UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE L ACQUA NEL TERRENO. Corso di aggiornamento in Geotecnica 28 aprile 2006 (Bologna)

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1 L ACQUA NEL TERRENO Corso di aggiornamento in Geotecnica 28 aprile 2006 (Bologna) Dott. Ing. Johann Facciorusso DIREZIONE GENERALE AMBIENTE E DIFESA DEL SUOLO E DELLA COSTA Servizio Gelogico, Sismico e dei Suoli

2 INDICE Indice INTRODUZIONE (superficie piezometrica, tipi di falda e regimi di flusso,..) PRINCIPI GENERALI (teorema di Bernoulli, legge di Darcy, gradiente idraulico,..) MISURA DELLA PERMEABILITÀ (formule empiriche, misure in sito e in laboratorio) EQUAZIONE GENERALE DEL FLUSSO (equazione di Laplace, soluzioni grafiche e numeriche, software,..) ESEMPI (applicazioni) 2/146

3 1.Introduzione Nell affrontare la maggior parte dei problemi dell Ingegneria Geotecnica non si può prescindere dalla presenza dell acqua nel terreno. La presenza dell acqua modifica le proprietà fisiche (peso di volume) e le caratteristiche meccaniche (principio delle tensioni efficaci) del terreno, sopra e sotto falda (in condizioni di quiete) incrementa le condizioni di instabilità in presenza di pendii ed opere di sostegno (in condizioni di moto, filtrazione) 3/146

4 1.Introduzione Def. Si ha filtrazione quando l acqua si muove all interno del terreno da punti a cui compete energia maggiore verso punti a cui corrisponde energia inferiore. La filtrazione dell acqua nei terreni pone vari problemi di ordine ingegneristico, che possono causare il collasso o compromettere la funzionalità di manufatti per effetto di : fenomeni di erosione d alveo in prossimità delle spalle dei ponti fenomeni di instabilità ed erosione in corrispondenza di dighe in terra fenomeni di instabilità in corrispondenza di argini fluviali fenomeni di sifonamento in prossimità di diaframmi e palancole fenomeni di sollevamento del fondo scavo in corrispondenza di scavi fenomeni di ribaltamento o sollevamento di opere di sostegno per effetto della spinta e della sottospinta idraulica 4/146

5 Filtrazione attraverso una diga in terra 1.Introduzione Erosione alle spalle di un ponte Spinta idraulica agente su un muro a gravità Sifonamento 5/146

6 2.Principi generali In un deposito di terreno, si possono distinguere, al variare della profondità, zone a differente grado di saturazione e in cui l acqua presente nei vuoti si trova in condizioni diverse. Zona di evapotraspirazione Zona vadosa Zona di falda Zona parzialmente satura (Sr decrescente ) Zona completamente satura (Sr 100 % ) Zona di ritenzione Frangia capillare Falda u > 0 u < 0 Acqua di falda Acqua sospesa 6/146

7 Infiltrazione TIPI DI FALDA 2.Principi generali Livello piezometrico Falda sospesa Falda freatica Terreno con permeabilità molto bassa Acquifero confinato (falda artesiana) Roccia 7/146

8 2.Principi generali I moti di filtrazione di un fluido avvengono sempre tra un punto a cui compete energia maggiore ad un punto ad energia minore. In ciascun punto, l energia, espressa in termini di carico, o altezza (energia per unità di peso del liquido) è data dalla somma di tre termini: CARICO EFFETTIVO o TOTALE H u z + γ w 2 v + 2g altezza geometrica, z altezza di pressione, u/γ w altezza di velocità, v 2 /2g carico totale per fluido ideale u 1 γ w z 1 A 1 A L h 2 u 2 γ w z 2 Piano di riferimento (z 0) 8/146

9 2.Principi generali h H z z u + γ u + γ w 2 v + 2g CARICO PIEZOMETRICO h + w 2 2 v g Nei terreni, v è bassa (al massimo 1-2 cm/s) H hp + z i h L GRADIENTE IDRAULICO 9/146

10 2.Principi generali LEGGE DI DARCY Q A v k h L k i v velocità apparente di filtrazione k coefficiente di permeabilità h vx kx kx ix x r r h v k h vy k y k y iy Caso bi-tridimensionale y N.B. La legge di Darcy vale solo per moto laminare (non si può applicare a terreni con grandissima permeabilità (ghiaie e ciottoli) nei quali si può avere moto turbolento v z k z h z k z i z Anisotropia 10/146

11 LEGGE DI DARCY 2.Principi generali Q v A v r A v v r velocità reale di filtrazione v v r A A v n A v A v nv r < v r * L < L r L L r * Specie per terreni a grana grossa (n 20 40%) 11/146

12 COEFFICIENTE DI PERMEABILITÀ 2.Principi generali Il coefficiente di permeabilità, k, ha le dimensioni di una velocità. Esso rappresenta la resistenza viscosa e frizionale alla filtrazione di un fluido in un mezzo poroso. Tale coefficiente dipende: dalle proprietà del fluido (densità, ρ e viscosità, µ) ρ g dalle caratteristiche del mezzo poroso k k p (permeabilità intrinseca, k µ p ). TIPO DI TERRENO k (m/s) Ghiaia pulita Sabbia pulita, sabbia e ghiaia Sabbia molto fine Limo e sabbia argillosa Limo Argilla omogenea sotto falda < 10-9 Argilla sovraconsolidata fessurata Roccia non fessurata /146

13 2.Principi generali Per i terreni a grana grossa la permeabilità dipende dalla: granulometria (contenuto di fine) indice dei vuoti stato di addensamento (densità relativa) Per i terreni a grana fine la permeabilità dipende dalla: composizione mineralogica struttura La permeabilità cresce al crescere del grado di saturazione (sebbene non si possa stabilire una relazione univoca tra le due grandezze) A grande scala la permeabilità di un terreno dipende anche dalle caratteristiche macrostrutturali di un terreno (discontinuità, fessurazioni) 13/146

14 a) q UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE H H 2.Principi generali PERMEABILITÀ DI TERRENI STRATIFICATI Per terreni stratificati, il valore medio del coefficiente di permeabilità è fortemente condizionato dalla direzione del moto di filtrazione k H FILTRAZIONE IN PARALLELO v i k h1, H 1 q 1 k h2, H 2 q 2 k n, H n q i H i v q i H i H i k q n hi H Il gradiente idraulico i è lo stesso per tutti gli strati. Applicando la legge di Darcy: v i k Hi i i q i v i H i i La portata di filtrazione totale è: Q Σq i v H dove la velocità media è v k H i e k H è il coefficiente di permeabilità medio orizzontale H i (k H influenzato dallo strato più permeabile) 14/146

15 2.Principi generali FILTRAZIONE IN SERIE q La portata ( e quindi la velocità) di filtrazione è la stessa per tutti gli strati. Applicando la legge di Darcy: H k v1, kh v1 1, H 1 k v2, kh v2 2, H 2 k vn, kh v n, H n k V q H H k i vi v k v1 i 1 k v2 i k vn i n v k V i m k V (h/h) dove k V è il coefficiente di permeabilità medio verticale, i m il gradiente idraulico medio e h la perdita di carico totale, che è pari a:. h hi Hi ii Hi v k vi v (k v influenzato dallo strato meno permeabile) OSS. A causa dell orientamento dei grani nella fase di deposizione, k H, risulta generalmente maggiore, anche di un ordine di grandezza, di k V. k H vi i 15/146

16 Determinazione mediante correlazioni empiriche Valgono per terreni a grana grossa. k C (D 10 ) 2 3.Misura della permeabilità DETERMINAZIONE DELLA PERMEABILITÀ FORMULA DI HAZEN (sabbie sciolte uniformi) con k [cm/s], D 10 [cm], C (sabbie sciolte uniformi) 16/146

17 3.Misura della permeabilità La misura sperimentale della permeabilità di un terreno può essere invece effettuata sia in laboratorio che in sito. per i terreni naturali le misure in sito risultano generalmente più significative e quindi preferibili (essendo la permeabilità fortemente influenzata anche dai caratteri macrostrutturali); mentre per i terreni utilizzati come materiale da costruzione sono significative anche le prove di laboratorio k (m/s) GRADO DI PERMEABILITÀ alto medio basso DRENAGGIO buono povero TIPO DI TERRENO MISURA DIRETTA DI K STIMA INDIRETTA DI K ghiaia pulita sabbia pulita e miscele di sabbia e ghiaia pulita sabbia fine, limi organici e inorganici, miscele di sabbia, limo e argilla, depositi di argilla stratificati terreni impermeabili modificati dagli effetti della vegetazione e del tempo Prova in foro di sondaggio (misura locale; delicata esecuzione) Prova di pompaggio (delicata esecuzione; significativa) Permeametro a carico costante (facile esecuzione) Facile esecuzione significativa Determinazione dalla curva granulometrica (solo per sabbie e ghiaie pulite) molto basso impermeabile praticamente impermeabile terreni impermeabili argille omogenee sotto la zona alterata dagli agenti atmosferici Permeametro a carico variabile delicata esecuzione: non significativa delicata esecuzione: molto poco significativa Piezometro Pressiometro Piezocono (misura locale; delicata esecuzione) Determinazione dai risultati della prova edometrica 17/146

18 3.Misura della permeabilità Determinazione sperimentale in laboratorio Per la misura del coefficiente di permeabilità in laboratorio vengono generalmente usati tre metodi: il permeametro a carico costante, per k > 10-5 m/s il permeametro a carico variabile, per 10-8 < k < 10-5 m/s i risultati della prova edometrica, per k < 10-8 m/s 18/146

19 3.Misura della permeabilità Permeametro a carico costante C k i A t k h L (Legge di Darcy) A t L A h k C L h A t C 19/146

20 3.Misura della permeabilità Permeametro a carico variabile k h L A dt a dh (Legge di Darcy) h 0 h 1 a h h o 1 1 h dh k A L t 1 t o dt (Integrando) L A a ho A a ln k ( t1 h L 1 t o ) k a L A ln h o 2.3 a L log 10 ( t1 to ) h1 A ( t1 to ) h1 h o 20/146

21 3.Misura della permeabilità Determinazione sperimentale in sito Per la misura del coefficiente di permeabilità in sito si può ricorrere ai seguenti tipi di prova: prove in pozzetto superficiale prove in foro di sondaggio prove di emungimento 21/146

22 3.Misura della permeabilità Prove in pozzetto superficiale La prova si esegue in modalità: a carico costante (viene immessa una certa portata, q, per mantenere costante il livello dell acqua nel pozzetto) a carico variabile (viene registrato l abbassamento (h 1 h 2 ) del livello dell acqua nel pozzetto in un certo intervallo di tempo (t 2 -t 1 ) ) Pozzetto circolare Carico costante q k d h m 1 π k Carico variabile d h h 32 t t h m Pozzetto a base quadrata (d) o circolare (b) h > d/4 m Pozzetto quadrato k q 2 b 1 h 27 b m + 3 k h t 1 2 h t 2 1 hm 1+ 2 b hm b H > 7 h m d > diametro massimo dei granuli 22/146

23 3.Misura della permeabilità Vantaggi e svantaggi prove speditive e di facile esecuzione forniscono misure del coefficiente di permeabilità limitate agli strati più superficiali si eseguono in genere su terreni che costituiscono opere di terra durante la loro costruzione sono preferibili per terreni aventi permeabilità maggiori di 10-6 m/s, e posti sopra falda 23/146

24 3.Misura della permeabilità Prove in foro di sondaggio - Prove a carico costante - Prove a carico variabile Prove di immissione (sopra o sotto falda) Prove di emungimento (solo sotto falda) Prove di abbassamento (sopra o sotto falda) Prove di risalita (solo sotto falda) 24/146

25 3.Misura della permeabilità a) b) a) b) Q Rivestimento esterno Tubazione interna Q a) SENZA FILTRO b) CON FILTRO h h 2 h 1 Tubo di rivestimento h h 2 h 1 Caratteristiche del filtro: F 60 /F 10 2 Tampone impermeabile 4D 15 F 15 4D 85 Terreno Filtro L L D D Filtro 25/146

26 3.Misura della permeabilità Prova a carico costante Viene misurata, a regime, la portata, emunta o immessa, Q [m 3 /s], necessaria a mantenere costante il livello dell acqua nel foro, h [m], misurato rispetto alla base del foro se la prova è eseguita sopra falda, oppure rispetto al livello di falda se la prova è eseguita sotto falda. k Q F h [m/s] dove F [m] un fattore di forma, dipendente dalla forma e dalla geometria della sezione filtrante 26/146

27 3.Misura della permeabilità Prova a carico variabile Vengono effettuate prelevando acqua dal foro in modo da abbassarne il livello di una quantità nota e misurando la velocità di risalita (prove di risalita) oppure immettendo acqua nel foro in modo da alzarne il livello di una quantità nota e misurando la velocità di abbassamento (prove di abbassamento). Il coefficiente di permeabilità viene ricavato mediante la seguente relazione: k 1 ln [m/s] F A h ( t 2 t1) h 2 dove F [m] un fattore di forma, dipendente dalla forma e dalla geometria della sezione filtrante, A [m 2 ], h 1 e h 2 [m], rappresentano il livello dell acqua nel foro agli istanti t 1 e t 2, misurati rispetto alla base del foro se la prova è eseguita sopra falda, oppure rispetto al livello di falda se la prova è eseguita sotto falda. 27/146

28 3.Misura della permeabilità Osservazioni 1. Il valore del coefficiente di permeabilità misurato durante le prove di abbassamento è in genere inferiore al valore misurato, per lo stesso terreno, durante le prove di risalita. 2. Una stima più attendibile del valore del coefficiente di permeabilità può essere eseguita determinando la media geometrica dei valori ricavati con prove di risalita (k r ) e di abbassamento (k a ), ovvero: k k r k a 3. In un deposito stratificato il coefficiente di permeabilità verticale, k V, risulta in genere differente dal coefficiente di permeabilità orizzontale, k H. Per il valore misurato durante una prova in foro di sondaggio,k, con una sezione filtrante di lunghezza L e diametro D, si assume: k k V (per L/D tendente a 0, caso limite sezione piana L 0) k k H (per L/D 1.2) k k k k medio H V (per 0 L/D 1.2) 28/146

29 3.Misura della permeabilità Vantaggi e svantaggi Possono essere eseguite a varie profondità durante la perforazione Forniscono generalmente un valore puntuale della permeabilità Le pareti del foro devono essere rivestite con una tubazione fino alla profondità a cui si vuole effettuare la misura di permeabilità Nei terreni che tendono a franare il tratto di prova viene riempito di materiale filtrante e isolato mediante un tampone impermeabile 29/146

30 3.Misura della permeabilità Prove di pompaggio Le prove di pompaggio vengono eseguite in terreni con permeabilità medio-alta, al di sotto del livello di falda. Consistono nell abbassare il livello della falda all interno di un pozzo, opportunamente realizzato, e nell osservare in corrispondenza di un certo numero di verticali, strumentate con piezometri, l abbassamento una volta raggiunto un regime di flusso stazionario. Le prove di emungimento vengono interpretate attraverso modelli matematici come problemi di flusso transitorio, tenendo presente che: nel caso di acquifero confinato (falda artesiana) le linee di flusso sono orizzontali e le superfici equipotenziali sono cilindri concentrici rispetto al pozzo; nel caso di acquifero non confinato (falda freatica) le linee di flusso (e le superfici equipotenziali) sono curve. 30/146

31 3.Misura della permeabilità Prove di pompaggio in acquiferi confinati D mm Q Pozzo Piezometri di controllo Cono di depressione s 1 s 2 Livello piezometrico iniziale h Tubo finestrato r 1 r2 h 1 h 2 k Q 2 π b r2 ln( ) r1 ( h h 2 1 ) Linee di flusso Pompa sommersa b Acquifero confinato Superfici equipotenziali 31/146

32 3.Misura della permeabilità Prove di pompaggio in acquiferi non confinati Q Pozzo Piezometri di controllo k r2 ln( ) Q r1 π 2 2 ( h h 2 1 ) s 1 s 2 h1 h2 Livello piezometrico iniziale h r 1 r 2 Acquifero non confinato Linee di flusso Pompa sommersa Superfici equipotenziali 32/146

33 3.Misura della permeabilità Vantaggi e svantaggi Sono prove in genere lunghe e costose La prova fornisce un valore medio del coefficiente di permeabilità dell acquifero Per una corretta interpretazione della prova è necessario conoscere la stratigrafia, l estensione dell acquifero e le condizioni iniziali della falda 33/146

34 4.Equazione generale del flusso In generale l acqua nel terreno può trovarsi in condizioni di quiete (regime idrostatico) o di moto (regime idrodinamico), sia allo stato naturale sia in seguito a perturbazioni del suo stato di equilibrio. In regime idrodinamico il flusso può essere stazionario (moto permanente) o non stazionario (moto vario), a seconda che i parametri del moto siano costanti o variabili nel tempo. Nel moto stazionario la quantità di acqua che entra in un elemento di terreno è pari alla quantità di acqua che esce dallo stesso elemento (filtrazione in regime permanente). Nel moto vario la quantità di acqua entrante in un elemento di terreno è diversa da quella uscente (filtrazione in regime vario). Il vettore che caratterizza il moto dell acqua può essere scomposto in una o più direzioni nello spazio, definendo condizioni di flusso mono-, bi-, o tridimensionali 34/146

35 4.Equazione generale del flusso EQUAZIONE GENERALE DEL FLUSSO IN UN MEZZO POROSO Si consideri un elemento infinitesimo di terreno di dimensioni dx dy dz attraversato da un flusso d acqua. z dy dx dz Ipotesi: y x i. Fluido e grani incomprimibili (γ w cost. nel tempo; γ s cost. nel tempo) ii. iii. iv. Validità della legge di Darcy Validità della equazione di continuità Terreno omogeneo (peso di volume,permeabilità costante nello spazio) 35/146

36 v r UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE velocità apparente di filtrazione 4.Equazione generale del flusso V x, V y, V z componenti della velocità nella direzione degli assi x, y e z q ex, q ey, q ez portata in peso d acqua entrante nell elemento nella direzione degli assi x, y e z q ux, q uy, q uz portata in peso d acqua uscente dall elemento nella direzione degli assi x, y e z q q ex ux γ γ w w v x v dy dz x v x + x dx dy dz q ex z y dy dx dz q ux x q e q ex +q ey +q ez portata in peso d acqua entrante nell elemento q u q ux +q uy +q uz portata in peso d acqua uscente dall elemento 36/146

37 Equazione di continuità ( q + q + q ) ( q + q + q ) ex γ w ey Peso specifico dell acqua vx x ez vy + y ux vz + z uy uz dx dy dz P t w P t w 4.Equazione generale del flusso la differenza tra la portata in peso d acqua entrante, q e, e quella uscente, q u, nell elemento di terreno sarà pari alla variazione v r del peso di acqua, P w, nell unità di tempo Legge di Darcy h h vx kx ; vy k y ; vz k x y k k x y k z Terreno omogeneo 0 ; 0; 0 x x x h h h Pw γw k x + k y + kz dx dy dz x y z t z h z 37/146

38 38/146 38/146 Direzione Generale Ambiente e Difesa del Suolo Direzione Generale Ambiente e Difesa del Suolo-Servizio Geologico, Sismico e dei Suoli Servizio Geologico, Sismico e dei Suoli Corso di aggiornamento Geotecnica 4.Equazione generale del flusso Fluidi e grani incomprimibili r s w r s s v w r v w v v w w w w w w w w S e V S V V V S V V V V V V V P P γ γ γ γ γ ( ) t S e V t P r s w w γ 0 t V t s γ w + γ t e S t S e V t P r r s w w Grado di saturazione Indice dei vuoti 1 s s s s v V V V V V V V e e dz dy dx e V V s dz dy dx t e S t S e e) (1 t P r r w w + + γ

39 4.Equazione generale del flusso Combinando le due equazioni ottenute precedentemente si ottiene l equazione generale del flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso: k x 2 h 2 x + k y 2 h 2 y + k z 2 h 1 Sr e 2 z 1+ e t + S r e t Tale equazione si semplifica ulteriormente nei seguenti casi: Filtrazione permanente e costante S r costante Consolidazione o rigonfiamento e variabile S r costante Drenaggio o imbibizione e costante S r variabile Deformabilità per non saturazione e variabile S r variabile e nei casi di: isotropia (k x k y k z k) h y Flusso monodirezionale ( ) o bidirezionale ( ) h z 0 h y 0 39/146

40 4.Equazione generale del flusso In particolare nel caso di filtrazione permanente, isotropia del terreno e moto bidirezionale (piano), l equazione si può scrivere, rappresentando l energia potenziale con Φ(x,z): Per risolvere tale equazione differenziale e quindi trovare come varia l energia potenziale o di corrente nello spazio, si può ricorrere a: soluzioni grafiche 2 Φ x 2 ( x, z) Φ( x, z) 2 soluzioni numeriche con metodi degli elementi finiti + z rappresentando l energia potenziale con Φ(x,z). 2 La stessa equazione può essere scritta oltre che in termini di funzione potenziale Φ Φ(x,z), anche per la funzione di corrente, Ψ Ψ(x,z), che è costante lungo le linee di flusso: 2 Ψ x 2 ( x, z) Ψ( x, z) 2 + z /146

41 SOLUZIONE GRAFICA 4.Equazione generale del flusso In tal caso si determina graficamente come varia il carico piezometrico sul piano (x,z) per un limitato e finito numero di punti, una volta assegnate le condizioni al contorno, disegnando il reticolo di filtrazione, costituito da due famiglie di curve che si intersecano ad angolo retto: - le linee di flusso, cioè i percorsi dei filetti fluidi nella sezione trasversale considerata, tangenti in ogni punto alla velocità del fluido Ψ(x,z) cost. - le linee equipotenziali, cioè le linee di uguale energia potenziale e quindi di uguale carico idraulico Φ(x,z) cost. OSS. La soluzione grafica è approssimata La costruzione grafica non è univocamente determinata, ma si effettua soggettivamente, in accordo con alcuni principi fondamentali, per tentativi L imprecisione nel calcolo della portata di filtrazione derivante dall approssimazione è comunque minore dell incertezza sul valore del coefficiente di permeabilità. 41/146

42 4.Equazione generale del flusso Reticolo di filtrazione Le linee di flusso ed equipotenziali sono infinite e nella soluzione grafica se ne scelgono un numero limitato. Lo spazio tra due linee di flusso consecutive si chiama canale di flusso, attraverso cui scorre una portata costante q La distanza tra due linee di equipotenziali consecutive misura la perdita di energia h del fluido nell attraversare lo spazio tra esse compreso L area delimitata da due linee di flusso successive e da due linee equipotenziali successive si chiama campo. h Campo q h- h b Linee di flusso a h Linee equipotenziali Can ale di flusso 42/146

43 4.Equazione generale del flusso Costruzione del reticolo di filtrazione Per costruire la rete di filtrazione, e quindi scegliere quali e quante linee di flusso ed equipotenziali rappresentare, occorre: i canali di flusso abbiano eguale portata q la perdita di carico fra due linee equipotenziali successive h sia costante i campi siano approssimativamente quadrati, ovvero che abbiano eguali dimensioni medie ( a b) Il procedimento consiste nei seguenti passi: I. individuazione delle condizioni al contorno II. III. tracciamento delle linee equipotenziali tracciamento delle linee di flusso, individuazione dei campi 43/146

44 4.Equazione generale del flusso Individuazione delle condizioni al contorno Per definire le condizioni al contorno, cioè le linee di flusso ed equipotenziali che delimitano il campo di moto del fluido, si osserva che: le superfici impermeabili sono linee di flusso (ad esempio la superficie di uno strato di argilla, o la superficie verticale di un diaframma impermeabile, etc..), le superfici a contatto con l acqua libera sono linee equipotenziali, poiché in tutti i loro punti vale la relazione: h z + u/γ w cost 44/146

45 4.Equazione generale del flusso MOTO CONFINATO: quando le condizioni al contorno sono tutte note (es. diaframma infisso in un deposito di terreno permeabile saturo, delimitato inferiormente da uno strato impermeabile, per sostenere uno scavo o garantire assenza di acqua) A B C D SUPERFICI EQUIPOTENZIALI F MOTO NON CONFINATO: Se tutte le condizioni al contorno non sono note a priori (es. moti di filtrazione all interno di argini fluviali o dei corpi di dighe in terra, ove la superficie che delimita superiormente l acqua in moto di filtrazione, a pressione atmosferica, non è nota E G SUPERFICIE DI FLUSSO 45/146

46 4.Equazione generale del flusso Costruzione delle linee equipotenziali 1. Noto il carico idraulico totale dissipato, h, tra le due linee equipotenziali che delimitano il moto del fluido, si sceglie il numero N dei dislivelli di carico h che si vogliono tra due linee equipotenziali consecutive: h h N cost. 2. Si traccia una serie di N+1 linee equipotenziali di tentativo in modo che siano perpendicolari alle linee di flusso al contorno F G 46/146

47 4.Equazione generale del flusso Costruzione delle linee di flusso 3. Si tracciano le linee di flusso in modo che siano ortogonali alle linee equipotenziali e in modo che delimitino dei campi quadrati (cioè con lati curvilinei dentro il quale si possa iscrivere un cerchio tangente ai lati). Detto N 1 il numero dei canali di flusso che così si ottiene e a la distanza media tra due linee di flusso consecutive e b la distanza media tra due linee equipotenziali successive, risulta che: il gradiente idraulico per un singolo campo: i h b h N b la velocità di filtrazione in un singolo campo: v k i k h N b la portata di filtrazione per ogni canale di flusso: q v a k h a N b k h N 47/146

48 4.Equazione generale del flusso OSS. Naturalmente la procedura è iterativa, in quanto una volta disegnate le linee equipotenziali di tentativo, nel disegnare le linee di flusso in modo che siano rispettate le condizioni precedenti, occorrerà modificare più volte la disposizione delle linee equipotenziali. Altri risultati ottenibili Una volta costruito il reticolo, si può determinare: la portata totale (per unità di larghezza) : N1 Q N1 q k h N la pressione interstiziale ad ogni nodo del reticolo 48/146

49 4.Equazione generale del flusso Casi più complessi Esistono casi più complessi di quello appena analizzato dove una o più delle ipotesi precedentemente specificate vengono rimosse e che si possono risolvere, con opportuni accorgimenti, sempre per via grafica: terreno non omogeneo (filtrazione attraverso terreni a differente permeabilità) terreno anisotropo (permeabilità dipendente dalla direzione) moto non confinato 49/146

50 4.Equazione generale del flusso Terreno non omogeneo Quando il flusso d acqua attraversa la superficie di separazione tra terreni a differente permeabilità (ad es. nelle dighe in terra) : - le linee di flusso deflettono - la larghezza dei tubi di flusso e la distanza fra le linee equipotenziali variano - i campi, inizialmente quadrati, divengono rettangolari Infatti la portata di ogni tubo di flusso q k h a N b deve restare costante. b k 2 <k 1 α a c d k 1 b α a β k 2 >k 1 c a/ b 1 c/ d tanα/tanβ k 2 /k 1 k 1 β d 50/146

51 4.Equazione generale del flusso Terreno anisotropo Spesso i terreni naturali ed anche i terreni messi in opera con costipamento sono anisotropi, ovvero hanno coefficiente di permeabilità diverso in direzione orizzontale, k h, e in direzione verticale, k v. In tal caso occorre disegnare la sezione della struttura interessata dal moto di filtrazione in una scala orizzontale alterata, moltiplicando le distanze orizzontali per la quantità: k k v h (in genere è k h > k v per cui tale trasformazione produce una riduzione delle dimensioni orizzontali) Una volta disegnata la rete idrodinamica, per calcolare la distribuzione delle pressioni interstiziali occorre riportare il disegno in scala naturale, ottenendo dei campi non più quadrati. 51/146

52 4.Equazione generale del flusso Moto non confinato In tal caso le condizioni al contorno in cui avviene il moto di filtrazione non sono note a priori (ad es. all interno di argini fluviali o dei corpi di dighe in terra). Il problema è molto più complesso in quanto è necessario procedere contemporaneamente alla determinazione delle condizioni al contorno mancanti e alla risoluzione dell equazione di Laplace; in questi casi la superficie che delimita superiormente l acqua in moto di filtrazione è a pressione atmosferica (coincide con la superficie freatica), la sua localizzazione non è nota e può essere determinata con costruzioni grafiche. 52/146

53 4.Equazione generale del flusso SOLUZIONE NUMERICA Il problema della filtrazione nel terreno può essere affrontato oltre che per via grafica per via numerica, specie per studiare situazioni complesse (moti non confinati, attraverso terreni anisotropi o eterogenei) Il primo passo per l applicazione dei metodi numerici consiste nella discretizzazione del continuo mediante una griglia a maglia quadrilatera o triangolare. A seconda del procedimento risolutivo adottato per le equazioni differenziali che governano il problema e del dominio di esistenza delle variabili di campo (definite sui nodi della maglia o all interno di ciascun elemento) si possono adottare due differenti metodi: - metodi agli elementi finiti - metodi alle differenze finite 53/146

54 4.Equazione generale del flusso Esistono in commercio numerosi software che implementano tali metodi specifici per lo studio del moto di filtrazione di acqua o sostanze inquinanti nel terreno: MODFLOW 2000 (3-D, ad elementi finiti) FLOWNET/TRANS (2-D, elementi finiti, trasporto di inquinanti) SEEP-W (3-D, 2-D, ad elementi finiti, terreni non saturi e saturi) etc. generali per l analisi di stabilità di pendii o opere di sostegno che consentono di modellare anche la filtrazione: FLAC DEEP EXCAVATION LLC etc. 54/146

55 4.Equazione generale del flusso MODFLOW Il codice di calcolo MODFLOW 2000* (ora disponibile anche nella versione 2005) è parte di un pacchetto software più ampio, noto come GMS 4.0 (Groundwater Modelling System), utilizzato per lo studio e la modellazione dei processi che avvengono nei sistemi sotterranei (compreso il fenomeno della diffusione degli inquinanti). MODFLOW (Modular 3-D Finite-difference Ground-water Model) è un codice alle differente finite, che consente di simulare il flusso dell acqua nel terreno (o il trasporto di una sostanza contaminante solubile nell acqua se accoppiato al modulo MT3DMS): in condizioni stazionarie e non stazionarie in acquiferi confinati e non confinati in presenza di sorgenti esterne (pozzi, evapotraspirazioni, corsi d acqua per terreni anisotropi per terreni anisotropi (*USGS, United States Geological survey: 55/146

56 4.Equazione generale del flusso Dati di input geometria dell acquifero (numero degli strati, spessore,inclinazione) per costruire la griglia 3-D (modulo 3D GRID, modulo SOLID) proprietà idrauliche (k x, k y e k z ) e carico piezometrico iniziale per ogni cella posizione e caratteristiche idrauliche degli elementi fisici che possono influenzare il flusso (sorgenti, pozzi, dreni, fiumi, leghi, etc.) posizione e caratteristiche idrauliche di eventuali elementi di ricarico superficiale dovuti a evapotraspirazione, precipitazioni) nel caso di analisi non stazionarie si definiscono gli istanti in cui calcolare il carico ai nodi della griglia, che delimitano intervalli di tempo in cui le condizioni al contorno si considerano costanti 56/146

57 4.Equazione generale del flusso Dati di output valori del carico piezometrico in ciascun punto della griglia per ciascun istante valori dell abbassamento piezometrico in ciascun punto della griglia per ciascun istante la somma delle masse entranti ed uscenti dall acquifero per ciascun istante la somma delle portete entranti ed uscenti dall acquifero per ciascun istante le componenti del vettore velocità in corrispondenza di ciascun nodo della griglia per ciascun istante 57/146

58 4.Equazione generale del flusso FLAC Il codice di calcolo FLAC (Fast Lagrangian Analysis of Continua) è un programma per la soluzione di problemi di ingegneria geotecnica, che consenti di modellare e risolvere, contemporaneamente o indipendentemente: problemi meccanici problemi idraulici Consente di costruire modelli bidimensionali (mediante una griglia a maglie di dimensione variabile e di forma triangolare o quadrilatera) che risolve con il metodo alle differenze finite. 58/146

59 4.Equazione generale del flusso Il codice di calcolo FLAC Il programma consente di: simulare il comportamento di strutture in terra, roccia e altri materiali che manifestano deformazioni plastiche, implementando modelli costitutivi per i materiali sia di tipo elastico (modello elastico lineare isotropo e trasversalmente anisotropo) che di tipo elasto-plastico (modello di Mohr-Coulomb, modello Cam-Clay, modelli con curve incrudenti o rammollenti, ecc.). di modellare anche l interazione fra strutture in materiali diversi avere informazioni locali sullo stato tensionale e sugli spostamenti dei nodi effettuare verifiche di stabilità su pendii, argini, etc. di determinare il reticolo di flusso per moti confinati e non confinati, in terreni omogenei o non omogenei 59/146

60 5.Esempi Calcolo del reticolo di filtrazione per una traversa in c.a. con diaframma a monte A Traversa in c.a. F Diaframma Sebbene la filtrazione sia un fenomeno spiccatamente tridimensionale, in presenza di stratigrafie ed opere prismatiche, si può fare riferimento ad una sezione trasversale rappresentativa (problema 2-D) 60/146

61 5.Esempi Si instaurano condizioni di moto permanente Hcost. v X Z v Z X v La quantità di acqua che entra in un volume di terreno è uguale a quella che ne esce 61/146

62 5.Esempi Individuazione delle condizioni limite Si instaurano condizioni di moto confinato Le superfici del terreno a monte ed a valle sono linee equipotenziali Le superfici impermeabili sono linee di flusso 62/146

63 5.Esempi Tracciamento delle linee equipotenziali Si traccia una serie ipotetica di linee equipotenziali, ricercando la seguente condizione tra due linee successive: H H N D cost. In questo caso, N D 14 (numero di dislivelli piezometrici) 63/146

64 5.Esempi Tracciamento delle linee di flusso e dei campi Si tracciano N F linee di flusso, ricercando le seguenti condizioni: Le linee di flusso e le linee equipotenziali sono tra loro ortogonali I campi generati sono dei quadrati curvilinei (in essi sono inscrivibili cerchi) 64/146

65 5.Esempi Calcolo della portata di filtrazione Linee di flusso Ψ(x,z)cost. Linee equipotenziali Φ(x,z)cost. q a Η b q v b v k i k Portata nel campo H a H k a N D q kh N D b a 65/146

66 5.Esempi Calcolo della portata di filtrazione q kh N D b a Nel caso in esame: k2x10-6 m/s (coefficiente di permeabilità medio) H10 m Portata (per unità di larghezza) di ogni canale di flusso (si suppone q uguale per tutti i canali di flusso) b/a1 (campi assimilabili a quadrati curvilinei) N D 14 (14 dislivelli piezometrici ipotizzati) N F 4 (4 canali di flusso risultanti dal tracciamento della rete) Q q N kh F N D cm 3 /s Portata (per unità di larghezza) complessiva 66/146

67 5.Esempi Calcolo della distribuzione delle pressioni interstiziali alla base della traversa Si sceglie EF come quota di riferimento (arbitraria) A H H N D F Si suddivide la base in 10 intervalli uguali, di dimensione x3.06 m Per ogni nodo di misurano: x21.42 m N D 9.40 h z m distanza dall origine cadute di potenziale quota geodetica e si calcolano: altezza rappr. della pressione (m) h u p H h p γ N W D H h pressione neutra (kpa) z 67/146

68 5.Esempi Si ottiene la seguente tabella: x (m) N D N D H h z (m) h p (m) u(kpa) A F 68/146

69 5.Esempi Calcolo del reticolo di filtrazione per un argine fluviale m r m 69/146

70 Pubblicazioni: UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Crespellani, T., Facciorusso, J Elementi di dinamica dei terreni e ingegneria geotecnica delle aree sismiche. Voll. 1 e 2. Centro 2P. Firenze. Kramer, S.L Geotechnical Earthquake engineering. New Jersey, Prentice Hall, 654 p. Richart, F.E., Jr., Hall, J.R., Woods, R.D Vibration of soils and foundation. Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice Hall, 414 p. Siti internet: 70/146

71 4.Equazione generale del flusso Dati di input geometria dell acquifero (numero degli strati, spessore,inclinazione) per costruire la griglia 2-D caratteristiche fisiche del fluido (densità, modulo di deformazione cubica) caratteristiche fisiche del terreno (porosità, permeabilità, peso di volume) condizioni al contorno: pressione intersiziale (all interno delle maglie ed ai nodi), la portata e il grado di saturazione ai nodi 71/146

72 4.Equazione generale del flusso Dati di output valori del carico piezometrico in ciascun punto della griglia per ciascun istante valori dell abbassamento piezometrico in ciascun punto della griglia per ciascun istante la somma delle masse entranti ed uscenti dall acquifero per ciascun istante la somma delle portete entranti ed uscenti dall acquifero per ciascun istante le componenti del vettore velocità in corrispondenza di ciascun nodo della griglia per ciascun istante 72/146