, di funzioni anche ottenute da trasformazioni geometriche di funzioni elementari e deduzione di limiti; lettura di un grafico, verifica della presenza di asintoti; verifica della continuità di una funzione in un punto x0. Teoremi sui limiti: teorema di unicità del limite, teorema di permanenza del segno, teorema del confronto con dimostrazione. CAPITOLO 23 CALCOLO DEI LIMITI E CONTINUITA' DELLE FUNZIONI Calcolo di limiti per funzioni continue; utilizzo del teorema del confronto per il calcolo di limiti; teoremi sui limiti delle operazioni tra funzioni e loro uso nel calcolo di limiti; deduzioni di limiti dai grafici di funzioni elementari. La forme indeterminata +infinito-infinito: limite di una funzione polinomiale; la forma indeterminata 0*infinito: ripasso di elementi di goniometria; la forma indeterminata 0/0: ripasso della scomposizione di un polinomio con Ruffini ; la forma indeterminata infinito/infinito: limite di una funzione razionale fratta ; altre forme indeterminate: 0^0, infinito^0, 1^infinito. Calcolo di limiti che presentano forme indeterminate. I limiti notevoli: limiti di funzioni goniometriche; limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche. classe 4 S PAG.2/3

6 Lettura di un grafico per rilevare le caratteristiche di una funzione. La ricerca degli asintoti orizzontali e verticali di una funzione. Studio di una funzione e grafico probabile: funzioni polinomiali, funzioni razionali fratte, funzioni irrazionali, funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche. Funzioni continue: verifica della continuità di una funzione in un punto. I punti di discontinuità di una funzione e la loro classificazione. I teoremi sulle funzioni continue: il teorema di Weierstrass, il teorema dei valori intermedi, il teorema di esistenza degli zeri; esercizi sulla verifica delle ipotesi dei teoremi. Nell'arco dell'anno si sono utilizzati strumenti informatici e il software geogebra per visualizzare quello che l'allievo stava studiando. Siena, 8 giugno 2018 La docente: prof. Giordani classe 4 S PAG.3/3